1. Matrices & Determinantes

16 de enero de 2017

A ctivi cti vi dad de aprendizaje aprendi zaje 1 Matr Matr i c es & D eterminantes etermi nantes

Materia: ALGEBRA Materia: ALGEBRA LINEAL

Actividad de aprendizaje 1. Matrices y determinantes 1.

Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones es lineal: a) 3x3x-kyky-7z=35 b) x+ᴨy+ez=log5 c) 2x+6y2x+6y-5yz=5yz=-46

Solución: a). Se tiene que la ecuación a es lineal, para ello en la ecuación tomamos como

variable z 3x=ky+7(z+5) Invertimos la igualdad en 3 x = k y + 7 (z+5) con el fin de pasar z del otro lado. 3 x = K y+7 (z + 5) es equivalente a k y + 7 (z + 5) = 3 x: K y + 7 (z + 5) = 3 x Ahora escribimos escribimos el polinomio polinomio lineal en en el lado izquierdo izquierdo en forma estándar. estándar. Expandir cada término de la izquierda: 7 z + 35 + k y = 3 x Restamos 35 + K y de ambos lados: 7 z = -35 + 3x – k y Resolvemos z. Dividimos ambos lados por 7: Obtenemos como resultado: que es una ecuación lineal. Z=3x/7Z=3x/7-ky/7 b). x+ᴨy+ez=log5 No es una ecuación lineal. El hecho de que tenga exponencial

nos está indicando que no es una ecuación lineal. c). 2x+6y2x+6y-5yz=5yz=-46 No es una ecuación lineal, porque el producto de dos

incógnitas es de segundo grado.

2. Determinar si: a) u = (4, 6, -7, 5) b) v = (2, 3, 10, 5) Son soluciones de la ecuación Solución:

       = 

Al sustituir u en la ecuación tenemos que son puntos que pertenecen al plano, pero al sustituir v en la ecuación, se demuestra que la ecuación no es la solución de la ecuación. Por lo tanto: a) 4*4 -6*6-2*-7+ 3*5=9 Si es una solución de la ecuación. b) 4*2 -6*3-2*10+ 3*5= 15 No es una solución de la ecuación. 3. Considere la ecuación lineal 5x – 2y + 3z = 31 Hallar: a) Tres soluciones particulares. b) La solución general. Solución a: 1. x es la primera incógnita. Se asigna cualquier valor a las variables y y z y se

52131=31 523=31 51=31 5=311 5=30 =30/5 =6 523=31 52130=31 520=31 5=312 5=33 =33/5 despeja x para obtener la solución. Por ejemplo, hagamos y = 1 y z = 1. ,

,

,

,

,

,

Entonces u1= (6,1,1) es una solución. 2. Se hace y = 1, z = 0. Sustituyendo: ,

,

,

,

,

Entonces u2= (33/5,1,0) es una solución.

523=31 52031=31 503=31 5=313 5=28 =28/5 523=31 3. Se hace y = 0, z = 1. Sustituyendo: ,

,

,

,

,

Entonces u3= (28/5,0,1) es una solución. Solución b:

La solución general de la ecuación

, se obtiene como se indica:

Se asignan valores arbitrarios, o parámetros, a las variables libres, en este caso, y = a, z = b. se sustituyen en la ecuación obteniendo:

523=31+− 5=3123 = +−5 +− =   ,

Entonces general.

,

, y = a, z = b o

u = (

, a, b). Es la solución

4. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de Gauss:

= = = = = =

Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss:

Dividimos el 1 -ésimo por 4:

45 23 441 15 0.275 141 10 5.0.7755 146 10 0.175 18 10 10  58

De la segunda sustraigamos la primera línea, multiplicada por 5:

Dividimos 2 -ésimo por -5.75

De la primera sustraigamos la 2 línea, multiplicada por 0.75:

Resultado: x=5, y=-8

3x + 7y = 6 9x – 3y = 90

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos por el método de eliminación de Gauss:


39  73 9 60 19 7/33 902 10 247/3 722 10 7/31 32 10 10  93

De la segunda sustraigamos la primera multiplicada por 9:

Dividimos el 2 -ésimo por -24:

De la primera sustraigamos la segunda línea multiplicada por 7/3:

Resultado: x=9, y=-3

6x +8y = 68 13x + 6y = 68

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvemos

61 386 66 88 113 4/36 34/368 10 34/3 4/3 238/3 34/3 10 4/31 34/37 10 01 27

por el método de eliminación de Gauss:


De la segunda fila sustraigamos la primera multiplicada por 13:

Dividimos el 2 -ésimo por -34/3:

De la primera sustraigam0os la segunda multiplicada por 4/3:

Resultado x=2, y=7

5. Encuentre las soluciones (si existen) a los sistemas dados por el método de Gauss: a)

c)

a)

     = =  ==    =    =   ==     ==    =    = = =     = 5 4 4 7 35 6185  6 3 2 57 164 1.344 0.526 12.57852 12. 2 1 1. 4 0. 6 133.82 60 11.9.64 7.5.64 130. 12. 2 1 1. 4 0. 6 (00 11.1 4 3.33/481875 13.130.93752 ) 7. 3 125 1 0 23. 4 8 00 11.1 4 37.3.187548 13.28.96375875 10 01 23.37.4488 13.7.39125375 0 0 1 9 b)

d)

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por el método de Gauss:


De 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 4, -6:

Dividimos el 1 -ésimo por 9.6:

De13filas sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, -11.4:

Dividimos el 3 -ésimo por -3.1875:

De la 1, 2 filas sustraigamos la 3 multiplicada por -23/48, -37/48

Resultado x1=3, x2=7, x3=-9 b)

10 01 00 37  0 0 1 9

 ==    =


310 41 27 316 2 5 6 94 1(10 1/34 7/32 31/36 ) 2 5 6 94 7/3 31/3328/3 10 2/31/3 76/3 0 17/3 4/3 220/3 1(0 1/31 7/338 31/3164) 0 17/3 4/3 220/3 10 1 03815 16465  0 0 214 856 10 1 03815 16465  00 14 10 10 00 125  00 14


De 2, 3 sustraigamos la línea 1, multiplicada por 10, 2

Dividimos 2 -ésimo por 2/3:

Dela 1, 3 sustraigamos la segunda línea multiplicada por 1/3, -17/3:

Dividimos el 3 -ésimo por -214:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 línea multiplicada por 15, -38

Resultado: x1=5, x2=-12, x3=4

c)

  ==    = 51 1 7 13 00 6 5 2 0 1(1 1/41 10.6 00) 6 5 2 0 0. 6 0 1(0 1/4 ) 2. 4 1. 6 0 0 3.4 1.6 0 1(0 1/41 2/30.6 00) 0 3.4 1.6 0 0 1(0 01 1/3 2/3 ) 0 0 0 2/3 0 0 1(0 01 1/3 ) 2/3 0 00 1 0 100 010 001 000



De la 2, 3 sustraigamos la 1 multiplicada por 1, 6:

Dividimos la 2 -ésima por 2.4:

De la 1, 3 sustraigamos la 2 multiplicada por -1.4, 3.4

Dividimos la 3 -ésima por 2/3:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por -1/3, -2/3:

Resultado x1=0, x2=0, x3=0

d)

    ==    =

Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de matriz y los resolvemos por

4108 1684 237 3 14148  14 160.4 0.7 3 483.1  8 8 2 14 10 17.60.4 8.0.23 3.60.1 4  0 8 4.4 38.8 10 1 0.41/88 4 0.3 151/44 3.1  0 8 4.4 38.8 11 ) 1(0 1 041/885/44 19.151/44 0 0 73/11 608.11 19.11 ) 1(0 1 041/885/44 151/44 0 0 1 608.73 1(0 10 00 131.57/73292) 0 0 1 608.73

el método de Gauss:

Dividir el 1 -ésimo por 10:

De la 2, 3 filas sustraigamos la 1 multiplicada por -4, 8:

Dividimos el 2 -ésimo por 17.6:

De la 1, 3 sustraigamos 2 multiplicada por 0.4, 4.8:

Dividimos el 3 -ésimo por -73/11:

De la 1, 2 sustraigamos la 3 multiplicada por 5/44, 41/88

Resultado x1=57/73, x2=131.292, x3=608.73

6. Realice los siguientes ejercicios:

42 34  5452 53 4 3 20 15 2 4 10 20 54      5 7 55 57 5 7 25 35

a)

5

=

=

=

2356 2652 31 64 82  5 68 23 82  2158 2858  2453 2252 436 222 4 56 6 4 10 2458 2254 24510 2238 2324 1458  31 64 82 2 68 23 82  7128 7326 7622 7828 7423 7222  4 2 4 6 4 10 7426 7224 74210 923 3822 4010  16 6 8 12 21 65 82  16 123 82 =1126 61253 88 72 64 4 22   1 15  7 2 4 6 4 10 76 24 410 42 8 40 41 61 32  25  12 45 1265 3522 202 302 154  4 9 2 6 46 96 26 24 54 12 2 3 4 5 4 2 3 24 7 23 4 15 35 1623 83 741 2197 99105 3834 726  b)

2

+

=

=

c).

7

=

=

d)

*

=

e)

*

=

=

f)

*

=

Solución:

C1,1=2*2+( -3)*(-2)+4*5+1*( -3)=27 C1,2=2*3+( -3)*(-4)+4*16+1*23=105 C1,3=2*4+( -3)*3+4*8+1*3=34

C1,4=2*5+( -3)*7+4*4+1*1=6 C2,1=4*2+7*( -2)+2*16+( -5)*(-3)=19 C2,2=4*3+7*( -4)+2*8+(-5)*23= -99 C2,3=4*4+7*3+2*8+( -5)*3=38 C2,4=49*5+7*7+2*4+( -5)*1=72

7. Reducir a su forma escalonada y luego a su forma canónica por filas: a)

1 3 1 2 A=022 1154 531 153

Intercambiamos la fila 3 por la fila 1

Restamos fila a la fila 3

Restamos 2xfila1 a la fila 4

Dividimos fila 2 entre 11

20 511 53 13 12 34 11 25 10 2.115 1.55 0.35 02 5.45 2.1 5 1.55 10 2.115 1.55 0.35 00 5.95 2.25 1.45

10 2.1 5 0.1.4555 0.0.5273 00 5.95 2.25 1.45

Restamos 5.5 por fila 2 de la fila 3

10 2.1 5 0.1.4555 0.0.5273 00 09 20 04 10 2.1 5 0.1.4555 0.0.5273 00 00 2.0091 1.5045 10 2.1 5 0.1.4555 0.0.5273 00 00 2.0091 1.5045 10 2.1 5 0.1.4555 0.0.5273 00 00 10 0.7039 10 2.1 5 0.04550.60.09273 00 00 10 0.7039

Restamos 9 por fila 9 a las fila 4

Intercambiamos fila 4 por fila 3

Dividimos fila 3 por 2.091

Restamos 1.5 por fila 3 a la fila 1

Restamos -0.455 por fila 3 a la fila 2

10 2.1 5 00 0.0.660909 00 00 10 0.7039 10 01 00 0.0.961309 00 00 10 0.7039

Restamos -2.5 por fila 2 a la fila 1

Hemos llegado a la reducción escalonada, ahora encontraremos su forma canónica por filas. Dividimos la fila 1 entre 23 Sumamos 5*(fila3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 por 11 Sumamos 5*(fila 2) a la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 2 Esta matriz es ahora en forma escalonada reducida.

b)

0 1 3 2 A= 000 504 311 413

=

Intercambiamos la 4 por la 1

Dividimos la 1 por 5

00 54 13 34 00 01 13 21

Restamos4 por la 1 de la 2

Restamos la 1 de la 4

Intercambiamos la 4 por la 2

Dividimos la 2 entre 3.6


Restamos 1.4 por la 2 de la 4

00 14 0.16 0.3 8 00 01 13 21 00 10 0.1.4 6 0.0.82 00 01 13 21 00 10 0.1.4 6 0.0.82 00 00 3.16 2.1 8 00 10 0.3.6 6 2.0.88 00 00 1.14 0.1 2 00 10 10.0.6 70.788 00 00 1.14 0.1 2 00 10 10.0.6 70.788 00 00 1.04 1.0.7782

