Dualidad y Sensibilidad (Invt Operaciones)

Nombre: Cristopher Coronado

Asignatura: Investigación de Operaciones

Dualidad Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema, conocido como su problema Dual. Ambos están están relacionados estrechamente, hasta el punto de que el modelo de uno puede obtenerse a partir del modelo del otro y la solución óptima del modelo del primero proporciona información completa completa acerca de la solución óptima del segundo. Una de las ventajas de la existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. Pero más importante aún es la relación que existe entre la dualidad y el análisis de sensibilidad, tema del próximo. El concepto de dualidad desempeña importantes papeles dentro de la programación lineal (también en la no lineal), tanto desde un punto de vista teórico como práctico. Todo programa lineal lleva asociado otro programa lineal conocido como su programa dual; el programa inicial se conoce también como programa primal. Relaciones entre problemas primales y duales 









El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal. El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal. Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables. Los términos independientes de las restricciones re stricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal. La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal.

El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de TUCKER, presentada a continuación.

Tabla de TUCKER Para comprender el concepto de dualidad y sus posibles interpretaciones, pueden analizarse los siguientes ejemplos.

1



Ejemplo primal:

Una granja utiliza dos preparados alimenticios (P1 y P2) para la cría del ganado. El coste por kilogramo de esos dos preparados es de 2 unidades monetarias y 3 unidades monetarias respectivamente. Por otra parte, los aportes vitamínicos de cada kilo de los preparados se expresan en la siguiente tabla: Kg P1

Kg P2

Unidades de Vitamina A

5

3

Unidades de Vitamina B

1.5

3

Unidades de Vitamina C

1

1.3

Los expertos en nutrición animal recomiendan que cada animal reciba al menos las siguientes unidades diarias de cada una de las vitaminas: Unidades diarias de Vitamina A

20

Unidades diarias de Vitamina B

15

Unidades diarias de Vitamina C

8

El objetivo de los responsables de la granja es decidir las cantidades diarias de cada uno de los dos preparados que deben suministrarse a cada animal, de forma que, por un lado, se cumplan las recomendaciones de los dietistas, y por otro se minimicen los costes de alimentación del ganado. Dicho objetivo supone resolver el siguiente programa lineal: min 2X1+ 3X2

5X1 + 3X2 ≥ 20 1.5X1 + 3X2 ≥ 15 X1 +1.3X2 ≥ 8 X1, X2 ≥ 0 donde X1 y X2 representan las cantidades diarias, en kilos, suministradas a cada animal de los preparados P1 y P2 respectivamente. El mínimo del problema anterior se alcanza sobre el punto: X1 = 4.286; X 2 = 2.857

siendo por tanto el coste mínimo de 17.143 unidades monetarias por animal y día. Ejemplo dual:

Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado, que desea suministrar a la granja del ejemplo anterior tres tipos de pastillas vitamínicas. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus 2



pastillas, y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1 y P2. Sean Z1, Z2 y Z3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que además resulten atractivos para los responsables de la granja. 



Cada kilogramo del preparado P1 aportaba 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5Z1+1.5Z2+Z3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 5Z1+1.5Z2+Z3 ≤ 2 De la misma forma, otra restricción que debería plantearse la empresa es: 3Z1+3Z2+1.3Z3 ≤ 2



Por supuesto, los precios de las pastillas vitamínicas deben ser positivos, por tanto, se tienen además las restricciones Z1, Z2, Z3 ≥ 0

Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarán justamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del ganado de cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían 20 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 8 de vitamina C. Por tanto, los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de V (Z1, Z2, Z3) = 20Z1+15Z2+8Z3 por animal y día. Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programa lineal: max 20Z1 + 15Z2 + 8Z3

5Z1 + 1.5Z2 + Z3 ≤ 2 3Z1 + 3Z2 + 1.3Z3 ≤ 3 Z1, Z2, Z3 ≥ 0 La solución de dicho programa se alcanza sobre el punto Z1 = 0 Z2 = 0.381 Z3 = 1.428 siendo entonces el valor máximo V(0, 0.381, 1.428) = 17.143 unidades monetarias. Observar como uno de los precios ha resultado ser nulo. Esto significa que la granja con los preparados P1 y P2 solo debe preocuparse de aportar al ganado las unidades necesarias de vitaminas B y C, ya que con ello conseguiría también la aportación necesaria de vitamina A. Es la razón por la cual la granja no necesita comprar unidades adicionales de vitamina A. En estos dos ejemplos se observa una relación interesante entre los problemas primal y dual. Como puede observarse: 

Uno de ellos es de minimización, el otro en cambio es de maximización.

