REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN SECCIÓN “E”
LA DUALIDAD EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Autores: Cristian Guerra, 23754600 José Acosta, 24864589 Luis Larrain, 23731478 Mariajosé Monterola, 25028913 María Araujo, 24503624 Marlis Suarez, 25268621 Asesor: Lourdes Leal
Maturín, Junio de 2014
DUALIDAD
Definición
La dualidad dentro del área de investigación de operaciones puede definirse con el siguiente enunciado: Para todo problema de maximización de programación lineal, habrá otro problema asociado a la maximización. Al primer problema se le llama primario (o primal) y al problema asociado correspondiente se le conoce como dual. En este informe veremos cómo plantear un problema dual dado un problema primario cualquiera, en donde notaremos que los dos problemas están estrechamente relacionados, sin importar que uno intente maximizar y el otro minimizar. Si un modelo parte de un mismo problema y abarca sus características, la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al otro.
Importancia
La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema. Otra de las ventajas que presenta es que, dado el número de restricciones y variables, entre el problema dual y el primal este número es inverso, permitiéndonos resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables. Podemos destacar los distintos puntos de la manera siguiente:
1. El modelo dual puede ahorrar un número considerable de cálculos, en particular cuando el modelo primario tiene muchas restricciones y pocas
variables. Esto implicaría un número elevado de cálculos para su resolución por el método Simplex. 2. La dualidad tiene una relación importante con el análisis de sensibilidad; esto es muy útil para analizar cómo puede cambiar la función objetivo ante variaciones en las diferentes condiciones del problema de programación línea. 3. El problema dual proporciona información importante sobre la manera óptima de aplicar recursos que son escasos a fin de obtener beneficios económicos.
Cómo Converti r un Problema Pri mal en Du al
Los pasos clave para construir el modelo dual a partir del primal se resumen como sigue:
1. Se invierte el sentido de la función objetivo. Si el problema primario es de maximización, el problema dual sea de minimización, y viceversa. 2. Las variables del problema primario se denominaran como X, mientras que las del dual serán Y, debiendo ser no negativas. 3. Las constantes de las restricciones del problema primario pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del problema dual. Esto significa que el problema dual tendrá tantas variables como restricciones tenga el primario. 4. Los coeficientes de la función objetivo del problema primario pasar a ser constante en las restricciones del problema dual. Esto implica que el problema dual tiene tantas restricciones como variables tenga el primario. 5. Se invierte el sentido de las desigualdades de las restricciones. Si las restricciones del problema primario son del tipo menor o igual que ( ≤ ), en el problema dual las restricciones serán del tipo mayor o igual que ( ≥ ), y viceversa
6. Los coeficientes de restricciones del problema primario se debe colocar de tal forma que los renglones del primario pasaran a ser las columnas del problema dual, y con este cambio las columnas del primario serán los renglones del dual.
Ej emplo I .1: Plantear la conversión de un modelo primal a dual.
Una panadería prepara 2 tipos de pan, uno con mermelada y el otro con cajeta. Hay mermelada para preparar hasta 5 kg del primer tipo de pan y cajeta para 8 kg del segundo tipo. El primer tipo requiere de 2 unidades de harina, mientras el segundo tipo solo de una. El expendio cuenta con un total de 15 unidades de harina. El primer tipo de pan deja una utilidad de $ 3.00/kg y el segundo tipo $ 4.00/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo debe preparar el expendio a fin de maximizar sus utilidades?
Solución
Para el problema primario habrá 2 variables, , siendo igual a los kilogramos de pan del primer tipo, y igual a los kilogramos de pan del segundo tipo. , por lo tanto, serían las utilidades en bolívares. Entonces la función objetivo será:
Max = 3 + 4
Aquí, 3 y 4 son los coeficientes de la función objetivo, los cuales representan la utilidad de cada tipo de pan en bolívares/kilogramo. Las restricciones, por otro lado, serán:
(1)
≤ 5
Cantidad disponible de mermelada
(2)
≤ 8
Cantidad disponible de cajeta
(3)
2 + ≤ 15
Cantidad disponible de harina
Siendo no negativas; condición de no nulalidad.
