UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA UNAN – León Facultad De Ciencias Económicas Y Empresariales Administración De Empresas V Año – 2009
Asignatura: Contabilidad Bancaria. Tema: El Encaje Legal Bancario. Estudiantes: Helen Xochilt Escobar Miranda. María José Hernández Castillo. Karla Vanessa López Sosa. María Antonia Martínez Munguia. Auxi uxiliadora ora de la Conc oncepci pción Salmerón. Valeria Vanegas Pérez.
Orteg rtega a
“A la libertad por la Universidad” Mariano Fiallos Gil. León, Nicaragua Martes 24 de noviembre del 2009
Análisis Pos óptimo utilizando la dualidad y relaciones relaci ones primal-duales. primal-dual es. El análisis de sensibilidad se hace después de obtener la solución óptima de un modelo de programación lineal. La meta es determinar si los cambios en el coeficiente del modelo dejaran inalterada la solución actual y, de no ser así, como obtener con eficiencia una nueva solución óptima. En general los cambios en el modelo modelo dan por resultado 1 de 4 casos 1. la solució solución n actual actual básica básica permanec permanece e inalterada inalterada.. 2. La solució solución n actual actual se se vuelve vuelve no facti factible. ble. 3. La soluci solución ón actual actual se vuelve vuelve no óptima óptima.. 4. La solución solución actual actual se vuelve vuelve no óptima óptima así así como como no factible. factible. En el caso 2, utilizamos el método dual simplex, para recuperar la factibilidad y en el caso 3 utilizamos el método simplex (primal) para obtener la nueva optima. En el caso 4 utilizamos los métodos primal dual para obtener la nueva solución. Los 3 primeros casos se investigan posteriormente. El caso 4 debido a que es una combinación de los casos 2 y 3 se trata de problemas problemas integrales. Cambios que afectan la optimalidad. La solución actual dejara de ser óptima solo si los coeficientes de la función objetivos objetivos violan violan la condición condición de optimalid optimalidad. ad. Dado el vector vector de los precios precios -1 duales Y=CBB como se define a continuación Z j - c j =YP j – c j nos dice que la opti optima mali lida dad d de la solu soluci ción ón solo solo se vera vera afec afecta tado do cuán cuándo do camb cambia iamo mos s los los coeficientes objetivos c j o el vector P j de utilización del recurso por unidad.
Ejercicio: Una compañía fabrica automóviles y camiones. Cada automóvil contribuye con $300 a la utilidad y cada camión con $400. Los recursos necesarios para fabricar un automóvil y un camión se muestran a continuación: Vehículo Automóvil camión
Días en la maquina tipo 1 0.8 1
Días en la maquina tipo 2 0.6 0.7
Toneladas de acero 2 3
La compañía puede rentar todos los días hasta 98 maquinas tipo 1 a un costo de $50 por maquina. La compañía por ahora de 73 maquinas tipo 2 y 260 tonela tonelada das s de acero. acero. Las consid considera eracio ciones nes del mercad mercado o señala señalan n que por lo menos se deben producir 88 automóviles y por lo menos 26 camiones. La compañía compañía desea determinar determinar la producción producción diaria diaria de automóviles automóviles y camiones camiones
así como la cantidad adecuada de maquina tipo 1 que debe rentar diariamente a fin fin de maxi maximi miza zarr sus sus util utilid idad ades es.. Si x1 = a la cant cantid idad ad de auto automó móvi vile les s producidos por día, x2= la cantidad de camiones fabricados por día y m1= maquina tipo 1 rentada diariamente, entonces el PL podría formularse de la manera siguiente: Max z= 300X1 + 400X2 400X2 – 50M1 s.a.:
0.8X1 +
X2 – M1<=0 M1<=98
0.6X1 + 0.7X2 2X1
+
<=73
3X2
<=260
X1
>=88 X2
>= 26
X1, X2, M1 >=0 Dual del Primal Min w 0Y1 + 98 Y2 +73Y3 +73Y3 + 260Y4 + 88Y5 +26Y6 s.a. : 0.8Y1 +
+ 0.6Y3 + 2Y4
0.1 Y1+ Y2 + 0.7Y3 + 3Y4 -Y1
+ Y5 +
>=300 + Y6
+ Y2
>=400 >=-50
Y1
>=0
Y2
>=0 Y3
>=0 Y4
>=0
-y5
>=0 -y6
>=0
a. Gene Genere re la tabl tabla a opti optima ma util utiliz izan ando do el soft softwa ware re QSB QSB e iden identi tifi fiqu que e la solución optima diaria de ambos vehículos, la cantidad de maquinas que deben rentarse diariamente y la utilidad u tilidad diaria que se alcanzaría.
b. Utilic Utilice e la inform informaci ación ón dada en la tabla tabla optima optima obtenid obtenida a en el inciso inciso a y las formulas formulas que relac relacion ionan an el primal primal-dua -duall para para dar respue respuesta sta a las siguientes interrogantes: b.1. Si los automóviles contribuyeran con $310 a la utilidad cual seria la nueva solución optima del problema? b.2. Calcule el intervalo de los valores del precio de un automóvil automóvil para el cual la base actual sigue siendo óptima. b.3. La compañía planea fabricar jeeps. Un jeeps contribuye con $600 la utilidad utilidad y requiere 1.2 días en la maquina maquina 1, 2 días en la maquina 2 y 4 toneladas de acero. ¿Debería la compañía fabricar jeeps? Argumente su respuesta.