Dividimos la 3 por 1.778



Restamos -0.778 por la 3 de la 2

Restamos -0.6 por la 2 de la 1

00 10 10.0.6 70.788 00 00 00 1.0.787889 00 10 10.0.6 70.788 00 00 00 0.8189 00 10 10.0.6 70.788 00 00 00 10 00 10 10.0.6 7780 00 00 00 10 00 10 0.1 6 0 0 00 00 00 10 00 10 01 00 00 00 00 10

Ahora encontraremos la forma canónica por filas Sumamos la fila 4 a la fila 3

Restamos 4*(fila 4) de la fila 2 Sumamos 2*(fila 4) a la fila 1 Dividimos la fila 3 entre 7 Sumamos 3*(fila 3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 entre 5 Restamos la fila 2 a la fila 1 y tenemos nuestro resultado. 8. Calcula la forma escalonada por renglones y luego la inversa (si existe) de

21 42  12 42  11 22   10 20  1 4 12 30  2 5 3

la matriz dada: a.

Intercambiamos filas

Dividimos fila 1 por 2

Restamos fila 1 por -1 a la fila 2

La matriz inversa no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0

b.

Intercambiamos fila 2 por fila 1

41 12 30  2 5 3 112 0.2525 0.30 75 10 0.2.2255 0.0.7755 0 4.5 1.5 10 0.4.255 0.1.755 0 2.25 0.75 10 0.125 0.0.37335  0 2.25 0.75 10 0.1250.0.33375 00 0 10 01 0.0.363367 00 0

Dividimos fila 1 entre 4

Multiplicamos 2 por fila 1 a la fila 3

Intercambiamos fila 3 por la 2

Multiplicamos fila 2 por 4.5

Multiplicamos0.25 por la 2 a la 3

Multiplicamos 025or la 2 a la 1

La matriz no se puede calcular para matrices que tienen el determinante 0

c.

21 03 41 0 12

Dividimos la 1 entre 2

110 031 212 10 03 23 012 10 01 21 012 10 01 21 001 10 01 01 001

Restamos -1 por fila 1 a la fila 2

Dividimos la 2 entre 3


Restamos -2 por la 1 a la 1

Restamos 1 por la 3 a la 2

10 01 00 1/10 1/10 21  0 0 1 0 0 1/1

A=

a-1=

9. Calcule la transpuesta de la matriz dada y determinante si la matriz en simétrica o anti simétrica:

A=

36 16 83 =36 16 83 8 3 2 8 3 2

La matriz es simétrica si es una matriz cuadrada la cual tiene la característica se ser igual a su transpuesta en el caso de la matriz (a) es idéntica a su transpuesta y por lo tanto es simétrica

05 50 64 05 05 46 6 4 0 6 4 0 170 107  170 107 

B=

b+=

La matriz ( b) es anti simétrica C=

c+=

La matriz ( c) es simétrica. 10.

Escriba cada matriz como el producto de matrices elementales y una

matriz triangular superior:

   =20 10  12 02 43 1 21 10 4 2 23 12 1 10 4 2 23 0 4 2 A=

La 2-ésimo menos ( -2) por la 1 en la dos

B=

La 1-esima por -2

B=

La 1– esima por -1

B=

La 2-ésima por -1

12 02 43 0 00   [03 23/35 ]         1050 10002 006 100 10022 306 10 22 03 0 06         B=

11.

Calcula la determinante:

a)=

La 2-ésima- 7/3 por la 1 -ésima en la 2 -ésima a=

= -3 x (-23/3)=23

b)=

La segunda - 6/5 por la primera a la segunda

b=

La tercera por -2 por la primera a la tercera

b=

La tercera – 50 por la segunda a la tercera

b=

c=

=5x2x6=60

La 2 por 4/3

3 0 4/31 223/3 6 1 3 30 4/31 223/3 0 3 1 30 4/31 223/3 0 0 65/4       0 0 0 000                 20 3/21 7/23 2 1 12 12 14 31

C=

La 3 – (-2por la primera)

C=

La 3 – (-9/3 por la 2)

C=

=3 x (-4/3)x(65/4)= -65

d=

La 2 -2 por la 1, y la 3 -3 por la 1

d=

=0

e=

F=

La 2 -3/2 por la 1

f=

=3x2x1=-6

La 4 -1 por la 2

20 3/21 7/23 2 1 00 11 44 13 20 3/2 1 7/23 2 1  00 01 19/34 11/31 20 3/2 1 7/23 2 1  19/3 5/3 11/3 00 00 19/3 20 3/2 1 7/23 2 1  00 00 19/30 11/32

F=

La 3 (-2/3) por la 2

F=

La 4 – (2/3) por la 2

F=

La 4 – (-1) por la 3

F=

=2 x (-3/2)x(19/3)x2= -38

12.

