Aplicaciones De Las Integrales En La Ingeniería Electrónica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

CALCULO INTEGRAL

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CAICEDO DÁVILA, GINO RENATO CCAMA YUPANQUI, DINCARLOJ CUELLAR CORNELIO, RICHARD DÍAZ ROLDAN, DIEGO ALONSO FLORES TAMBO, FERNANDO MORE BRAVO, JEFFERSON RODRIGO

SEMESTRE 2016A CALLAO-2016 1

INDICE

INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 4 RESUMEN................................................................................................................... 5 1.

CONCEPTOS ....................................................................................................... 6

1.1.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ..................................................................... 6

1.1.1.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ........................................................ 6

1.1.2.

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE ...................................... 8

1.1.3.

INTEGRACIÓN POR PARTES ................................................................... 8

2.

HISTORIA ............................................................................................................ 9

2.1.

INTEGRACIÓN ANTES DEL CALCULO ..................................................... 9

2.2.

DESARROLLO DEL CÁLCULO INTEGRAL ............................................... 9

2.3.

FORMALIZACIÓN DE LAS INTEGRALES ............................................... 10

2.4.

GENERALIZACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL .................................... 11

3.

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES ............................................................ 12

A. Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo.......... 12 B. Para averiguar la energía que posee un circuito ................................................. 14 Energía ....................................................................................................................... 14 Energía en un circuito ......................................................................................... 14 Energía transferida .............................................................................................. 15 C. Para averiguar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado............ 18 D. Para calcular la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado. 22 Inductor ...................................................................................................................... 22 Propiedades de un inductor: ................................................................................ 23 Capacitador ................................................................................................................ 23 Propiedades de un capacitor: .............................................................................. 24 Bobinas....................................................................................................................... 25 Relación entre V-I para una bobina. .......................................................................... 26 Autoinducción:.................................................................................................... 26 Inductancia en una bobina recta: ........................................................................ 27 Bobina lineal .............................................................................................................. 27 2

Relación entre I-V en bobinas .................................................................................... 27 E. Cuando se quiere calcular la potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada ................................................................................................. 28 3.1.

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ............................................................... 30

CONCLUSIONES ..................................................................................................... 32 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 33

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INTRODUCCIÓN Las ingenierías se distinguen por basar sus avances en la ciencia, un ingeniero debe ser buen científico y matemático. Todo en esta naturaleza tiene un comportamiento que se puede plantear y explicar mediante una función, el análisis de señales, el flujo eléctrico, los campos electromagnéticos, los diferentes tipos de circuitos, etc. En especial en electrónica, dado que utilizas muchas herramientas como series de potencias, de Fourier y transformaciones de Laplace, estas son ecuaciones diferenciales, y claro que su resolución se basa en el cálculo diferencial e integral, por ejemplo, una señal o un circuito eléctrico tiene un comportamiento parecido al de una función seno o coseno, porque son funciones periódicas, el análisis de frecuencias, de amplitudes de ondas etc., se basa en el mismo principio. El cálculo integral y diferencial puede explicar muchas cosas, todo en la naturaleza se resuelve con diferenciales, pero lo importante de esto no es saber resolver ecuaciones y etc., porque para eso siempre existen tablas, calculadoras y matemáticos, el verdadero trabajo de un ingeniero es el imaginar algo, proyectar una "diferencial" del problema en papel, resolverlo, y después "integrarlo" en la realidad, para eso se supone que se estudia la ingeniera, para lograr la comprensión mejor de la naturaleza y sus cambios.

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RESUMEN Las integrales son un proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Por conveniencia se introduce

una notación para la

antiderivada de una función: ∫ se le llama símbolo de la integral. Dos de los métodos más conocidos son: el método de integración por sustitución o por cambio de variable, que se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple siendo opuesto a la regla de la cadena de la derivación; el otro método consiste solo en dividir la función en dos partes y aplicar la integración usando una formula. La integración estuvo presente en la historia de la humanidad desde el tiempo de los egipcios y con el paso del tiempo hasta llegar a Newton este se fue perfeccionando e incluso en la actualidad lo sigue haciendo. En el ámbito de la ingeniera electrónica las aplicaciones van desde como el flujo de electrones llegan a desplazarse atreves de un conductor, como averiguar la energía de un circuito, calcular el voltaje en un condensador en un tiempo determinado a como calcular la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado.

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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA 1. CONCEPTOS Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta. Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función. (Calculointegrales, 2008) Si F’(x) = f(x), se representa como:

A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫fx dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama

constante de

integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada. (Calculointegrales, 2008)

∫f x

dx

Esto se lee integral de f(x) del diferencial de x. 1.1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1.1.1. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. (Wikipedia.org, 2005)

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EJEMPLO N°1 Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza

con

: …(1)

Ahora se necesita sustituir también

para que la integral quede sólo en función de

: Se tiene que despeja

por tanto derivando se obtiene

. A continuación se

y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo

:

(Límite inferior) (Límite superior)

Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

(Calculointegrales, 2008)

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1.1.2. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si

es la variable original y

es una función invertible, se tiene:

(Calculointegrales, 2008) 1.1.3. INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Ilustración 1: Regla mnemotécnica "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme" Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n#M.C3.A9todo_de_integraci. C3.B3n_por_sustituci.C3.B3n

Eligiendo adecuadamente los valores de

y

, puede simplificarse mucho la

resolución de la integral.

