Interpretación de Determinantes y Aplicaciones de Matrices.docx

ALGEBRA LINEAL 2012-I

UNIVERSIDAD INNOVADORA

2012-I

ALGEBRA LINEAL

UN INGENIERO QUÍMICO UNA EMPRESA

INTERPRETACIÓN DE LA DETERMINANTE Y APLICACIONES DE LAS MATRICES A LA Semestre : Sección

:

II “A”

PRESENTADO A: ING. VILLAVICENCIO RAMÓN, Félix Alberto POR:

*CALDERON RODRIGUEZ, FABIOLA

– PERU HUANCAYO Hewlett-Packard


I.  

II. 2.1

OBJETIVOS:

endentar el el significado de una determinante conocer las diferentes diferentes aplicaciones aplicaciones de la matrices a la ingeniería ingeniería química química MARCO TEÓRICO INTERPRETACIÓN DE DETERMINANTES

La mas notable interpretación interpreta ción de las determinantes lo podemos observar en la geométrica es así que algunos textos comienzan explicando la fórmula con ejemplos antes de escribirla, pero casi todos parecen llevar como hilo conductor del tema la aritmética, fundamental sin duda, pero se ha dejado relegada la idea geométrica del determinante, desaprovechando las ventajas visuales y didácticas de la geometría en la introducción de este elemento, que calcula y determina longitudes, áreas, volúmenes orientados, y amplia este concepto a espacios de dimensión superior. En este documento no se pretende en ningún caso menospreciar la aritmética del determinante, pues este es una utilísima herramienta de cálculo suficientemente divulgada en los libros de texto, lo que no ocurre con su geometría. La intención de esta comunicación es presentar el determinante como un elemento geométrico y a partir de la geometría llegar a la formula aritmética que lo define y entender sus propiedades.

1 DETERMINANTES DE ORDEN 2 1.1 VECTORES EN R2 Una fila (a, b) de una matriz cuadrada de orden 2 representa un vector con origen en el punto de coordenadas (0, 0) y extremo en el punto de coordenadas (a, b). Veamos dos resultados de la escena creada para este objeto:

Paralelogramo orientado definido por dos vectores Una matriz cuadrada de orden 2,

Define dos vectores-fila y estos determinan un paralelogramo cuya área (base. altura) tiene un signo dado por la orientación: Cuando se considera el primer vector-¯la como la base positiva del paralelogramo, si el segundo vector-fila determina altura, el área es positiva (paralelogramo amarillo); si por el contrario el segundo vector-fila determina bajura, su área es negativa (paralelogramo rosa) Esta área orientada es el determinante de la matriz A y se designa por

O por det A A


Observamos que el determinante es cero cuando los dos vectores fila están alineados, es decir, cuando no hay área, cuando el espacio que generan los vectores fila de la matriz no es de dimensión 2 Así vemos que dos vectores ¯la de una matriz 2x2 forman una base de R2 si y solo si su determinante es distinto de cero. Es importante observar que la orientación de una base de R2 esta definida por el signo del determinante. A continuación detallamos un poco más la orientación. El determinante de una matriz 2x2 con coeficientes en R es el área orientada del paralelogramo que definen sus vectores fila. Calculo de determinantes Calculo geométrico Los paralelogramos con igual base y altura tienen la misma área, por tanto si se desplaza el vector v sobre una paralela al vector u, tal como se indica en la figura 1, el área del paralelogramo no varia :

Análogamente al desplazar el vector u sobre una paralela al otro lado del paralelogramo se conserva el área:


Ahora es fácil calcular el área del paralelogramo Propiedades de los determinantes 1 Si a una fila se le suma una proporcional a otra, el determinante no varia En la figura vemos que al sumarle al 20 vector-fila un proporcional al 10 se obtiene otro paralelogramo con la misma base y la misma altura, luego el determinante no varía

2 EL DETERMINANTE ES UNA FORMA HEMISIMETRICA Al permutar dos ¯las de un determinante este cambia de signo pero su valor absoluto no varia, pues es claro, como se ve en la figura, que el paralelogramo no varia, solo cambia su orientación












DETERMINANTE: Es un valor escalar que está definido de manera inductiva mediante permutaciones considerando los signos de positivo y negativo par o impar. Según sea el caso de la multiplicación de los componentes que pertenecen a diagonal principal. 1 2.2

