Introducción
El cálculo diferencial e integral tiene aplicaciones en la ingeniería industrial en el desarrollo de algunos modelos estocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales. La aplicación de estos modelos va desde la distribución de plantas, hasta la planificación de compras y producción. La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. El odómetro del carro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt). En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares. También la utilizan los ingenieros industriales cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales. Este trabajo pretende demostrar las habilidades adquiridas por mí como alumna en el transcurso del cuatrimestre en en la resolución de problemas de cálculo y utilización y aplicación en la vida diaria. Al ser mi carrera ingeniería industrial me base mas en un problema que puede presentarse en el área de producción de una empresa, ya que por las características de las líneas de producción difícilmente se tienen a la mano dispositivos para integral, graficadores o algún material de apoyo, es entonces cuando los conocimientos adquiridos durante nuestra formación académica servirán de apoyo para la resolución de problemas.
Aplicaciones de las integrales en la ingeniería y la industria
El cálculo integral es una de la herramientas de gran importancia en diversas áreas de estudio, que van desde la economía hasta la biología y química, pasando por campos tan importantes de la ingeniería como la física. Con el cálculo integral se puede expresar fenómenos tales como el cálculo de áreas, volúmenes de regiones y sólidos de revolución, por lo cual es de gran importancia identificar el tema especifico que se quiere trabajar en ingeniería ya que el cálculo integral abarca muchos temas de la ingeniería. En la ingeriría , son muchas las aplicaciones que se pueden encontrar, entre ellas se pueden mencionar, la aerodinámica, la dinámica ,la mecánica de fluidos, análisis de estructuras, y la estabilidad y control de aeronaves. Ingeniería es el arte de tomar una serie de decisiones importantes, dado un conjunto de datos incompletos e inexactos, con el fin de obtener para un cierto problema, de entre las posibles soluciones, aquella que funcione de manera más satisfactoria." Ingeniería es la profesión en la que el conocimiento de las ciencias matemáticas y naturales adquirido mediante el estudio, la experiencia y la práctica, se aplica con buen juicio a fin de desarrollar las formas en que se pueden utilizar, de manera económica, los materiales y las fuerzas de la naturaleza en beneficio de la comunidad. " En ella, el conocimiento de las matemáticas y ciencias naturales, obtenido mediante estudio, experiencia y práctica, se aplica con juicio para desarrollar formas económicas de utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad y del ambiente.
Pese a que la ingeniería como tal (transformación de la idea en realidad) está intrínsecamente ligada al ser humano, su nacimiento como campo de conocimiento específico viene ligado al comienzo de la revolución industrial, constituyendo uno de los actuales pilares en el desarrollo de las El volumen de la esfera:
Considerando a la esfera centrada en el origen de coordenadas, el volumen se obtiene de inmediato resolviendo la correspondiente integral. Si integramos entre los límites 0 y R, resulta el volumen de la semiesfera, por lo que, multiplicando por 2 se obtiene el volumen de la esfera completa: El volumen del cilindro:
Un cilindro de radio R y altura h es engendrado por el área de un rectángulo de lados R y h cuando ésta rota alrededor del eje que contiene al lado h. Considerado el rectángulo en la posición de la figura, la función que barre el área es ahora la recta horizontal y = R, por lo que el volumen resulta de inmediato: la ingeniería industrial se enfoca en el diseño de los sistemas. Los procesos de producción se componen de muchas piezas que trabajan recíprocamente. La experiencia ha enseñado que los cambios a una parte no pueden ayudar a mejorar al conjunto. Así los ingenieros industriales trabajan generalmente con las herramientas que acentúan los análisis y diseños de los sistemas. Las ciencias fundamentales que se ocupan de la metodología son ciencias matemáticas, a saber matemáticas, estadística, e informática. La caracterización del sistema emplea así modelos y métodos matemáticos,
estadísticos, y de computación, y da un aumento directo a las herramientas de la ingeniería industrial tales como optimización, procesos estocásticos, y simulación. Los cursos de la especialidad de la ingeniería industrial por lo tanto utilizan estas " ciencias básicas " y las herramientas del IE para entender los elementos tradicionales de la producción como análisis económico, plantación de la producción, diseños de recursos, manejo de materiales, procesos y sistemas de fabricación, Análisis de puestos de trabajo, y así sucesivamente. TURBINAS DE VAPOR Princ ipio s gen erales de term od inám ica
Termodinámica es el estudio de las transformaciones de la energía. A la cantidad de materia bajo consideración se le llama sistema , y a todo lo demás se hace referencia con el término medio circundante. En un sistema cer rado no hay intercambio de matera entre el sistema y el medio circundante; en un sistema abierto si existe tal intercambio, cualquier cambio que pueda sufrir el sistema se conoce con el nombre de proceso. Cualquier proceso o serie de procesos en los cuales el sistema retorne a su condición o estado original se llama ciclo. Pro pi edad es té rm icas d e los c uer po s