. (Calculointegrales, 2008)

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2. HISTORIA 2.1. INTEGRACIÓN ANTES DEL CALCULO La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, aproximadamente 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (aprox. 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. (Wikipedia, 2007) 2.2. DESARROLLO DEL CÁLCULO INTEGRAL Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación. Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas.

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También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones. Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. (Wikipedia, 2007) 2.3. FORMALIZACIÓN DE LAS INTEGRALES El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales la definición de Riemann no era aplicable y por tanto no eran integrables en el sentido de Riemann. 10

Posteriormente Lebesgue dio una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann, así toda función integrable en el sentido de Riemann también lo es en el sentido de Lebesgue, aunque existen algunas funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en el sentido de Riemann. Más recientemente se han propuesto otras definiciones de integral aún más generales, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue. (Wikipedia, 2007) 2.4. GENERALIZACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL Tras la creación del cálculo integral a partir del siglo XVII, y su desarrollo más o menos intuitivo durante un par de siglos, la noción de integración fue analizada con mayor rigor durante el siglo XIX. Así la primera noción rigurosa de integración es el concepto de integral de Riemann, así como su generalización conocida como integral de Riemann-Stieltjes. A principios del siglo XX, el desarrollo de la teoría de la medida llevó al concepto más general y cualitativamente más avanzado de integral de Lebesgue. Más tarde el desarrollo de la noción de proceso estocástico dentro de la teoría de la probabilidad llevó a la formulación de la integral de Itō hacia el final de la primera mitad del siglo XX, y posteriormente a su generalización conocida como integral de Skorohod (1975). Asimismo desde los años 1960, se ha buscado definición matemáticamente rigurosa de integral de caminos cuánticos. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales. (Wikipedia, 2007)

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3. APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular:  corrientes  capacitancias  tiempos de carga  descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en: Circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) esto para analizar su comportamiento dentro del circuito. (CesarValente, 2013)

Se tiene los siguientes casos de las aplicaciones de las integrales en la ingeniería electrónica: A. Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo

∫

q(t)= i(t) dt…desde un tiempo ( t1 a t2 ) Dónde:  q: carga  i: corriente

Problema N°1:

Rapidez de arrastre en un alambre de cobre Un alambre de cobre calibre 23 en una típica construcción residencial tiene una área de sección transversal de 3.31 𝑥 10−6 𝑚2 y porta una corriente constante de 10.0 𝐴. ¿Cuál es la rapidez de arrastre de los electrones en el alambre? Suponga que cada átomo de cobre aporta un electrón libre a la corriente. La densidad del cobre es 8.92 𝑔/𝑐𝑚3.

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Solución:  Conceptualizar Imagine que los electrones siguen un movimiento en zigzag, con un movimiento de arrastre paralelo al alambre sobreimpuesto al movimiento. La rapidez de arrastre es pequeña, y este ejemplo ayuda a cuantificar la rapidez.  Categorizar Ya que la corriente es constante, la corriente promedio durante cualquier intervalo de tiempo es la misma que la corriente constante 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐼.  Analizar La tabla periódica de los elementos muestra que la masa molar del cobre es 63.5 𝑔/𝑚𝑜𝑙. Recuerde que 1 mol de cualquier sustancia contiene un número de Avogadro de átomos (6.02 𝑥 1023 ). Use la masa molar y la densidad del cobre para encontrar el volumen de 1 mol de cobre: 𝑉=

𝑚 63.5 𝑔 = = 7.12 𝑐𝑚3 3 𝜌 8.92 𝑔/𝑐𝑚

A partir de la suposición de que cada átomo de cobre aporta un electrón libre a la corriente, encuentre la densidad de electrones en el cobre: 6.02 𝑥 1023 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑥 106 𝑐𝑚3 𝑛= ( ) = 8.46 𝑥 1028 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠⁄ 𝑚3 7.12 𝑐𝑚3 1 𝑚3

Ahora resolvemos la ecuación: 𝑣𝑑 =

𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴 𝑛𝑞𝐴

Reemplazando los valores correspondientes: 𝑣𝑑 =

𝐼 10.0 𝐴 = 𝑛𝑒𝐴 (8.46 𝑥 1028 𝑚−3 )(1.6 𝑥 10−19 𝐶)(3.31 𝑥 10−6 𝑚2 ) = 2.23 𝑥 10−4 𝑚⁄𝑠

Finalizar Este resultado muestra que las magnitudes de velocidad de arrastre representativas son muy pequeñas. Por ejemplo, ¡los electrones que viajan con una rapidez de 2.23 𝑥 10−4 𝑚⁄𝑠 tardarían aproximadamente 75 min en recorrer 1 m. 13

