3.2 Relación primal-dual. Las relaciones del primal-dual son: 1. Si un problema primal tiene solución factible, el dual tendrá solución solución factible y viceversa. 2. Si el problema primal tiene solución factible y función objetivo no acotado, entonces el dual no tendrá solución factible y viceversa. 3. Si el primal no tiene soluciones factibles el dual no tiene solución factible o la función objetivo es no acotada. A menudo en investigación investigación de operaciones, operaciones, para formular un problema problema dual se presenta de acuerdo a la tabla 3.2.1. 1 Primal estándar
Problema dual
Problema objetivo
Objetivo
Tipo de restricción
Maximización
Minimización
Minimización
Maximización
≥ ≤
Signo de la variable
No restringida No restringida
Tabla 3.2.1 La relación entre un problema primal y su dual es presentando las tablas óptimas para ambos. En la práctica obsérvese que no es necesario resolver ambos, resolviendo uno (mejor convenga), se puede dar la solución al otro. Suponga el ejemplo 3.2.1
Primal
= + 2 . 2 + 8 ≤ 16 + ≤ 5 , ≥ 0 0
1
2
2
1 1
1
2
2
Dual
0
1
= 16
1
+5
2
Hamdy Taha, Investigación de Operaciones, 6ª Ed. Editorial Prentice Hall
. 2 + ≥ 1 8 + ≥ 2 , ≥ 0 1
2
1
2
1
2
Tabla óptima 3.2.2 (resuelta por método simplex)
1
2
1
2
0
0
0
1/6
2/3
6
2
0
1
1/6
-1/3
1
1
1
0
-1/6
4/3
4
Solución óptima =6 1 = 4 2 = 1 1 = 0 2 = 0
Tabla óptima dual 3.2.3 (por doble fase)
1
2
1
2
1
2
-4
-1
—
—
0
0
0
2
0
1
-4/3 1/3
1
1
0
1/6 -1/6 -1/6
6
4/3 -1/3 2/3 1/6
1/6
Solución óptima:
= 6 = 1/6
1
2
= 2/3
1
=0
2
=0
1
=0
2
=0
Obsérvese que en ambas tablas 3.2.2 y 3.2.3 tenemos la misma solución óptima. Análisis . Para el primal
= 6 , el dual = 6; propiedad que cuando una
maximiza el otro minimiza, en ocasiones no da el mismo valor, esto ocurre cuando la propiedad de dualidad es débil. En este caso analiza la dualidad es fuerte
= 0
0
< , para el problema que se 0
0
considerando que ambos problemas son
óptimos. Análisis
.
Observemos en el primal los coeficientes en renglón
coeficientes de
y 1
2
problema dual como son
, 0
los
(variables de inicio) corresponden a la solución de un
1
= 1/6 y
2
= 2/3, estos resultados se comparan en la
tabla 3.2.3 y observamos que corresponden a las variables duales
1
= 1/6 y
2
= 2/3.
En resumen, los valores óptimos para un problema dual estarán dados por las variables de aumento (de inicio) en este caso las variables de holgura Lo mismo ocurre si observamos el renglón
0
1
=4 y
2
1
2
en la tabla 3.2.3 (dual), la solución
óptima para el primal son los coeficientes que están bajo en orden a
y .
y 1
2
que corresponden
= 1; obsérvese que se prescinde del negativo, esto porque
el dual se cambia a minimizar y conocemos la propiedad de
−(− ). 0
0
De igual forma, de la tabla óptima 3.2.2 se obtienen las variables de aumento para el dual, estas se encuentran en el renglón lo tanto, las variables de holgura
1
=0
2
0
bajo las variables reales
y , para nuestro ejemplo 1
2
1
2
= 0.
Así mismo, las variables de aumento para el primal están en el renglón variables duales
y ; por
1
=0
2
= 0.
0
bajo las
