APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA.
INTRODUCCION
Utiliza Utilizando ndo el concept concepto o de derivada derivada vamos a estudia estudiarr algunas algunas propiedade propiedades s de carácter local de las funciones. funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de culti cultivos vos que sea sea la más aprop apropiad iada a para para obten obtener er el mayor mayor aprov aprovec echam hamien iento. to. Algunas veces un un problema problema de esta esta naturaleza naturaleza puede puede asociarse asociarse de tal manera manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo cálculo infinite infinitesima simal. l. Los introdu introductor ctores es fueron fueron Newton Newton y Leibnit Leibnitz, z, deforma deforma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIXno se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es laque usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer
DESARROLLO DEL TEMA LA DERIVADA
Si la ley de movimiento de una partícula puede ser expresada a través de la
fórmula
, esto quiere decir que en cada momento
ubicar a dicha partícula en el eje partícula 1
, nos es posible
, así, si quiero saber donde se encuentra la
después de haber empezado el movimiento tengo que hacer la
siguiente operación:
, esto significa que 5 metros es lo que se ha
desplazado el vehículo un segundo después de haber empezado a desplazarse. De este modo podemos hacer esto para cualquier valor de . Ahora, nos plantearemos resolver el siguiente problema: Encontrar la velocidad
instantánea de un vehículo que se desplaza siguiendo la ley
donde
representa el desplazamiento del vehículo en un tiempo
Figura 1:
Podemos hacer esto para cualquier intervalo de tiempo, de este modo podemos representar una posición en un tiempo dado como un punto en el plano de la siguiente manera: Tomemos dos rectas que se cortan en ángulo recto en el plano; el punto de intersección de estas rectas lo llamamos origen, a la recta horizontal la llamamos eje del tiempo
y a la recta vertical la llamamos eje de posición
.
Dividamos ambas rectas en varios segmentos de la misma longitud. Ahora tomemos el caso anterior en el que para
,
, este instante en
el tiempo y el espacio queda representado por el punto formado por el punto formado por la intersección de las rectas horizontal que pasa a una altura 5 en el eje de las posiciones y la recta vertical que pasa por el
(ver figura 1). Si esto
lo hacemos para todo tiempo, notaremos que obtendremos una curva en el plano que llamaremos gráfica de la función.
Vale la pena hacer hincapié aquí, en la construcción hecha hasta este momento. 1. Hemos representado el tiempo por una recta y cada segundo que transcurre, por un punto de tal recta. 2. El desplazamiento en línea recta del vehículo lo representamos como una recta que corta al eje del tiempo formando un ángulo recto y cada punto de este eje representa la distancia decorrida por el objeto. 3. Un punto del plano determina una posición del vehículo para cada tiempo determinado. 4. La gráfica de la función representa el recorrido del vehículo en el tiempo. Esto significa que una curva representa la evolución en el tiempo de una partícula. 5. También se debe notar lo siguiente: Estamos estudiando una partícula en movimiento, es decir, una partícula material determinada en un espacio y un
tiempo
dado.
Espacio,
tiempo,
materia
y
movimiento,
todos
independientes entre si, pero siempre están unidos. No existe materia que no ocupe lugar o que se encuentre estática en el espacio y el tiempo.
Figura 2:
Prosigamos, más abajo seguiremos sacando conclusiones de todo esto, pero para ello tenemos que seguir avanzando en la solución del problema. Recordemos que el problema que queremos resolver, es encontrar la velocidad de una partícula en un tiempo dado, es decir, encontrar su velocidad instantánea. Pero, ¿ qué es la velocidad instantánea? ¿ cómo se determina?¿ geométrcamente (abstracto), qué es la velocidad instantánea? La velocidad instantánea es la velocidad que lleva la partícula en un tiempo determinado. Para fijar ideas, consideremos una partícula que se mueve en línea recta siguiendo la ley dictada por la siguiente tabla.
2
1
4
2
6
3
8
4
10 5 12 6 14 7 16 8 Notemos que el grafico de esta tabla es una línea recta. La velocidad está dada
por
la
expresión
si ,
tomamos en
por tal
ejemplo la
los
puntos
velocidad
es
, este cociente es el mismo para cualesquiera puntos de la recta. A los movimientos cuya gráfica asociada es una línea recta que pasa por el origen, se les llaman movimientos rectilíneos uniformes (
MRU ).
La
velocidad tiene una interpretación geométrica:
Nombremos
al ángulo formado por la recta y el eje .
Figura 3:
Podemos considerar el eje como el cateto adyacente de un triangulo rectángulo con una longitud
con un cateto opuesto de longitud igual a
(ver figura 3),
esto significa que la velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, porque la tangente del ángulo
se define como
. A la tangente del ángulo de
inclinación de la recta también se le llama pendiente y la denotamos con la letra Notemos que mientras más inclinada se encuentre una recta, mayor es el valor de la pendiente, ya que esta mide la inclinación de una recta. Todo lo anterior es valido para un movimiento rectilíneo uniforme pero, ¿ cómo
utilizo lo anterior para determinar la velocidad instantánea de
?