APLICACIONES DE LA MATRICES A LA INGENIERÍA QUÍMICA

Entre las múltiples aplicaciones que tiene las matrices destacaremos lo que se utiliza mayormente en la ingeniería Química, pero también pondremos de referencia en que otras ramas se utiliza las matrices. 2.2.1 APLICACIONES A LA INGENIERÍA QUÍMICA: 2.2.2 BALANCEO MATRICIAL DE REACCIONES QUÍMICAS

A) MÉTODO 1 (CORTO) Considere la siguiente reacción no balanceada: NaOH + HCl + MnO2 NaCl + MnCl2 + H2O + Cl2 1. Busque los elementos que aparezcan en un solo reactivo y en un solo producto. En esta reacción serían los elementos Na (Sodio) y Mn (Manganeso). 2. Nombre a los compuestos donde se encuentren dichos elementos con las primeras letras del alfabeto. Nombre donde esté el sodio como a y donde esté el manganeso como b, quedando de la manera siguiente:

Nota: El signo (produce) es como un = (Igual a) Si escribimos las ecuaciones del sodio y del manganeso, quedarían de esta manera: Na: a = a Mn b = b Como se puede notar, están balanceadas. 3. Nombre los demás compuestos con las siguientes letras del alfabeto (c, d, e, f…)

4. Escriba a continuación las ecuaciones de los elementos restantes. Se sugiere que empiece según los elementos aparezcan.


O: a + 2b = d H: a + c = 2d Cl: c = a + 2b + 2e 5. Acomode en orden alfabético (a, b, c, d, e, f…) las ecuaciones obtenid as y pasar las variables “de un solo lado”. a + 2b - d = 0 a + c - 2d = 0 a + 2b - c + 2e = 0 Balanceo Matricial de Reacciones Químicas Esto es un sistema de ecuaciones de soluciones infinitas (se tienen más variables que ecuaciones) y se resuelve fácilmente usando matrices. 6. Escriba el sistema de ecuaciones en una matriz:

Identifique la diagonal principal (de las variables delanteras o dominantes), que es la que se indica:

7. Escalone la matriz por el método de Gauss Jordan: Hacer unos en la diagonal principal, ceros arriba y debajo de la diagonal ya indicada usando las propiedades y operaciones de matrices (cambio de renglón o fila, adición, multiplicación por escalar...) NOTA: En este caso la primera variable delantera, la que nos ayudará a hacer pivote ya es 1; pero en caso de que la variable no fuese 1, no la haga 1. Si se hace así, aumenta la posibilidad de error debido a la aparición de fracciones.

Se llega a la siguiente matriz:


Las siguientes columnas son variables libres y siendo nuestro sistema de ecuaciones inicial de soluciones infinitas, éstas funcionarán como parámetros para resolver el sistema de ecuaciones y balancear la reacción. Se les llamará r y s, respectivamente.

8. Despeje las variables (a, b, c, d, e) que ahora están en función de los parámetros r y s (Recuerde que para escribir la matriz inicial, acomodamos las ecuaciones y pasamos todas las variables “de un lado”.) a = r -2s b=s c = r +2s d=r e=s 9. Escriba la solución general del sistema, en forma vectorial y en función de los parámetros r y s.

10. Una vez obtenida la solución general del sistema, se tiene que obtener la solución particular asignando valores a r y s tales que las variables tengan valores enteros positivos. Condición: r > 2s Esta condición se agrega para evitar que compuestos desaparezcan de la reacción o se desplacen hacia productos o reactivos, y que se cumpla la ley de la conservación de la materia. Si r=3 s=1 Sustituya los valores de r y s en la solución general:

11. Escriba los valores obtenidos en la solución particular del sistema como coeficientes estequiométricos de cada especie química. NaOH + 5HCl + MnO2 NaCl + MnCl2 + 3H2O + Cl2 Igual que en matemáticas, el coeficiente 1 no se escribe. 12. Compruebe que esté balanceada la reacción revisando cada elemento: Na 1 = 1 O 3 = 3 H 6 = 6 Cl 5 = 5 Mn 1 = 1


¡Y ya está balanceada! El método corto es casi igual al método algebraico de balanceo de reacciones que se enseña en Química, debido a que se tiene que plantear un sistema de ecuaciones. La diferencia es que en el método algebraico, se da un valor a una incógnita (usualmente de 1) y así se obtienen los valores de los demás coeficientes estequiométricos. Como no siempre es sencillo nombrar a los elementos y muchas veces es tedioso, cuando esto suceda, se sugiere usar el método 2.