Por lo tanto, puede preguntarse por qué una luz se enciende casi instantáneamente cuando se activa el interruptor. En un conductor, los cambios en el campo eléctrico que impulsan los electrones libres viajan a través del conductor con una rapidez cercana a la de la luz. De este modo, cuando activa un interruptor de luz, los electrones ya presentes en el filamento de la bombilla experimentan fuerzas eléctricas y comienzan a moverse después de un intervalo de tiempo del orden de nanosegundos. (Serway, 2009) B. Para averiguar la energía que posee un circuito

∫

w(t)= p(t) dt…desde un tiempo ( t1 a t2 ) Dónde:  w: energía  p: potencia Energía  Energía en un circuito La energía es la capacidad que se necesita para realizar un trabajo. La potencia es la rapidez con la cual se consume o se entrega energía, es por esto que potencia y energía están fuertemente relacionadas. La energía total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresión: (Svoboda, 2006)

Ecuación 𝑝(𝑡) =

Análisis de unidades

𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡

[𝑤𝑎𝑡𝑡] =

𝑑𝐸(𝑡) = 𝑝(𝑡) ∗ 𝑑𝑡

[𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒] [𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜]

[𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒] = [𝑤𝑎𝑡𝑡] ∗ [𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜]

Integrando ambos términos se obtiene: 𝑡

𝐸(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 −∞

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𝑡

𝐸(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 + 𝐸(𝑡0 ) 𝑡0

 Energía transferida La energía transferida a un elemento en un intervalo de tiempo dado, por ejemplo desde t1 hasta t, corresponde a la diferencia entre la energía evaluada en t y la energía evaluada en t1. Es decir, corresponde a la diferencia entre la energía en el tiempo final y la energía en el tiempo inicial del intervalo. La energía transferida a un elemento en un intervalo de interés, corresponde a evaluar la integral definida de la curva de potencia con respecto al tiempo, donde los límites de la integral corresponden a los límites del intervalo de tiempo objeto de estudio.

∆𝐸𝑡1 →𝑡2 = 𝐸(𝑡2 ) − 𝐸(𝑡1 ) 𝑡2

∆𝐸𝑡1 →𝑡2 = ∫ 𝑝(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 𝑡1

Dado que la integral definida de una función en un intervalo de tiempo dado, corresponde al área bajo la curva de esa función delimitada por los valores de tiempo de interés, se podrá calcular energía transferida a partir de áreas bajo la curva de potencia en función del tiempo. Dado que la potencia es la cantidad de energía entregada o adsorbida en cierto tiempo, la gráfica de la energía en función del tiempo nos suministrará información referente al comportamiento de la potencia en el elemento. Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la energía en un punto dado, corresponde a realizar la derivada de la energía con respecto al tiempo, es decir, a evaluar la potencia. En conclusión, los intervalos de tiempo donde la gráfica de energía tenga pendiente positiva, corresponden a intervalos de tiempo de potencia adsorbida o disipada por el elemento A, y, donde la gráfica de energía tenga pendiente negativa corresponden a intervalos de tiempo de potencia entregada o suministrada por el elemento A al circuito. En caso de tener pendiente nula, se dice que la energía en el elemento A permanece constante, es decir, el elemento no absorbe ni suministra potencia. (Svoboda, 2006) 15

Problema N°2 Determinar analítica y gráficamente la energía en función del tiempo E(t), que circula a través del elemento, en el intervalo de 0(ms) ≤ t ≤ 7.5(ms) a partir del circuito. Tener en cuenta que este elemento no tiene la propiedad de almacenar carga.

t=0(ms)

Vf

t=2.5(ms)

i(t)

1[kΩ] t=5(ms)

v(t)[V]

5 4 3 2 t(ms)

1 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5 7

7.5

8

Ilustración 2: Grafica de la energía en función de t(tiempo) Fuente: http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/RAIZDC/contenidoprogramatico/Ejercicios %20capitulo%201/EjerciciosCapitulo1Diferenciapotencialpro.pdf

Los intervalos y el comportamiento de la tensión o diferencia de potencial, se muestra a continuación: 0(ms) ≤ t < 2.5(ms), V(t) = 5(V) ⇒ 𝑖(𝑡) =

𝑉(𝑡) 𝑅

2.5(ms) ≤ t < 5(ms), V(t) = 0(V) ⇒ 𝑖(𝑡) = 5(ms) ≤ t ≤ 7.5(ms), V(t) = 5(V) ⇒ 𝑖(𝑡) =

𝑉(𝑡) 𝑅

= 𝑉(𝑡) 𝑅

=

5(𝑉) 1(𝑘)

=

= 5 ∗ 10−3 (𝐴)

0(𝑉) 1(𝑘)

5(𝑉) 1(𝑘)

= 0(𝐴)

= 5 ∗ 10−3 (𝐴) 16

Solución: Hallamos la potencia consumida del elemento en cada intervalo aplicando la fórmula: 𝑃(𝑡) = 𝑉(𝑡) ∗ 𝑖(𝑡) 𝑃(𝑡) = 5(𝑉) ∗ 5(𝑚𝐴) = 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 (𝑾), 𝑃(𝑡) = 0(𝑉) ∗ 0(𝐴) = 𝟎(𝑾),

