C A M B I O D E VA V A R IA IA B L E S E N L A S IN IN T E GR GR A L E S TRIPLES
Es una generalización del concepto de integral doble. Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones subregiones elementales R k (k (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones particiones de R.
Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto P k (x (xk ,y ,yk ,z ,zk ) en cada Rk , se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes correspondientes a las diversas di versas particiones particiones P de R y a las funciones de elección e:
S R ( P, e)
N
f x
k
, y k , z k V R k
k 1
Se dice entonces que si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann Ri emann anteriores. anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de
N
Se escribe : lim
) 0 ( P
f x
k
, yk , z k V R k f ( x, y, z) dV
k 1
R
Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría : S R ( P, e)
n
m
p
f x
k
, y k , z k x i y j z k
i 1 j1 k 1
Y el límite antes citado suele designarse como: R
f ( x , y , z) dxd dx dydz
Como ampliación al caso de tres variables, de lo visto en el caso bidimensional, se obtienen los resultados siguientes, que se enuncian sin demostrar: 7.1 Fórmula de cambio de variable *
Sean R y R dos regiones en los espacios (u,v,w) y (x,y,z) respectivamente.
x
Sea
x ( u, v , w )
: y
( u , v , w )
z
( u , v , w ) *
un homeomorfismo de R sobre R * continuamente diferenciable sobre R y tal que el jacobiano J del mismo * no cambie de signo en R . Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces:
R
f ( x, y , z ) dxdydz
*
R
f x ( u , v , w ), y ( u ,v , w ), z( u ,v , w ) J
( u ,v , w ) dudvdw
Como en el caso de las transformaciones en el plano, también aquí las coordenadas * cartesianas (u,v,w) de un punto P de R*, se designan como coordenadas curvilineas del correspondiente P=(x,y,z) de R.
La superficie en R correspondiente a u=uo, recibe el nombre de superficie coordenada u=uo. Analogamente las superficies coordenadas v=vo ó w=wo.
El J representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al
aplicar . El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es : dV= J
( u , v , w ) dudvdw
Coordenadas cilíndricas Vimos que en la geometría plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripción más conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones más apropiadas de algunas superficies y sólidos que suelen presentarse. Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo veremos más adelante), y el otro es el sistema de coordenadas cilíndricas, en do nde un punto P del espacio tridimensional se representa mediante una tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a P como se muestra en la figura.
Entonces podemos afirmar que x = r cos t, y = r sen t, y z = z.
Supongamos ahora una integral triple de una función F(x, y, z) definida en un dominio Dx y z, podemos sustituir las variables x, y, z por funciones H (u, v, w), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamante, entonces la integral triple nos queda igual a
siendo J el Jacobiano que resulta
Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones anter iores obtenemos
Entonces el cambio de variables en coo rdenadas cilíndricas será
Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas (r, j, t) se muestran en la figura, do nde r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto P, j es el ángulo entre el eje positivo z y el segmento de recta OP, y t es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas.
La relación entre las coordenadas esféricas y las rectangulares pueden o bservarse en la misma figura. De los triángulos OPZ y OPP’ obtenemos
De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el Jacobiano para realizar el cambio de variables.
Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esféricas en integrales triples resultará
Ejercicios Desarrollados
Evaluar la integral
–
, usando
coordenadas esféricas. SOL.:
Se gráfica la región de los límites de integración:
–
Además el Jacobiano
Reemplazando en la integral:
– –
Calcular
, donde D es el sólido
limitado por SOL.:
Se gráfica la región de los límites de integración:
Además el Jacobiano
Reemplazando en la integral:
Calcular
, donde D es el cilindro
SOL.:
