Análisis de de Dualidad y Sensibilidad DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL RELACIONES PRIMAL-DUAL INTERPRETACIÓN DE LA DUALIDAD MÉTODO DUAL SIMPLEX Y SIMPLEX GENERALIZADO A N Á L I S I S P O S T Ó P T I M O O D E S E N S I B I L I D A D
Introducción
La solución solución óptima óptima de de un m.p.l. m.p.l. se basa en en la toma instantánea de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. Pero en el mundo real muy rara vez los ambientes de decisión son estáticos, y es necesario analizar cómo cambia la solución óptima cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es lo que hace el análisis de sensibilidad. Ya se vio antes el análisis análisis de sensibilidad desde la la perspectiva del análisis de la solución gráfica de un problema de 2 variables, ahora veremos la manera de hacerlo mediante un tratamiento algebraico.
Introducción
La solución solución óptima óptima de de un m.p.l. m.p.l. se basa en en la toma instantánea de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. Pero en el mundo real muy rara vez los ambientes de decisión son estáticos, y es necesario analizar cómo cambia la solución óptima cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es lo que hace el análisis de sensibilidad. Ya se vio antes el análisis análisis de sensibilidad desde la la perspectiva del análisis de la solución gráfica de un problema de 2 variables, ahora veremos la manera de hacerlo mediante un tratamiento algebraico.
Definición del problema dual
El problema dual es un un m.p.l. m.p.l. definido definido en en forma forma directa a sistemática a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están tan estrechamente relacionados que la solución de uno produce inmediatamente la solución del otro. Para hallar hallar el m.p.l. m.p.l. dual de un primal, primal, se se debe m.p. p.ll prim primal al como si se lo estuviera expresar el m. preparando para resolverlo por el método simplex, es decir se estandarizan las ecuaciones adicionando variables de excedencia y holgura.
Definición del problema dual
Una vez que que el m.p.l. m.p.l. primal esta preparado preparado como como para formar la tabla inicial del método simplex de solo holguras, es decir se pasan todas las restricciones a ecuaciones. Luego de esto se puede pasar a formar el el m.p.l. m.p.l. dual, según según las las reglas: reglas:
Reglas de formación del dual Se define una variable dual por cada ecuación primal (restricción). 2. Se define una restricción dual para cada variable primal. 3. Los coeficientes de restricción (columna) de una variable primal definen los coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual, y su coeficiente objetivo define su lado derecho. 4. Los coeficiente objetivo del dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de restricción primal 1.
Reglas de formación del dual Problema dual
Objetivo del problema primal
Objetivo
Tipo de restricción
Maximización
Minimización
>=
Minimización
Maximización
<=
En ambos casos las variable duales son no restringidas es decir pueden tomar valores positivos o negativos indistintamente, según como quede definido el m.p.l. dual.
Ejemplo
Max( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3
2 x1 x2
3 x3
10 8
4 x3
Ejemplo, estandarizan estandarizando do
Max M ax( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3 x
2 x1 x2
3 x3
h 4
0 x
4 x3
10 h 4
8
y1 y2 Variables Duales
Ejemplo, primal dual
Min M in( w) 10 y1 8 y2 y1
2 y2
2 y1 y2
5 12
y1
3 y2
4
y1
0 y2
0
Ejercicio en clase
Min M in( z ) 15 x1 12 x2 x1 2 x1
2 x2 4 x2
3 5
Solución dual óptima
Hasta aquí vimos la forma de cambiar del m.p.l. primal al dual. Ahora bien las solución de ambos a mbos modelos esta estrechamente relacionado según los siguiente métodos: Método 1 Valores óptimos
de las variable duales
Vector renglón de los coefientes
Inversa primal
objetivos originales de las variables bási bás ic as óptimas primales primales
óptima
Método 2
Coeficiente z - primal óptimo
Lado Izquierdo de la
Lado Derechode la
de cualquier variable x j
j - ésima restricción dual
j - ésima restricción dual
Hallando la solución dual óptima
Para hallar la solución dual óptima encontramos primero el m.p.l. primal estandarizado y lo acomodamos para resolverse por el método simplex o el método M como normalmente se hace, si se tiene:
Max( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3
2 x1 x2
3 x3
10 8
4 x3
Acomodando el modelo
Max( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3 x
2 x1 x2
3 x3
h 4
0 x
4 x3 a 5
0 x h 4
a 5
x
0 x
h 4
a 5
Mx
10
y1
8
y2 Variables Duales
Encontrando el Dual
Min( w) 10 y1 y1
2 y2
5
2 y1 y2
12
y1
3 y2
4
y1
0 y2
0
0 y1 y2
8 y2
M
y2 no restringida
Pensando en la solución
Hay que tomar en cuenta que en la tabla inicial la columnas que contienen la matriz identidad, luego de hacer las operaciones correspondientes de reducción llegan a contener la llamada matriz inversa que nos servirá para aplicar el método 1 o el método 2 para encontrar la solución dual y primal. Encuentra la solución del primal para el anterior ejercicio.