0(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 < 2.5(𝑚𝑠)

2.5(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 < 5(𝑚𝑠)

𝑃(𝑡) = 5(𝑉) ∗ 5(𝑚𝐴) = 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 (𝑾),

5(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 ≤ 7.5(𝑚𝑠)

Con los datos obtenidos, hallamos la energía en función de tiempo E(t) para cada intervalo:  Para determinar energía 𝐸(𝑡) es necesario conocer 𝐸(𝑡0 ) , es correcto afirmar que 𝐸(𝑡0 ) = 0(𝐽) ya que el elemento no almacena energía. 𝑡

𝐸(𝑡) = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐸(𝑡0 ) 𝑡0

 Aplicando la anterior ecuación en el primer intervalo: 𝑡

𝑡 25 ∗ 10−3 (𝑊)𝑑𝑡 + 0 ⇒ 𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−3 𝑡(𝑊) | 0(𝑚𝑠) 0(𝑚𝑠)

𝐸(𝑡) = ∫

𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−3 (𝑊) ∗ 𝑡(𝑚𝑠) − 25 ∗ 10−3 (𝑊) ∗ 0(𝑚𝑠) 𝑬(𝒕) = 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒕(𝑱) 𝑜 𝟐𝟓𝒕(𝒎𝑱), 0(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 < 2.5(𝑚𝑠) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠)

 Para determinar el comportamiento de la energía 𝐸(𝑡) , para el segundo intervalo se debe calcular la condición inicial 𝐸(2.5 𝑚𝑠) . 𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−3 𝑡(𝐽)

𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠)

𝐸(2.5 𝑚𝑠) = 25 ∗ 10−3 ∗ (2.5 ∗ 10−3 )(𝐽) 𝐸(2.5 𝑚𝑠) = 62.5 ∗ 10−6 (𝐽) 𝑜 62.5(𝜇𝐽) 𝑡

𝐸(𝑡) = ∫

0(𝑊)𝑑𝑡 + 62.5 ∗ 10−6 (𝐽)

2.5(𝑚𝑠)

𝑬(𝒕) = 𝟔𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 (𝑱) 𝑜 𝟔𝟐. 𝟓(𝝁𝑱), 2.5(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 < 5(𝑚𝑠) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠)

 Para determinar el comportamiento de la energía 𝐸(𝑡) , para el tercer intervalo se debe calcular la condición inicial 𝐸(5 𝑚𝑠) . 17

𝐸(𝑡) = 62.5 ∗ 10−6 (𝐽)

𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠)

𝐸(5 𝑚𝑠) = 62.5 ∗ 10−6 (𝐽) 𝑡

25 ∗ 10−3 (𝑊)𝑑𝑡 + 62.5 ∗ 10−6 (𝐽)

𝐸(𝑡) = ∫ 5(𝑚𝑠)

𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−3 𝑡(𝑊) |

𝑡 + 62.5 ∗ 10−6 (𝐽) 5(𝑚𝑠)

𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−3 (𝑊) ∗ 𝑡(𝑚𝑠) − 25 ∗ 10−3 (𝑊) ∗ 5(𝑚𝑠) + 62.5 ∗ 10−6 (𝐽) 𝐸(𝑡) = 25 ∗ 10−6 𝑡(𝐽) − 125 ∗ 10−6 (𝐽) ) + 62.5 ∗ 10−6 (𝐽) 𝑬(𝒕) = 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝒕(𝑱) − 𝟔𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 (𝑱), 5(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 ≤ 7.5(𝑚𝑠) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠) o 𝑬(𝒕) = (𝟐𝟓𝒕 − 𝟔𝟐. 𝟓)(𝝁𝑱), 5(𝑚𝑠) ≤ 𝑡 ≤ 7.5(𝑚𝑠) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 (𝑠) (Gemini.udistrital.edu.co, 2012) C. Para averiguar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado.

∫

Vc(t)=(1/c) Ic(t) dt…desde un tiempo ( t1 a t2 ) Dónde:  Vc: voltaje en el condensador  c: valor del condensador  Ic: corriente en el condensador

Problema N°3: Carga de un Condensador Si se transfiere una carga Q a un condensador, inicialmente descargado, o si el voltaje se “eleva” a V, el condensador almacena energía potencial. Adviértase que v es una medida de la energía potencial, ya que es trabajo por unidad de carga. Por otro lado, la carga de un condensador requiere un tiempo finito, así que debemos hablar de potencia o trabajo efectuado por unidad de tiempo. Esto se ve fácilmente ya que la transferencia de carga por unidad de tiempo se conoce como corriente:

𝐼=

𝛿𝑄 𝛿𝑡

=𝐶

𝛿𝑉 𝛿𝑡

…(1)

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Y la corriente que circula a través de un potencial V tiene la potencia P=IV. La imagen del proceso de carga es la siguiente: una corriente fluye de un condensador inicialmente descargado (inicialmente descargado también significa que el potencial inicial a través del condensador es cero), depositando cargas en el condensador. Debido a que las cargas se van depositando de manera continua, el voltaje a través del condensador aumenta desde el valor inicial nulo. Este proceso prosigue hasta que el voltaje a través del condensador alcance el de la batería. En ese instante la diferencia de voltaje entre la batería y el condensador se hace cero y la corriente cesa de circular. El condensador se considera cargado. Al desconectar la batería, en el condensador queda una carga “Q” dada por:

𝑄 = 𝐶. 𝑉𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎

La deducción real, más que conceptual, del proceso de carga puede darse fácilmente. En la figura “a” se muestra un circuito compuesto por una batería Vb, una resistencia R que representa la resistencia de los hilos de conexión y la resistencia interna de la batería, y un condensador C, supuesto inicialmente descargado. En el instante t=0, en que se cierra el interruptor, circula una corriente I(t) en el circuito. La ley del voltaje de Kirchhoff para el circuito de la figura 2 puede escribirse así:

1

𝑡

𝑉𝑏 = 𝑅𝐼 + ∫0 𝐼 𝑑𝑡 𝐶

…(2)

Ilustración 3: La ley del voltaje de Kirchhoff Fuente: https://books.google.com.pe/books?id=jM1cHRfPucgC&pg=PA196&lpg=PA196&dq=hallando+volt aje+en+un+condensador+con+integrales&source=bl&ots=ajjVhNvCW1&sig=YvfHwCiKi_C7GLtt0 LPqDmp5eYY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjgrNw4M7NAhUE1x4KHbVeDWgQ6AEIHTAA#v=onepage&q&f=false

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Nótese que el voltaje Vc a través del condensador que viene dado por el término integral anterior, puede obtenerse integrando la ecuación “1”. Hay muchas maneras de resolver la ecuación “2” para hallar I. Procedamos por derivar respecto t. Obtenemos: 0=

𝜕𝐼 1 + 𝐼 𝜕𝑡 𝑅𝐶

Vemos que una solución para esta ecuación es 𝑡

𝐼 = 𝐴𝑒 −𝑅𝐶

La constante A puede evaluarse de la condición inicial que VcIt=0=0. Ya que el voltaje a través del condensador no puede cambiar instantáneamente, Vc permanece nulo un instante después de cerrar el interruptor(es decir, el condensador tiene inercia para el voltaje pero no para la corriente). De la ecuación “1” vemos que para que ocurriese variación instantánea en el voltaje, la corriente de carga debería ser infinita. Ya que esto es imposible (son posibles saltos finitos en la corriente, pero no los infinitos), concluimos que el voltaje no puede cambiar instantáneamente a través del condensador. La corriente para t=0 es entonces I(t=0)=Vb/R=A. Así que la corriente de carga en función del tiempo viene dada por 𝐼=

𝑉𝑏 − 𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑅

La corriente de carga, representada gráficamente en la figura “b”, disminuye exponencialmente a cero. El tiempo transcurrido mientras la corriente decrece hasta 1/e (o del 37%) de su valor inicial se conoce como constante de tiempo T, y viene dada por T=RC. Reduciendo la resistencia del circuito R, decrecerá el tiempo empleado en la carga del condensador. El voltaje Vc del condensador viene dado por 𝑉𝑐 =

𝑡 1 𝑡 ∫ 𝐼𝑑𝑡 = 𝑉𝑏(1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) 𝐶 0

20

Ilustración 4: Grafica I vs t Fuente: https://books.google.com.pe/books?id=jM1cHRfPucgC&pg=PA196&lpg=PA196&dq=hallando+volt aje+en+un+condensador+con+integrales&source=bl&ots=ajjVhNvCW1&sig=YvfHwCiKi_C7GLtt0 LPqDmp5eYY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjgrNw4M7NAhUE1x4KHbVeDWgQ6AEIHTAA#v=onepage&q&f=false

Y se representa gráficamente en la figura “c”. Teóricamente tardaría un tiempo infinito el condensador en alcanzar el voltaje de la batería ya que Vc(t=∞)=Vb.

Ilustración 5: Grafica Vc vs t Fuente: https://books.google.com.pe/books?id=jM1cHRfPucgC&pg=PA196&lpg=PA196&dq=hallando+volt aje+en+un+condensador+con+integrales&source=bl&ots=ajjVhNvCW1&sig=YvfHwCiKi_C7GLtt0 LPqDmp5eYY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjgrNw4M7NAhUE1x4KHbVeDWgQ6AEIHTAA#v=onepage&q&f=false

A efectos prácticos, se supone que el proceso de carga es completo, cuando ha transcurrido un tiempo igual a varias veces la constante de tiempo. 21

Es tentador decir que como V/(WQ), la energía transferida al condensador desde la batería es simplemente W=QVb. Durante el proceso de carga, el voltaje del condensador y la corriente son funciones del tiempo. Por tanto, la manera correcta de obtener energía es por integración de la potencia instantánea, P=IVc.la energía almacenada en C después del proceso completo de carga (t→ ∞) es

∞

𝑊 = ∫ 𝐼𝑉𝑐 𝑑𝑡 = 0

𝑡 𝑉𝑏 2 ∞ − 𝑡 𝐶. 𝑉𝑏 2 ∫ 𝑒 𝑅𝐶 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 )𝑑𝑡 = 𝐶 0 2

Esto también puede expresarse por W=C(Vb)²/2=Q²/2C=QVb/2, utilizando Q=CV. Asi que la energía transferida es menor, por un factor un medio, comparada a W=Q(Vb). La razón para esto es que inicialmente se necesita poca energía para transferir carga al condensador, a causa de que su voltaje inicial Vc es nulo. (Plonus, 1994) D. Para calcular la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado.