3






  




Los coeficientes en la función objetivo y los elementos de la derecha de las restricciones, intercambian su papel. La matriz de coeficientes en las restricciones del problema dual es la traspuesta de la del problema primal. Las restricciones del problema primal son de tipo ≥, en cambio en el dual son de tipo ≤. Cada restricción en el problema primal se corresponde con una variable en el dual. El punto óptimo del programa dual se corresponde con las variables duales (multiplicadores de Kuhn-Tucker) del programa primal. Otro aspecto importante es que, aunque el punto óptimo es diferente, los valores óptimos de los dos problemas son los mismos .

La resolución del programa dual puede interpretarse como la asignación a cada recurso de un precio o valor, que coincide con el incremento que provoca en el valor óptimo del problema primal un aumento de una unidad en el recurso. La construcción realizada en los ejemplos anteriores puede generalizarse para cualquier programa lineal: Definición:

Dado un programa lineal de la forma min cx

Ax ≥ b x ≥ 0

su programa dual es max b'z

A'z ≤ c' z ≥ 0

Donde A', b' y c' son los traspuestos de A, b y c respectivamente. En esta definición no es necesario que todos los elementos del vector b sean mayores o iguales que cero. Pero no solamente pueden construirse los programas duales para programas de la forma anterior; en general se puede para cualquier programa lineal (también hay una teoría de dualidad para programas no lineales), pero teniendo en cuenta lo siguiente: 







Una restricción de igualdad en el programa primal hace que la correspondiente variable dual pueda tener cualquier signo. En cambio, una restricción de desigualdad del tipo ≥ en el primal implica que la variable dual sea mayor o igual que cero. Si las variables del primal son mayores o iguales que cero, las restricciones del dual son del tipo ≤. Cuando las variables del primal no están sometidas a ninguna limitación sobre su signo, las restricciones del dual son de igualdad.

4



Ejemplo: Programa primal min X1 + X2 - X3 2X1 + X2 ≥ 3

X1 - X3 = 2 X3 ≥ 0

Programa dual max 3Z1 + 2Z2

2Z1 + Z2 = 1 Z1 = 1 -Z2 ≤ -1 Z1 ≥ 0

La importancia del programa dual queda de manifiesto en el siguiente resultado. Teorema fundamental de dualidad:

Dado un programa P y su dual D, se cumple necesariamente una de las siguientes afirmaciones: 





Los dos programas tienen soluciones óptimas y los valores de sus respectivas funciones objetivo en el óptimo coinciden. Uno de los programas tiene óptimo no acotado y el otro no tiene ninguna solución factible. Los dos programas son infactibles (no tienen soluciones factibles).

A partir de este teorema se puede deducir el valor óptimo de un programa lineal, o si dicho programa es factible, analizando la forma de su programa dual. En algunos casos el estudio del programa dual puede resultar más sencillo que el del primal. Análisis postóptimo

Se refiere a los cambios de los parámetros del modelo y de la determinación de la nueva solución óptima. Considere, por ejemplo, un caso en la industria avícola, donde comúnmente se utiliza un modelo de programación lineal para determinar la mezcla de alimentos óptima por pollo. El consumo semanal por pollo varía de .26 lb (120 gramos) para un pollo de una semana de edad hasta 2.1 lb (950 gramos) para un pollo de ocho semanas de edad. Además, el costo de los ingredientes en la mezcla puede cambiar periódicamente. Estos cambios requieren un nuevo cálculo periódico de la solución óptima. El análisis postóptimo determina la nueva solución de una manera eficiente. Los nuevos cálculos tienen su raíz en el uso de las relaciones duales y primales-duales. La siguiente tabla lista esos casos que pueden surgir en el análisis postóptimo y las acciones necesarias para obtener la nueva solución (suponiendo que existe una):

Se utilizará el modelo de TOYCO para explicar los diferentes procedimientos. Recuerde que el problema tiene que ver con el ensamble de tres tipos de juguetes: trenes, camiones y autos. En el ensamble intervienen tres operaciones. El modelo y su dual se repiten aquí por comodidad.