Tabla óptima del primal
Básica
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
Z
0
0
3/5
29/5
-2/5 + M
274/5
X2
0
1
-1/5
1
0
7/5
-1/5 2/5
12/5
X1
2/5 1/5
26/5
En las celdas resaltadas, se encontraba la matriz identidad en la tabla inicial y ahora aquí esta la matriz inversa, la cual usaremos para el método 1 y nos permitirá encontrar la solución del dual.
Hallando la solución dual por el Método 1 Y1, Y2, son el resultado de multiplicar los coeficientes objetivos originales por la inversa óptima .
( y1 , y2 )
2
1
(12, 5) 5 1
5 2
5
5
29
2
5
5
Hallando la solución dual por el método 2
Las variables de inicio en el primal: X4, X5, con las restricciones en le dual: y1
0
y2
De acuerdo a la tabla los coeficientes z de estas variables: 29 2 x4
M
3
, x5
5
M
De acuerdo al método 2, se obtiene el mismo resultado: 29 2 3
y1
0,
5
M
y 2
( M )
Ejercicios en clase
Min( z ) x1 x2 2 x1
3 x2
5 x1
2 x2
3 5 Max( z ) x1
5 x2
x1
3
2 x2 x3
2 x1 x2
4
3 x3
Ejercicios en clase
Max( z ) x1 x2 2 x1
2 x1 x2 10
40 Max( z )
3 x1
2 x1 x2
3
3 x1
4 x2
12
2 x2
Ejercicios en clase
Min( z )
5 x1
2 x2
x1
5 x2
2 x3
30
x1 5 x2
6 x3
40
Max( z )
3 x3
2 x1
x1 x2 x3 x1
4 x2 x4
4 x2 4 8
4 x3
3 x4
Ejercicios en clase Min( z ) x1
2 x1 x1
430 x1
3 x2 x3 4 x3 2 x2
460 x2
420 x3
3
2 5
Max( z ) 6 x1 x1
5 x1
4 x2
24
2 x2
6
x1 x2
1
x2
2
4 x2
Valor objetivo Primal y Dual
Para cualquiera de las soluciones primales y duales factibles se verifica que el valor objetivo en el problema de maximización es menor o igual al valor objetivo en el problema de minimización.
Interpretación de la Dualidad
Las variables duales “y” representan el valor por unidad de la cantidad que toma la variable “ x i ”
Simplex Dual
Maneja problemas que son de comienzo no óptimos y no factibles a la vez. Es decir todas las restricciones deben ser del tipo “<=”. Condición dual de factibilidad, la variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo. Si todas son no negativas el algoritmo termina. Condición dual de optimalidad, La variable de entrada es la que le corresponde el valor menor positivo entre encontrar el VALOR ABSOLUTO de dividir el renglón z entre el renglón de la variable que esta entrando, donde el valor que divide DEBE SER NEGATIVO.
Simplex Dual
Se aplica a problemas que tienen una solución inicial no factible, es decir que el lado derecho de por lo menos una restricción es negativo, para que se puede hacer las iteraciones. El m.p.l. no debe tener igualdades, las igualdades se reemplazan por dos desigualdades. Se debe cumplir que todas las variables son restringidas, es decir son estrictamente positivas o iguales a cero. Se aplica a problemas con la función objetivo que satisface la condición de optimalidad del método simplex regular. Es
decir si se aplicara el método dual cuando el método simplex regular no tenga variable de entrada. El modelo se puede acomodar adicionando restricciones artificiales.
Ejemplo 1
En este ejemplo se multiplican por -1 las dos primeras desigualdades para convertirlas en restricciones (<=), para luego formar la tabla inicial. Se estandariza el modelo añadiendo variables de holgura y no se toma en cuenta el lado derecho negativo.