Observemosmos lo siguiente: La inclinación de la gráfica del movimiento de un vehículo determina que tan rápido se desplaza esta. Para medir la inclinación de la gráfica, tendremos que medir la inclinación de la recta tangente a ese punto. Entonces, podremos decir que la velocidad instántanea de un movimiento en un tiempo dado
, está dada por la pendiente del recta tangente, ya que esta
mide que tan inclinada se encuentra una gráfica. (ver figura 4).
Figura 4:
Para determinar la pendiente de la recta tangente en
emplearemos un
método inventado por Pierre Fermat. Lo notable de este método es que él empieza a hacer uso del movimiento en las matemáticas.
Primero tomemos el punto de la gráfica
, en el cual se desea
encontrar la pendiente de la recta tangente, en nuestro caso punto de la gráfica
y cualquier otro
. A la recta que pasa por ambos puntos la llamamos
recta secante.
Ahora hagamos que se aproxime a (notación:
. A este proceso lo llamamos tiende a
). Pedir todo esto es equivalente a pedir que el punto
sobre la gráfica, de tal modo que se aproxime a formada por
y
se mueva
¡ sorpresa! la recta secante
tenderá a la recta tangente en
esto significa que la
pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente cuando ( tiende a
). (ver figura 5).
Figura 5:
Al proceso de encontrar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función en un instante dado lo llamamos derivar. Aquí describiremos con más detalle todo lo anterior. La pendiente de la recta (ver figura 6)secante está dada por:
Figura 6:
Según lo anterior, el límite de la pendiente de la recta secante es la pendiente de la recta tangente cuando
. Todo lo anterior se escribe de la siguiente
manera:
A
la llamamos la derivada de
con respecto a en
En virtud de lo arriba señalado, la derivada no solamente mide la pendiente de la recta tangente, si la función derivada en el instante
representa el desplazamiento de una partícula, la determina la velocidad instantánea cuando
Como ejemplo, determinaremos la velocidad de la partícula que sigue la función
de desplazamiento
Ahora si
Esto significa que la partícula
lleva una velocidad de 10 metros sobre segundo después de 1 segundo de movimiento.
PRIMERA DERIVADA:
La primera derivada es la recta tangente a la curva. Es decir que podemos saber la pendiente de una curva en cualquier punto. En física la primera derivada de una función posición (con respecto al tiempo) nos da la velocidad.
SEGUNDA DERIVADA
Con la segunda derivada podemos saber intervalos de concavidad y puntos de infexión. En física cuando se deriva una función velocidad con respecto al tiempo obtenemos la aceleración. Todo esto es importante en el trazado de curvas, problemas de física, problemas de máximos y mínimos etc..
Prueba de la primera derivada Funciones crecientes y decrecientes
. Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo.
En la figura de la izquierda se esboza la interpretación
geométrica
del
teorema:
"Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c , y se observa que f '( x )>0 para x
c como
'( x )<0 para tiene a
su extremo derecho) y
x>c
c como
f
(en algún intervalo que
su extremo izquierdo); en la
parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c , y se observa que x
f '( x )<0
algún intervalo que tiene a
su extremo derecho) y
f '( x )>0
(en algún intervalo que tiene a extremo izquierdo)
para
c como
para x>c
c como
su
Procedimiento Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera: 1. Se halla la derivada de la función: f '( x ) 2. Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '( x ) = 0 o para los cuales f ' no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valores x en los que ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f es creciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace la gráfica correspondiente.
Soluciones
x
f ( x )
f '( x )
Conclusión f
0 +
f tiene
decrece
un mínimo relativo f
crece
APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA(A MAXIMOS Y MINIMOS)
•
En la resolución de problemas en el que se debe determinar el máximo o mínimo de alguna expresión debe tomarse en cuenta los siguientes pasos: Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
•
•
Hacer un dibujo cuando sea necesario ¬ Asignar una letra a las ¬ cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
•
Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
•
Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
•
Obtener la primera derivada de esta función para ¬ determinar los valores críticos.
•
Comprobar, utilizando el criterio de la ¬ primera derivada o el de la segunda derivada,
si
los
valores
críticos
son
máximos
o
mínimos.
Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones ¬ dadas en el problema •
Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
•
En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas
•
Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante.
•
Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.
•
El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.
•
Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego, i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b). ii) Si f’(x)f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.
•
Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica. Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento. En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones: Definición. Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando
la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)
Definición. Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número.
Supongamos que existe números b y c tales que b
f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)
f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o
viceversa. Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión. Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.
Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos
Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos: a).- Si f´(a)=0 y b).- Si f´(a)=0
y
f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a. f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
Rapidez de cambio
La expresión
f ( x +∆ x) x ∆
− f ( x)
representa el cuociente entre la variación de
la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la
función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.
Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.
v
=
lim
f ( x +∆ x ) − f ( x )
∆ x →0
∆t
=
dx dt
Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.
Ejemplo:
Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.
Solución:
Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:
V = a3
entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a
2
Ejemplo:
Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?
Solución:
Llamando h
a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede
expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: despejando h se tiene:
V = π r 2 h
V
h = dh
en que π y r son constantes, luego derivando resulta:
r 2
π
=
dt
1
dV 2
r
π
dt
pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:
dh
=
1 12,56
dt
0,050
= 0,0 398
m / min
Máximos y mínimos de una función
Decimos que f(c) es el valor máximo absoluto de una función f en
Definición:
un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x)
x
∈
(a,b). De manera
análoga se define un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.
Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo
Teorema:
cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]
Extremos de una función.
f(x)
A
C E
D
F
B
X
a
b
c
d
e
f
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores máximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos absolutos.
Los puntos D, F corresponden a mínimos en
su entorno y por lo tanto son mínimos relativos, análogamente E que corresponde a un máximo relativo.
Definición
Decimos que f(c) es un máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), c + ε).
x
∈
(c – ε,
Decimos que f(c) es un mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c),
x
∈
(c – ε,
c + ε).
Teorema
Sea f(x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este intervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f´(c) = 0 o bien no existe.
Demostración
Sea f(c) un valor máximo relativo de f, y supongamos que f ´(c) existe. Entonces existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que
x ≠ c en este
intervalo:
f(x) - f(c) ≤ 0
(1)
Cuando x
∈
(c – ε, c):
x–c <0
(2)
De (1) y (2) se sigue que
x
Por consiguiente:
f ´(c )
En forma análoga,
x
De (1) y (4):
f ( x )
∈
=
∈
(c – ε, c)
lim
f ( x ) x
x →c
(c, c + ε)
− f (c )
x −c
≤
f ( x )
(3)
− f (c )
0
f ( c)
x −c
≥
−c
(4)
−
≥
0
0
x–c >0
x
∈
(c, c + ε) y f ´(c) ≤ 0
Puesto que por hipótesis f ´(c) existe, tenemos que de f ´(c) ≤ 0 y 0 ≤ f ´(c), se tiene que f´(c) = 0 o bien no existe. La demostración es análoga cuando f(c) es un mínimo relativo de f.
Un número c para el cual una función f está definida y para el cual f´(c) = 0 o f´(c) no existe, se llama un número crítico para f.
Criterio de la segunda derivada para cálculo de los extremos.
Así como la primera derivada mide la rapidez de variación de la función, la segunda derivada mide la rapidez de variación de la primera derivada, cuando la segunda derivada es positiva para un número c, significa que la primera derivada es creciente.
Si f´(c) = 0 y f´´(c) > 0, entonces f ´(x) crece, de valores negativos a valores positivos cuando x crece al pasar por c, es decir, f(c) es un mínimo relativo de f. En forma semejante, si f ´(c) = 0 y f´´(c) < 0, entonces f ´(c) decrece de valores positivos a valores negativos cuando x crece al pasar por c; esto significa que f(c) es un máximo relativo de f.
Supongamos que f´ y f´´existen en todo punto en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y sea f´(c) = 0. Entonces:
1. Si f´´(c) < 0, f(c) es un máximo relativo de f. 2. Si f´´(c) > 0, f(c) es un mínimo relativo de f.
Ejemplo:
Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la función indicada: f(x) = x3 – 6x2 – 15x
Solución:
f´(x) = 3 x 2 – 12 x – 15 = 0
f´´(x) = 6x – 12
⇒
⇒
Puntos críticos:
f ´´(-1) = -18 < 0
⇒
x 1 = -1 y x2 = 5
en x1 = -1 se tiene un máximo de
f.
⇒
f´´(5) = 18 > 0
⇒
en x2 = 5 se tiene in mínimo de f.
Ejemplo:
Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un mínimo?
Solución: L
x
L-x
Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá x/4, con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá: r
=
L − x 2π
⇒
. Las áreas, por lo tanto, medirán: 1
Acuadrado =
2π r = L – x
16
x 2
y
Acírculo =
( L − x ) 2 4 π
El área total será: Atotal =
La dA dx
1 16
x 2 +
primera =
1 x 8
−
( L − x ) 2 4 π
derivada
del
área
total
respecto
de
x,
resulta:
1 ( L − x ) 2 π
Igualando a 0 y despejando el valor de x, queda: x
=
16 L 2 ( 2 π + 8 ) 2
La segunda derivada del área total respecto de x queda:
d A dx
2
=
1 8
+
1 2 π
>
0
lo que
nos indica que es positiva
x, en consecuencia, el valor del área es un mínimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm
⇒
x = 11,2 cm
