APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA INGENIERIA INDUSTRIAL
En ingeniería y física son el pan de todos los días. Las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automvil... todo eso son las derivadas funcionando. En ingeniería te sirven para calcular, por ejemplo! "omo varía la temperatura en un tubo cuando aumenta la presin #refrigeradores$ "uánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad constante en funcin de cmo varía su densidad al aumentar los ingredientes #una fábrica de mantequilla de maní$ "uánto tiempo le durará la pila a tu celular en funcin del cambio de consumo de corriente durante una llamada. El caso de la física es muy similar al de la ingeniería #ingeniería es como física aplicada$ pero a nivel un poco más terico; por ejemplo. La variacin de la aceleracin en funcin a la pérdida de masa y empuje en el despegue de un co%ete espacial La variacin de la cantidad de radiacin del carbono&' en funcin del tiempo cuando mides la edad de los fsiles Los corrimientos en frecuencia de la luz que llega de las estrellas en funcin de la distancia para ayudar a conocer su edad y(o distancia. )or su parte administracin es muc%o menos notable. La administracin se basa a veces en la estadística o en los datos contables para dirigir el curso de las acciones empresariales en base a los datos del pasado; por ejemplo. En funcin a la demanda de los a*os anteriores de un juguete y del crecimiento poblacional y varianza del poder adquisitivo en el a*o, determinar la produccin de cada juguete. En funcin a la cantidad de personal e+istente, rendimientos e ingresos, determinar la cantidad de posible personal a contratar, para que éste sea sustentable uc%as veces, con la ayuda del sentido com-n, estamos derivando sin darnos apenas cuenta. i sabemos por ejemplo que los campeones de &// metros lisos corren esa distancia en unos &/ segundos, al calcular la velocidad promedio de &/ metros por segundo #01 2m por %ora$ estamos %aciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante #velocidad promedio$. 3n ejemplo! quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 0 metros por segundo cada segundo. )ero te
interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a &4/ 2m(%, y el tiempo que necesitas para ello! Entonces planteas a 5 0 5 d64+ (dt64, lo que significa que d+ (dt 5 0 t #la operacin es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo$. erá pues &4/ 2m(% 5 &4/7 &///(01// 5 07 t 8889 t 5 '//(01 5 &&,&& segundos, y el espacio que %ace falta recorrer será + 5 0(4 t64 5 #0(4$ &&,&&64 5 &: metros. "on esos datos puedes valorar si te conviene el comportamiento del auto. En este ejemplo se %an utilizado las derivadas en sentido inverso. 3n ejemplo de uso de derivadas estrictas se tendría si te dieran el espacio que se necesita recorrer y el tiempo y quisieras averiguar la aceleracin de arranque, para comparar con otros modelos por ejemplo.
oc2joel! 3n ejemplo! quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 0 metros por segundo cada segundo. )ero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a &4/ 2m(%, y el tiempo que necesitas para ello! Entonces planteas a 5 0 5 d64+ (dt64, lo que significa que d+ (dt 5 0 t #la operacin es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo$. erá pues