5



La tabla óptima asociada para el primal se da como

Cambios que afectan la factibilidad

La factibilidad de la solución óptima actual se ve afectada sólo si cambia el lado derecho de las restricciones, o se agrega una nueva restricción al modelo. En ambos casos, la no factibilidad ocurre cuando una o más de las variables básicas actuales se vuelven negativas. Cambios en el lado derecho. Este cambio requiere volver a calcular el lado derecho de la tabla:

Recuerde que el lado derecho de la tabla muestra los valores de las variables básicas. Ejemplo 3 Situación 1. Suponga que TOYCO incrementa la capacidad diaria de las operaciones 1, 2 y 3 a

600, 640 y 590 minutos, respectivamente. ¿Cómo afectaría este cambio al ingreso total? Con estos incrementos, el único cambio que tendrá lugar en la tabla óptima es el lado derecho de las restricciones (y el valor objetivo óptimo). Por tanto, la nueva solución básica se calcula como sigue:

Así, las variables básicas actuales, x2, x3 y x4, permanecen factibles con los nuevos valores 140, 320 y 30 unidades, respectivamente. El ingreso óptimo asociado es $1880. 6



Situación 2. Aunque la nueva solución es atractiva desde el punto de vista del ingreso

incrementado, TOYCO reconoce que su nueva implementación puede llevarse tiempo. Otra propuesta desplaza la capacidad de la operación 3 ( x6 = 20 minutos) a la capacidad de la operación 1. ¿Cómo impactaría este cambio la solución óptima? Las capacidades de las tres operaciones cambian a 450, 460, y 400 minutos respectivamente. La solución resultante es

Según el dual simplex, x6 sale y x4 entra, lo que da la siguiente tabla factible óptima (por lo común, el simplex dual puede requerir más de una iteración para recuperar la factibilidad).

La solución óptima (en función de x1, x2 y x3) permanece igual que en el modelo original. Esto quiere decir que el cambio propuesto de la asignación de la capacidad no es ventajoso, porque simplemente cambia la capacidad excedente de la operación 3 a una capacidad de superávit en la operación 1. La conclusión entonces es que la operación 2 es el cuello de botella, y que puede ser ventajoso cambiar el superávit a la operación 2. Adición de una nueva restricción. Agregar una nueva restricción nunca puede mejorar el valor objetivo óptimo actual. Si la nueva restricción es redundante, no afectará la solución actual.

7



Además, la solución actual no satisface la nueva restricción, y debe determinarse una nueva solución mediante el método simplex dual. Cambios que afectan la optimalidad

Esta sección considera la realización de cambios de los coeficientes objetivos y la adición de una nueva actividad económica (variable). Cambios en los coeficientes de la función objetivo. Estos cambios afectan sólo la optimalidad de la solución y requieren que se calculen de nuevo los coeficientes de la fila z (costos reducidos)

de acuerdo con el siguiente procedimiento: 1. Calcule los valores duales. 2. Sustituya los nuevos valores duales en la fórmula 2, para determinar los nuevos costos reducidos (coeficientes de la fila z). Si la nueva fila z satisface la condición de optimalidad, la solución no cambia (sin embargo, el valor objetivo óptimo puede cambiar). Si no la satisface, se utiliza el simplex primal para recuperar la optimalidad. Ejemplo 4 Situación 1. En el modelo de TOYCO, suponga que la compañía tiene una nueva política de

fijación de precios para enfrentar la competencia. Los ingresos unitarios son $2, $3 y $4 por los trenes, camiones y autos de juguete, en ese orden. La nueva función objetivo es: Maximizar z = 2x1 + 3x2 + 4x3 Así, (Nuevos coeficientes objetivo de las variables básicas x2, x3 y x6) 5 (3, 4, 0)

Los coeficientes de la fila z se determinan como la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de las restricciones duales. No es necesario calcular de nuevo los coeficientes de fila objetivo de las variables básicas ( x2, x3 y x6) porque siempre son cero, independientemente de cualquier cambio realizado en los coeficientes objetivo.

Observe que el lado derecho de la primera restricción dual es 2, el nuevo coeficiente en la función objetivo modificada.

