Aplicaciones de las derivadas en ingeniería Electrónica y de Telecomunicaciones:
Como sabemos la Ingeniería electrónica y de Telecomunicaciones es una rama de la ingeniería, que resuelve problemas de transmisión y recepción de señales e interconexión interconexión de redes, así como la solución a problemas de circuitos de pequeña escala, así como su diseño. El término telecomunicación se refere refere a la comunicación comunicación a distancia a través de la propagación de ondas electromagnéticas. Esto incluye muchas tecnologías, como radio, televisión, teléono, comunicaciones de datos y redes inorm!ticas. "l resolver problemas de trasmisión y recepción de señales e interconexión interconexión de redes, estamos hablando de ondas# ondas# el an!lisis de las ormas de onda a través de las series de $ourier $ourier se utili%a en toda la ingeniería eléctrica, electrónica, de telecomunicaciones, de procesamiento de señales de redes. &na serie de $ourier es una serie infnita que converge puntualmente a una unción periódica y continua a tro%os. 'as series de $ourier constituyen la herramienta matem!tica b!sica del an!lisis de $ourier empleado para anali%ar unciones periódicas a través de la descomposición de dicha unción en una suma infnita de unciones senoidales senoidales mucho m!s simples. "lgunas de las "plicaciones de las Series de Fourier que se aplican a nuestra carrera son( ) "n!lisis en el comportamiento armónico de una señal. ) *eneración de ormas ormas de onda de corriente corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoidales generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas recuencias ya est!n determinadas. En cuanto a las derivadas, e integrales de línea suelen usarse para an!lisis de curvas, m!ximos y mínimos o ormas de onda y sobre todo para an!lisis de potenciales eléctricos y magnéticos en diseños de alto volta+e y antenas. El cálculo en la ingeniería en Electrónica.
abemos la utilidad que pueden tener las integrales, la integral defnida es un método r!pido para calcular !reas, vol-menes, longitudes, etc. 'e+os de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. "hora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el c!lculo integral, el lgebra y la /rigonometría sirven para estudiar los ob+etos que se mueven con velocidad constante, pero si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular se necesita el C!lculo. &na descripción rigurosa del movimiento requiere defniciones precisas de velocidad y aceleración, usando uno de los conceptos fundamentales de cálculo: la derivada.
El poder y la 0exibilidad del C!lculo hacen éste -til en muchos campos de estudio. Entre algunas de las casi infnitas aplicaciones de la derivada en el campo de la 1ngeniería Electrónica y de /elecomunicaciones, se pueden mencionar( • • • • • • • • •
•
•
• • • •
'os cambios instant!neos de una corriente eléctrica. 2ariaciones del 0u+o magnético. 2ariaciones de los campos eléctricos y magnéticos. 'as leyes de 3ax4ell 5 u compresión , requieren un amplio dominio del c!lculo dierencial 6 El an!lisis gr!fco de unciones complicadas. En la ormulación de conceptos b!sicos de Control. Conversión de energía. Circuitos Eléctricos 'as leyes del electromagnetismo en general, hacen uso de las derivadas 5'a ley de ampere, la ley de *auss, la ley de $araday, etc.6 En electrónica, hay un programa muy usado denominado 3"/'"7, dicho programa, puede ser utili%ado combinando un correcto dominio de su lengua+e de programación y métodos numéricos basados en el c!lculo, para dar origen a programas capaces de calcular, aproximar e interpolar unciones, para poder plantear la derivada en programación, todo lo mencionado se derivan del polinomio de /aylor y otros como el método de ne4ton8rapshon, etc. e puede crear un modelo de ecuaciones dierenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mec!nicas de un automóvil, y muchas aplicaciones m!s en ingeniería y ísica. $abricación de chips 5obleas de microprocesadores6 3iniaturi%ación de componentes internos. "dministración de las compuertas de los circuitos integrados. Compresión y digitali%ación de im!genes, sonidos y videos.