Min( z )
3 x1
3 x1 x2
3
4 x1
3 x2
x1 x2
6 3
2 x2
Ejemplo 1 Básicas z
X1 -3
X2 -2
X3 0
X4 0
X5 0
Sol. 0
X3
-3
-1
1
0
0
-3
X4
-4
-3
0
1
0
-6
X5
1
1
0
0
1
3
En esta tabla se nota que no hay variable de entrada en el método simplex regular, donde entra la variable con el coeficiente más positivo y en esta caso todas son negativas, entonces proseguimos: Sale la variable con la solución más negativa: X4 Entra la variable con la menor razón positiva de dividir el renglón “z” por el renglón de la variable que esta entrando: X2, la razón debe ser entre negativos.
Ejemplo 1
Básicas z
X1 -1/3
X2 0
X3 0
X4 -2/3
X5 0
Sol. 4
X3
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
X5
-1/3
0
0
1/3
1
1
Sale la variable con la solución más negativa: X3 Entra la variable con la menor razón positiva de dividir el renglón “z” por el renglón de la variable que esta entrando: X1, la razón debe ser entre negativos.
Ejemplo 1
Básicas z
X1 0
X2 0
X3 -1/5
X4 -3/5
X5 0
Sol. 21/5
X1
1
0
-3/5
1/5
0
3/5
X2
0
1
4/5
-3/5
0
6/5
X5
0
0
-1/5
2/5
1
6/5
No hay variable de salida es la solución optima, verifícalo usando otros métodos.
Simplex dual con restricciones artificiales Max( z ) 2 x1 x1 4 x1
3 x2
2 x1 x2 x3 5 x3
4
9 x2 x3
3
6 x2
8
3 x3
Max( z )
2 x1 x2 x3
2 x1 3 x2
5 x3 x4
x1 9 x2 x3 x5 4 x1
6 x2
3 x3 x6
4
3 8
Ejemplo 2 Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
-2
1
-1
0
0
0
0
X4
-2
-3
5
1
0
0
-4
X5
1
-9
1
0
1
0
-3
X6
4
6
3
0
0
1
8
Vemos en la tabla que no cumple la optimalidad del simplex regular, X1 sigue siendo negativo y puede entrar en el este caso de maximización, entonces para que se pueda aplicar el método simplex dual, se aumenta una restricción artificial como sigue y se ajusta la tabla, como resultado se obtiene una tabla óptima para el simplex regular y por tanto se puede aplicar recién el método simplex dual.
Ejemplo 2 Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Sol.
z
-2
1
-1
0
0
0
0
0
X4
-2
-3
5
1
0
0
0
-4
X5
1
-9
1
0
1
0
0
-3
X6
4
6
3
0
0
1
0
8
X7
1
0
1
0
0
0
1
M
En este cuadro se adicionó, X1 + X3 <= M, por que esas son las variables que se deben acomodar, para aplicar luego el simplex dual. Entra la variable más negativa: X1 Sale la variable X7, para así poder acomodar la tabla para aplicar el simplex dual.
Ejemplo 2 Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Sol.
z
0
1
1
0
0
0
2
2M
X4
0
-3
7
1
0
0
2
-4+2M
X5
0
-9
0
0
1
0
-1
-3-M
X7
0
6
-1
0
0
1
-4
8-4M
X1
1
0
1
0
0
0
1
M
En este cuadro se ve que el renglón “z” cumple con la condición de optimalidad del simplex regular, entonces pasamos a aplicar el DUAL SIMPLEX. Sale la variable con la solución más negativa: X6 Entra la variable X7, cuya razón es: 2/-4 = 1/-2 = -0.5, y sacando el valor absoluto se obtiene la menor razón positiva, 0.5.
Ejemplo 2 Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Sol.
z
0
4
1/2
0
0
1/2
0
4
X4
0
0
13/2
1
0
1/2
0
0
X5
0
-21/2
1/4
0
1
-1/4
0
-5
X7
0
-3/2
1/4
0
0
-1/4
1
-2+M
X1
1
3/2
3/4
0
0
1/4
0
2
Sale la variable con la solución más negativa: X5 Entra la variable X2, cuya razón es: 8/-21, y sacando el valor absoluto se obtiene la menor razón positiva.