Utilice determinantes para calcular la inversa:

     30 25 74  0 11/3 4/3

A=

La 3 – (1/3 por la 1ra para la 3ra

A=

La 3ra – 11/6 por la 2da para la tercera

30 25 47  0 0 4/3 30 25 47 10 01 00 0 0 4/3 0 0 1

A=

=3 x 2 x ( -26/3)=-52

La matriz inversa

A-1=

La primera dividida entre 3

10 5/32 47/31/30 01 00 0 0 26/3 0 0 1 10 5/31 27/31/30 1/20 00 0 0 26/3 0 0 1 10 5/31 27/31/30 1/20 00  0 0 1 0 0 3/26 10 5/31 07/31/30 1/20 3/130  0 0 1 0 0 3/26        

A-1=

La segunda dividida entre 2

A-1=

La tercera dividida entre ( -26/3)

A-1=

La segunda menos ( -2x la tercera)

A-1=

B=

La tercera – (1/2) por la primera

200 1/211 0030 02 3 0 1 0 20 1/211 0 30 0  00 3/2 10 20 20 10 1 0 30 0  00 3/2 3/21 20 20 1 13/203 00  00 00 11/2 20 20 1 1 03 002  00 00 3/20 22/3 20 1 1 03 002  10 01 00 00 00 00 3/20 22/3 00 00 10 01

B=

La cuarta – (3/2) x la primera

B=

La tercera- (1/2) x la segunda

B=

La cuarta – (3/2) x la segunda

B=

La cuarta – (11/3) x la tercera

B=

= 2 x ( -1)x(-3/2)x(22/3)=22

Inversa

B-1=

La primera entre 2

=

10 1 1/2 30 00  1/20 01 00 00 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 3/21/2 03 00  1/21/2 01 00 00 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 1 1/220 00  1/21/3 2/30 0 00 0 00 00 3/20 22/32 00 00 10 01 10 11/220 00  1/21/3 2/30 0 00 0  2/3 00 00 10 4/3 0 0 0 22/3 0 0 0 1 10 11/220 00  1/21/3 2/3 0 0 00 0 0  00 00 10 4/31 00 00 2/30 3/22 10 1/21 20 00 1/21/3 2/3 0 0 002/11 0 00 00 10 01 00 00 2/30 3/22 

B-1=

=

La segunda – (1) x la primera

B-1=

=

Dividimos la segunda por ( -3/2)

B-1=

=

Dividimos la tercera por ( -3/2)

B-1=

=

La cuarta entre 22/3

B-1=

=

La tercera – (4/3)x la cuarta

B-1=

=

La segunda – ( -2 por la tercera)

10 1/21 00 00 1/21/3 2/3 04/30 04/11 00 00 10 01 00 00 2/30 2/11 3/22 100 010 001 000 1/31/3 2/31/3 4/32/3 2/114/11 2/11 0 0 2/3 0 0 0 1 0 0 0 3/22     10 11 10 011 10 11 10=10 11 10 001 001 10 11 10 001 10 11 1010 01 00 0 0 1001 10 11 1010 10 00 0010 0 1

B-1=

=

La primera – (1/2 por la segunda)

B-1=

=

C=

La segunda – ( -1) por la primera

C=

La tercera – ( -1) por la segunda

C=

=1x-1x1=-1

Inversa

C-1=

C-1=

Dividimos la segunda entre -1

C-1=

La primera – ( -1) x la tercera

10 11 0010 01 10 0010 0 1 10 01 0010 01 10 0010 0 1

C-1=

La primera – ( -1) x la segunda

C-1=

1. Matrices & Determinantes

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