ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Introducción Es un método para investigar el efecto que tienen cambios en los diferentes parámetros parámetro s sobre la solución óptima de un problema de P.L. Se pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo, los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción o los coeficientes asociados directamente con las restricciones, pues es frecuente que estos valores sean definidos con base a estimaciones.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Formulación del Problema: X1 = Toneladas de 5-5-10 a ffabricarse abricarse X2 = Toneladas de 5-10-5 a ffabricarse abricarse X3 = Toneladas de 5-5-5 a fabricarse Utilizando precio de venta de $60 por tonelada y la mezcla de ingredientes (5-5-5) para el tercer producto, su contribución contribución a las utilidades es es de $14.50 por tonelada. Dado que no se han añadido restricciones adicionales, adicionales, la formulación es la siguiente:
1
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Formulación del Problema: Problema : Maximizar
Z = 18.5X1 + 20X2 + 14.5X3
Sujeto a:
0.05X1 + 0.05X2 + 0.05X3 0.05X1 + 0.10X2 + 0.05X3 0.10X1 + 0.05X2 + 0.05X3 X1 , X2 , X3
≥
≤ ≤ ≤
1100 1800 2000
0
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Solución óptima del Problema utilizando el método Simplex : X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5
20.0
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución bj)
X1 X2 S3
18.5 20.0 0 Zj
1 0 0 18.5
0 1 0 20
1 0 -0.05 18.5
40 -20 -3 340
-20 20 1 30
0 0 1 0
8.000 14.000 500 428.000
Cj-Zj
0
0
-4.0
-340
-30
0
2
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Inquietudes a resolver: resolver : • Mercadotec Mercadotecnia: nia: Posibi Posibilida lidadd de aumentar aumentar el precio precio del 5-5-5 para para que sea redituable. • Compras: Compras: Considera Considerarr una posible posible reducción reducción en el el nitrato. nitrato. • Ventas: Ventas: Consider Considerar ar una posible posible reducc reducción ión en en el precio precio del 5-5-10 5-5-10
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Alternativas: • Resolver Resolver de nuevo nuevo el problema problema con los valores valores modifi modificado cados, s, de acuerdo acuerdo con las inquietudes planteadas. • Iniciar Iniciar el Análisi Análisiss a partir de la Tabla Tabla Óptima, Óptima, cuando el el problema problema modificad modificadoo tiene el mismo conjunto óptimo de variables básicas.
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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Procedimiento: 1. RANGOS DE OPTIMALIDAD (Cj) RANGOS DE FACTIBILIDAD (bj)
Anál nálisis isis bá básico ico: • Cambio Cambio del del coefi coeficie ciente nte de de una variab variable le no básica básica en en la Func Función ión Objetivo. • Cambio Cambio del del coeficiente ciente de de una una varia variable ble básica básica en en la la Funció Funciónn Objeti Objetivo. vo. • Cambio Cambio en el el valor valor de uno uno de los los recu recurso rsoss (Segun (Segundo do Térm Término ino). ). Nota: El análisis básico debe hacerse por separado para facilitar su comprensión.
2.
Calcular Calcular los los límites límites del del cambio cambio (en un un coeficie coeficiente nte o en el el segundo segundo término término)) sin que se afecte la mezcla ó combinación que conduce a la solución solución óptima.
3.
Si el cambio cambio que se propon proponee está está por fuera de los límites límites (Allowab (Allowable le min-max), min-max), la solución óptima actual ya no lo será y deberá calcularse una nueva nueva solución de P.L.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 1.
Anál Análiisis bá básico ico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. • Determinar la sensibilidad sensibilidad de los los valores solución solución a cambios en los coeficientes coeficientes de la función objetivo: • Adicio Adicionar nar una una canti cantidad dad ∆j al coeficiente que se tiene de la función objetivo, C j. El nuevo coeficiente coeficiente de la función función objetivo es: −
C j = C j + ∆ j
• Cons Consid ider eran ando do X3 para resolver la primera inquietud, se determina para dicha variable.
∆3
y C3
La Tabla óptima modificada es la siguiente:
4
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 1.
