METODO DUAL SIMPLEX TEORIA DE LA DUALIDAD
pri mal y el otro dual. Cada problema de programación lineal t iene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina pri La solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Beneficios
Se utiliza para disminuir esfuerzo de cómputo. Disminuir el número de variables. Información adicional sobre las variables en la solución óptima. Definición del problema primal
forma canó canónica nica de la siguiente forma: Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma Forma canónica (tiene una estructura, no es arbitrario).
donde i=1,2,3,4,…………,m (número de restriciones) j=1,2,3,4,…………,n (número de variables) variables )
El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: Pasos 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones ( ≤ ) que y el el problema de minimización tiene restricciones ( ≥ ) que. 5. Las variables en ambos casos son no negativas.
Problema 1. Considere el problema primal siguiente:
Maximizar Z = 5X1 + 6X2 Sujeto a: i=1 . . . n
j = 1 ………... n X1 + 9X2 2X1 + 3X2 5X1 - 2X2 X2 X1 , X2 ≥ 0
≤ ≤ ≤ ≤
60 45 20 30
(W1) (W2) (W3) (W4)
Elaborar el Dual (el problema se encuentra encuentra en su forma canónica)
Minimizar z= 60W1 + 45W2 + 20W3 + 30W4 Sujeto a W1 + 2W2 + 5W3 + 0W4 ≥ 5 9W1 + 3W2 - 2W3 + W4 ≥ 5 W1 , W2 , W3 , W4 ≥ 0
Nota Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:
Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar. Minimizar Z = C1X1 + C2X2 + C3x3 +.……..+ CnXn Maximizar (- Z ) = - C1X1 - C2X2 - C3x3 -………- CnXn
Una restricción mayor o igual ( ≥ )se transforma en una restricción menor o igual ( ≤ ). A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -….…- A1n Xn ≤ - bi
Una restricción de igualdad ( = )se transforma en 2 inecuaciones ( ≥ , ≤ ). Restricción 1
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn
Inecuación 1.1 Inecuación 1.2
= bi
A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn
≥ bi (es una restricción ≥) ≤ bi
Y la inecuación 1.1 debe transformase en A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -……- A1n Xn ≤ - bi Al final quedan tres inecuaciones A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -…… - A1n Xn ≤ - bi A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≤ bi
Problema 2 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Maximizar Z = -10X1 + 20X2 Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 4 2X1 - 3X2 ≥ 6 X1 , X2 ≥ 0
Una restricción ( ≥ )se transforma en una restricción ( ≤ ).
Maximizar Z = -10X1 + 20X2 Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 4 -2X1 + 3X2 ≤ -6 X1 , X2 ≥ 0
Dual
Minimizar z= 4W1 - 6W2 Sujeto a W1 - 2W2 ≥ -10 2W1 + 3W2 ≥ 20 W1 , W2 ≥ 0
Problema 3 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 +X3 ≤ 5 2X1 - X2 +3X3 = 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Una restricción ( ≥ )se transforma ( ≤ ).
Una restricción de ( = )se transforma en 2 ( ≥ , ≤ ).
Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 +X3 ≤ 5 2X1 - X2 +3X3 ≥ 2 2X1 - X2 +3X3 ≤ 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 + X3 ≤ 5 -2X1 + X2 - 3X3 ≤ -2 2X1 - X2 +3X3 ≤ 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0
Dual
-
+
Min z= 5W1 - 2W 2 + 2W 2 Sujeto a W1 - 2W-2 + 2W+2 ≤ 5 2W1 + W-2 - W+2 ≥ 12 W1 - 3W-2 + 3W+2 ≤ 4 + W1,W 2,W 2 ≥ 0
Problema 4 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Min Z = 5000X1 + 7000X2 Sujeto a: 100X1 + 140X2 ≥ 5000 10X1 + 6X2 ≥ 300 4X1 + 8X2 = 240 X1 , X2 ≥ 0
Forma Canónica
Max (- Z ) = - 5000X 1 - 7000X2 Sujeto a: -100X1 - 140X2 ≤ - 5000 -10X1 - 6X2 ≤ -300 -4X1 - 8X2 ≤ -240 4X1 + 8X2 ≤ 240 X1 , X2 ≥ 0
Dual
-
Problema 5 Considere el problema primal siguiente:
Primal
Maximizar Z = 2000X1 + 500X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≥ 36 3X1 + 6X2 ≥ 60 X1 , X2 ≥ 0
+
Min Z= -5000W1 - 300W2 -2402W 2 + 240W 2 Sujeto a -100W1 - 10W2 - 4W-2 + 4W+2 ≥ -5000 + -140W1 - 6W2 - 8W 2 + 8W 2 ≥ -7000 + W1 ,W2 ,W 2 ,W 2 ≥ 0
Forma Canónica
Minimizar (- Z ) = - 2000X1 - 500X2 Sujeto a: - 2X1 - 3X2 ≤ - 36 -3X1 - 6X2 ≤ - 60 X1 , X2 ≥ 0
Dual
Minimizar (- Z )= - 36W1 - 60W2 Sujeto a -2W1 - 3W2 ≥ -2000 -3W1 - 6W2 ≥ -500 W1 , W2 ≥ 0
