“Año Internacional I nternacional del Turismo Turismo Sostenible Sostenib le para el Desarrollo”
Curso: Análisis Matemático II Profesor:
Integrantes:
2017
INTRODCCION !l cálculo integral es una "e las #erramientas "e gran im$ortancia en "i%ersas áreas "e estu"io& 'ue %an "es"e la econom(a #asta la )iolog(a * 'u(mica& $asan"o $or cam$os tan im$ortantes "e la ingenier(a como la f(sica+ Con el cálculo integral se $ue"en e,$resar fen-menos tales como el cálculo "e áreas& %ol. %ol.me mene ness "e regi region ones es * soli soli"o "oss "e re%o re%olu luci ci-n -n&& $or $or lo cual cual es "e gran gran im$ortancia i"entificar el tema es$ec(fico 'ue se 'uiere tra)a/ar en ingenier(a *a 'ue el cálculo integral a)arca muc#os temas "e la ingenier(a+ !n la ingenier(a& son muc#as las a$licaciones 'ue se $ue"en encontrar& entre ellas se $ue"e mencionar& la aero"inámica& la "inámica& la mecánica "e flui"os& análisis estructural& * la esta)ili"a" * control "e aerona%es+ Ingenier(a es el arte "e tomar una serie "e "ecisiones im$ortantes& "a"o un con/unto "e "atos incom$letos e ine,actos& con el fin "e o)tener $ara un cierto $ro)lema& "e entre las $osi)les soluciones& a'uella 'ue funcione "e la manera más satisfactoria+ Inge Ingeni nier er(a (a es la $rof $rofes esii-n n en la 'ue 'ue el cono conoci cimi mien ento to "e las las cien cienci cias as matemáticas * naturales #a a"'uiri"o me"iante el estu"io& la e,$eriencia * la $ráctica& se a$lica con )uen /uicio a fin "e "esarrollar las formas en 'ue se $ue"en utiliar& "e manera econ-mica& los materiales * las fueras "e la naturalea en )eneficio "e la comuni"a"+ !n ella& el conocimiento "e las matemáticas * ciencias naturales& o)teni"o me"iante el estu"io& e,$eriencia * $ráctica& se a$lica con /uicio $ara "esarrollar formas econ-micas "e utiliar los materiales materiales las fueras "e la naturalea $ara $ara )eneficio "e la #umani"a" * "el am)iente+
O!TI3O4 Demostrar 'ue es necesario el uso "e integrales en los "etalles "e ingenier(a como son áreas& longitu" "e arco& centro "e gra%e"a" * momentos "e inercia
AR!A4 4eg.n la "efinici-n "e Riemann& se o)tiene una sumatoria "e infinitas $artes "e f
un área )a/o una cur%a+ 4e "ice entonces: 4i
[ a, b ]
f ( x )
≥ 0 ∀ x∈[ a, b]
*
* sea x
el e/e "e las regi-n
R
R
* las rectas
y = f ( x )
la regi-n limita"a $or la cur%a
x = a x = b &
n →∞
n
n →∞
Pero
!ntonces& la me"i"a
A
&
"el área "e la
está "a"a $or A = lim
lim
es una funci-n continua en
∑ i =1
f ( xi ) ∆xi
n
∑ f ( x ) ∆x i =1
i
i
b
= ∫ a f ( x ) dx [ a, b ]
f
f ( x )
≥ 0 ∀ x∈[ a, b]
5o anterior significa 'ue si es continua en * & entonces la integral "efini"a se inter$reta geom6tricamente como la me"i"a "e la regi-n
R