Anál Análiisis bá básico ico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. La Tabla óptima modificada es la siguiente: X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5
20.0
14.5 + ∆3
0
0
0
Segundo Término (Solución)
X1 X2 S3
18.5 20.0 0 Zj
1 0 0 18.5
0 1 0 20
1 0 -0.05 18.5
40 -20 -3 340
-20 20 1 30
0 0 1 0
8.000 14.000 500 428.000
Cj-Zj
0
0
∆3 -4.0
-340
-30
0
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lími límite tess del cam cambi bio: o: Cambio Cambio del coeficien coeficiente te de una variable variable no básica en la Función Objetivo. Antes de que X3 se pueda volver básica, el valor (C j – Z j) asociado, debe volverse no negativo, esto significa que: ∆ 3 − 4. 4.0 ≥ 0
Despejando ∆3, se tiene que ∆3 ≥ 4.0.
Como
−
C3 = C 3 + ∆3
−
C 3 = 14 14.5 .5 + 4. 4.0 0 −
C 3 ≥ 18.5
5
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lími límite tess del del cambi cambio: o: Cambio Cambio del coeficien coeficiente te de una variable variable no básica en la Función Objetivo. Otra forma para determinar el valor de ∆ ó límite superior superior (Máximo) del coeficiente, para las variables no básicas, es tomar el valor absoluto de ( C j – Z j) de la Tabla ≥ |C 3 – Z3| óptima. Para nuestro ejemplo: (C3 – Z3) = ∆3 ≥
3.
Lo anteri anterior or indi indica ca que si el prec precio io de X3 se elevara un poco más de $4.00, es decir, si su contribución a las utilidades fuera mayor que $18.5, entonces la producción de X3 se volvería más redituable que la mezcla actual de producción (X 1= 8.000 y X2= 14.000). Si el precio se aumenta exactamente exactamente en $4.00, se llegaría llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse X 3, pero no se obtendrían utilidades adicionales. Se obtendrían los mismos $428.000 de utilidades utilidades para esta solución óptima alternativa.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Para concluir: •
Si la contribuci contribución ón a la la utilida utilidadd de la variable variable no básica básica disminuy disminuyee o aument aumentaa en una una cantidad inferior al valor de |C j – Z j| para la variable objeto de análisis, no hay cambio en la solución óptima.
•
Sólo Sólo habrá habrá cambio cambio en la la Soluc Solución ión Óptim Óptima, a, si la cont contrib ribuci ución ón a las utilid utilidade adess aumenta en una cantidad mayor al valor actual de |C j – Z j|. Una variable no básica no se encuentra en la solución óptima porque las utilidades que se obtienen al fabricar ese producto son inferiores inferiores a lo que se perdería por hacerlo. Para cambiar cambiar esta relación, es necesario necesario aumentar aumentar la contribución del producto a las utilidades hasta que sean iguales o mayores que lo que se perdería por fabricarlo.
6
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 1.
Anál Análiisis bá básic sico: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. • Determ Determina inarr la sensi sensibil bilida idadd de los los valore valoress soluci solución ón a cambi cambios os en los los coeficientes de la función objetivo: • Adi Adicion cionaar una cant cantid idad ad ∆j al coeficiente que se tiene de la función objetivo, C j. El nuevo coeficiente coeficiente de la función función objetivo es: −
C j = ∆ j + C j
2.