B) MÉTODO 2 (LARGO) Considere la siguiente reacción no balanceada: NaOH + HCl + MnO2

NaCl + MnCl2 + H2O + Cl2

1. Nombre cada compuesto con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, e, f, g, h…). En la reacción se escribiría:

2. Escriba la matriz de la siguiente manera:



Siempre empiece por el primer elemento químico que aparezca, de izquierda a derecha, esto es para evitar confusiones y olvidos.

Escriba la cantidad del elemento presente en cada compuesto. Si no aparece el elemento en el compuesto, escribir 0 (Cero). La línea punteada es sólo para indicar que a partir de esta línea hacia la derecha los números que aparezcan serán negativos (No la escriba). Recuerde que esto es porque al escribir la matriz se tiene que pasar de un lado todas las variables. El signo es un =. Siguiendo los pasos anteriores, la matriz de la reacción queda expresada de la siguiente manera: 



3. Escalone la matriz: Primero hacer ceros arriba y debajo de la diagonal principal usando las propiedades de las matrices, hasta el final hacer unos.


Finalmente llegamos a la matriz escalonada


Que se interpreta: a = r -2s b = r +2s c = +s d = r -2s e=s f=r g=s 4. Escriba la solución general del sistema.

5. Asigne valores a r y s, tales que los valores de todas las incógnitas sean enteros positivos. Usando los mismos valores usados en el método anterior: Condición: r > 2s Si r=3 s=1 6. Sustituya los valores de r y s en cada una de las variables.

7. Escriba los valores obtenidos en la solución particular como coeficientes estequiométricos de cada especie química. NaOH + 5HCl + MnO2

NaCl + MnCl2 + 3H2O + Cl2

8. Compruebe que esté balanceada la reacción revisando cada elemento: Na 1 = 1

O3=3

H6=6

Cl 5 = 5

Mn 1 = 1


2.2.2 OTRAS APLICACIONES DE LAS MATRICES: Las matrices también se puede aplicar en el campo de la economía, en las ciencias sociales, circuitos eléctricos, en ecuaciones diferenciales (modelos matemáticos para sistemas dinámicos), para las probabilidades en la computación, industrias de producción, etc. Para ejemplo mostraremos como las operaciones básicas de la matrices tiene un significado en un proceso de sus operaciones una aplicación. Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costes y cantidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz. En lugar de presentar los datos del consumo de materias primas de una empresa en una tabla (en nuestro ejemplo de una empresa que produce cerveza)

Vamos a presentar estos datos de una forma más sencilla:

Además muchas de las relaciones en los negocios son proporcionales. Proporcional significa que los valores de las componentes de una variable y, se corresponden con k-veces los valores de las componentes de otra variable x, donde y es la variable dependiente. Por ejemplo, si una unidad de cantidad de levadura cuesta 8 € entonces dos unidades de cantidad costarán 16 €. Para esta clase de cálculo son necesarias sumas y productos de matrices. Por lo tanto, la aplicación del cálculo de matrices en la escuela es posible y sensato, a pesar de su grado de dificultad. El cálculo de matrices presenta una clara y fácil presentación de la coherencia lineal. Hay muchas diferencias entre el cálculo con números reales y el cálculo de matrices. Más adelante trataremos estos problemas.


01: En 4 semanas, las dos compañías, Hirter y Zipfer, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME):

1ª semana:

Hirter: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua Zipfer: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua.

2ª semana:

Hirter: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua Zipfer: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua

3ª semana:


4ª semana:


01.1 REPRESENTACIÓN: Los datos se representan de manera sencilla. Levadura malta agua

Resumiendo:

Matriz de consumo de la compañía Hirter

Resumiendo:


Matriz de consumo de la compañía Zipfer.

Comparación de consumos: La representación de las dos compañías en forma de matrices nos permite una comparación más fácil:

Ahora los elementos pueden ser comparados directamente y fácilmente. Para conseguir más información acerca de las dos compañías o compararlas, se requiere la suma y resta de matrices. A: Suma:

¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia prima levadura, lo que significa: 8+6 =14 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4+3=7 ME malta, y para el agua: 12+12=24 ME agua. Cuando las tablas están escritas en forma de array rectangulares de números, resulta más claro y rápido sumarlas. Para sumar dos matrices del mismo tipo, por ejemplo las matrices de Hirter y Zipfer, simplemente se suman los elementos correspondientes.

