¿Cuál es la aplicación de las integrales eningeniería Industrial? Aunque no se trata de una herramienta de uso cotidiano del ingeniero, elcálculo elcálculo integral tiene aplicaciones en el desarrollo de algunos modelosestocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales. Laaplicación de estos modelos va dese la distribución de plantas, hasta laplanificación de compras y producción. INTEGRALES Ejemplo 1 : La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. el odómetro delcarro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).Ejemplo 2 : En el campo de las construcciones , los arquitectos , ingenieros yprofesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener elárea de superficies irregulares.Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan con loscostos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de unproducto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales. EjemploSi se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f ( x )=4− x 2 en el intervalo[ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g ( x ) = 0 entonces evaluando laintegral, se obtiene:Por lo que se concluye que el área delimitada es .Elvolumen .El volumenencerrado encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de unaintegral, similar. Aplicaciones de la integralHasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sinplantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integraldefinida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física,su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral
Introducción
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en l a matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. En los temas relacionados con el cálculo diferencial e integral en la ingeniería industrial, específicamente es lo relacionado con las principales aplicaciones en la Economía de los conceptos de derivada de funciones de una y varias variables reales, de funciones compuestas y de integral definida e indefinida. En relación con la “Teoría del Consumidor”: oferta, demanda, utilidad y excedente del consumidor y con las funciones de costos, ingresos, producción, ganancia y excedente del productor. Además de la aplicación que tienen en las funciones de consumo y ahorro de las economías de las empresas. El cálculo diferencial e integral tiene aplicaciones en la ingeniería industrial en el desarrollo de algunos modelos estocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales. La aplicación de estos modelos va desde la distribución de plantas, hasta la planificación de compras y producción. La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. El odómetro del carro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt). En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares. También la utilizan los ingenieros industriales cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales. Este trabajo pretende demostrar las habilidades adquiridas por nosotros como alumnos en el transcurso del cuatrimestre en la resolución de problemas de cálculo y utilización y aplicación en la Ingeniería Industrial. Al ser mi carrera ingeniería industrial me base mas en un problema que puede presentarse en el área de producción de una empresa, ya que por las características de las líneas de producción difícilmente se tienen a la mano dispositivos para integral, graficadores o algún material de apoyo, es entonces cuando los conocimientos adquiridos durante nuestra formación académica servirán de apoyo para la resolución de problemas. Aplicaciones del cálculo en la ingeniería industrial La ingeniería Industrial es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química, cálculo a la elaboración forma al recurso humano con la capacidad de diseñar, desarrollar, implementar y supervisar proyectos de todo tipo, optimizando recursos, ya sea en cuanto a materiales, mano de obra, etc. con el nivel más alto posible de productividad, lo que implica que se lleve a cabo en el menor tiempo. Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación en la administración del ambiente urbano principalmente, y frecuentemente rural; no sólo en lo referente a la construcción, sino también, al mantenimiento, control y operación, así como en la planificación de
la vida humana en el ambiente diseñado desde esta misma. Esto comprende planes de organización territorial tales como prevención de desastres, control de tráfico y transporte, manejo de recursos monetarios, servicios públicos y todas aquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que desarrolla su vida sobre las Industrias construidas y operadas por ingenieros. Las matemáticas se van jerarquizando, dependiendo su grado de dificultad, por lo que se dividen en ramas, como lo son, la geometría, el algebra, la trigonometría, la estadística, las matemáticas en general, y algo muy peculiar llamado calculo, tanto integral como diferencial. Al escuchar esta última rama de las matemáticas, se piensa que es algo muy complejo, lo cual no tiene ninguna aplicación en la vida diaria, pero al profundizar más en el tema, se encontrara que es todo lo contrario. El cálculo diferencial, en la ingeniería industrial aplica en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan él esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculo en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar. Las principales aplicaciones Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son: • El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración • El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo: - En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema. La aplicación de las integrales no es limitada al cálculo de volúmenes de t odo tipo o de aéreas solamente; empecemos por mencionar su importancia en la estadística. Cuando tienes distribuciones continuas todas las probabilidades se hacen por integración entre los límites del intervalo para el que quieres la probabilidad. De esto se deduce naturalmente que la probabilidad de un punto aunque no sea imposible es cero. En donde se aplica más Lo que se usa mucho es también el cálculo diferencial - Para encontrar los estimadores de un parámetro por el método de la máxima verosimilitud se deriva la función de verosimilitud respecto del parámetro y se iguala a cero. Su derivada segunda debe ser positiva para que sea un máximo.
- Para cambio de variables, el caso más elemental para ejemplificar se tiene y=f(x) y es una función monótona y derivable de la variable aleatoria x con función de distribución h(x). La función de distribución de y será: g(y)=(h(f-1(y)))/(dy/dx) En donde permiten evaluar funciones de distribución de probabilidad de eventos (como la normal, la gama, binomial, etc.), estimaciones certeras de estimadores mediante máxima verosimilitud, entre otras. La primera ley de la termodinámica en la industria se utiliza para cuantificar costos energéticos, asi como las cantidades de calor o de trabajo que se deben suministrar o extraer a un proceso. En general se utiliza para el diseño de sistemas energéticos. Tiene demasiadas aplicaciones, el análisis de costos de los combustibles a utilizar, calcular la eficiencia de las maquinas que se utilizan, en los procesos químicos para calcular la energía necesaria para producir y la generada por estas reacciones, calcular el ciclo de trabajo de la maquinaria y equipo. En fin, la termodinámica es fundamental para la ingeniería industrial En física permite calcular la energía de un sistema como el del trabajo, es la única que t ransforma un moldeamiento físico de una ecuación diferencial en una ecuación aplicable para predicción y control. En la industria cálculos para manejo de inventarios. En diversas ocasiones las industrias sufren las diferencias en los almacenes y esperan a la toma de inventario general para analizarlas y subsanarlas, sin embargo, cuando llega el momento de realizar el trabajo se presenta la encrucijada de tercerizar o trabajar con el personal administrativo de la empresa, este tipo de decisiones podrían dejar de lado la importancia de un trabajo preventivo que emplee metodologías, las cuales permitan reducir costos y carga operativa. En calculo En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayores y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática. Ejemplo Costos internos y de pérdida en un sistema de colas Costos Variables:
Varían proporcionalmente a los cambios experimentados en el volumen de la producción. Ejemplo: materias primas y materiales directos, combustible y energía con fines tecnológicos. w es el salario r es el tipo de interés L es la cantidad de trabajo K es la cantidad de capital Costo marginal Costo adicional que se incurre para suministrar o vender una unidad adicional de producto o servicio. Matemáticamente, la función del coste marginal CMa es expresada como la derivada de la función del coste total CT con respecto a la cantidad Q: Costos Fijos: Son los que permanecen inalterables independientemente de los aumentos o disminuciones de la producción, dentro de ciertos límites. Ejemplo: salario del personal administrativo y medidas de protección. Costo Total: Costo Total. Es la suma de los costos fijos y de los costos variables en el corto plazo. Se puede expresar en Valores Unitarios o en Valores Totales Costo Total unitario = Costo Variable unitario + Costo Fijo unitario Costo Total = Costo Variable Total + Costo Fijo Total Ingreso: Ingresos de su negocio por ventas antes de cualquier deducción por operación, impuestos o depreciación. Se puede clasificar en varios tipos: Ingreso marginal: Generado por el aumento de la producción en una unidad. Ingreso medio: Ingreso que se obtiene, en promedio, por cada unidad de producto vendida; es decir, es el ingreso total dividido en el total de unidades vendidas. Ingreso del producto marginal: Ingreso generado por la utilización de una unidad adicional de algún factor de producción (trabajo, capital), por ejemplo, la utilización de un trabajador más, etc.
Biología permite el uso de regresiones para estimaciones de poblaciones Una relación de proporcionalidad muy importante la asociamos a fenómenos en los que la “cantidad presente de X en un instante dado, provoca una razón de cambio proporcional a la propia X”, expresada como: . Un ejemplo muy común que podemos considerar está asociado a fenómenos de población; en efecto, si en cierto instante t, la población de una comunidad es P, la velocidad de crecimiento de dicha población será . Luego si la población crece es válido aceptar que la velocidad de crecimiento de la población también aumente y viceversa, es decir, que si la cantidad de pobladores diminuye, proporcionalmente la velocidad de crecimiento de la población también lo haga. De ser considerada verdadera la suposición de proporcionalidad, el modelo asociado será , con P(t0)=P0 como condición inicial y obviamente P0 no nula. La simplicidad de la ecuación modelo de población parte de las siguientes condiciones de simplificación o idealización, que de no cubrirse harán fracasar su capacidad de predicción: 1. P es discreta; sin embargo, suponerla continua permite la existencia e interpretación adecuada de dP/dt como la velocidad de crecimiento de la población. 2. Las condiciones en las cuales la población se reproduce son invariantes en el tiempo, es decir no existen eventos fortuitos que modifiquen drásticamente dichas condiciones entre las cuales se pueden considerar: guerras, epidemias, exterminios, aparición de nuevos depredadores, extinción de alimentos, etc. 3. Los recursos que permiten el crecimiento de la población están disponibles permanentemente y crecen proporcionalmente a la población presente. 4. La razón de la tasa de reproducción de la población respecto de la población presente, permanece constante a lo largo del tiempo, y por tanto también permanecen constantes las condiciones que provocan dicha invariabilidad (posiblemente factores como la razón del número hembras en edad reproductiva respecto de la población total, el número promedio de descendientes que procrea cada hembra, etc.) 5. En el tiempo t0≥0 la población presente es P0 >0. La relación de proporcionalidad entre la cantidad presente y la velocidad de variación mostrada es comúnmente conocida como Modelo de población o incluso con base a la solución de dicha ecuación, como Modelo de crecimiento exponencial. La solución de esta ecuación se puede encontrar fácilmente mediante las técnicas del Cálculo integral, como se muestra: Dónde . Dadas las condiciones iníciales, tomando t0= 0, se tiene: El valor de la constante de proporcionalidad k, se puede conocer dada la población P1 en otro tiempo t1: Por otra parte En niveles de energía de los enlaces.
En construcción calcula la resistencia de los materiales. Y en óptica, en investigación de operaciones, en administración de producción en todo. Problema CONCEPTOS INTRODUCTORIOS Mercado: es un mecanismo por medio del cual los compradores y los vendedores de un bien determinan conjuntamente su precio y su cantidad. Producción (Q): cantidad total de una mercancía medida en unidades físicas. Precio (P): coordinan las decisiones de los productores y los consumidores en el mercado. La subida de los precios tiende a reducir las compras de los consumidores y fomenta la producción. La reducción de los precios fomenta el consumo y reduce los incentivos para producir. Renta (Y): flujo de salarios, intereses, dividendos y otros ingresos que recibe una persona o un país durante un período de tiempo. Cálculo diferencial: El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables, siendo la diferenciación el proceso de calcular derivadas. Cálculo Integral: El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. PRODUCCIÓN Función de producción: Es la relación entre la cantidad máxima de producción que puede obtenerse y los factores necesarios para obtenerla. Producto marginal de un factor: Es el producto adicional que se obtiene mediante una unidad adicional de ese factor, manteniéndose constantes los demás. PMaL=δq/δ1 PMak=δq/δk Ley de los rendimientos decrecientes: El producto marginal de cada unidad del factor disminuye a medida que aumenta la cantidad de ese factor, manteniéndose todo lo demás constante. Regla del costo mínimo: Para obtener un nivel dado de producción con el menor costo posible, una empresa debe comprar factores hasta que iguale el producto marginal por peso gastado en cada factor de producción. Eso implica que: (Pma 1)/(Precio de 1)=(Pma k)/(precio de k) Aplicación de la derivada de funciones de varias variables Considerando que en la elaboración de derivados de la harina intervienen los siguientes factores de producción:
l- mano de obra m- materias primas k- otros medios La función de producción está dada por la expresión: Q (l.m.k)=10k√lm+2k/m+ 50 a-) Calcular las productividades marginales respecto de cada uno de los factores de producción para el valor (4,4,1). Interpretar los resultados. b-) Si la cantidad de factor m empleado aumenta en 5 unidades y las cantidades de los otros factores se mantienen. ¿Qué sucederá? Solución a-) Evaluar en (4.4.1) δq/δl=(10√m)/(2√l) = ((10)(√4))/2(√4) =5 δq/δk=10√lm+2/m=10)[√((4)(4) )]+2/4=40.5 δq/δm = (10k√l)/(2√m)-2l/m2=(10)(1)(√4)/(2)(√4) -(2)(4)/(4)(2) =4 Rta: La producción aumenta ante el incremento en el consumo de los tres factores de producción. b-) Evaluar en (4,9,1) δq/δl=(10)(1)(√9)/2(√4) =7.5 δq/δk=(10)[√((4)(9) )+2/9=62.22 δq/δm=(10)(1)(√4)/2(√9) - (2)(4/92)=3.246 Rta: Al incrementarse la cantidad consumida de m, disminuye el producto marginal de ese factor, mientras que el del resto de los factores aumenta. Aplicación de la derivada de funciones de varias variables La función de producción de una empresa es Q(l.k) = k213 Se conoce además que el precio de los factores es 6 y 8 respectivamente y que la cantidad consumida del factor trabajo es 10. a-) ¿Qué cantidad de factor capital debe comprar la empresa si decide hallar el equilibrio? b-) Si la empresa decide contratar el doble de las unidades del factor l. ¿qué sucederá con el factor K?
Solución a-) Regla del costo mínimo: Pmal/Pl = Pmak/Pk Pmal=312k2 312k2/6=2k13/8 Pmak=2k13 k/2=l/4 k=2l/4 sustituir l=10 k=5 Rta: Para encontrarse en el estado deseado la empresa debe comprar 5 unidades del factor capital. k/2=l/4 k = 2l/4 sustituir=20 k=10 Rta: Si la empresa decide contratar el doble de las unidades del factor trabajo, debe comprar también el doble del factor capital, para poder mantener el equilibrio. Derivadas Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor Que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la Demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos Que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso Marginal y beneficio marginal. APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y PRODUCCION. 1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función Q(x)=100;000+1;500x+0:2x^2 2 El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.
Solución: Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es Q^0 (x)=1;500+0:4x; y el costo por producir 1 auto más es, Q^0 (100)=1;540 pesos; Esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es, q(x)=(100;000)/x+1;500+0:2x; El costo promedio al producir 100 autos es, q(100)=2;520 pesos; Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir Un auto más, conviene producir la siguiente unidad.
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