Calcu Calcular lar los los lími límites tes del cambi cambio: o: Para determinar los límites, es necesario examinar todos lo valores (C j – Z j) que se ven afectados por ∆j, esto se observa en la siguiente tabla:
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cam cambi bio: o: Cambio del coeficiente de una variable variable básica en la Función Objetivo. La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de X 1 (5-5-10): X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5 + ∆1
20.0
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución)
X1
18.5 + ∆1 20.0 0 Zj
1
0
1
40
-20
0
8.000
0 0
1 0
0 -0.05
-20 -3
20 1
0 1
14.000 500
X2 S3
Cj-Zj
7
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cam cambi bio: o: Cambio del coeficiente de una variable variable básica en la Función Objetivo. La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de X 1 (5-5-10): X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5 + ∆1
20.0
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución)
X1
18.5 + ∆1 20.0 0 Zj
1
0
1
40
-20
0
8.000
0 0
0 -0.05
-20 -3
20 1
18.5 + ∆1
1 0 20
18.5 + ∆1
340 + 40∆1
30 - 20∆1
0 1 0
14.000 500 428.000 + 8.000 ∆1
Cj-Zj
0
0
- 4.0 - ∆ ∆1
-340 - 40∆1
-30 + 20∆1
0
X2 S3
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cam cambi bio: o: Cambio del coeficiente coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. Como se observa en la tabla anterior, se ha adicionado un coeficiente ∆1 en las partes en que interviene X1; se calcularon nuevamente los renglones Z j y (C j – Z j) con los valores modificados. Para que la combinación actual (X 1 = 8.000, X2 = 14.000), siga siendo óptima, debe asegurarse que ningún valor (C j – Z j) de la tabla anterior, se vuelva positivo; por lo tanto, se debe determinar el valor ∆1; para lo cual se despeja una desigualdad para cada uno de los valores no básicos (C j – Z j) , así: Para X 3 ⇒ −4 − ∆1 ≤ 0 − ∆1 ≤ 0 + 4 ∆1 ≥ − 4
8
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cam cambi bio: o: Cambio del coeficiente de una variable variable básica en la Función Objetivo. Para S 1 ⇒ −340 − 40 ∆1 ≤ 0
Para S 2 ⇒ −30 + 20 ∆1 ≤ 0 20∆1
− 40∆1 ≤ 0 + 340 −40∆1
≥
340
∆1 ≤
−40 −40 ∆1 ≥ − 8.5 R e sumiendo :
≤ 0 + 30 30 20
∆1 ≤ 1.5 ∆1 ≥ − 4 ∆1 ≥ − 8.5 ∆1 ≤ 1.5
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lími límite tess del cam cambi bio: o: Cambio del coeficiente de una variable variable básica en la Función Objetivo. Se selecciona el conjunto de condiciones más restrictivo: •
∆1 ≤ 1.5
Única condición de menor o igual que.
•
∆1 ≥ -
Se utiliza la más cercana a cero porque satisface las otras condiciones, en este caso : ( ∆1 ≥ - 8.5) 8.5)
NOTA:
4
En caso de varias restricciones de mayor o igual que, se selecciona la que tenga el valor más cercano a cero, lo cual permitirá determinar el intervalo apropiado de utilidades.
9
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 3.
Los Los cambi cambios os per permi misi sibl bles es par paraa C1 pueden expresarse como: -4≤
∆1 ≤ 1.5
Por ello, la contribución X1 a las utilidades no puede aumentar en más de $1.50 o disminuir en más de $4.00; es decir, $14.50 ≤ C1 ≤≤ $20.
C1 debe ser superior a $14.50 e inferior a $20 con el objeto que la mezcla óptima de producción permanezca permanezca igual. Suponiendo que las condiciones condiciones del mercado permiten un incremento de las utilidades del producto X1 de hasta $25 (fuera de los límites anteriores), la mezcla actual no sería óptima y se deben calcular los nuevos reglones Z j y (C j – Z j) haciendo ∆1 = +6.5 ($25 – 18.5). 18.5). Esta modificación cación se presenta en la siguiente tabla:
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Tabla modificada para ∆1 = +6.5: X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
25
20
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución)
X2 S2 X1
20 0 25 Zj
0 0 1 25
1 0 1 20
1 -0.05 1 20
40000 -3 -20000 300000
0 1 0 0
-20000 1 20000 100000
4.000 500 18.000 530.000
Cj-Zj
0
0
-5.5
-300000
0
-100000
Como se se observa observa el el valor valor de la F.O F.O aumentó aumentó en 102.000 102.000.. Los valore valoress de (C j-Z j) han cambiado también; esto implica que la mezcla actual no es óptima y que debe recalcularse con el objeto de lograr una nueva solución óptima.