Pero& a"emás "el teorema fun"amental "el cálculo& sa)emos 'ue b
∫ f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) a
F ' ( x )
"e la forma
f ( x )
F ( x )
& "on"e
es a anti"eri%a"a "e la funci-n
= f ( x) + Po"emos afirmar 'ue: A = F ( b )
− F ( a)
!!RCICIO 1+1 f ( x )
Calcular el %alor "e la regi-n $lana )a/o la gráfica "e inter%alo
SOLUCION
A =
2
∫
2
∫
−2
x 4 − x dx = 2 2
−2
4 − x 2 dx
4− x
2
+
4 2
arcsen
A = ( 2arcsen ( 1) − 2arcsen ( −1) )
A = 2
− π − 2 ÷÷÷ 2 2
π
A = 2π
4 − x dx 2
en el
[ −2, 2]
A =
=
x
2
2
−2
!!RCICIO 1+2 f ( x )
Determine el %alor e,acto "el área "e la regi-n limita"a $or
[ −1,2] . el inter%alo
SOLUCIÓN A =
2
∫
−1
2
( 2 x + 1) dx =
1 6
3
2
−1
( 2 x + 1)
A = 21
=
1
(5 6
3
− ( −1) 3 )
= ( 2 x + 1) 2 en
5ON8ITD D! CR3A4 Imagine 'ue "esea me"ir un segmento "e cur%a * 'ue $ara ello cuenta .nicamente con los elementos estan"aria"os 'ue conocemos 9reglas& escal(metros& fle,-metros& etc+& to"os ellos segmentos rectil(neos 'ue se toman como uni"a"es "e me"i"a+ n m6to"o a$ro,ima"o $o"r(a ser #acer coinci"ir nuestra uni"a" "e me"i"a con el o)/eti%o $or me"ir; sin em)argo& $arece im$osi)le o $oco a$ro,ima"o+ n m6to"o alternati%o * más e,acto re'uerirá un $roce"imiento más "etalla"o& 'ue consiste en "i%i"ir el área en un "etermina"o n.mero "e $artes
!%i"entemente& cuanto más $e'ue
( ab, bc, cd ,...) , ma*or será la a$ro,imaci-n+ AB
≈
ab + bc + cd + ...
A $artir "e eso se "a la siguiente "efinici-n: 5a longitu" "e un arco "e cur%a se "efine como el l(mite "e la suma "e los la"os "e la $oligonal cuan"o el n.mero "e "i%isiones tien"e a ser mu* gran"e
( → ∞) & al mismo tiem$o 'ue ca"a segmento "e la $oligonal tien"e a ser mu*
( → 0) $e'ue
4ea
una cur%a en el e/e coor"ena"o& * se 'uiere encontrar la longitu" P
Q
n
"e un arco 'ue %a "e un $unto a un $unto & se toma un n.mero cual'uiera "e $untos so)re la cur%a * traan"o cuer"as $ara unir los $untos * se analia solo un segmento& as( como sigue+
( x1 , y1 ) .
P 1 !l $unto
tiene coor"ena"as
( x1 + ∆x, y1 + ∆y )
P 2
!l $unto
tiene coor"ena"as
5a longitu" o "istancia entre los $untos será: 2
P1P2
( ∆ x ) + ( ∆y ) = ( ∆x ) + ( ∆y ) = ( ∆x ) 2 ( ∆ x ) 2
2
∆y = ∆ x 1 + ÷ ∆ x
2
Por la figura * el cálculo "iferencial& se sa)e 'ue:
∆ y = f ' ( x ) , ∆ x PP 1 2
x1 < x < ( x1 + ∆x )
con
= ∆x 1 + ( f ' ( x ) )
2
!l resulta"o re$resenta la longitu" "e la cur%a+ De la misma forma& P2 P3
= ∆x 1 + ( f ' ( x ) )
2
P3 P4
= ∆x 1 + ( f ' ( x ) )
2
2
5ongitu" "el
n−
PnQ = ∆x 1 + ( f ' ( x ) )
6simo segmento PQ = ∆x 1 + ( f ' ( x1 ) )
PQ =
O )ien
2
n
∑ ( 1+ ( f '( x) ) ) 2
2
2
+ ∆x 1 + ( f ' ( x2 ) ) + ...
1 2
∆x
i =1
!ntonces se resuel%e 'ue PQ =
b
∫ a
2
1 + ( f ' ( x ) ) dx
!!RCICIO 2+1 Determine la longitu" "e la cur%a
x ∈ 0,
y = ln ( cos x ) ,
con
3
π
.