B: Resta:

¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana? En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia prima levadura, lo cual significa que la diferencia es de 2 ME:


8-6 =2 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4-3=1 ME malta, y para el agua: 12-12=0 ME agua. Cuando las tablas están escritas en forma de array rectangular de números, resulta más claro y rápido restarlas. Para restar dos matrices del mismo tipo, por ejemplo las matrices de Hirter y Zipfer, simplemente se restan los elementos correspondientes.

El resultado nos muestra que la compañía Zipfer nunca necesita más materia prima que la compañía Hirter. La demanda de materia prima para ambas compañías es la misma para cuatro periodos. Por lo tanto el valor de la diferencia es 0. Podría también darse el caso de obtener resultados negativos. Esto significaría que la compañía Zipfer necesita más materia prima que la compañía Hirter. C: Producto escalar:

¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Hirter, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Hirter? Para multiplicar una matriz por un número real es necesario multiplicar cada elemento por este número.

Conseguiríamos el mismo resultado si nos refiriésemos al consumo en 5 meses, suponiendo que cada mes tiene la misma cantidad de consumo.

Tales suposiciones de consumo constante son muy frecuentes. Ahora es posible multiplicarlas porque son suposiciones proporcionales, esto quiere decir que se multiplican los resultados de forma lineal. D: Producto de dos matrices:

Consideremos que la compañía Hirter recibe materia prima de dos proveedores (HopAG y Malt y co). Ahora la pregunta sería cuál de los dos proveedores es mejor. Teniendo en cuenta que los proveedores sólo pueden cambiar de una semana a otra.


Esta tabla corresponde a la matriz de costes P, porque los elementos representan los costes de las tres materias primas para ambos proveedores

A simple vista no es posible detectar cuál de los proveedores es el más barato. Con un simple cálculo obtendremos un resultado preciso. De las suposiciones proporcionales obtenemos: Costes de la compañía en Hop AG: 1ª semana: 8*50+4*136+12*80 =1904 2ª semana: 10*50+6*136+5*80 =1716 3ª semana: 7*50+8*136+5*80 =1838 4ª semana: 11*50+7*136+9*80 =2222 Costes de la compañía en Malt y co.: 1ª semana: 8*55+4*127+12*79 =1896 2ª semana 10*55+6*127+5*79 =1707 3ª semana: 7*55+8*127+5*79 =1542 4ª semana: 11*55+7*127+9*79 =2205 Sumando, la tabla de costes resulta:

Lógicamente la matriz con los elementos de coste de los proveedores se denomina matriz de coste K.


Podemos reconocer la siguiente regla para los elementos de la matriz K: 11 k =1904= La primera fila de la matriz H (8, 4,12) se multiplica por la primera columna de la matriz P (50, 136,80) para cada elemento, (esto significa 1 er con 1er: 8*50,2 º con 2º: 4*136 y 3 º con 3º número: 12*80) y sumarlos. En otras palabras: La matriz de costes K resulta de la multiplicación de la matriz H (matriz de Hirter) y la matriz P (matriz de costes):

Este tipo de multiplicación se presenta muy a menudo. Veamos como se hace la multiplicación: En nuestro ejemplo 50, 136, 80 y 55, 127, 79.

III. CONCLUCIÓNES: 3.1 CONCLUCIÓN DE LA INTERPRETACIÓN DE DETERMINANTES 

que la determinante tiene un interpretación geométrica que se aplica en la ingeniería, sin embargo esta definida desde el punto geométrico euclidiana solo lamente hasta el tridimensional, que nos da como resultado volúmenes, áreas, longitudes, es decir esta limitado pero para una matriz de mas de 3x3 su determinante esta dado por el significado o entrepretado de forma que es el equilibrio de todo las variables posible, pero es ingraficable.

3.2 CONCLUCIÓN DE LA APLICACIONES DE LA MATRIS 

IV.

las matrices son una poderosa herramienta para una gran gama de campos de estudio como en la: la agricultura, economía, sociología, industrias de producción, ingeniería civil, ingeniería química, etc. En este ultimo esta para la descripción de cinética quimia, balanceo de ecuaciones químicas, circuitos eléctricos, para determinar concentraciones, etc. Que ayudan a calcular variables que uno necita en la vida cotidiana, producción de industrias y investigación. BIBLIOGRAFÍA:

ALGEBRA LINEAL Y APLICACIONES: HUGO CORNEJO ROSELL  APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL: GROSSMAN 4.1 PAGINAS DE INTER VISITADAS:  http://descartes.cnice.mecd.es/Bach CNST 2/determinantes/inicio.htm  http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Geometria_determinante/index.ht m. 

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