10
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 1.
Anál Análiisis bás básiico: co: Cambio en el valor de uno de los recursos (Segundo Término). • Determinar Determinar la sensi sensibili bilidad dad de los los valores valores soluc solución ión a cambio cambioss en el valor valor de un recurso: • Adi Adicion cionaar una una can cantida tidadd ∆j al recurso que se quiere cambiar y se vuelve aplicar el proceso de solución:
2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos : En la tabla inicial del Simplex, obtenida para el caso de Agro Tech, se incluye el cambio en el nivel de nitrato disponible (1100 + ∆N ), donde ∆N es positivo o negativo para reflejar posibles aumentos o disminuciones en la disponibilidad del recurso. :
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos : Tabla inicial para el nuevo nivel de recursos: X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5
20.0
14.5
0
0
0
S1
0
0.05
0.05
0.05
1
0
0
S2 S3
0 0 Zj
0.05 0.10 0
0.10 0.05 0
0.05 0.05 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
Cj-Zj
18.5
20
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución bj)
1.100 + ∆N 1.800 2.000 0
11
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos : Se procede con las iteraciones iteraciones normales del del Simplex incluyendo ∆N, hasta llegar a la Tabla Óptima: X1
X2
X3
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5
20.0
14.5
0
0
0
Segundo Término (Solución bj)
X1
18.5
1
0
1
40
-20
0
8.000+40 ∆N
X2
20.0
0
1
0
-20
20
0
14.000 14.000 - 20 ∆N
S3
0
0
0
-0.05
-3
1
1
500 - 3 ∆N
Zj
18.5
20
18.5
340
30
0
428.000 + 340 ∆N
Cj-Zj
0
0
-4.0
-340
-30
0
23
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos : En la Tabla Óptima se puede puede apreciar que el valor de la F.O aumenta en $340 por cada tonelada adicional de nitrato o disminuye en la misma cantidad por tonelada que deje de usarse. Como los valores de la solución siempre deben ser no negativos, pueden utilizarse estas funciones funciones para determinar la la cantidad de nitrato nitrato que puede aumentarse o disminuirse, antes de que el conjunto conjunto de variables solución solución deje de ser óptimo, así:
12
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos :
Pa ra X 1 ⇒
8. 0 0 0 8.
+
Pa ra X 2 ⇒
4 0 ∆ N
≥
4 0 ∆ N
≥ − 8 .0 00
−
4 0 ∆ N
≥ − 8.00 0
− 20 ∆ N
∆ N ≥
0
14 . 0 0 0 14
− 2 0 ∆ N ≥ 2 0 ∆ N
≤ −20 ∆ N ≤
− 8.000 40
0
≥ − 14 .00 0 −14.000 −20 70 0
∆ N ≥ − 20 0 Pa ra S 3 ⇒
50 0 50
− 3 ∆ N ≥
0
− 3∆ N ≥ − 5 0 0 − 3 ∆ N
≤
Re sumiendo :
∆ N ≥ − 200 ∆ N ≤ 700
− 50 0
∆ N ≤ 166.67
−3 −3 ∆ N ≤ 166.67
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2.
Calc Calcul ular ar los los lím límitites es del del cambio en el valor de uno de los recursos : Si ∆N es menor que 166.67, también será menor que $700, pero no viceversa. viceversa. Entonces, los límites son los siguientes:
- 20 2000 ≤ 3.
∆N ≤ 166.67
Lo anterior anterior signifi significa ca que la dispo disponibi nibilida lidadd de nitrato nitrato puede cambi cambiar ar en cualquie cualquierr forma, desde un aumento de 166.67 toneladas hasta una disminución de 200 toneladas, sin ocasionar ocasionar cambios en el conjunto conjunto de variables de la la solución. Los valores de la F.O, los valores valores de las varables de la solución y el valor valor del Segundo Término cambiarán, pero pero la mezcla actual actual de variables se mantendrá. Así, las variables para la solución óptima actual seguirán siendo las mismas, si existen cuando menos 900 toneladas de nitrato disponible o si hay no más de 1266.67.