∫

iL(t)=(1/L) vL(t) dt…desde un tiempo ( t1 a t2 ) Dónde:  iL: corriente en la bobina  L: valor de la bobina en (MH)  vL: voltaje en el inductor Inductor Un inductor es un componente eléctrico que se opone a cualquier cambio en la corriente eléctrica. Está compuesto por una bobina de alambre enrollada alrededor de un núcleo de soporte. El comportamiento de inductores se basa en fenómenos asociados con campos magnéticos, la fuente del campo magnético es la carga en movimiento, o la corriente. Si la corriente varía con el tiempo, el campo magnético está variando con el tiempo. Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje en cualquier conductor conectado por medio del campo. La inductancia L, es

22

el parámetro del circuito que describe un inductor, y se mide en henrios (H). La relación entre el voltaje y la corriente en un inductor viene dada por. 𝑣=𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Donde v está en voltios, L en henrios, i en amperios, t en segundos. La ecuación refleja la convención de signos pasiva (la referencia de la corriente corresponde a la dirección de la caída de voltaje en el inductor).  Propiedades de un inductor: 

Si la corriente es constante, el voltaje por el inductor ideal es cero (el inductor se comporta como un corto circuito).



La corriente no puede cambiar instantáneamente en un inductor. Cuando se abre el interruptor de un circuito inductivo en un sistema real, la corriente en un principio continúa circulando en el aire a través del interruptor (arqueo). El arco evita que la corriente disminuya a cero instantáneamente.



Un inductor sí permite un cambio instantáneo en su voltaje de terminal. (Fgagor.webs, 2014)

Capacitador Un capacitor o condensador es un componente eléctrico compuesto con dos conductores separados por un aislante o material dieléctrico. El capacitor es el único dispositivo aparte de la batería que puede almacenar carga eléctrica. El comportamiento de los capacitores se basa en fenómenos asociados con campos eléctricos. La fuente del campo eléctrico es la separación de carga o voltaje. Si el voltaje está variando con el tiempo, el campo eléctrico hace lo propio del mismo modo. Un campo eléctrico variable en el tiempo produce una corriente de desplazamiento en el espacio que ocupa el campo. La capacitancia, C, es el parámetro de circuito que describe un capacitor y se mide en faradios (F). 𝑖=𝐶

𝑑𝑣 𝑑𝑡

23

 Propiedades de un capacitor: 

El voltaje no puede cambiar instantáneamente entre los terminales de un capacitor, pues tendría una corriente infinita, cosa que es físicamente imposible.



Si el voltaje entre los terminales es constante, la corriente del capacitor resulta igual a cero. La razón es que no hay posibilidad de establecer una corriente de conducción en el material dieléctrico. Un capacitor se comporta como un circuito abierto en la presencia de un voltaje constante.



Un voltaje variable en el tiempo puede producir una corriente de desplazamiento.



El capacitor permite un cambio instantáneo en su corriente de terminal.

Inductores 𝒅𝒊

𝒗 = 𝑳 𝒅𝒕

𝒊 = 𝑳 ∫𝒕 𝒗𝒅𝒕 + 𝒊(𝒕𝟎 ) 𝟎

𝒅𝒊

𝒑 = 𝒗 = 𝑳𝒊 𝒅𝒕 𝒊

𝟏

𝒘 = 𝟐 𝑳𝒊𝟐

𝟏

𝒕

𝒗 = 𝑪 ∫𝒕 𝒊𝒅𝒕 + 𝒗(𝒕𝟎 )

V

𝒕

𝟏

Capacitores

V

𝟎

A

W

J

𝒅𝒗

𝒊 = 𝑪 𝒅𝒕

A

𝒅𝒗

𝒑 = 𝒗𝒊 = 𝑪𝒗 𝒅𝒕

𝟏

𝒘 = 𝟐 𝑪𝒗𝟐

W

J

Tabla 1. Ecuaciones de terminal para inductores y capacitores ideales

(Fgagor.webs, 2014)

24

Así como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la corriente durante años.