Para el problema dual aplicaremos la metodología descrita antes. De acuerdo al primer punto, el problema dual será de minimización, dado que el primario fue de maximización. Conforme al segundo punto, para el problema dual se tendrán restricciones del tipo mayor o igual que (≥), dado que las del primario son del tipo menor o igual que (≤). En base al tercer punto, los coeficientes de la función objetivo del primario, que son 3 y 4, serán ahora las constantes de las restricciones del modelo dual, teniendo este por lo tanto dos restricciones. De acuerdo al punto cuatro, las constantes de las restricciones del primario son 5, 8 y 15, por lo que estos serán los coeficientes de la función objetivo del problema dual, el cual tendrá 3 variables. Ahora, conforme al punto cinco, los coeficientes de las restricciones para el primario son:
1
0
0
1
2
1
Las cuales deben transponerse para el dual, es decir, colocar los renglones como columnas, con esto tendremos:
1
0
2
0
1
1
Estos serán ahora los coeficientes de las dos restricciones del modelo dual. Finalmente, de acuerdo al paso seis, habrá 3 variables para el problema dual, las cuales serán . Con esto el planteamiento del dual será:
Min = 5 + 8 + 15
Sujeto a: (1) + 2 ≥ 3 (2) + ≥ 4 Siendo no negativas; condición de no nulalidad. Aquí es importante señalar que las variables duales son costos marginales de los recursos utilizados, para el caso del ejemplo anterior tenemos:
= Costo marginal de la mermelada, bolívares/unidad de mermelada = Costo marginal de la cajeta, bolívares/unidad de cajeta = Costo marginal de la harina, bolívares/unidad de harina
Por eso el objetivo del problema dual es ahora el de minimizar el consumo de los recursos disponibles, es decir, la , que es el costo por este concepto. A continuación presentaremos en el ejemplo I.2 la resolución de los modelos primario y dual del ejemplo I.1 a través del método simplex.
Ej emplo I.2 : Resolver los problemas primario y dual del ejemplo I.1.
Para ambos problemas utilizaremos la metodología Simplex. Para el primario tendremos que agregar variables de holgura, una por cada restricción, con una contribución a la función objetivo de cero, es decir:
Max = 3 + 4 Sujeto a: + = 5 + = 8
2 + + = 15 , ≥ 0
De esta manera, lo que queda es empezar a iterar tantas veces como sea necesario hasta romper la negatividad en las variables. Con esto, la primera tabla Simplex será representada de la siguiente manera:
3
4
0
0
0
0
5
1
0
1
0
0
0
8
0
1
0
1
0
0
15
2
1
0
0
1
Z
0
-3
-4
0
0
0
Al aplicarle la metodología Simplex dará la siguiente iteración:
3
4
0
0
0
0
5
1
0
1
0
0
4
8
0
1
0
1
0
0
7
2
0
0
-1
1
Z
32
-3
0
0
4
0
De aquí al proseguir con la metodología Simplex, se llega a la solución óptima en la siguiente iteración, siendo la tabla respectiva la siguiente:
3
4
0
0
0
0
1.5
0
0
1
0.5
-0.5
4
8
0
1
0
1
0
3
3.5
1
0
0
-0.5
0.5
Z
42.5
0
0
0
2.5
1.5
Así, la solución es:
= 3.5 = 8 = 42.5
Para el problema dual, las restricciones necesitan una variable de holgura y otra artificial por cada restricción, con esto tendremos:
Min = 5 + 8 + 15 Sujeta a: + 2 - + = 3 + - + = 4 ≥ 0
Con esto, al aplicar la metodología Simplex, nuestra primera tabla será:
Nota: La tabla se encuentra en la página siguiente.