Puede armarse !ue el cálculo se aplica en casi todas las ramas del conocimiento ciencias Físico"#atemáticas y$ con particular %nfasis$ en las Ingenierías y profesiones anes.
En los sistemas eléctricos y en general los sistemas din!micos de par!metros concentrados e invariantes en el tiempo se pueden representar por medio de una Ecuación 9ierencial 'ineal o un istema de Ecuaciones 9ierenciales 'ineales, así que para su r!pida resolución se utili%a la /ransormada de 'aplace, pues convierte al sistema en una Ecuación "lgebraica de !cil solución. :ara encontrar respuestas or%adas de los sistemas eléctricos se utili%a el an!lisis de $ourier en su orma m!s sencilla, conocido como el método asorial y consiste en transormar las Ecuaciones 9ierenciales en ecuaciones algebraicas con coefcientes comple+os de !cil resolución.
Todo lo mencionado$ nos da a entender$ !ue si no conocemos ni sa&emos aplicar correctamente una derivada$ 'amás podríamos plantear una ecuación diferencial y por consiguiente resolver los pro&lemas mencionados anteriormente. (E)isten tam&i%n e'ercicios !ue resultan de la denición de ra*ón de cam&io de la derivada$ !ue por electromagnetismo &ásico y el uso de derivadas se resuelven$ pero ca&e destacar !ue más importante es la presencia de las derivadas en las ecuaciones diferenciales+
;ablar de aplicaciones de las derivadas en la electrónica es hablar de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en dicha rama 5pues una ecuación dierencial no es m!s que una ecuación que tiene como elementos variables independientes, dependientes y sus derivadas6, por ello, a continuación se tratar! dicho tema, específcamente( 'a solución de circuitos eléctricos tanto de corriente continua como corriente alterna. 2eamos el siguiente e+emplo de solución de un circuito
En *eneral es evidente, que la derivada aparece m!s de una ve% en cuestiones de circuitos eléctricos, a continuación enunciaremos las siguientes órmulas, en las que se puede apreciar ecuaciones dierenciales, -tiles en la solución de circuitos.
Circuitos Eléctricos.
i =
V L = L
E ( t ) = iR + L
di
( 1)
dt
VC = Q C =
1
idt C ∫
dt
∑ fem = ∑ caida de Tension
Caida de Tension : V R = iR
dQ
( 2)
E ( t ) = R
di dt
dQ dt
E ′( t ) = R
di dt
Q
+
C
= iR + L
2
+ L
d Q 2
dt
+
2
+ L
d i 2
dt
+
di dt
+
1
C
∫ idt
Q C i
C
............ Si ∃ E ′( t )
E=C1"'E 5que nacen por la aparición de ? o m!s mallas6( ,ircuitos El%ctricos.
E = 50V
L = 0.5 H C = 50 ×10 −6 F
9atos del circuito(
L
3alla@(
di1 dt
Q2
3alla ?(
C
R1 = 200Ω
R2 = 300Ω
i1 ( 0 ) = i2 ( 0 ) = 0
+ R1 ( i1 − i2 ) = 50
(3.18)
+ R2i2 + R1 ( i2 − i1 ) = 0
Q2 50 × 10
−6
+ 300i2 + 200( i2 − i1 ) = 0
0.5
9e 5A.@B6(
di1 dt
+ 200i1 − 200
− 200i1 + 500 9e 5A.@6÷@DD (
En notación operacional(
dQ2 dt
+
dQ2 dt Q2
(3.19)
= 50
50 ×10 −6
(3.20)
=0
( D + 400) i1 − 400 DQ2 = 100 − 2i1 + ( 5 D + 200) Q2 = 0
:ara hallar la ecuación dierencial en i@(
5A.?@6
∆=
D + 400
100 0
−2
− 400 D = 5 D 2 + 1400D + 8 × 10 4 5 D + 200
− 400 D = 2 ⋅ 10 4 5 D + 200
'uego ( ∆.i@ 5 Este e+ercicio se desarrolló por el método de notación operacional6.