8



Los cálculos demuestran que la solución actual, x1 = 0 trenes, x2 = 100 camiones y x3 = 230 autos, permanece óptima. El nuevo ingreso correspondiente se calcula como 2 x 0 + 3 x 100 + 4 x 230 = $1220. No se recomienda la nueva política de fijación de precios porque disminuye el ingreso. Situación 2. Suponga ahora que la función objetivo de TOYCO se cambia a

El nuevo costo reducido de x1 muestra que la solución actual no es óptima. Para determinar la nueva solución, la fila z se cambia como se resalta en la siguiente tabla:

Adición de una nueva actividad. Una nueva actividad supone agregar una nueva variable al

modelo. Por intuición, agregar una nueva actividad es deseable sólo si es rentable. Esta condición puede verificarse aplicando la fórmula 2, para calcular el costo reducido de la nueva variable. La nueva actividad no es rentable si satisface la condición de optimalidad. De lo contrario, la nueva actividad incrementará el ingreso.

9



Sensibilidad El análisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en la solución óptima al realizar cambios en cualquiera de los parámetros del modelo de programación lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se investigan están: los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo tanto para variables básicas como para las variables no básicas, cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variación de los coeficientes de utilización en las restricciones e introducción de una nueva restricción. El objetivo principal del análisis de sensibilidad es identificar el intervalo permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar sin que cambie la solución óptima. Sin embargo, así mismo se identifica aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima. Los investigadores de operaciones tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar que estas fluctuaciones pueden desembocar en una solución no factible. A modo general, cuando se realiza un análisis de sensibilidad a una solución óptima se debe verificar cada parámetro de forma individual, dígase los coeficientes de la función objetivo y los límites de cada una de las restricciones. En ese sentido se plantea el siguiente procedimiento: 1. Revisión del modelo: se realizan los cambios que se desean investigar en el modelo. 2. Revisión de la tabla final Símplex: se aplica el criterio adecuado para determinar los cambios que resultan en la tabla final Símplex. 3. Conversión a la forma apropiada de eliminación Gauss: se convierta la tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual, para lo cual se aplica la metodología de eliminación Gauss si es necesario. 4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución mediante la verificación de que todas las variables básicas de la columna del lado derecho aun tengan valores no negativos. 5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima y factible, mediante la comprobación de que todos los coeficientes de las variables no básicas del reglón Z permanecen no negativos. 6. Reoptimización: si esta solución no pasa una de las pruebas indicadas en los puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solución optima a partir de la tabla actual como tabla Símplex inicial, luego de aplicadas las conversiones de lugar, ya sea con el método Símplex o el Símplex Dual. La idea general consiste en determinar rangos de variación de los parámetros del LP de forma de mantener una cierta base óptima, teniendo en cuenta que una solución básica es factible solo si todas las variables basales tienen un valor no negativo. Debido a que el estudio de la variación simultánea de varios parámetros puede ser difícil, nos centraremos en primer lugar en modificaciones de un parámetro a la vez manteniendo los restantes fijos. Estudiaremos las siguientes posibilidades:   

Cambio 1 Cambio del coeficiente en la función objetivo de una variable no básica. Cambio 2 Cambio del coeficiente en la función objetivo de una variable básica. Cambio 3 Cambio del coeficiente del lado derecho de una restricción. 10


 


Cambio 4 Incorporación de una nueva variable. Cambio 5 Incorporación de una nueva restricción.

Para desarrollar las distintas opciones consideraremos el siguiente ejemplo en su versión estándar:

Cambio del Coeficiente en la Función Objetivo de una Variable No Básica

En la base óptima del problema (1.1) la única variable de decisión no basal es x2. Dicha variable, posee como coeficiente en la función objetivo: c2 = 30. Llamaremos cj al coeficiente en la función objetivo de la variable j. Como x2 no está en la base, sería interesante determinar el valor de c2 necesario para que la variable x2 sea incorporada a la base óptima. Debido a que solo se está cambiando el coeficiente de una variable en la función objetivo, la región factible del problema se ve inalterada, es decir, no se ve modificada la factibilidad del óptimo actual. Sólo puede ocurrir que la solución actual deje de ser la óptima si c2 crece lo suficiente. Para determinar dicho valor, incorporemos explícitamente una variación δ al coeficiente c2 y veamos su efecto sobre el tableau óptimo (Cuadro 2.1).