&4/ 2m(% 5 &4/7 &///(01// 5 07 t 8889 t 5 '//(01 5 &&,&& segundos, y el espacio que %ace falta recorrer será + 5 0(4 t64 5 #0(4$ &&,&&64 5 &: metros. ?o lo e+plico así! se utilizan frmulas de @ísica que se ocupan de la distancia, velocidad, aceleracin en una dimensin. La frmula es la siguiente para nuestro caso ! &$A5AoB at Conde A es la velocidad final, DDAoDD la velocidad inicial , DDa DDes la aceleracin y DDtDD el tiempo, pero como no %ay velocidad inicial, entonces la frmula se reduce a! A5 at a%ora A que es la velocidad final es la derivada d+(dt, es decir A5d+(dt y en el ejemplo es &4/ 2m(%, mientras que DDaDDes la aceleracin y vale 0 metros por segundo al cuadrado. )ero al e+aminar el ejemplo nos damos cuenta que %ay dos tipos de medida, es decir 2m(% y metros por segundo al cuadrado, entonces tenemos que utilizar una misma medida y el standard es el sistema internacional, en nuestro caso m(s, por lo tanto convertimos a una sola medida de 2m(% a metros por segundo #m(s$ de la manera siguiente! #&4/ 2m(%$5#&4/,/// m(%$#%(1/ min$#min(1/s$ cancelando términos &4/,/// m(01// s$5 00.00 m(s. Es decir de que A5d+(dt500.00. >eemplazando en la frmula &$ A5at, o usando derivadas! d+(dt5at #es equivalente$ 00.005 at, pero DDaDDes dado por el ejemplo igual a 0(s 64, entonces! 00.005 0t, por lo tanto t5&&.&&s, este es el tiempo. )ara la distancia aplicas la siguiente frmula! 4$ +5AotB#&(4$at64, pero como no %ay velocidad inicial, se reduce a! +5 &(4 at64, reemplazando! +5 &(4#0$#&&,&&$64 +50(4#&40.'04&$ +5 &: m. Lo más importante es recordar que se tienen que convertir a una sola medida standardi no los resultados son F<"=>>E"G=. Aolviendo a las derivadas. La aceleracin es la derivada de la A o sea!
dA(dt, pero arriba %emos demostrado que A5d+(dt, sustituyendo en! +5&(4 at64, produce +5&(4 ##d+(dt$(dt$t64, pero # d+(dt$dt5a y a50 en el ejemplo y de esta manera venimos a lo mismo, pero utilizando derivadas, es decir! +5 &(4#0$#&&,&&$64 , donde a #aceleracin$50, y el tiempo! t64 5#&&.&&$64 >esumen .8 + es la distancia, v es la derivada de la distancia o sea d+(dt y la aceleracin es la derivada de la velocidad #d+(dt$(dt, quiere decir de que la aceleracin es la segunda derivada de la distancia +. HIF= ? FELHGFA= i una funcin continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico má+imo relativo, aunque com-nmente se le llama solo má+imo. )or el contrario, si una funcin continua es decreciente en cierto intervalo %asta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. 3na funcin puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. EG=C= )H>H "HL"3LH> HIF= ? FFGE>F= CE LH )>FE>H CE>FAHCH, 3GFLFJHC= )H>H 3FE>H CE>FAHCH GHKFE< "=FGE>F= CE LH E3FAHCH
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. e basa en que en un má+imo relativo, la concavidad de una curva es %acia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es %acia arriba y la segunda derivada es positiva. "alcular la primera y segunda derivadas Fgualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin. ustituir las raíces #el valor o valores de I$ de la primera derivada en la segunda derivada. i el resultado es positivo, %ay mínimo. i la segunda derivada resulta negativa, %ay un má+imo. i el resultado fuera cero, no se puede afirmar si %ay o no un má+imo o mínimo. ustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la funcin original, para conocer las coordenadas de los puntos má+imo y mínimo. GE=>EH CE K=LJH<= El Georema de Kolzano afirma que si una funcin es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los e+tremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces e+iste al menos una raíz de la funcin en el interior del intervalo En palabras más simples, lo que viene a decir el teorema de Kolzano es lo siguiente! uponiendo que el eje de abscisas #eje +$ fuese un río, y el segmento #a, b$ un camino que %emos de seguir! si en el punto a, la gráfica está en un lado del río #tiene valor negativo$ y en el punto b está en el otro lado del río # tiene valor positivo$ y la gráfica es continua en ese segmento, lgica y obligatoriamente %a de cortar por lo menos en un punto con el eje + #el río$. Cemostracin uponer que f#a$ M / y f#b$ 9 / #en caso contrario se demuestra de manera análoga$ ea J& 5 #a B b$(4 i f#J&$ 5 /, ya estaría con c 5 J&, sino %ay dos posibilidades, f#J&$ 9 / y f#J&$ M/ i f#J&$ 9 /, entonces I& 5 a e ?&5J& i f#J&$ M /, entonces I& 5 J& e ?& 5 b Georema de Neierstrass
Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema! Oiptesis! i una funcin f es continua en un intervalo cerrado Pa,bQ entonces Gesis! Oay al menos dos puntos +&,+4 pertenecientes a Pa,bQ donde f alcanza valores e+tremos absolutos, es decir para cualquier "orolario! El conjunto imagen de la funcin f está acotado, es decir! Fmf 5 f#Pa,bQ$ 5 Pf #+&$,f #+4$Q donde m5f#+&$ simboliza el valor mínimo absoluto y 5f#+4$ el valor má+imo absoluto Cemostracin! )or %iptesis, f es continua en Pa,bQ 59 por el lema de Neierstrass f está acotada en Pa,bQ, es decir, e+isten m y n tales que m M5 f#+$ M5 n para todo + perteneciente a Pa,bQ. La demostracin se realiza por reduccin al absurdo. )rimero demostraremos que f tiene má+imo absoluto en Pa,bQ. Rueremos probar que e+iste +& perteneciente a Pa,bQ ( f#+&$ 5 n. upongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo + perteneciente a Pa,bQ f#+$ S n, f#+$ M n. ea g una funcin au+iliar! g#+$5&(#n 8 f#+$$. g es continua en Pa,bQ por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n 8 f#+$ S /. )or el lema de Neierstrass, g está acotada, es decir, para todo + perteneciente a Pa,bQ Georema de >olle y Georema del Aalor medio La derivada de una funcin en un punto es la pendiente de la recta tangente a la funcin en ese punto. La ecuacin de la recta tangente a una funcin en el punto H# a , f # a $ $ viene dada por la e+presin! y T f # a $ 5 f U # a $ P + T a Q Cos rectas paralelas tienen la misma pendiente. i en un punto de la gráfica de una funcin se produce un cambio brusco de direccin # Vun picoW o Vpunto angulosoW$, la funcin no es derivable en dic%o punto. i f es una funcin continua en P a , b Q, derivable en # a , b $ y además f # a $ 5 f # b $, entonces e+iste al menos un punto c X # a , b $ en el que f U # c $ 5 /. Fnterpretacin geométrica
i se cumplen las %iptesis del teorema, e+iste al menos un punto c X # a , b $ en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas #es decir, es la recta y 5 f # c $ $. @unciones "recientes y Cecrecientes
En la representacin gráfica anterior puede observarse que la funcin f es! "reciente en los intervalos , Cecreciente en los intervalos ,
, ,
Gambién se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la funcin f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la funcin decrece.
ea f # + $ una funcin, no resulta complicado verificar que en la regin donde f YY# + $ 9 / implica que la funcin primera derivada f Y # + $ es una funcin creciente y esto significa que la curva en dic%a regin es cncava %acia abajo
#como el segundo gráfico$. ? si se cumple que f YY# + $ M /, significa que la funcin primera derivada es decreciente y por lo tanto es cncava %acia arriba en dic%a regin #como en el gráfico de la izquierda anterior$
H partir del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por ejemplo, la formula del área de un triángulo b+%(4, sali a partir de calcular el área bajo la recta de un triángulo... H%ora, e+iste otra cuestin fundamental, que es el %ec%o de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separacin, divergentes de fluidos, etc.; esto es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de termodinámica, y de química... )rácticamente todas las frmulas que se conocen surgen a partir de ecuaciones diferenciales, y de condiciones; por ejemplo en análisis de se*ales ya que una se*al tiene una amplitud y una frecuencia, act-an como funciones de senos y cosenos, y pues obvio para analizarlas te tienes que meter en una ecuacin diferencial... En una ingeniería se ocupan para analizar cuestiones técnicas de cada rama que estudies, por ejemplo, en electrnica pues con la ley de o%m, en química con las