Aplicaciones de la integral
Aplicaciones de la integral María Belén Ronquillo Pilamunga
Resumen En el campo de la ingeniería civil se suelen realizar varios cálculos matemáticos los cuales permiten realizar múltiples tareas para llevar a cabo una obra, como por ejemplo calcula la resistencia de un puente o los cimientos de un edificio. Inmerso dentro de estos cálculos se encuentra la integral, que nos permite encontrar el volumen de un sólido de revolución, el área de una superf superfici icie. e. El presen presente te artícu artículo lo tiene tiene como como objeti objetivo vo dar a conoce conocerr al lector lector el concep concepto, to, importancia aplicaciones de una integral.
Palabras claves: Integral, Integral definida, sólidos de revolución, volumen de un sólido
Introducción
El presente artículo pretende e!plicar la integral definida las diversas formas que se puede emplear para la resolución de problemas, como por ejemplo, para encontrar el área de una región entre dos curvas el área de una región plana por arriba del eje !, el área de una región plana por debajo del eje !. "ara obtener estas áreas se e!plica de manera detallada algunos m#todos, como el m#todo de los discos, el m#todo de las arandelas, el m#todo de las capas cilíndricas, los cuales se basan en el principio de rebanar apro!imar e integrar el sólido.
$onocer los diferentes m#todos con los cuales se pueden encontrar los volúmenes de un sólido de revolución es importante, puesto que permite resolver varios problemas en el ámbito profesional en el que se desenvuelve el ingeniero civil así mismo en otras áreas
Aplicaciones de la integral profesionales, como por ejemplo, en las construcciones de los cimientos de un edificio, se necesita el valor apro!imado de las áreas con un margen de error mínimo, esto se puede lograr gracias a la aplicación de la integral definida, en el campo de la administración de operaciones,
para conocer la vida útil de una maquinaria, entre otros.
Objetivo $onocer el uso de la integral definida para calcular el volumen de un sólido a trav#s de los m#todos.
Aplicaciones de la integral Marco teórico
%a integral deinida permite calcular áreas de formas cada vez más complejas. &egún %eit'old ()**+, pág. -/0 &i f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b], la integral definida de f de a a b, denotada por
b
n
f ( x´ ) Δ x ∫ f ( x ) dx =‖ lim ∑ ‖ = a
p → 0 i
i
i
1
1e acuerdo a "urcell, 2arberg, 3 4igdon ($alculo, )**5/ la integral definida permite calcular volúmenes de distintos tipos de cuerpos sólidos. El volumen del sólido se define como el área A dela base por la altura '.
Entre los m#todos más empleados para 'allar el volumen de un sólido, se encuentran0
6El m#todo de los discos es un m#todo que se usa para encontrar el volumen de un sólido. Este m#todo requiere encontrar la suma de los volúmenes de discos representativos para apro!imar el volumen del sólido. $uando se incrementa el número de discos, la apro!imación tiende a ser más e!acta.7 (%arson 3 Ed8ards, )*-*, pág. 5/
6El m#todo de los discos puede e!tenderse para cubrir sólidos de revolución 'uecos reemplazando el disco con una arandela (anillos/. %a arandela se forma al girar un rectángulo alrededor del eje.7 (%arson 3 Ed8ards, )*-*, pág. 9:/
El m#todo de los cascarones cilíndricos, en donde "urcell, 2arberg, 3 4igdon ($alculo, )**5/ definen a un cascarón cilíndrico como un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos conc#ntricos.
Aplicaciones de la integral An!lisis crítico El uso de la integral definida permite calcular el área de formas que son más complejas. El !rea de una región plana puede presentarse por arriba del eje !, por debajo del eje !, una región
entre dos curvas. "ara encontrar el área de una región plana por arriba del eje ! acotada por la
y = f ( x ) entre un intervalo a b (como en la figura -/, se define que el área está
gráfica de
b
∫
A ( R )= f ( x ) dx .
dada por0
a
Figura 1 Área de una región plana Fuente: Purcell, Varberg, & Rigdon (Calculo, 2007)
y = x
En el caso de una región acotada por la gráfica
x =2
4
− 2 x + 2 3
entre
x =−1
(como en la figura )/, el valor del área se obtiene de la siguiente forma0
[
2
5
] (
4
∫ ( x −2 x + 2 ) dx= x − x + 2 x − =
A ( R )=
4
3
−1
2
5
1
2
32 5
)(
− 16 + 4 − 2
32 5
)
− 16 + 4 = 51 = 5.1 2
;
10
al
obtener el valor apro!imado del área considerando una base una altura de (/()/ respectivamente, el área estimado es de +. %o que permite deducir que el primer cálculo realizado está correcto.