11



Cambio del Coeficiente en la Función Objetivo de una Variable Básica

El estudio de variaciones en coeficientes en la función objetivo de variables básicas sigue la misma lógica de la variación de coeficientes en la función objetivo de variables no básicas. La idea es determinar cómo varían los cj − zj de todas variables y obtener a partir de dichas modificaciones un rango en el cual la base se ve inalterada. Evidentemente, una modificación de este tipo no afectada la región factible y sólo puede cambiar la optimalidad de la solución actual si la variación es lo suficientemente importante. Para ilustrar el análisis consideremos una variación δ sobre el coeficiente c1, es decir, modifiquemos el valor del coeficiente en la función objetivo de la variable x1. La incorporación del parámetro δ al tableau final original del problema (Cuadro 1.1) se ve en forma explícita en el Cuadro 3.1.

12



Cambio del Coeficiente del Lado Derecho de una Restricción

La variación del coeficiente del lado derecho de una restricción modifica la región factible del problema, por lo tanto, puede afectar la optimalidad de la solución óptima y la condición de las restricciones (activas o no activas). El efecto de la variación del coeficiente bi asociado a la restricción i deber ser analizado considerando la condición de la restricción afectada. Desde este punto de vista existen dos posibilidades: 



Caso 1 La variación afecta a una restricción no activa, es decir, una restricción de tipo ≤ con su variable de holgura en la base, o bien una restricción de tipo ≥ con su variable de exceso en la base. Caso 2 La variación afecta una restricción activa, es decir, una restricción de tipo ≤ con su variable de holgura igual a cero, o bien una restricción de tipo ≥ con su variable de exceso igual a cero.

13



Incorporación de una Nueva Variable

El análisis consiste en determinar la conveniencia o no de la incorporación de una nueva variable (nuevo producto) a un problema, desde el punto de vista si la nueva variable mejorará el valor actual de la función objetivo. Supongamos que se desea incorporar una variable x4 al problema en estudio. Las características de esta nueva alternativa son: un beneficio de 25 (coeficiente en la función objetivo) y un requerimiento de una unidad en la primera y tercera restricción, y de dos unidades en la segunda restricción. Por lo tanto, el nuevo modelo queda:

La idea del presente análisis es definir la conveniencia de la incorporación de x4 al problema. Para ello debemos estudiar la diferencia entre la utilidad o aporte de la variable a la función objetivo y la disminución debido al empleo de los recursos disponibles. Desde este punto de vista, considerando que el costo de oportunidad asociado a una restricción de tipo ≤ se asocia a lo que se deja de ganar por no disponer de unidades adicionales, podemos asociar esta magnitud a la disminución de la función objetivo por cada unidad en que se reduce la disponibilidad. Los costos de oportunidad de las restricciones del problema (Cuadro 1.1) son:

Considerando los requerimientos en cada restricción definidos previamente, el costo de producir una unidad de x4 resulta:

Por lo tanto, la producción de una unidad de x4 representa una disminución de la función objetivo en 30. A continuación podemos contrastar este valor con el ingreso o aporte a la función objetivo de x4:

Incorporación de una Nueva Restricción

La incorporación de una nueva restricción a un LP puede provenir no sólo de cambios en las hipótesis de formulación o bien de cambios en las condiciones de desarrollo de un cierto proceso productivo, si no que también pueden aparecer producto de la resolución del problema con 14



algunas condiciones especiales. Más adelante se estudiarán técnicas para resolver problemas de LP con variables discretas basadas en la incorporación sucesiva de nuevas restricciones a un problema. En términos generales, pueden ocurrir dos situaciones al agregar una nueva restricción a un problema: 1. La solución óptima actual satisface la nueva restricción. 2. La solución óptima actual no satisface la nueva restricción En el primer caso la solución del problema no se ve alterada, ya que la restricción no modifica la región factible o al menos no excluye al punto extremo óptimo actual. Hay que tener claro que la incorporación de una nueva restricción no puede generar una mejora de la función objetivo, en el mejor de los casos sólo mantiene el óptimo ya que la región factible corresponde a un subconjunto de la región factible original. Ejemplo: Problema del carpintero

Un carpintero fabrica dos tipos de mesas de madera. Cada mesa del tipo 1 necesita 4 horas de mecanizado primario (preparación de piezas) y 4 horas de mecanizado secundario (ensamblado y barnizado). Análogamente, cada mesa del tipo 2 necesita 3 horas de mecanizado primario y 7 horas de mecanizado secundario. Las disponibilidades diarias de mecanizados primario y secundario son respectivamente de 40 y 56 horas-máquina. La venta de una mesa del tipo 1 reporta un beneficio de 70 euros, mientras que la venta de una mesa del tipo 2 de 90 euros