Solución:
a)
b) b.1. Cambio en el coeficiente X1 de la función objetivo, de una utilidad de $300 a $310 Cambios en los Coeficientes Objetivos C j. El efecto de hacer cambios en los coefic coeficien ientes tes objeti objetivos vos sobre sobre la optima optimalid lidad ad implic implica a volver volver a calcu calcular lar z j –c j únicamente para las variables no básicas. La razón por la cual no necesitamos volver a calcular z j – c j para las variable básicas es que siempre serán igual a 0, sin importar los cambios que se hagan en los coeficientes objetivos.
El procedimiento del cálculo se resume a como sigue: 1. Calcul Calcule e el vector vector de precio precios s duales duales Y=CBB-1 utilizando el nuevo vector C B si se cambio. 2. Calcule Z j - c j =YP j resultara 2 casos:
–
c j para todas las variable no básicas actuales.
a. Si se satisface satisface la condic condición ión de optimali optimalidad dad la solución solución actual actual seguirá seguirá siendo la misma pero a un nuevo valor optimo de la función objetivo (sin embargo si los coeficientes de las variables básicas permanecen inalteradas el valor objetivo optimo seguirá siendo el mismo) b. Si no se satisfac satisface e la condició condición n de optimal optimalida idad, d, aplicam aplicamos os el método método simplex (primal) para recuperar la optimalidad. Solución optima del primal: Cb Valor
x2 27.60
e6 1.6
s3 0.88
Cb=(x2, e6, s3, s4, x1, x3)
s4 1.2
x1 88
x3 98
Cb= (400, 0, 0, 0, 310,-50)
Matrix inversa=B-1
S1
S2
S3
S4
A5
A6
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
0.00
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
-1.00
-0.70
-0.70
1.00
0.00
-0.04
0.00
-3.00
-3.00
0.00
1.00
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Y = C BB-1 = (400, 350, 0, 0, -10,0)
Los valores de z j – c j para las variables no básicas en s1, s2 y e5 se calcula de la formula z j – c j = YP j -c j
Primero se identifican las restricciones en el problema dual asociadas a las variables no básicas del primal, esto corresponde a:
S1
Z4 – c4
y1 - 0 = 400 - 0 = 400
Es decir para s1 la restricción del dual asociada es la numero cuatro. S2
Z5 – c5
y2 – 0 = 350 – 0= 350
Y para S2 la restricción dual asociada es la número cinco. Z8= -y5 >= 0 (-1) E5 Z8 – C8
= y5 <= 0
y5 - 0 = (-10) - 0= -10
b) b.2 Calculo del intervalo de optimalidad para el precio del automóvil, es decir para la restricción restricción dual asociada asociada a la utilidad utilidad de X1. Este caso es forma de investigar el efecto de los cambios de los coeficientes de la función objetivo, al calc calcul ular ar el rang rango o de vari variac ació ión n para para cada cada coef coefic icie ient nte e indi indivi vidu dual al que que mantendrá óptima la solución actual.
Esto se logra logra reempl reemplazá azándo ndola la c j actu actual al con con c j + d j donde d j representa la cantidad positiva (o negativa) del cambio. Entonces se determina los limites sobr sobre e d j calcu calculan lando do la nueva nueva z j – c j y despué después s aplica aplicando ndo la condic condición ión de opti optima mali lida dad d apro apropi piad ada, a, lo que que depe depend nde e de si el mode modelo lo es del del tipo tipo de maximización o de minimización.
Primero introducimos d j dentro de Cb del problema primal, el cual ya habíamos identificado en el problema problema anterior. Quedando así: C b = ( 400, 0, 0, 0, 300 + d1, -50 ), con este nuevo Cb aplicamos la formula para identificar el vector dual,
Y= Cb * B-1, siendo B-1 la misma misma matriz matriz inversa inversa ident identifi ificad cada a en el ejerci ejercicio cio anterior. Entonces.
Y= (400, 0, 0, 0, 300 + d j, -50) *
y1
y2 y3 y4 y5 y6
Y = (400, 350, 0, 0, -20 + d j, 0)
Encont Encontram ramos os entonc entonces es que la variab variable le dual dual relaci relaciona onada da con el precio precio del automóvil es la variable y5, utilizamos la restricción de y5, para calcular el valor de d j con Z J – c j , donde.
