APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES IN TEGRALES A LA ECONOMIA El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de inte integr grac ació ión n (b), (b), meno menoss la misma misma inte integr gral al eval evalua uada da al limit limite e más más bao bao de integración (a)! "uesto que #c$ es com%n a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción&
'e esta forma, el área bao de una función desde a asta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a acia b, como se aprecia en el siguiente ráfico&
Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la econom*a puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla! 'e esta esta forma, forma, las integr integrale aless defini definida dass permit permiten en obtene obtenerr valor valores es numér numérico icoss mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones! Entr Entre e las las func funcio ione ness que que se util utili ian an en econ econom om*a *a para para ace acerr mode modelo loss de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta de demanda!
1. Func Funció ión n de de ofer oferta ta una empresa que fabrica vende un determinado producto utilia esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el
mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad! "odemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en alg%n per*odo espec*fico!
uanto maor es el precio, maor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer! .l reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida! Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente! /i p representa el precio por unidad q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la le que relaciona p q se la denomina función de oferta a su gráfica se la conoce como gráfica de ofer ta.
. esta función la simboliamos p 0 o(q) donde sabemos que p es el precio unitario q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado!
!. Función de de"anda
1a empresa utilia esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda! En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del art*culo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio maor por adquirirlo! 1a demanda disminue al aumentar el precio por eso esta es una
función decreciente como lo observamos en los eemplos gráficos! "odemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado per*odo! /i el precio por unidad de un producto está dado por p la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la le que los relaciona se denomina función de demanda! . su gráfica se la llama gráfica de demanda!
. esta función la simboliamos p 0 d(q) donde sabemos que p es el precio unitario q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado!
#. Su$era%it de Con&u"idore& ' Productore& El mercado determina el precio al que un producto se vende! El punto de intersección de la curva de la demanda de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio! En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender! /in embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un art*culo que el precio de equilibrio! El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del art*culo los maores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un aorro de esas personas se llama el superávit de los consumidores! El área bao la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q2 art*culos! El área sombreada bao la recta 0 p2 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el
precio p2 de equilibrio! El área entre la curva la recta representa el superávit de los consumidores!
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p 0 d(q) p 0 p2 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma&
'onde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 2 demanda de equilibrio q2! "ara ver dicas aplicaciones, se tiene los siguientes eemplos& 3! 1a curva de demanda está dada por la le d(x) 0 42 - 2,25x6! Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades! /olución& omo la cantidad de unidades es 62, su precio asciende a p 0 d(62) 0 42 - 2,25 626 0 65! 7esolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta&
0
0
0 862
1a ganancia de los consumidores asciende a 9 862 si el nivel de venta asciende a veinte unidades!
6! alcule el exceso de oferta el exceso de demanda para las curvas de demanda oferta dadas& Función de demanda& p 3 (q) 0 3222 - 2,: q6! Función de oferta& p6 (q) 0 :6q /olución& El exceso de oferta el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica&
1a oferta coincide con la demanda en (q 2, p2) , es decir,& p3 (q) 0 p6 (q) ; 3222 - 2,:q6 0 :6q ; - 2,:q6 - :6q + 3222 0 2 ; q3 0 - 364 < q6 0 62 omo los valores de las abscisas corresponde a n%mero de art*culos ofrecidos o demandados, q 2 0 62 , por lo tanto, p2 0 =:2! El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p 3 (q) la recta p 0 =:2, entre 2 62, o sea,&
0 88,88
0
0 63
El excedente de demanda asciende a 96388,88 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p 0 =:2 p 0 :6q entre 2 62, o sea&
0 (=:2!62 - 63!626) 0 =:22
0
"or lo tanto, el superávit de oferta alcana 9=:22! 8! /uponemos que durante los primeros cinco a>os que un producto se puso a la venta en el mercado la función f(x) describe la raón de ventas cuando pasaron x a>os desde que el producto se presentó en el mercado por primera ve! /e sabe que
si
!
alcule las ventas totales durante los primeros cuatro a>os! /olución&
'ebemos plantear ?enta total 0
?enta total 0
0
0 3=222
"or lo tanto, las ventas totales durante los primeros cuatro a>os ascienden a 3=222 unidades!
(. E)cedente de* Con&u"idor ' e* E)cedente de* Productor @na función de demanda " 3 0 f 3(A) como se observa en el gráfico, representa los diferentes precios que el consumidor está dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien! /i el mercado está en equilibro en un punto como (A 2,
"2), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de " 2! El beneficio total para los consumidores está representado por el área sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor! Esta área equivale a la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar lo que realmente paga!
@na función de oferta " 6 0 f 6(A) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes
cantidades de un bien será
ofertado! /i el equilibrio de mercado sucede en (A 2, "2), los productores que ofertan a un precio menor a " 2 se beneficiaran! Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, E", el cual equivale al área sombreada del rafico! Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el productor vende precio l*mite al cual el productor estar*a dispuesto a vender su producto! 3! 'ada una función de demanda, p 0 :6 B 4q B q6, asumiendo que el precio de equilibrio es 5, obtenga el excedente del consumidor! /olución! "ara encontrar el nivel de producción asociado a p 0 5&
:6 B 4q B q6 0 5, q2 0 :
6! 1a tonelada de un mineral cuesta @/9 :5! 1os estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 2!2C +
2!2225x6 @/9Dsemana! uánto costará la tonelada de este mineral dentro de 32 semanas /olución& omo&
El precio dentro de 32 semanas será&
8! Gbtenga la cantidad producida que maximia la utilidad las correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si HIg 0 6: - 5q B q6 Ig 0 : - 6q B q6 , siendo Hmg el ingreso marginal mg, el costo marginal! /olución! .sumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal costo marginal se interceptan determinan el precio la cantidad demandada! Entonces& 6: - 5q B q6 0 : B 6q Bq6 q04 omo @Ig 0 HIg - Ig ( @Ig& utilidad marginal) entonces, @Ig 0 62 B :q El dato es la utilidad marginal se desea obtener es la utilidad total (@)! Entonces, es necesario #integrar$ la primera función para (@Ig) obtener la segunda función (@) o función original
/e a evaluado desde 4 a 2 puesto que q 0 4 es el valor que maximia la utilidad, es decir, el punto máximo :! Jallar la cantidad producida que maximice la utilidad determinar la utilidad total en dico punto s las funciones de ingreso marginal costo marginal son respectivamente, HK(x) 0 64 - 4x - 6x6 K(x) 0 32 - 8x B x6 /olución& @na forma de solucionar es obtener el ingreso total el costo total para luego obtener el beneficio finalmente, determinar el máximo valor de la %ltima función! 1a forma más directa es obtener el beneficio marginal luego determinar el beneficio! on esta %ltima se determina el valor máximo! HK - K 0 LK 64 B 4x - 6x6 B (32 - 8x B x6) 0 LK 34 B 6x Bx6 0 LK (beneficio marginal) Hntegrando LM se obtiene L&
'eterminando el máximo en L&
Evaluando este valor en L se tiene 6N! 4! /i la función de demanda es " 0 =4 - :x B x6, allar el excedente del consumidor cuando& a) x 0 4 b) " 0 5: /olución&
Hntegrando en la función excedente, tenemos&
+I+LIOGRAFIA
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