Se trata de determinar el número de mesas de cada tipo que han de producirse diariamente para maximizar el beneficio obtenido. Solución: Problema del carpintero

Este problema puede formularse como el problema de Programación Lineal siguiente:

15



Solución: Problema del carpintero (continuación 1)

La solución óptima de este problema, como se observa en la figura, establece que han de producirse diariamente 7 y 4 sillas de los tipos 1 y 2 respectivamente, lo que da lugar a un beneficio de 850 euros. Este resultado indica que ambos recursos de mecanizado (primario y secundario) están plenamente utilizados porque las restricciones relacionadas con ellos están ambas activas.


Supóngase ahora que la capacidad de mecanizado puede aumentarse cada día en 8 horas-máquina. En estas condiciones:  

¿Cómo afecta esta ampliación de capacidad a los beneficios diarios? ¿En qué tipo de mecanizado (primario o secundario) es preferible invertir estas 8 horas?

Para responder a esta pregunta pueden calcularse las sensibilidades asociadas a cada una de las capacidades de mecanizado. El problema con la nueva capacidad de mecanizado primario incrementada en 8 horas-máquina es:

Así, la solución óptima de este nuevo problema establece que han de producirse diariamente 10.5 sillas del tipo 1 y 2 sillas del tipo 2, dando lugar a un beneficio de 915 euros. Esta solución indica que el beneficio diario crece en 65 euros cuando la capacidad de mecanizado primario lo hace en 8 horas-máquina.

16



Así, la sensibilidad o precio sombra de la capacidad de mecanizado primario es el ratio euros, que determina el crecimiento de la función objetivo al crecer la capacidad de mecanizado primario 1 hora. El problema con la nueva capacidad de mecanizado secundario incrementada en 8 horas-máquina es:


Así, la solución óptima de este nuevo problema establece que han de producirse diariamente 5.5 sillas del tipo 1 y 6 sillas del tipo 2, dando lugar a un beneficio de 925 euros. Esta solución indica que el beneficio diario crece en 75 euros cuando la capacidad de mecanizado secundario lo hace en 8 horas-máquina Así, la sensibilidad o precio sombra de la capacidad de mecanizado secundario es el ratio euros, que determina el crecimiento de la función objetivo al crecer la capacidad de mecanizado secundario1 hora. Nótese que dichas sensibilidades pueden obtenerse mediante la expresión:

En vista de los resultados, pueden extraerse las siguientes conclusiones: 





Incrementar la capacidad de mecanizado primario en 1 hora-máquina incrementa el beneficio en 8.125 euros al día. Incrementar la capacidad de mecanizado secundario en 1 hora-máquina incrementa el beneficio en 9.375 euros al día. Si se dispusiese de 8 horas-máquina adicionales de mecanizado sería preferible invertirlas en el mecanizado secundario.

Resumiendo: 



En general el precio sombra de una restricción proporciona el cambio en el valor de la función objetivo como resultado de un cambio unitario en el término independiente de la restricción, suponiendo que el resto de parámetros del problema permanecen inalterados. En muchos problemas de programación lineal los precios sombra son tan importantes como la solución del problema, ya que proporcionan información sobre el efecto en la función objetivo de cambios en los recursos disponibles. 17





Las sensibilidades o precios sombra pueden obtenerse simultáneamente resolviendo el problema Dual.

Bibliografía Cybakmiguel. (s.f.). Teoria de la dualidad . Obtenido de http://cybakmiguel.jimdo.com/teoria-dela-dualidad/ Ing. Wilson K. Casado. (s.f.). Investigación de Operaciones 1 (IND-331). Obtenido de Análisis de Sensibilidad: http://investigaciondeoperacionesind331.blogspot.com/p/analisis-desensibilidad.html TAHA, H. A. (2012). Investigación de operaciones (Novena ed.). México: PEARSON EDUCACIÓN.

Linkografía http://www.fdi.ucm.es/profesor/jjruz/MasterUned/Documentos%20en%20aLF/Tema%205.pdf https://www.inf.utfsm.cl/~esaez/fio/s2_2003/apuntes/sensibilidad-2003-2.pdf

18

Dualidad y Sensibilidad (Invt Operaciones)

Recommend Documents