Por la ley de Faraday:

𝑣(𝑡) =

𝑑∅

(ϕ: flujo magnético)

𝑑𝑡

Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relación existente entre el flujo magnético producido y la corriente que lo atraviesa: ∅(𝑡) = 𝐿. 𝑖(𝑡)

→

𝐿=

∅(𝑡) 𝑖(𝑡)

Bobinas Una bobina es un elemento pasivo capaz de almacenar energía magnética Solenoide recto: la configuración más sencilla de bobina es el solenoide recto. Consiste en un arrollamiento de cable en forma de espiral. En interior (núcleo) puede estar relleno de algún material magnético

Ilustración 6: Solenoide recto Fuente: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_AC/Presentacion-Condensadores-yBobinas.pdf

Cuando circula corriente eléctrica por una bobina se produce un campo magnético como es mostrado en la figura. (Pereda, 2008)

25

Ilustración 7: Campo magnético Fuente: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_AC/Presentacion-Condensadores-yBobinas.pdf

Relación entre V-I para una bobina.  Autoinducción:

𝑣=𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Ilustración 8: Autoinducción Fuente: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_AC/Presentacion-Condensadores-yBobinas.pdf

Siendo L una constante denominada inductancia (henrio) o coeficiente de autoinducción Si

𝑑𝑖 𝑑𝑡

=0

⇒ 𝑣 = 0 , luego

En régimen de corriente continua el circuito equivalente de una bobina es un corto circuito. (Pereda, 2008)

26

 Inductancia en una bobina recta:

𝑁 2 . 𝜇. 𝐴 𝐿= ℓ -N: número de espiras -µ: permeabilidad del núcleo -A: área de espiras -l: longitud Bobina lineal La inductancia de una bobina lineal es un valor positivo que no depende de la tensión ni la corriente, solo depende de la geometría y de los materiales Relación entre I-V en bobinas  Partimos del resultado anterior:  Integrando

𝑡

1

𝑣=𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

𝐿

𝑡

∫𝑡 𝑑𝑖 = 𝐿 ∫𝑡 𝑣 𝑑𝑡 0

𝑣

𝑑𝑖 = 𝑑𝑡

0

1 𝑡 𝑖(𝑡) = ∫ 𝑣𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡0 ) 𝐿 𝑡0

Donde i(t0) es la corriente en el instante inicial t= t0.

Problema N°4 Determinar la corriente que circula a través de una bobina de 5 H si la tensión en sus terminales es: 2 𝑣(𝑡0 ) = {30𝑡 𝑠𝑖 𝑡 > 0 0 𝑠𝑖 𝑡 < 0

Solución:  La corriente vale:

1 𝑡 𝑖(𝑡) = ∫ 𝑣𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡0 ) 𝐿 𝑡0  En nuestro caso t0=0

L=5H y i(t0)=i(0)=0

 Luego 27

1

𝑡

𝑖(𝑡) = ∫0 30𝑡 2 𝑑𝑡 = 2𝑡 3 5

⇒

3 𝑠𝑖 𝑡 > 0 𝑖(𝑡) = {2𝑡 0 𝑠𝑖 𝑡 < 0

(Pereda, 2008) E. Cuando se quiere calcular la potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada

∫

W(t)= Ri²(t) dt Dónde:  W: potencia  R: resistencia en ohmios  I: corriente en amperios

Problema N°5 Se dispone de una pieza de Nicromo (aleación 80% níquel y 20% cromo), de resistividad 𝝆 = 𝟏𝟎𝟑 𝒙 𝟏𝟎−𝟔 Ω 𝒄𝒎, con forma de paralelepípedo tal como se muestra en la figura. El área de las bases es 𝑺 = 𝟐 𝒄𝒎𝟐 y la longitud ƪ = 5 cm. Sabiendo que la caída del potencial entre las bases es V = 10V

Ilustración 9: Pieza de Nicromo Fuente: http://www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html

a) Calcular la potencia b) Calcular la energía disipada en ∆𝑇 = 2ℎ.

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Solución: a) Hallamos la potencia 𝑝= 𝑅= 𝜌

𝑉2 𝑅

… hallamos el valor de R

(103 𝑥 106 ) 𝑥 5 ƪ = = 2.58 x 10−4 Ω 𝑆 2

Reemplazando: 𝑝=

𝑉2 102 = = 3.88 𝑥 105 𝑊 𝑅 2.58 𝑥 10−4

b) Para hallar la energía absorbida o suministrada en un intervalo de tiempo: 𝑡2

∫ 𝑝. 𝑑𝑡 𝑡1

Dónde: T2 – T1 = 2h = (2 x 3600) s. Reemplazando: 𝑤 = 𝑝 (𝑡2 − 𝑡1) = (3.88 𝑥 105 )𝑥 (2 𝑥 3600) 𝑤 = 2.79 𝑥 109 𝐽 (Serway, 2009)

29

3.1. SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF La segunda ley nos dice, en un circuito cerrado, la suma algebraica de todas las caídas de potencial es igual a cero. Otra manera de interpretar esta ley es, la suma de las caídas de potencial es igual a la suma de las f.e.m. A continuación se presenta la simbología utilizada para los componentes encontrados en los circuitos eléctricos. (Amorteguiaplicacion, 2012)

Ilustración 10: Circuitos eléctricos Fuente imagen: http://www.monografias.com/trabajos34/circuitos-electricos/circuitos-electricos.shtml

Ilustración 11: Corriente Fuente imagen: http://amorteguiaplicacion.blogspot.pe/2010/05/establecimiento-de-una-corriente-enun.html