SOLUCION dy dx
=
1
d
cos x dx
[ cos x ] = dy
1 cos x
( − sen x ) =
− sen x cos x
= − tan x
dx
As(; 2
dy = tan dx÷ L =
π /3
∫ 0
∫ 0
L =
x
1 + tan 2 x π /3
L =
2
π /3
∫ 0
1/2
sec2 xdx
sec xdx
L = ln ( sec x + tan x )
L = ln sec
dx
π
/3
0
π + tan ÷ − ln ( sec 0 + tan 0) 3 3
π
L = ln
(
3 +2
) − ln ( 1)
L ≈ 1.316
!!RCICIO 2+2 y
= 1 ( x2 + 2)
3/ 2
3
!ncuentre la longitu" "e la cur%a
( 2, 2 6 ) entre los $untos
( 5, 2 7 3 ) SOLUCION L =
dy dx
5
∫ 2
d 1
=
dx 3
3/ 2 d 1 1 + ( x2 + 2 ) ÷ dx 3
( x
2
dx
3/2 1/ 2 1 + 2 ) ÷ = ( x 2 + 2) ( 2 x ) 2
dy dx
= x
2
dy = x dx÷ ( 4ustitu*en"o en
2
x
2
x
2
+2
2
+ 2 ) = x2 ( x2 + 2 )
L
L =
∫
5
2
1 + x 2 ( x 2 + 2 ) dx =
5
∫ 2
(
x3 L = ∫ ( x + 1) dx = + x 2 3 5
2
x 2 + 1) dx
5
2
L = 42
2
*
C=5C5O D! C!NTROID!4 D! R!8ION!4 P5ANA4 Consi"eremos una regi-n $lana f(sica; $or e/em$lo& una lámina "elga"a "e $a$el u #o/alata& a la cual le e,igimos 'ue sea #omog6nea& es "ecir& 'ue tenga una "ensi"a" su$erficial constante 9igual en ca"a $unto+ Imagine 'ue marcamos "iferentes $untos so)re "ic#a lámina * u)icamos $art(culas "e una masa m $ertenecientes a la lámina+ !l o)/eti%o $rinci$al "e esto será el "e encontrar el $unto "e e'uili)rio #oriontal; esto es& el $unto "on"e si fi/áramos la lámina so)re el $oste %ertical se manten"r(a sin mo%imiento
Para tal efecto& imaginemos 'ue la lámina o $laca tiene un es$esor "es$recia)le * 'ue se encuentra so)re una %arilla %ertical "e masa nula+
( x , y ) El centro de masa es el punto
donde la lámina está en equilibrio.
( x1 , y1 )
m1
4u$onemos 'ue la $art(cula
( x2 , y2 )
m2 $art(cula
'ue se encuentra en el $unto
en
>; entonces& la
n − ésima
( xn , yn )
mn
$art(cula
* la
está en
5a masa total "e la lámina será la suma "e to"as las $art(culas "e forma tal 'ue:
M Total
=
m1 + m2 + m3 + ...mn
O )ien: n
M
= ∑ mi → i =1
ecuaci-n "e la masa total+
!l momento "e masa "e ca"a $art(cula& esto es& el %alor "e la
i − ésima
m1 x1 , m2 x2 , ... mn x n $art(cula con res$ecto a su $osici-n se e,$resa como:
!l momento "e masa $ara un sistema se "efine como la suma "e los momentos "e masa "e to"as las $art(culas+ As(&
M o
=
m1x1 + m2 x2 + ... + mn xn n
M o
= ∑ mi xi i =1
5os momentos "e masa ten"rán $or "efinici-n uni"a"es "e masa $or "istancia 9?g @ m& 9slug @ ft+ etc+ !I momento "e masa "e la
i − ésima
m1 x1
$art(cula con res$ecto al e/e * es mi xi
x
momento "e masa con res$ecto al e/e es
M y
=
m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn n
M y
= ∑ mi xi i =1
M x = m1 y1 + m2 y2 + ... + mn yn n
M x
= ∑ mi y i i =1
* el
( x, y )
n
Por tanto& el centro "e masa "el sistema "e $art(culas u)ica"o en x =
M y M
y =
M x
;
M
,
"on"e
M =
será
masa total "efini"a+
( x, y ) !l $unto as( encontra"o se inter$reta como a'uel tal 'ue si la masa total se concentra a#(& ese $unto ten"r(a los mismos momentos 'ue el sistema total; es "ecir: x =
y
=
M y M
= xM
M x
= yM
entonces
M x M
M y
entonces M y , M x
5os momentos se inter$retan tam)i6n como una me"i"a "e la ten"encia a girarB "el sistema laminar+
4u$ongamos a#ora 'ue la lámina o $laca $or e,aminar tiene una regi-n
[ a, b ]
y = f ( x ) ,
"efini"a $or la gráfica "e una funci-n x
coor"ena"o como se muestra:
el inter%alo es
* el e/e
[ a, b ] !l inter%alo
estará "i%i"i"o en su)inter%alos "e tama
"ensi"a" uniforme "e la $laca entonces la masa "el ρ f
i − ésimo
∆ x.