5
8
15
0
0
M
M
3
1
0
2
-1
0
1
0
4
0
1
1
0
-1
0
1
Z
0
5
8
15
0
0
0
0
-1
-1
-3
1
1
0
0
Si seguimos aplicando la metodología Simplex, nuestra tabla correspondiente para la siguiente iteración es:
5
8
15
0
0
M
1.5
0.5
0
1
-0.5
0
0
2.5
-0.5
1
0
0.5
-1
1
Z
-22.5
-2.5
8
0
7.5
0
0
0.5
-1
0
-0.5
1
0
Al pasar a la siguiente iteración se llega al óptimo, cuya tabla será:
5
8
15
0
0
1.5
0.5
0
1
-0.5
0
2.5
-0.5
1
0
0.5
-1
Z
-42.5
1.5
0
0
3.5
8
0
0
0
0
0
Cuya solución es:
Aquí es significativo que en el punto óptimo ambos problemas dan el mismo valor para la función objetivo, es decir . Esta es una de las razones de la importancia del problema dual, el cual al resolverse nos proporciona la solución del primario. Esta igualdad de las funciones objetivo tiene una explicación, pues es la utilidad que se obtiene por los diferentes tipos de pan y es el costo incurrido por aplicar los recursos disponibles, de tal forma que en el punto óptimo ambas Z coinciden dando la situación más adecuada para el negocio. Otra situación importante que podemos señalar en este problema es que la solución dual puede obtenerse desde la tabla final del primario, pues los coeficientes índices de las variables de holgura en esta tabla son los valores de las variables duales en la solución óptima dual, esto es:
3
4
0
0
0
()
( )
( )
0
1.5
0
0
1
0.5
-0.5
4
8
0
1
0
1
0
3
3.5
1
0
0
-0.5
0.5
Z
0
42.5
0
0
2.5
1.5
Asimismo de la tabla óptima dual podemos obtener la solución primaria al coincidir los coeficientes índices de las variables de la holgura duales con los valores óptimos para las variables primarias, esto es:
5
8
15
0
0
( )
( )
15
1.5
0.5
0
1
-0.5
0
8
2.5
-0.5
1
0
0.5
-1
Z
-42.5
1.5
0
0
3.5
8
Otros Tipos de Restricciones
Pueden existir otros tipos de restricciones para un problema primario dado. En el ejemplo I.1 hemos planteado un problema primario de maximización con restricciones del tipo menor o igual que (≤). ¿Cómo se hubiera manejado el problema si contuviese restricciones del tipo mayor o igual que (≥), o del tipo igual que (=)? En
principio, todas las restricciones de un problema primario de maximización deberán ser del tipo menor o igual que (≤), por consiguiente las restricciones distintas deberán
convertirse a este tipo. Para las restricciones del tipo mayor o igual que (≥), lo que
debe hacerse es multiplicar toda la desigualdad por (-1) e invertir su sentido, con esto la transformaremos del tipo menor o igual que (≤). Por su parte, para las restricciones
de igualdad (=), esta restricción cambia por dos nuevas restricciones; una del tipo menor o igual que (≤) y otra del tipo mayor o igual que (≥), la cual debe convertirse a su vez al tipo menor o igual que (≤) en la forma como se explicó anteriormente.
Ej emplo I .3 – Plantear un modelo primal de restricciones variadas y su respectivo dual .
Max Sujeto a: (1) 4 (2) 3 (3) 2 Con , no negativas.
Solución
Este problema primario deberá modificarse en su segunda y tercera restricción para ser planteado. La segunda restricción es del tipo mayor o igual que (), por lo que deberá multiplicarse por (-1) e invertir el sentido de la desigualdad, con esto tendremos:
(1)
La tercera restricción es de igualdad, por lo que la reemplazaremos por dos nuevas restricciones, una del tipo menor o igual que ( ) y otra del tipo mayor o igual que (), con esto obtendremos:
(3A) 2 (3B) 2 Ahora la restricción 3B debe convertirse al tipo menor o igual que ( ), lo cual se logra al multiplicar la desigualdad por (-1) e invertir su sentido. Al efectuar esto obtendremos: (3B)
Con lo cual el problema primario ya queda debidamente planteado.