13
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: DUALIDAD: DUALIDAD: Para todo problema de maximización de programación lineal existe un problema equivalente de minimización; y a la inversa, para todo problema de minimización de programación lineal existe un problema equivalente de maximización. La dualidad es importante porque: • En algunos algunos casos, casos, el planteami planteamiento ento de problema problema de PL puede puede dar como result resultado ado una reducción considerable en los cálculos para resolver el problema. • La relación relación dual tiene tiene un nexo nexo importante importante con el análisi análisiss de sensibili sensibilidad. dad. • Es posible posible obtener obtener importante importante informac información ión económi económica ca acerca acerca del valor valor de los recursos escasos que se utilizan examinando el problema dual.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: PLANTEAMIENTO DUAL: DUAL: 1. 2. 3. 4. 5.
Reemp Reempla laza zarr las las vari variab able less X j del problema primario por variables y i en el dual. Colocar Colocar los los coeficien coeficientes tes de la la F.O F.O del primario primario como los valores valores del Segundo Segundo Término en el dual. Colocar Colocar los valore valoress del Segund Segundoo Término Término del primari primarioo como los los coeficien coeficientes tes de la F.O en el el dual. dual. Transponer Transponer los los renglone rengloness de los coefic coeficiente ientess de restricc restricción ión del primario primario para para convertirlos en columnas de coeficientes en el dual. Invertir Invertir la direcci dirección ón de las desig desiguald ualdades, ades, es es decir, decir, si las desigua desigualdad ldades es del primario primario son de mayor o igual, las desigualdades en el dual serán de menor o igual.
14
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Planteamiento del problema primario: Maximizar: Z =18.5X1 + 20X2 Sujeto a: 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100 0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800 0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000 X1 , X2 ≥ 0 X1 , X 2 son toneladas a fabricar de fertilizante 5-5-10 y 5-10-5 respectivamente y 1100, 1800 y 2000 son las toneladas disponibles de recursos (nitrato, fosfato y potasio).
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO : (Problema original de los los dos fertilizantes – Tom Anderson) Planteamiento del problema DUAL DUAL:: Yi = valor marginal del del recurso i (1=Nitrato, 2=Fosfato, 3=Potasio) 3=Potasio) en dólares por tonelada. Minimizar Sujeto a:
Z =1100Y1 + 1800Y2 + 2000Y3 0.05Y1 + 0.05Y2 + 0.10Y3 ≥ 18.5 0.05Y1 + 0.10Y2 + 0.10Y3 ≥ 20.0 Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0
Cada restricción del dual se relaciona con un producto final (un tipo de fertilizante) en vez de hacerlo con un recurso.
15
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Utilizando la primera restricción, se tiene: toneladas de de ni nitrato dólares 0.05 × Y + t o n e l a d a s d e t o n e l a d a s d de e n ni i t r a t o 5 − 5 − 1 0 toneladas de de fosfato dólares 0.05 × Y + t o n e l a d a s d e t o n e l a d a s d e f o s f a t o 5 − 5 − 1 0 toneladas de potasio potasio dólares dólares 0.05 × Y ≥ 18.5 toneladasde tonel adasde tone to nela lada dasde sde pota po tasi sio o tone to nela lada dasde sde 5 − 5 −10 5 − 5 −1 0 10 1
2
3
Puesto que las unidades de medición son iguales en ambos lados de la desigualdad, la restricción es correcta.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Consideraciones Consideraciones al plantear el Dual: • El número número de variable variabless del dual dual será igual igual al número número de restricc restriccione ioness en el primario. • El número número de restric restriccion ciones es en el dual dual será igual al al número número de variables variables en el el primario. • La F.O del dual dual estará estará formada formada por los valore valoress del segundo segundo término término del del primario. primario. • Los valores del del segundo término término del dual serán los coeficientes coeficientes de las las utilidades utilidades del primario. • Los coeficientes coeficientes de las restricciones del dual serán las columnas columnas del primario.