leyes de los gases ideales, en ingeniería civil se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos fle+ionantes, en mecánica se ocupan para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y e+ternas que act-an en un mecanismo... En ingeniería te sirven para calcular, por ejemplo! "omo varía la temperatura en un tubo cuando aumenta la presin #refrigeradores$ "uánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad constante en funcin de cmo varía su densidad al aumentar los ingredientes #una fábrica de mantequilla de maní$. "uánto tiempo le durará la pila a tu celular en funcin del cambio de consumo de corriente durante una llamada. El caso de la física es muy similar al de la
ingeniería #ingeniería es como física aplicada$ pero a nivel un poco más terico; por ejemplo. La variacin de la aceleracin en funcin a la pérdida de masa y empuje en el despegue de un co%ete espacial. La variacin de la cantidad de radiacin del carbono&' en funcin del tiempo cuando mides la edad de los fsiles. Los corrimientos en frecuencia de la luz que llega de las estrellas en funcin de la distancia para ayudar a conocer su edad y(o distancia. En este "apítulo & te proponemos ejercicios tratando de que valorices la derivada de una funcin en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de variacin o tasa instantánea de variacin de una funcin. En distintas disciplinas como Electricidad, Electrnica, Germodinámica, ecánica, Economía, Kiología, etc., resulta de importancia fundamental no slo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra, sino conocer cuán rápido se produce esa variacin. )uedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares. )ensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura. Es claro que la temperatura corporal será funcin del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la funcin será decreciente al %aber pérdida de calor del cuerpo %acia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos. in embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal. La disminucin podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego enlenteciéndose, ocurrir e+actamente lo contrario, etc. Ce toda esa informacin dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene a-n disponible para salvar la vida de la persona, y esa informacin nos la dará justamente la derivada de la funcin en cuestin. Ce %ec%o muc%as cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra. H título de ejemplo! la rapidez instantánea de un mvil se define como la derivada de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como derivada de la velocidad ; la fuerza electromotriz inducida , en Electrotecnia , como la derivada del flujo del campo magnético, todas ellas respecto de la variable tiempo #t$. El ángulo de desplazamiento del eje de una viga , como derivada de la funcin Velástica de la vigaW; la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica Hna "ol Oerrera Oéctor )atritti &Z Hplicaciones de la Cerivada T Fntroduccin8 "apítulo & respecto del tiempo ; el gasto instantáneo , en Oidráulica , como derivada del volumen respecto del tiempo, etc. Hl respecto resulta importante que %ayas entendido con claridad el significado de lo que en el curso terico %as llamado VFnterpretacin geométrica de la derivadaW donde %as demostrado que la derivada de una funcin f en un punto +/ # $#+ d+ df o $ representa el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico representativo de la funcin en el punto P # $Q + +f / , / Este resultado no es una mera curiosidad geométrica sino que su alcance es relevante. Cetengámonos en este punto para ayudarte a recordar. "onsidera una funcin f de variable +. En la figura #&$ tenemos parte del gráfico representativo de la funcin y sea +/ el punto del dominio que %emos elegimos para trabajar.