Max Zp = 8 + 13 Sujeto a: (1) 4 (2) (3) (4) Siendo
Ahora plantearemos el problema dual, el cual será de minimización con restricciones del tipo mayor o igual que (≥). Los coeficientes de la función objetivo, 8 y |13, pasaran a ser las constantes de las restricciones del dual, por lo que habrá dos restricciones en este. Las constantes de las restricciones del primario; 20, -10, 12, y 12, serán coeficientes de la función objetivo dual, por lo que este tendrá 4 variables. Ahora transportemos la matriz de coeficientes de las restricciones del primario, la cual es:
4
2
-3
-2
2
3
-2
-3
Que para el dual será:
4
-3
2
-2
2
-2
3
-3
Con esto, el dual será:
Min Sujeto a: 8
Siendo
Princi pios de la D ual idad F uerte y Dé bil
Principio de la Dualidad Fuerte
Si el problema primario tiene una solución óptima, entonces el problema dual también tendrá una solución óptima con idénticos valores para la función objetivo, es decir:
=
Donde
= Valor de la función objetivo para el problema primario. = Valor de la función objetivo para el problema dual.
Un ejemplo de este principio se encuentra en el ejemplo I.1; podemos ver como ambas soluciones óptimas tuvieron idénticos valores.
Solución primal
Solución dual
Principio de la Dualidad Débil
Para cualquier otra solución de un problema que no sea la óptima, se cumplirá que:
Donde el signo de la desigualdad de menor que ( ) aplica para aquellos casos en los cuales ambas soluciones del primario y del dual son factibles. Por su parte, el signo de igualdad surtirá efecto cuando la solución del dual no sea factible por no cumplir con las restricciones. Si aplicamos este principio al ejemplo I.2, vemos que para la segunda tabla la solución primal y dual son:
Solución primal
Solución dual
(
(
(
Aquí se observa la igualdad , por lo que conforme a lo establecido anteriormente, la solución dual no es factible. De esto nos damos cuenta al revisar que el problema dual no cumple con su primera restricción la cual indica que , siendo que tanto como son cero, por lo cual la solución dual no
es factible.
Clasificación de los Probl emas Dual es
Los problemas duales se clasifican en dos grandes grupos: Simétricos y Asimétricos. Los primeros son aquellos casos en los cuales tanto el problema primario como el dual incluyen restricciones homogéneas (un problema de un tipo y el otro del tipo contrario). Un ejemplo sería el modelo primal y dual del ejemplo I.1, ya que el primero incluye restricciones del tipo menor o igual que ( ), mientras que el dual contiene restricciones del tipo mayor o igual que ( ).
Los problemas asimétricos por su parte son aquellos en los cuales el primario contiene restricciones de igualdad. Como es el caso del siguiente modelo.
Para poder conseguir el modelo dual de un modelo primal, este debe tener restricciones homogéneas (modelo simétrico), por lo tanto, la igualdad debe desembarcar dos igualdades, y luego se le debe multiplicar -1 a cada una de esas restricciones que rompan la homogeneidad. Esto se explica en el ejemplo I.3.
Relaciones entr e un M odelo Pr imal y un M odelo D ual
Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual, que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como problema primal. Las relaciones las podemos enumerar como sigue:
1. El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el problema primal. 2. El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el problema primal. 3. Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones del programa primal. 4. Los términos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. 5. La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. 6. El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma que tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. 7. Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de minimización. 8. El problema dual de un problema dual es el programa primal original.
BIBLIOGRAFÍA
Juan, M. Izar. (1996). Fundamentos de investigación de operaciones para administración (1ª ed.). Unidad Zona Media, 1999. México.
Hamdy, A. Taha. (2011). Investigación de Operaciones (9ª ed.). Pearson, 2012. Arkansas.