ρ
4i
es la
rectángulo será
( xi ) ∆x
* su momento 9masa con res$ecto a la $osici-n estará "a"o $or masa $or "istancia+ As(: m y
= xi ( ρ f ( xi ) ∆x ) = ρ xi f ( xi ) ∆x
Al sumar estos momentos& se o)ten"rá lo "a"o en la "efinici-n anterior+ De x
manera m x
similar&
el
momento
con
res$ecto
al
e/e
:
= ( ρ f ( xi ) ∆x ) 1 f ( xi ) = ρ 1 ( f ( xi ) ) ∆ x, 2
2
2
como muestra tam)i6n la "efinici-n
"a"a+ De esta manera $o"emos o)ser%ar 'ue la masa "e la $laca se e,$resa ρ
tam)i6n como el $ro"ucto "e su "ensi"a"
$or su área
A
b
∫ f ( x ) dx
m = ρ A = ρ
a
As(& al calcular la $osici-n "el centro "e masa& com.nmente llama"a centroide& tenemos+ b
b
xf ( x ) dx ∫ ∫ x = = = M ρ f ( x ) dx ∫ ∫ f ( x ) dx M y
ρ
xf ( x ) dx
a b
a b
a
a
y =
M x M
=
∫
ρ
b
a
2 1 ( f ( x ) ) dx 2 b
∫ f ( x ) dx
ρ
b
=
∫ a
2 1 ( f ( x ) ) dx 2 b
∫ f ( x ) dx
a
a
4e conclu*e 'ue la $osici-n "el centroi"e no "e$en"erá "e la "ensi"a" "e la lámina& $or esta ra-n estos resulta"os se $ue"en a$licar no solo a láminas sino tam)i6n a regiones $lanas cuales'uiera con: x =
y =
1 A 1
b
∫ xf ( x) dx a
b
( f ( x) ) 2 A ∫ a
2
dx
!!RCICIO +1 Determine el centro "e masa "e la lámina limita"a $or una $ará)ola 2 y
2
x
= 18 − 3
* el e/e %ertical $ositi%o& si la "ensi"a" su$erficial en cual'uier 6− x
$unto es SOLUCION 2 y 2 = 18 − 3x
y 2 = 9 − 1.5x y = 9 − 1.5x
!l %6rtice se encuentra en y
=
0
→
x=6
Para !ntonces %a "es"e el e/e %ertical
x = 0
A =
4ea
6
∫
#asta
x = 6
1/2
( 9 − 1.5 x ) dx 0
u = 9 − 1.5 x
du = −1.5dx
dx = −
2 3
du
A =
6
∫ u
1/2
0
A = −
− 2 du = − 2 u 3/2 3÷ 3 3 / 2 4 3/ 2 9 − 1.5 x ) ( 9
6 0
6
0
A = 12 x =
1
6
x ( 9 − 1.5 x ) 12 ∫
1/2
0
dx
1/2 4 3 3/2 4 3 x = − x 9 − x÷ + ∫ 9 − ÷ x dx÷ 12 9 2 9 2 ÷
1
1 4 3 x = − x 9 − x÷ 12 9 2
x =
1 16 + 0 243 ( ) 27 ÷ 12
x
2.4
=
3/2
+
8 3 9 − ÷x 45 2
6
÷ ÷ 0
3/2
6
3 2 9 − x÷ ÷ 1 61 3 1 2 2 ÷ y = ∫ 9 − x÷ dx = − ÷ ÷ 12 0 2 2 24 2 3 ÷ 0 y =
−1
0 − 92 ) ( 3
( 24 ) ( )
y = 1.125
( 2.4,1.125)
∴
!l centroi"e estará localia"o en el $unto
!!RCICIO +2 y = x 2
!ncuentre el centroi"e "e la regi-n limita"a $or la $ará)ola y = 4
!n $rimer lugar #allamos el área A = 2
2
∫ ( 4 − x ) dx 2
0
x3 A = 2 4 x − 3
A = 2 8 −
2
0
8
16 = 2 ÷ ÷ 3 3
A =
32 3
allamos las coor"ena"as "el centroi"e x =
1 A
∫
2
−2
x ( 4 − x 2 ) dx =
2 x 4 x = 2 x − A 4 1
x
=
0
1 A 2
2
∫ ( 4 x − x ) dx 3
−2
1
= [ 0] −2
A
* la recta
y =
1
2
4 − x2 ) ( ∫ 2 A −2
5 8 3 x y = 16 x − 3 x + 5 2 A
1
2
= −2
2
dx =
1
( 16 − 8x 2 A ∫
2
+ x 4 ) dx
64 32 64 32 1 512 − + − − + − = 32 32 ÷ 2 A 3 5 3 5 2 A 15
256 ÷ 32 15 3
y = 1.6
!l centroi"e está en
−2
1
y =
( 0,1.6 )
2