El calor es la energía que se transmite de una masa a otra a causa de la existencia de una diferencia de temperatura entre las dos m asas. Siempre que una fuerza de cualquier clase actúa a través de una cierta distancia, se efectúa un trabajo como el calor, el trabajo es también energía que de transmite. Debe diferenciarse el trabajo de la capacidad de una cantidad de energía para efectuar trabajo . Leyes de la term od inámi ca Ley cero de la termodinámica
A este principio se le llama "equilibrio térmico". Si dos sistemas A y B están a la misma temperatura, y B está a la misma tem peratura que un tercer sistema C, entonces A y C están a la misma temperatura. Este
concepto fundamental, aun siendo ampliamente aceptado, no fue formulado hasta después de haberse enunciado las otras tres leyes. De ahí que recibe la posición 0. Primera ley de la termodinámica
También conocido como principio de la conservación de la energía, la Primera ley de la termodinámica establece que si se realiza trabajo sobre un sistema, la energía interna del sistema variará. La diferencia entre la energía interna del sistema y la cantidad de energía es denominada calor. Fue propuesto por Antoine Lavoisier. En otras palabras: La energía no se crea ni se destruye solo se transforma. (Conservación de la energía). La primera ley puede escribirse, por tanto en la forma. Segunda ley de la termodinámica
Esta ley indica las limitaciones existentes en las transformaciones energéticas. En un sistema aislado, es decir, que no intercambia materia ni energía con su entorno, la entropía (desorden en un sistema) siempre habrá aumentado (nunca disminuido, como mucho se mantiene) desde que ésta se mide por primera vez hasta otra segunda vez en un momento distinto. En otras p alabras: El flujo espontáneo de calor siempre es unidireccional, desde una temperatura más alta a una más baja. Existen numerosos enunciados, destacándose también el de Carnot y el de Clausius. Procesos reversibles e irreversibles
Un proceso reversible es aquel en el cual tanto el sistema como el medio circundante pueden retornar a sus estados originales. Esto no es posible después de haber tenido lugar un proceso irreversible. Ningún proceso en el que intervenga el rozamiento o un potencial desequi librado puede ser reversible. Ninguna pérdida de la disposición para efectuar trabajo es sufrida a causa de un proceso reversible, pero siempre la habrá a causa de un proceso irreversible. Todos los procesos reales son irreversibles.
Cualquier serie de pro cesos reversibles que comience y termine con el sistema en el mismo estado se llama ciclo reversible. Turbinas de vapor
El éxito obtenido con las turbinas de agua condujo a utilizar el principio de la turbina para extraer energía del vapor de agua. Mientras que la máquina de vapor de vaivén desarrollada por Watt utilizaba la presión del vapor, la turbina consigue mejores rendimientos al utilizar también la energía cinética de éste. La turbina puede ser más pequeña, más ligera y más barata que una máquina de vapor de vaivén de la misma potencia, y puede ser de un tamaño mucho mayor que las máquinas de vapor convencionales. Desde el punto de vista de la mecánica, tiene la ventaja de producir directamente un movimiento giratorio sin necesidad de una manivela o algún otro medio de convertir la energía de vaivén en energía rotatoria. Como resultado de ello, la turbina de vapor ha reemplazado a las máquinas de vaivén en las centrales generadoras de energía eléctrica, y también se utiliza como una forma de propulsión a chorro. LA INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida se representa por
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se descompone como una suma de dos integrales
extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es
igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la función.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN INGENIERIA ELECTRONICA
En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizar su comportamiento dentro del circuito, por ejemplo:
Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo, se emplea la siguiente ecuación:
q(t)=∫i(t) dt (Siendo (q)= carga; (i) corriente) desde un tiempo t1 a t2
Cuando queremos averiguar la energía que posee un circuito, basta con integrar la potencia del circuito de un tiempo (t1) a un tiempo (t2) de la siguiente manera:
w(t)=∫p(t) dt (Siendo W= energía; p= potencia) desde un tiempo t1 a t2
Para averiguar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado se tiene:
vc(t)=1/c∫ic(t) dt (Siendo Vc= voltaje en el condensador; C= valor del condensador,Ic= corriente en el condensador) con respecto al tiempo (t) desde un tiempo t1 a t2
Si queremos averiguar la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado se tiene:
iL(t)=1/L∫vL(t) dt desde un tiempo t1 a t2 (Siendo IL= corriente en la bobina L= valor de la bobina en (mH); VL= voltaje en el inductor) con respecto al tiempo (t)
Cuando se quiere hallar potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada, basta con hallar la integral del producto entre la resistencia por la corriente al cuadrado, así:
W(t)=∫Ri²(t) dt desde un tiempo t1 a t2 (Siendo W (t)= potencia en el tiempo,R= resistencia en Ohmios, I= corriente en amperios). Esta es una pequeña muestra de la gran importancia que tienen las integrales en la ingeniería electrónica. Esto sin contar el cálculo de volúmenes que son fundamentales para calcular el núcleo de un transformador, para estimar el campo magnético producido. O las series y sucesiones que son importantes para estimar las dimensiones de una señal o pulso eléctrico, medido con el osciloscopio. Publicado por S er g i o A m o r t e g u i en 14:53 3 c o m e n t ar i o s :
Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V 0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V 0 /R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que V ab+V bc +V ca=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t =0, i =0.