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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Diferencias entre planteamientos Primario y Dual: Primario
Dual
Variables:
Unidades de producto final que se fabrican
Valor marginal por tonelada del recurso
Función objetivo:
Maximizar utilidades = (unidades Minimizar valor marginal = (valor del producto) x (utilidad por marginal por tonelada del unidad) recurso) x (toneladas del recurso que se utilizan) Limitación sobre el uso de Requerimientos de utilidad por recursos escasos unidad para cada producto
Restricción:
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Tabla óptima para el planteamiento dual del problema:
V.B. ↓ ↓
CJ →
-1.100
-1.800
-2.000
0
0
-20.000
-20.000
Segundo Término (Solución)
Y1 Y2
-1.100 -1.800 Zj
1 0 -1.100
0 1 -1.800
3 -1 -1.500
-40 20 +8.000
20 -20 +14.000
40 -20 -8.000
-20 20 -14.000
340 30 -428.000
Cj-Zj
0
0
-500
-8.000
-14.000
-12.000
-6.000
Y1
Y2
Y3
S1
S2
A1
A2
Nota: El valor negativo de Z de $428.000 resulta porque el problema dual fue un problema de minimización. minimización. No se debe considerar el signo negativo. negativo.
17
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Tabla óptima problema primario: X1
X2
S1
S2
S3
V.B.↓
CJ →
18.5
20.0
0
0
0
Segundo Término (Solución bj)
X1 X2 S3
18.5 20.0 0 Zj
1 0 0 18.5
0 1 0 20
40 -20 -3 340
-20 20 1 30
0 0 1 0
8.000 14.000 500 428.000
Cj-Zj
0
0
-340
-30
0
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Relación entre el primario y el dual óptimo: En la solución óptima, los valores de la F.O de ambos problemas son iguales. Para cualquier otra solución dual (que no sea óptima) óptima) el valor valor de la F.O será siempre siempre mayor mayor que el de cualquier cualquier valor valor primario factible.
Relación entre los valores valores de la F.O en el problema primario y en el el dual: Si el cambio es un aumento unitario, la utilidad Z del primario aumentará en una cantidad equivalente al valor óptimo de la variable dual correspondiente. Una disminución unitaria unitaria en el nivel de un recurso recurso dará dará como resulta resultado do una disminución disminución correspondiente en el valor valor de la F.O en la solución óptima del primario.
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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: EJEMPLO: (Problema original original de los los dos dos fertilizantes fertilizantes – Tom Anderson) Para el ejemplo esto significa: Que un aumento de una tonelada en la disponibilidad del nitrato da como resultado resultado $340 de aumento en las utilidades, en tanto que un aumento de una tonelada en el uso del fosfato da como resultado un aumento de $30 en las utilidades.
Un aumento en la disponibilidad de potasio no tendría
impacto sobre las utilidades (en la solución primaria existen 500 toneladas toneladas de potasio que no se utilizaron.
Los valores de las variables duales pueden encontrarse en la tabla óptima del primario, formándose una correspondencia de uno a uno entre las variables duales y las variables primarias de holgura.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL: DUAL: Cada una de las variables duales equivale a la utilidad adicional que puede obtenerse de una unidad adicional del recurso correspondiente, es decir Y 1=340 implica que cada tonelada adicional de nitrato nitrato produce $340 adicionales adicionales de utilidad; Y 2=30 implica que cada tonelada adicional de fosfato produce $30 adicionales de utilidad; y Y 3=0 implica que no se obtienen utilidades adicionales adicionales al añadir toneladas extra de potasio. Las variables duales indican la cantidad extra que se estaría en disponibilidad de pagar por una unidad adicional de un recurso específico. Se estaría dispuesto a pagar un precio más elevado por un recurso escaso, escaso, hasta por el valor de la variable dual. Por ejemplo: Cada tonelada de fosfato vale $30, y estariamos dispuestos a pagar al proveedor hasta $110 por t onelada ($80 del precio actual más $30 adicionales) adicional de fosfato. El aumento neto en la utilidad utilidad por tonelada tonelada adicional adicional de recurso será será la diferencia entre $30 y el precio más elevado que se pague.
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