-y5 >=0 Z J – c j = -y5 – 0 = - (-20 + d) >= 0 20 – d
>= 0 20 >=
d d <= 20
S1
S2
S3
S4
A5
A6
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
0.00
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
-1.00
-0.70
-0.70
1.00
0.00
-0.04
0.00
-3.00
-3.00
0.00
1.00
0.40
0.00
Al result ultar d en un valor 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 positivo significa que el 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 coef coefic icie ient nte e rela relaci cion onad ado o al prec precio io del autom utomó óvil, vil, en est este caso el coefic eficie ient nte e de X1, pued uede ser ser incrementad incrementado o en $20, manteniendo manteniendo la solución solución optima optima sin cambios. cambios. Esto se expresa: -M <= c1 <= 320. Esto esta soportado soportado con el segundo ejercicio, en en
el cual un incr increm emen ento to de c1, c1, en $10 no modif modific ico o la soluc solució ión n opti optima ma del problema.
b) b.3 Este inciso nos plantea que la compañía planea fabricar otro producto nuevo nuevo,, jeep jeeps, s, util utiliz izan ando do los los mism mismos os recurs recursos os disp dispon onib ible les s con con los los que que ya contaba anteriormente, es decir planea la adición de una nueva actividad.
La adición de una nueva actividad actividad en un modelo de PL PL es equivalente a añadir una nueva nueva variab variable. le. Intuit Intuitiva ivamen mente te la adició adición n de una nueva nueva activi actividad dad es deseable solo si deja utilidades, es decir, si mejor el valor optimo de la función objetivo, esta condición se verifica calculando z j – c j=YP J - c J para la nueva actividad. Donde Y son los valores duales óptimos actuales y P j y c j representan el empleo de los recursos y la utilidad por unidad de la nueva actividad. Si la z j – c j calcul calculada ada satisf satisfac ace e la condic condición ión de optima optimalid lidad, ad, entonc entonces es la nueva nueva actividad no es deseable. De lo contrario, la nueva actividad produce utilidades y debe incluirse en la solución básica.
Prim Primer ero o ident identif ifiq ique uemo mos s como como qued quedar aría ía el el mode modelo lo de PL, PL, con con la nueva nueva actividad. MAX Z
300 x1+
400x2+
(-50)x3 +
600 x4
0.8x1+
x2+
(-x3)+ x3
1.2 x4
0.6x1+ 2x1+ x1+
0.7x2+ 3x2+
Sujeta a
x2 x2,
(x1,
2x4 4x4
x3,
x4,)
<= 0 <=98 <=73 <=260 >= 88 >=26 >=0
El modelo dual del problema será: MIN W
0y1+
98y2+
73y3+
260y4+
88y5+
0.6y3+ 0.7y3+
2y4+ 3y4+
y5
2y3+
4y4+
26y6
Sujeta a
*nueva
0.8y1+ y1+ (-y1)+ 1.2y1+ Y1
y2
Y2
y6
>= 300 >= 400 >= -50 >= 600 >=0 >=0
Y3 Y4 -Y5 -Y6
>=0 >=0 >=0 >=0
Encontramos que con la nueva actividad surge una nueva restricción dual reaccionada, es con esta nueva restricción que trabajaremos la formula z j – c j=YP J - c J, donde reemplazaremos el vector dual que encontramos en b.1.
z j – c j= 1.2 (400) + 2 (0) + 4(0) – 600 = -120. - 120.
Este valor al no cumplir con la condición de optimalidad, es decir al no ser positivo, positivo, significa significa que la nueva actividad actividad provocara provocara un incremento incremento en el valor de la soluci solución ón optima optima.. Con lo cual cual contin continuam uamos os y formam formamos os la columna columna o matriz matriz corres correspon pondie diente nte a la nueva nueva activ activida idad d y se multip multiplic lica a con con B -1, para para determinar los valores que se incluirán en la tabla optima para realizar una nueva iteración. Donde:
Columna Columna para X4 1.2 0 2 4
S1
S2
S3
S4
A5
A6
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
0.00
1.00
1.00
0.00
0.00
-0.80
-1.00
-0.70
-0.70
1.00
0.00
-0.04
0.00
-3.00
-3.00
0.00
1.00
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
1.16
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.4
B-1 x4 resultante.
0 0
=
Columna para
1.2 1.2
0 0
Esta columna nueva se introduce en la tabla optima del problema primal se coloca después de las variables de decisión y antes de las variables de holgura y exceso.
La tabla optima resultante de la nueva iteración es la siguiente, donde n os muestra el incremento en la utilidad. Pero este resultado aunque rentable no es factible, porque propone producir 0.7 jeep es decir menos de un jeep. Lo cual no se podría hacer realmente.