En electrónica, la dierencia de potencial 5volta+e6, es muy utili%ada, y su defnición nos permite entender por qué la derivada
En electromagnetismo, las leyes de $araday y la de 'en%, se ormularon gracias a las derivadas, como herramientas matem!ticas muy poderosas.
'a defnición de 1nductancia 3utua , utili%a derivadas en su órmula (
"quí tenemos m!s e+emplos de aplicación ( en ecuaciones dierenciales
1. Se tiene el circuito eléctrico como en la fig. 3. Se pide allar:
a. !cuaci"n diferencial del circuito eléctrico: di Q E ( t ) = + 30 i + −3 que se puede dt 5 x 10 2
te
− 2 t
=
d Q 2
d t
+ 30
escribir
como(
dQ + 200 Q dt m1=−10, m2=−20
>esolviendo la ecuación característica( − 10
t
Be
−2
t
D e
olución transitoria(
Qh= A e
olución particular(
Q p=Ct e
+
−20
−2
+
t
t
olución completa(
− 10
t
+
−20
Be
, derivando y reempla%ando C =
en la ecuación dierencial se hallan( Q= A e
,
t
+
t 144
1 144
−2
e
t
−
D=
, 26 144
−2
2
e
>eempla%ando las condiciones iniciales, se hallan B8D.D@.
−26 2
144
t
A = ¿
D.DD@?,
'a corriente en D.@ seg es( 8D.D?F"
#.
1
ω n=
√ LC
=14.142
(
Z =30 + j 2 −
1 −3
2∗5∗10
1.Se t i ene elc i r c ui t o el éc t r i c o de l a fig. 1,c on R1 = R 2 = 10 5 Ω ,C = 1µ F ,q1 (0) = q 2 (0) = 0 .
=30− j 98
)
E = 1 0 0s i n ( t ) ( 10 t ) ,c on
Det er mi ne: ( 6 p) a . La se c ua c i o ne sdi f e r e nc i a l e sde lc i r c ui t o
Ecuaciones dierenciales R1i1
− Q2
Q1
+
C Q2
= E (t )
− Q1
=0 C (105 D + 10 6 Q1 − 10 6 Q2 = 100 sen10t
R2 i2
+
− 10 6 Q1 + (10 5 D + 10 6 )Q2 = 0
i (t ) ei 2 (t ) .
b.Lasc or r i e nt e s1
Fi g. 1
oluciones
(10 D + 10 ) ∆= 5
6
− 10 6
Ecuación ∆Q1 =
− 10 6 = 1010 D 2 + 2 ⋅ 1011 D 5 6 (10 D + 10 )
dierencial
100 sen10t 0
para
− 10 6 = 10 8 ( co$10t + sen10t ) 5 6 (10 D + 10 )
olución homogénea( >aíces de la ecuación característica( m1 = 0% m2 = −20 Q1h = C 1 + C 2 e −20t
Q@(
Q1 p = Asen10t + B co$ 10t
olución particular( reempla%ando en la −5 A = −2 ⋅ 10 %
B
= −6 ⋅ 10
olución completa( 5@6 9erivando i1 = −20C 2 e
=
C 1
− C 2 e
−5
Q1
=
C 1
+ C 2 e
−20t
+ 2 ⋅ 10
−5
se
−20t
+ 2 ⋅ 10
−20t
−4
obtiene ( co$10t + 3 sen10t )
(10 D + 10 )Q 5
9e la ecuación entonces( Q2
ecuación
, derivando y dierencial se obtiene(
6
1
− 2 ⋅ 10
−5
− 10
6
Q2
( sen10t − 3 co$10t ) , la
corriente(
, se despe+a
Q2 ,
Q1 (0) = Q2 (0) = 0 en
5@6
= 100 sen10t
( sen10t + 2 co$10t )
5?6 >eempla%ando las condiciones iniciales y 5?6, se hallan(
C 1
=
5 ⋅ 10 −5 % C 2
= 10
−5
oluciones para las corrientes( i1 = −2 ⋅ 10 −4 e −20t + 2 ⋅ 10 −4 ( co$10t + 3 sen10t ) i2 = 2 ⋅ 10 − 4 e − 20t − 2 ⋅ 10 − 4 ( co$10t + 2 sen10t )
1. Se tiene un circuito eléctrico como en la &ig. 1 al 'ue $e le aplica una ten$i"n
E (t ) = te −2t . Se pide:
(5p)
$ig. @
i (0) = 0
Q (0) = 0.01 coulom#io$
a. allar la corriente en t0.1 $eg% $i * − 2 t ' ' ' !cuaci"n diferencial: Q + 30 Q + 200 Q =t e 1+, !cuaci"n caracter-$tica:
m
2
+ 30 m + 200 =
( m+ 10 ) ( m+ 20 )=0
Qh (t )=C 1 e
−10 t
−20 t
+ C 2 e
Q p (t )= At e
− 2 t
2+,
A =
o#tiene:
1 144
−2 t
+B e
% reemplaando en la ecuaci"n diferencial $e
= 0.00694 ; B =
Soluci"n completa: 10 t Q (t )=C 1 e + C 2 e
−20
−
t
+ 0.00694
−26 2
=−0.00125
144
te
−2
t
−0.00125
−2
e
t
9erivando ( i ( t )=−10 C 1 e
−10 t
−20 t
−20 C 2 e
− 2 t
−0.01388 t e
− 2t
+ 0.0025 e
>eempla%ando las condiciones iniciales( Q ( 0 )=0.01 =C 1 +C 2−0.00125 → i ( 0 )=0 =−10 C 1−20 C 2 + 0.0025 →
C 1 + C 2=0.01125 C 1 + 2 C 2 = 0.00025
C 2 =−0.011, C 1= 0.02225
'uego
i ( t )=−0.2225 e
−10
t
− 20
e
+ 0.22
t
− 0.01388
te
−2
t
+ 0.0025
−2
e
t
i ( 0.1 ) =−0.051
b. GCu!l es la recuencia natural y la impedancia comple+a en E (t ) = 2 sen2t condiciones de régimen estacionario con H ω n=
1
=
1
√ LC √ 5 ∙ 10−3
Z c =30 + j
(
2−
=14.142
1 −3
2 ∙ 5 ∙ 10
)
j 98
=30 −
,onclusión:
En general, las derivadas, tienes m-ltiples aplicaciones en el campo de la electrónica, por el mismo motivo en que el electromagnetismo las incorpora, como herramientas matem!ticas para medir una magnitud que se origina como la variación de otra magnitud con respecto a una variable independiente. :or Ello, cuando traba+amos con magnitudes que se describen usando ecuaciones que no son del
tipo lineal, es necesario 9E>12">, pues de esta manera podemos obtener mucha inormación de dicha magnitud. En general, se ha visto, que las derivadas aparecen m!s de una ve% en numerosas leyes y órmulas, así como en el planteo de ecuaciones 5Ecuaciones 9ierenciales6, o el c!lculo de expresiones que resultan requerir el uso de derivadas, y dichas expresiones se plantean por problemas cotidianos o científcos. :or ello es importante recordar que la derivada es >"I<= 9E C"371< 1=/"=/"=E" 9E C&"'J&1E> /1:< 9E $&=C1<= , si se tiene eso claro , se puede reconocer la idea una y otra ve% y aplicarla. :or -ltimo, cabe mencionar que es imposible, imaginar una ísica sin derivadas, pues constituyen a-n, una base para las ciencias exactas y naturales.