MOM!NTO4 D! IN!RCIA 4iem$re 'ue una carga "istri)ui"a act.a en forma $er$en"icular a un área * 'ue su intensi"a" %ar(a linealmente& el cálculo "el momento "e la "istri)uci-n "e carga con res$ecto a un e/e im$licará una canti"a" llama"a el momento "e inercia "el área+ Por e/em$lo& consi"ere la $laca& la cual está someti"a a una p
$resi-n
"el flui"o+ De la mecánica "e flui"os se sa)e 'ue esta $resi-n %ar(a y
linealmente a me"i"a 'ue aumenta la $rofun"i"a" 9 p = γ y
& "e tal manera 'ue
γ
& "on"e
es el $eso es$ec(fico "el flui"o+ As(& la fuera 'ue act.a
so)re el área "iferencial
dA
dF
= pdA = ( γ y ) dA.
"e la $laca es
Por tanto& el
dM
x
momento "e esta fuera con res$ecto al e/e integrar
dM
so)re to"a el área "e la $laca resulta
2
ydF
=
γ y
es
2
dA & * al
M
∫ y dA
=
= γ ∫ y 2dA.
I x
5a integral
x.
se "enomina el momento "e inercia "el área con res$ecto al e/e 5as integrales "e esta forma a$arecen con frecuencia en las f-rmulas 'ue se utilian en mecánica "e flui"os& mecánica "e materiales& mecánica estructural * "ise
Por "efinici-n& los momentos "e inercia "e un área "iferencial x
a los e/es *
dI x
y
son
= y 2 dA
dI y
dA
con res$ecto
= x2 dA,
*
res$ecti%amente+
5os momentos "e inercia se "eterminan $or integraci-n $ara to"a el área; es "ecir& I x
= ∫ A y 2 dA
I y
= ∫ A x2dA
Tam)i6n $o"emos formular esta canti"a" $ara e/e
z .
"on"e dA.
dA
con res$ecto al $oloB dJ O
=
O
o
r 2 dA,
A 6ste se le llama momento "e inercia $olar+ 4e "efine como r
z
es la "istancia $er$en"icular "es"e el $olo 9e/e #asta el elemento
Para to"a el área& el momento "e inercia $olar es
J O
r 2 = x2 + y2
I x , I y
J O
!sta relaci-n entre
= ∫ A r 2 dA = I x + I y
e
es $osi)le $uesto 'ue I x , I y
J O
A $artir "e las formulaciones anteriores se %e 'ue * siem$re serán $ositi%os *a 'ue im$lican el $ro"ucto "e una "istancia al cua"ra"o * un área+ A"emás& las uni"a"es $ara el momento "e inercia im$lican la longitu" ele%a"a m4 , mm 4 , pi 4
a la cuarta $otencia& $or e/em$lo&
pul! 4 . o
T!OR!MA D! 5O4 !!4 PARA5!5O4 PARA N =R!A !l teorema "e los e/es $aralelos $ue"e usarse $ara "eterminar el momento "e inercia "e un área con res$ecto a cual'uier e/e 'ue sea $aralelo a un e/e 'ue $asa a tra%6s "e su centroi"e * "el cual se conoca el momento "e inercia+ Para "esarrollar este teorema& consi"eraremos "eterminar el momento "e x
inercia "el área som)rea"a 'ue se muestra con res$ecto al e/e + Para iniciar&
elegimos un elemento "iferencial y '
ar)itraria x '
"el e/e centroi"al
x '.
dA
'ue está u)ica"o a una "istancia x
4i la "istancia entre los e/es $aralelos
dy ,
se "efine como dI x
x
al e/e
entonces el momento "e inercia "e
dA
*
con res$ecto
= ( y '+ dy ) 2 dA.
es
Para to"a el área& I x
= ∫ A ( y '+ dy ) 2 dA
= ∫ A y '2 dA + 2d y ∫A y ' dA + d y2 ∫ A dA
5a $rimera integral re$resenta el momento "e inercia "el área con res$ecto al e/e centroi"al
I x ' .