En el caso de una región acotada por la gráfica (como
en
la 3
∫
A ( R )=−
−2
figura
( ) x
2
3
/, 3
− 4 dx =∫ −2
el
(
− x 3
valor 2
del
) [
+ 4 dx =
área 3
− x 9
+ 4 x
x
2
y = − 4 entre x =−2 x = 3 3
se
obtiene
] ( 3
−2
=
−27 9
de
la
siguiente
)( )
+ 12 −
8 9
forma0
−8 = 145 =16.11 9
; al obtener el valor apro!imado del área considerando una base una altura de (9/(/ respectivamente, el área estimado es de -9. %o que permite deducir que el primer cálculo realizado está correcto.
Figura 2 Área de una curva arriba del eje x Fuente: Purcell, Varberg, & Rigdon
Figura 3 Área de una curva debajo del eje x Fuente: Purcell, Varberg, & Rigdon
(Calculo, 2007)
(Calculo, 2007)
Aplicaciones de la integral "ara encontrar el área de una región entre dos curvas se emplea el m#todo de rebane" apro#ime" integre. Este m#todo consiste en fragmentar en pedazos delgados el sólido, se apro!ima
el área como si fuese un rectángulo, finalmente se suman las áreas de las piezas. "ara encontrar el área entre dos curvas es necesario utilizar la integral definida de un área bajo una curva. El área entre dos curvas, se lo obtiene de la diferencia entre el área de la función que se encuentra arriba con el área de la función que se encuentra debajo. &e puede e!presar que b
∫ ( f ( x )− g ( x )) dx
A =
a
2olúmenes de sólidos0 capas, discos, arandelas. El uso de la integral definida permite calcular volúmenes de distintos tipos de cuerpos sólidos. Es decir que para obtener el volumen de un cilindro se puede considerar que el objeto se divide en muc'as rebanadas, que despu#s son sumados 'asta el límite.
El volumen de cualquier cuerpo sólido se lo obtiene del área de la base por la altura a e!cepción de la esfera. &egún "urcell, 2arberg, 3 4igdon ()**5, pág. ):)/ el volumen 2 del sólido debe
estar
dado,
de
manera
apro!imada,
por
la
suma
de
4iemann
se
e!presa
n
A ≈
A ( x ) ∆ x ∑ = i
i
i
.
1
b
cual se define como el volumen del sólido
∫
V = A ( x ) dx . a
&ólidos de revolución0 =#todo de los discos. "ara calcular el volumen de un sólido que se genera, cuando una región plana es girada en torno a un eje de giro se emplea el m#todo de los discos. $onsiste en cortar en discos de manera perpendicular el eje del solido de revolución todos del mismo anc'o. %a suma desde * 'asta el límite de todo el sólido revelará la superficie.
Aplicaciones de la integral El m#todo de las arandelas, una arandela se obtiene cuando al rebanar un sólido de revolución los discos presentan un agujero en medio, como el de la figura. El volumen del sólido b
queda e!presado
∫ π ( f ( x)− g ( x )) dx 2
V =
2
.
a
Figura 4 !todo de la" #randela" Fuente: Purcell, Varberg, & Rigdon (Calculo, 2007)
>tro
m#todo
que
e!iste
para encontrar el volumen de un sólido de revolución es el m#todo de cascarones cilíndricos. El volumen de un cascaron cilíndrico está dado por el producto de la altura ('/ el área de la base, de acuerdo a la figura el volumen es
V =( πr 2 −πr 1 ) h . 2
2
El
b
∫ ( xf ( x)) dx
V =2 π
.
volumen
del
sólido
es
Figura $ !todo de lo" %a"carone" %ilndrico" Fuente: Purcell, Varberg, & Rigdon (Calculo, 2007)
a
$onclusión
&e puede concluir que el m#todo de rebane, aproxime e integre es utilizado para encontrar áreas de una curva así como tambi#n para encontrar el volumen de un objeto sólido. En este último el volumen de cada rebanada debe ser fácil de apro!imar. Además este m#todo es empleado por los otros m#todos de disco, arandelas, cilíndricos.
$uando se requiere tener resultados e!actos, el uso de la integral definido puede ser útil en los cálculos necesarios para los cimientos de un edificio o la resistencia de un puente.
Aplicaciones de la integral
Bibliografía Larson, R., & Edwards, B. (2010). %'lculo () Ciudad de !"ico# c$raw%ill. Lei'old, L. (200). %'lculo para %iencia" #d*ini"trativa", +iológica" -ociale") !"ico . *.# +lfa-ega. urcell, E., /arberg, ., & Rigdon, . (2007). %alculo ( ed.). renice%all.