Aplicando la ley de Kirchhoff al circuito tenemos, 𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑏𝑐 + 𝑉𝑐𝑎 = 0 𝑖𝑅 + 𝐿 (

𝑑𝑖 ) − 𝑉0 = 0 𝑑𝑡

Despejando 𝑑𝑡 tenemos: 𝐿 𝑑𝑖 = 𝑑𝑡 𝑉0 − 𝑖𝑅

30

Integrando hallamos la expresión de 𝑖 en función del tiempo para las condiciones iniciales 𝑡 = 0, 𝑖 = 0. 𝑖

∫ 0

𝑡 𝐿 𝑑𝑖 = ∫ 𝑑𝑡 𝑉0 − 𝑖𝑅 0

Integrando la primera parte: 𝑖

∫ 0

𝑖 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑖 = 𝐿 ∫ 𝑉0 − 𝑖𝑅 0 𝑉0 − 𝑖𝑅

Cambio de variable: 𝜇 = 𝑉0 − 𝑖𝑅 𝑑𝜇 = −𝑅𝑑𝑖 ⇒{

𝑖 = 𝑜 ⟶ 𝜇 = 𝑉0 𝑖 = 𝑖 ⟶ 𝜇 = 𝑉0 − 𝑖𝑅 𝑉0 −𝑖𝑅

= −𝐿 ∫ 𝑉0

𝑑𝜇 𝑅𝜇

𝑉0 −𝑖𝑅 𝐿 = − ln 𝜇| 𝑅 𝑉0

𝐿 [ln(𝑉0 − 𝑖𝑅) − ln(𝑉0 )] 𝑅 𝐿 𝑉0 − 𝑖𝑅 = − ln ( ) 𝑅 𝑉0 =−

=−

𝐿 𝑖𝑅 ln (1 − ) 𝑅 𝑉0

Reemplazando en la ecuación original y despejando 𝑖: −

𝐿 𝑖𝑅 𝑖𝑅 𝑅 𝑖𝑅 𝑅 ln (1 − ) = 𝑡 ⇒ ln (1 − ) = − 𝑡 ⇒ 1 − = exp (− 𝑡) 𝑅 𝑉0 𝑉0 𝐿 𝑉0 𝐿 ∴𝑖=

𝑉0 𝑅 [1 − exp(− 𝑡)] 𝑅 𝐿 (Amorteguiaplicacion, 2012)

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CONCLUSIONES  Las integrales tienen indefinidas aplicaciones en el ámbito de la ingeniería pues la manera de aplicarse esta en la ingeniera es diversa, compleja e interesante.  Como se puede ver en la monografía, las integrales aplicadas en la ingeniería electrónica son más de un ámbito físico ósea que contiene y/o trata temas que se ven las ciencias físicas.  En sí, la ecuación más usada en la ingeniera electrónica es: V=I.R la cual puede ser integrada de distintas formas.  Los métodos más conocidos para integrar son el método de sustitución y el método “por partes”.

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BIBLIOGRAFÍA Amorteguiaplicacion. (28 de Enero de 2012). Obtenido de Amorteguiaplicacion: http://amorteguiaplicacion.blogspot.pe/2010/05/establecimiento-de-unacorriente-en-un.html Calculointegrales. (18 de Junio de 2008). Obtenido de Calculointegrales: http://www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html CesarValente. (20 de Diciembre de 2013). Obtenido de CesarValente: http://cesarvalente.blogspot.pe/2012/06/universidadalfonso-reyes-unidadlinda_11.html Fgagor.webs. (2014). Obtenido de Fgagor.webs: http://fgagor.webs.ull.es/PracticaTC2.pdf Gemini.udistrital.edu.co. (Marzo de 2012). Obtenido de Gemini.udistrital.edu.co: http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/RAIZDC/contenidoprogr amatico/Ejercicios%20capitulo%201/EjerciciosCapitulo1Diferenciapotencialpro.pdf Pereda, J. A. (2008). Universidad de Cantabria. Obtenido de Universidad de Cantabria: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_AC/PresentacionCondensadores-y-Bobinas.pdf Plonus, M. A. (1994). Electromagnetismo Aplicado. Mexico: Reverte, S.A. Obtenido de https://books.google.com.pe/books?id=jM1cHRfPucgC&pg=PA196&lpg=PA196&dq =hallando+voltaje+en+un+condensador+con+integrales&source=bl&ots=ajjVhNvC W1&sig=YvfHwCiKi_C7GLtt0LPqDmp5eYY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjgrNw4M7NAhUE1x4KHbVeDWgQ6AEIHTAA#v=onepage&q&f=false Serway, R. A. (2009). Fisica para ciencias e ingenierias con Fisica Moderna. Mexico: Cengage Learning. Svoboda, D. &. (2006). Gemini.udistrital.edu.co. Obtenido de Gemini.udistrital.edu.co: http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/RAIZDC/contenidoprogr amatico/capitulo1/energia.html Wikipedia. (12 de Agosto de 2007). Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n Wikipedia.org. (4 de Febrero de 2005). Obtenido de Wikipedia.org: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n#M.C3.A9tod o_de_integraci.C3.B3n_por_sustituci.C3.B3n

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