>ecuerda que llamamos VpuntoW al valor +/ y no al punto geométrico ). Fncrementamos a%ora nuestra variable + en un valor % arbitrario y pasamos al nuevo punto +/ B % . Hna "ol Oerrera Oéctor )atritti 4/ Hplicaciones de la Cerivada T Fntroduccin8 "apítulo & El incremento % puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo %emos tomado positivo moviéndonos en consecuencia %acia la derec%a de +/. Aeamos que %a ocurrido con la funcin f. En el punto +/ el valor funcional es f#+/$ y en el punto +/ B % es f #+/ B %$. La diferencia f #+/ B %$ 8 f#+/$ indica en valor y signo la variacin del valor funcional provocado por el incremento % de la variable +. H esa diferencia se le llama Vincremento de la funcin en el punto +/ correspondiente al incremento %W En la figura #&$ este incremento es la medida del segmento R>. "onsideremos a%ora el cociente de ambos incrementos, vale decir! %$ f #+%$ f #+o B [ o H este cociente se le denomina Vcociente incremental en el punto +/W. Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez promedio de variacin de la funcin en el intervalo P+/, +/ B %Q. i disminuimos el valor del incremento % iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variacin de la funcin, en general diferentes #e+cepto si la funcin es del tipo f#+$ 5 \+ en cuyo caso el cociente incremental dará siempre constante e igual a \$. i esa sucesin de valores del cociente incremental tiene límite finito para % / %abremos obtenido la rapidez instantánea de variacin de la funcin en +/. Es al valor de ese límite que %emos llamado Vderivada de la funcin en el punto +/W Cesde el punto de vista gráfico %as visto que el cociente incremental es la tangente trigonométrica del ángulo R)> de vértice ), %ec%o que deduces de aplicar simplemente la definicin trigonométrica de tangente en el triángulo )>R y que te permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficiente angular de la recta )R. El paso al límite que %as efectuado posteriormente te permite entonces concluir que el n-mero real que %as obtenido como derivada de la funcin f en el punto +/ no es más que el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico en el punto ). Cebes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una funcin f en un punto +/ obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico de la funcin en el punto #+/ , f#+/$$ , pero la informacin que %as conseguido no es meramente una informacin geométrica. Esta informacin te permite obtener la
rapidez con que está variando la funcin en el punto considerado. "uanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto, más rápido varía la funcin en él, y esta informacin es de vital importancia en una variedad enorme de problemas de distintas disciplinas. Gen presente que a la %ora de resolver problemas de la realidad, aplicando modelos funcionales, nuestras funciones f representarán magnitudes o cantidades que varían en funcin de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará nuestra variable +. )or ejemplo si estás estudiando la variacin en el tiempo de la energía E dada por un dispositivo de alg-n tipo, nuestra funcin f representará la funcin energía E, nuestra variable + representará al tiempo t y nuestras f#+$ representarán los valores de E #t$. i calculas la derivada en alg-n instante, %abrás obtenido con qué rapidez está cediendo energía el dispositivo en ese instante medida , por ejemplo , en %ora "alorías, si esas son las unidades con que estás trabajando , digamos , en un problema de Germodinámica. Esa derivada que %as calculado no es otra cosa que la VpotenciaW del dispositivo en ese instante. Cespués de definir derivada en un punto %as visto el concepto de funcin derivada. H esta nueva funcin, asociada a tu funcin original, debes concederle toda la importancia que realmente tiene. upongamos que %as representado gráficamente cierta funcin f representativa de cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de otra magnitud, por ejemplo el tiempo. La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin sobre lo que está ocurriendo en el fenmeno. "onocerás cuándo la magnitud en cuestin aumenta y entre qué instantes, cuándo disminuye, cuando se producen sus má+imos y(o mínimos y cuáles son sus valores. )ero puedes obtener a-n más informacin cualitativa si imaginas como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva. )odrás concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la VrapidezW con que la funcin aumentaba o disminuía sus valores , podrás decidir eventualmente que tu funcin aumenta cada vez más rápido %asta cierto instante a partir del cual si bien sigue aumentando lo %ace cada vez más lentamente # punto de infle+in de la gráfica$ o a la inversa. Gendrás entonces un panorama muc%o más completo del desarrollo del fenmeno con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin derivada. Es claro que si obtuvieras la e+presin analítica de la funcin derivada podrías obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso la representacin gráfica de la funcin derivada te permitir ía tener una idea rápida y más acabada de cmo transcurre el fenmeno en estudio. Esperamos que todo lo dic%o te %aga valorar, en su justa medida, el aprender a interpretar gráficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente contienen. En muc%os fenmenos, incluso, no es posible obtener una e+presin analítica de la magnitud a estudiar, recurriéndose entonces a instrumentos adecuados para obtener su representacin gráfica, procediéndose luego a la interpretacin de la misma.
