Aplicacion de La Derivada en La Ingenieria Civil

ALUMNO

:

VARAS QUISPE RICHARD GUILLERMO -

DOCENTE

:

LIC. AVILA CARRASCO JOSE

CICLO

:

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ANALISIS MATEMATICO IV

DEDICATORIA

ESTE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN LO DEDICO A MIS PADRES: Sr. Richard Varas y Maximina Quispe A quienes agradezco por su constante apoyo e inspiración, con lo que puedo salir cada día adelante y así poder lograr culminar con éxito mis estudios superiores.

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERIA CIVIL


INTRODUCCIÓN

El presente es un trabajo de investigación, que se lleva en el quinto ciclo de la carrera de ingeniería civil en la ”UNIVERSIDAD SAN PEDRO”, en el curso de análisis matemático IV con el docente Lic. Ávila Carrasco José, quien nos motivó a investigar acerca de la Aplicación de la Derivada en Ingeniería Civil, dando a conocer sus definiciones y conceptos básicos, ejemplificándolos por medio del desarrollo de unos ejercicios y posteriormente motivando a la práctica de estos con unos ejercicios propuestos para mis demás compañeros.

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ANALISIS MATEMATICO IV INDICE

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LA DERIVADA El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del Análisis matemático. Los otros son los de integral indefinida, integral definida, sucesión; sobre todo, el concepto liminar de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Según Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de {\displaystyle f} , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto {\displaystyle x}

. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente

como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, unadiscontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

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ANALISIS MATEMATICO IV Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto altiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21. Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejora proximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

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GENERALIZACIONES DEL CONCEPTO DE DERIVADA

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:

PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:  Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.  Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.

EN ANÁLISIS COMPLEJO:  Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas.

EN ANÁLISIS FUNCIONAL:  Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales.  Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita.  Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.

EN GEOMETRÍA DIFERENCIAL:

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ANALISIS MATEMATICO IV  La Derivación un concepto de geometría diferencial.

EN TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y TEORÍA DE LA MEDIDA:  Derivada de Malliavin derivada de un proceso estocástico o variable aleatoria que cambia con el tiempo.  Derivada de Radon-Nikodym usada en teoría de la medida.

DIFERENCIABILIDAD:  Diferenciabilidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:  Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita). 

La Diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

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DERIVADA PARCIAL

En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, física matemática, etc. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes: Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como

que es

la primera derivada respecto a la variable X1 y así sucesivamente.

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,….), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

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Ejemplos

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TEOREMAS DE CASTIGLIANOS APLICADOS A VIGAS Y ESTRUCTURAS “La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”. Este es el teorema de Castigliano, llamado así en honor al ingeniero Italiano Alberto Castigliano (1847-1884), quien lo estableció. Si un cuerpo homogéneo, isotopo y elásticoestá sujeto a la acción de un sistema cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformación almacenado en él es función del sistema de cargas: w=w ( F i , M i ) Además, supondremos que los apoyos son fijos y que la función w es diferenciable. El incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma: ∆ w=

σW σW ∆ Fi+ ∆ Mi+ a √ ∆ F 2i +∆ M 2I σFi σMi

En donde: a → 0.

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Si

{ }

∆ Fi →0 ∆ Mi


ANALISIS MATEMATICO IV Cuando sobre el cuerpo solamente actúa la fuerza

∆ Fi

, el trabajo efectuado

es:

∆W=

σW ∆ F i +a ∆ F i σ Fi

Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza ∆ δi

∆ Fi

, se produce una deformación

y un trabajo: 1 W = ∆ Fi ∆ δi 2

Siempre que la carga

∆ Fi

se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este

trabajo se carga al cuerpo con el sistema F i que desarrolla un trabajo W i y δi produce una deformación en dirección de la fuerza aplicada- el trabajo de deformación en el cuerpo es:

1 W = ∆ F i ∆ δ i+ ∆ Fi δ i+W i 2

(3.1)

Por tanto, el incremento del trabajo vale:

1 ∆ w= ∆ F i ∆ δ i + ∆ F i δ i 2

(3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1) queda: σW 1 ∆ F i +a ∆ F i= ∆ F i ∆ δ i +∆ F i δ i σ Fi 2

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ANALISIS MATEMATICO IV Dividiendo entre

∆ Fi:

σW 1 + a= ∆ δi +δ i σ Fi 2

Tomando límite cuando

∆ Fi→ 0

, queda:

σW =δ i σ Fi Ya que: lim ⁡a=0 y lim ∆ δ i =0 ∆ F I →0 ∆ F i →0 Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano: “la derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza F i cualquiera, δi mide la deformación que experimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dicha fuerza.”

Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente actúa el sistema siendo el trabajo función continúa y diferencial, se cumple: ∆ w=

∆W ∆ M i +a ∆ M i ∆ Mi

Al aplicar el par

∆ Mi

, gradualmente, por la ley de clapeyron:

1 ∆ w= ∆ M i ∅i 2 Igualando ambos incrementemos de trabajo:

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∆ Mi

,

ANALISIS MATEMATICO IV σW 1 ∆ M i + a ∆ M i = ∆ M i ∅i σ Mi 2

Dividiendo entre

∆ Mi,

y tomando limites cuando

∆ Mi,→ 0

σW =∅ σ Mi i Esta ecuación corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice: “la derivada del trabajo de deformación con respecto a un par

∆ Mi,

cualquiera,

mide el ángulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”.

Ejemplo Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en voladizo.

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CONCLUSIONES

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ANALISIS MATEMATICO IV 1. El teorema de Castigliano está diseñado para aplicarlo ev vigas que están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro. 2. También se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numérica sino como una variable. 3. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas que se expresan por las funciones más o menos complejo. 4. Por derivadas parciales, mejor dicho, estimar las tasas de cambio de una variable independiente de f (x, y) son las derivadas parciales con respecto a x o y, manteniendo la otra fija.

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BIBLIOGRAFIA 1. RESISTENCIA DE MATERIALES 2 - UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI 2. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES – DR. GENNER VILLARREAL CASTRO 3. https://sites.google.com/site/usiltfmmatematicas2/3-final-re 4. https://www.youtube.com/watch?v=hiRSnDaEnik 5. https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

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Aplicacion de La Derivada en La Ingenieria Civil

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