5a segun"a integral es cero *a 'ue el e/e
∫ y ' dA = y ' ∫ dA = 0
"
x '
$asa a tra%6s y ' = 0.
"el centroi"e "el área; es "ecir& $uesto 'ue O)ser%amos 'ue como la tercera integral re$resenta el área total A& el resulta"o final es& $or tanto& I x
= I x ' + Ad y2
I y ,
Para
se $ue"e escri)ir una e,$resi-n similar; es "ecir& I y
= I y' + Ad x2
J " = I x ' + I y '
E $or .ltimo& $ara el momento "e inercia $olar& como d2
*
= d x2 + d y2 , tenemos J O
= J " + Ad 2
5a forma "e ca"a una "e estas tres ecuaciones esta)lece 'ue el momento "e inercia "e un área con res$ecto a un e/e es igual al momento "e inercia "el área con res$ecto a un e/e $aralelo 'ue $ase a tra%6s "el centroi"e "el área& más el $ro"ucto "el área * el cua"ra"o "e la "istancia $er$en"icular entre los e/es+
!!RCICIO F+1 Determine el momento "e inercia "el área rectangular "e la figura con res$ecto a: x '
a !l e/e centroi"al xb , ) !l e/e 'ue $asa $or la )ase "el rectángulo x '− y ' z ' c !l $olo o e/e $er$en"icular al $lano * 'ue $asa a tra%6s "el centroi"e
"
a Para la integraci-n se elige el elemento "iferencial 'ue se muestra en la figura+ De)i"o a su u)icaci-n * orientaci-n& to"o el elemento está a una y '
"istancia y ' =
#
2
,
"el e/e
x '.
y ' = −
A'u( es necesario integrar "es"e
dA = bdy ',
como
entonces I x '
# /2
= ∫ A y '2 dA = b∫ − #/2 y '2 dy '
y '3 I x ' = b 3 I x '
=
b# 3 12
# /2
− # /2
#
2
a
) !l momento "e inercia con res$ecto a un e/e 'ue $ase $or la )ase "el rectángulo se $ue"e o)tener usan"o el resulta"o "e la $arte 9a * a$lican"o el teorema "e los e/es $aralelos I xb I xb
=
= I x ' + Ad y2
1
3
12
b#
I xb
=
# + b# ÷ 2
2
b# 3 3
c Para o)tener el momento "e inercia $olar con res$ecto al $unto C& I y ' ,
"e)emos o)tener $rimero intercam)iar las "imensiones "ecir&
la cual $ue"e "eterminarse al b
* I y '
#
=
en el resulta"o "e la $arte 9a& es #b 3 12
De la relaci-n entre momentos inerciales "e los e/es con el momento "e inercia $olar tenemos J " = I x ' + I y ' J "
=
1 12
b# ( # 2
+ b2 )
!!RCICIO F+2 Determine el momento "e inercia "el área som)rea"a "e la figura& con res$ecto x
al e/e
Para la integraci-n se elige un elemento "iferencial "e área 'ue sea $aralelo al dy
x
e/e & como se muestra en la figura+ Como este elemento tiene un es$esor dA = ( 100 − x ) dy.
( x, y ) , e interseca la cur%a en el $unto ar)itrario
su área es x
A"emás& el elemento se encuentra a la misma "istancia "es"e el e/e+ Por y y = 0 y = 200 mm consiguiente& al integrar con res$ecto a & "es"e #asta se o)tiene I x I x
200 mm
= ∫ A y 2 dA = ∫ 0 200 mm
= ∫0
y
2
y ( 100 − x ) dy 2
200 mm y 2 1 dy y 4÷ dy 100 − = 100 y 2 − ÷ ∫ 0 400 400
100 y 3 − 1 y 5 I x = 2000 3 I x = 107×10 mm 6
4
200
0
