Muchas veces, con la ayuda del sentido común, estamos derivando sin darnos apenas cuenta. Naturalmente, uno no necesita derivar en la vida diaria fuera del trabajo (y tampoco en la mayor parte de las actividades profesionales). Sin embargo las derivadas son necesarias en muchas aplicaciones prácticas en biología, mecánica, en medicina bacteriológica, etc. Especialmente el concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales. Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera). Otra es hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente. Si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos corren esa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de 10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante (velocidad promedio). otro ejemplo: quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a 120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello: Entonces planteas a = 3 = d^2x /dt^2, lo que significa que dx /dt = 3 t (la operación es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo). Será pues 120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer será x = 3/2 t2 = (3/2) 11,112 = 185 metros. Con esos datos puedes valorar si te conviene el comportamiento del auto.
Otro ejemplo de la vida real es el siguiente: Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 quetzales: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: -Se deriva la función: R’(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R’(x)=0 , -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f
f´
+
200
-
Se toma un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R ´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 quetzales. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 quetzales Solución gráfica