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V 0 /R muy rápidamente. APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL Con el pasar del tiempo y el desarrollo del hombre, nace una rama de las matemáticas centrada en el proceso de integración o anti-derivación, denominada cálculo integral, que es creada para mejorar los métodos de medición de áreas ubicados bajo líneas o superficies curvas, usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow; las investigaciones de éste ultimo junto con las de Newton originaron el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que plantea que la derivación y la integración son técnicas inversas. Éste es un proceso muy común en la ingeniería, en la matemática y en algunas otras ramas de la ciencia, y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. En cuanto a su uso en las distintas ingenierías, como en la ingeniería ambiental, la cual nace gracias al desarrollo industrial de las poblaciones, y por lo tanto con la necesidad de no sólo controlar, sino también de evitar la contaminación del planeta causada principalmente por la producción de los diferentes residuos tantos sólidos como líquidos generados por las fabricas, por medio de la creación y práctica de
proyectos ambientales que se relacionen con todos los aspectos de la sociedad, sus aplicaciones son varias y algunos ejemplos se darán a conocer más adelante. Uno de los tipos de integral más conocida y utilizada en éste cálculo es la integral definida, que es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, es decir que, dado un intervalo [a,b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a,b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b; pero ¿Qué aplicación tiene esto en la carrera? En la práctica profesional de la ingeniería ambiental, en muchos casos, se hace necesario conocer el caudal de un río, que es la velocidad que lleva el agua y que es función de los meses del año, ya que ésta información permite conocer con buena precisión el balance hidrológico que tiene ésta corriente de agua, además que son datos básicos para la construcción de obras hidráulicas como presas o acueductos, y para determinar las causas de incremento o disminución extremos en el caudal del río, como por ejemplo: Si se sabe que la cantidad de agua que pasa por un río en un periodo de tiempo es igual al área encerrada por el eje x y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente, ¿Cuál es la cantidad de agua en hectolitros que pasa por un río en un año?, teniendo en cuenta que la función que mide el caudal en función de los meses del año está dada por:
F(x) = 3 + 2 cos πx/6 Entonces:
Volumen = ∫_0^12▒ 〖(3+2 cos〖 πx/6) dx〗 〗 V = 3x+ 12/π sen πx/6 F (12) = 36, F (0) = 0 V = [F (12) – F (0)] = [36 – 0] = 36 Encontrando así que la cantidad de agua que pasa por el río en un año es de 36 mil hectolitros. Otra herramienta muy utilizada en el cálculo integral es lo que se conoce como el área bajo la curva, la cual hace referencia al área de una región acotada asociada a una función, es decir, una región que está acotada a la derecha por la recta x=a, a la izquierda por la recta x=b, por abajo por el eje x y por arriba por la función positiva f(x) con f(x) mayor que 0, con respecto al sistema de coordenadas cartesianas; para llevar a cabo el proceso es necesario hacer uso de figuras geométricas de áreas conocidas que llenen la región y la suma de éstas áreas correspondería al valor aproximado del área de toda la zona. En la ingeniería ambiental éste método es de gran ayuda para los diagnósticos de control ambiental, que son los instrumentos de evaluación ambiental, que se llevan a cabo en un proyecto, obra o industria, en donde los impactos son determinados mediante sistemas de evaluación basados en muestreos y mediciones con el fin de determinar las acciones correctivas necesarias para mitigar estos impactos sobre le medio ambiente, un ejemplo de esto es: Una empresa que emite gases de efecto invernadero a la atmosfera necesita un ingeniero ambiental para que controle los efectos negativos de los gases en el ambiente.
En éste diagnostico es necesario presenta el trabajo realizado de la combustión de los gases de chimenea alterando los volúmenes de los gases iniciales como los finales y para que esto es necesario utilizar una integral, que seria:
W=∫_Vi^Vf▒P dv Donde el trabajo es el área bajo la curva: En conclusión se puede decir que el cálculo integral es una herramienta muy útil para muchas de las ramas del conocimiento, como la ingeniería, y en caso especifico, la ingeniería ambiental, ya que permite que muchos de los procesos que se deben llevar a cabo, como los ejemplos expuestos anteriormente, los diferentes experimentos en la química ambiental, en la termoquímica, el hallazgo del área de diferentes terrenos, el volumen de agua que puede llevar un tubo, entre otros, no sólo en el transcurso de la carrera, sino en la vida profesional, puedan ser realizados con mayor facilidad. Cabe decir que aunque la tecnología esté en constante avance, y en la actualidad existan herramientas que permiten que todo éste tipo de actividades se lleve a cabo de manera más práctica, el cálculo integral es básico, no sólo para ésta ingeniería, sino para todas.
Conclusiones
Se observa que el cálculo integral tiene cabida en casi todos los campos del conocimiento por no decir todos. Se analizo la importancia del cálculo integral en las materias base de la ingeniería, y se hizo notar que sin un conocimiento previo del cálculo integral sería muy difícil encontrar solución a los problemas que se afrontan día a día en la ingeniería.
Bibliografía
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Beranek,Leo L. (Ed): “Noise Reduction”. McGraw-Hill Book Company, New York USA, 1960.
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