UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES APLICACIONES A LA FISICA QUIROZ GIRÓN CRISTIAN LARRY
MATEMATICA III
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MIN ERA Y METALURGICA
[APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES] MATEMATICA III
APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES A LA FISICA.
APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES:
MASA DE UNA FIGURA PLANA .
Considere una lámina plana de densidad variable entonces su masa viene dada por m, la cual es:
, que ocupa una región D en el plano xy,
EJEMPLO.
Determine la masa de las placas delimitadas por las curvas varía de acuerdo a la función SOLUCION:
, cuya densidad
La solución se obtiene de aplicar directamente la fórmula de integral doble entonces aplicando al problema dado se tiene:
,
Aplicando sobre la región dada D:
Dividimos esta área en dos partes (D1 y D2) para pasar a integrar convenientemente:
Donde:
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[APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES] MATEMATICA III Entonces tendriamos por problema:
MOMENTOS ESTATICOS FIGURAS PLANAS:
DE
El momento estatico de una particula alrededor de un eje se define como el producto de su masa por la distancia que la separa de ese eje. A continuación se trata de los momentos de la figura D alrededor de los ejes cordenados.
EJEMPLO :
A manera de ejemplo determinaremos los momentos estáticos de la figura utilizada en el problema anterior.
Ahora tomamos a la figura como un gran numero de partes infinitesimales y tomamos una integral en este limite. Sea D una región en el plano xy , tal que su densidad viene dada por la función la cual es continua entonces el momento estatico alrededor del eje x denotado por Mx se define como :
Mientras el momento de y es M y:
Calculando el momento respecto al eje y se tiene:
Concluimos el ejemplo con los siguientes resultados:
Mx= 64/3 My= 1424/15
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CENTRO DE MASA:
El centro de gravedad de una figura plana D , es un punto P de coordenadas en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtiene mediante las acuaciones:
De donde tanto las masas como los momentos estáticos se calculan mediante integrales dobles. Sea D una región del plano xy tal que su densidad viene dada por la función cual es continua
la
entonces el centro de gravedad viene dado por:
Apliquemos esta nueva formula al problema ya dado al inicio. EJEMPLO:
Determine el centro de masa de la placa descrita anteriormente. SOLUCION.
Sustituyendo los valores hallados en los ejemplos anteriores obtenemos:
.: Quedándonos
= ( 178/75 ; 8/15 )
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MOMENTO DE INERCIA.
El momento de inercia de una particula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que los separa de ese eje y se considera como una medida de oposición a girar del cuerpo cuando actua sobre el una fuerza de rotación. Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función la cual es continua entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y , denotados por Ix e Iy se obtienen como:
El momento de inercia I 0 es :
EJEMPLO:
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo anterior.
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APLICAIONES DE INTEGRALES TRIPLES.
Las aplicaciones de las integrales triples son similares a las de la dobles , por ello no entraremos en detalles de definiciones físicas .
MASA DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO.
masa es un punto coordenadas son:
donde sus
Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable entonces su masa denotada por m, se obtiene como :
MOMENTOS ESTATICOS DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO.
Sea B un recinto del espacio , tal que su densidad viene dada por la función la
cual
es
continua
entonces los momentos estáticos son:
CENTRO SOLIDO.
MOMENTO DE INERCIA FIGURAS PLANAS.
DE
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función la
cual
es
continua
entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados , denotados I x ,Iy e Iz se obtienen por :
DE
MASA
DE
UN
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función la
cual
es
El momento de inercia I o , es:
continua
Entonces el centro de
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
PROBLEMA 01:
Hallar el centro de masa de un cubo de lado 1 que tiene un vértice inferior el origen de coordenadas, sabiendo que en cada punto (x, y, z) la distancia es proporcional al cuadrado de la distancia. SOLUCION:
Como la densidad en cada punto (x , y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen se tiene:
Donde k es una constante.
Por otra parte,
Como se comprueba fácilmente, la integral entre corchetes s calculó más arriba, con lo cual
Finalmente por la simetría de la figura , se tiene por consiguiente : .: CM = ( 7/12 , 7/12, 7/12 )
PROBLEMA 02:
Hallar el centro de masa de un tetraedro de densidad constante y vértices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) y (0,0,1) . SOLUCION:
Teniendo en cuenta los vértices del tetraedro , estará formado por tres planos que coinciden con los que forman el primer octante, además del plano x + y + z = 1 , por cortar a los ejes en los puntos (1 , 0 , 0 ), (0 , 1 , 0) y (0 , 0 , 1).Ahora bien, este plano corta al plano XY según la recta x + y = 1 .cuando x varía entre 0 y 1, y varía entre 0 y 1-x , y z entre 0 y 1 – x –y. Por lo tanto, si denotamos por S al tetraedro, se tendrá:
Y así, la densidad es será:
constante
la masa
De lo que sigue:
Por otra parte,
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De lo que sigue que
= ¼ y por simetría, el centro de masas es el punto (¼, ¼, ¼).
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