Ejemplo 2 Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Sol.
z
0
0
25/42
0
8/21
17/42
0
44/21
X4
0
0
13/2
1
0
1/2
0
0
X2
0
1
-1/42
0
-2/21
1/42
0
10/21
X7
0
0
3/14
0
-1/7
-3/14
1
-9/7+M
X1
1
0
11/14
0
1/7
3/14
0
9/7
No hay solución negativa se ha llegado a la tabla óptima, el resultado es z = 44/21, X1 = 9/7 y X2 = 10/21, verifica que sale exactamente la misma solución por el método M.
Un ejemplo más de simplex dual
Analicemos el siguiente modelo ya resuelto por el simplex regular, lo haremos ahora por el simplex dual, para eso acomodamos el modelo primero.
Max( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3
2 x1 x2
3 x3
4 x3
10 8
Max( z ) x1
2 x2
2 x1 2 x1
x2 x2
5 x1 x3
12 x2 10
3 x3 3 x3
8 8
4 x3
Encontrando la Tabla Inicial
Vemos que a el modelo no se puede aplicar directamente el método simplex dual, así que añadimos una restricción artificial. Max( z )
5 x1
x1
x3
2 x2
2 x1
x2
2 x1 x1
12 x2 10
3 x3
x2
x2
8
3 x3
x3
4 x3
8
M
Estandarizando el modelo tenemos:
Max( z ) x1
5 x1
2 x2
x3
2 x1
x2
3 x3
2 x1
x2
3 x3
x
x
x
12 x2
0 x4h
4 x3
h
x4
0 x5h 10
h
x5
8 h
x6
8 x
h
M
0 x6h
0 x7h
Ajustando la tabla para aplicar el simplex dual
Básicas
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Sol.
Z
-5
-12
-4
0
0
0
0
0
X4
1
2
1
1
0
0
0
10
X5
2
-1
3
0
1
0
0
8
X6
-2
1
-3
0
0
1
0
-8
X7
1
1
1
0
0
0
1
M
En esta tabla entra X2 y sale X7 por que es la final de nuestra restricción artificial
Ajustando la tabla para aplicar el simplex dual
Después de ajustar la tabla anterior nos queda la siguiente tabla a la que podemos aplicar el simplex dual, de donde sale X4 y entra X7 X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Z
7
0
8
0
0
0
12
12M
X4
-1
0
-1
1
0
0
-2
10-2M
X5
3
0
4
0
1
0
1
8+M
X6
-3
0
-4
0
0
1
-1
-8-M
X2
1
1
1
0
0
0
1
M
Básicas
Sol.
Ajustando la tabla para aplicar el simplex dual
Después de ajustar la tabla anterior nos queda la siguiente tabla en la que sale la variable con solución más negativa X6 y entra X1: X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
1
0
2
6
0
0
0
60
X7
1/2
0
1/2
-1/2
0
0
1
-5+M
X5
5/2
0
7/2
1/2
1
0
0
13
X6
-5/2
0
-7/2
-1/2
0
1
0
-13
X2
1/2
1
1/2
1/2
0
0
0
5
Básicas
Z
Sol.
Ajustando la tabla para aplicar el simplex dual
Después de ajustar la tabla anterior nos queda la siguiente tabla que las óptima pues no hay quien salga y como podemos ver los resultados obtenidos son los mismos que con el simplex regular. En la tabla vemos que la matriz inversa de esta tabla no es igual a la del simplex regular, así que es mejor no usar esta inversa, solo usaremos este método para encontrar la solución y nada más. X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Z
0
0
3/5
29/5
0
2/5
0
274/5
X7
0
0
-1/5
-3/5
0
1/5
1
-38/5+M
X5
0
0
0
0
1
1
0
0
X1
1
0
7/5
1/5
0
-2/5
0
26/5
X2
0
1
-1/5
2/5
0
1/5
0
12/5
Básicas
Sol.
Algoritmo simplex generalizado
El algoritmo simplex regular o primal, con la extensión del método M, son adecuaciones que permiten hallar la solución por más fácilmente usando una computadora, añadiendo el algoritmo simplex dual contamos con otro método de resolución para ciertos casos, pero en general el método simplex no es rígido, se pude aplicar los paso de cualquier método en cierta iteración para encontrar una solución más rápida, esto es más fácil de hacer para nosotros que programarlo para la computadora.
Cálculos en la tabla Simplex
La tabla simplex se puede generar en cualquier iteración a partir de los datos originales del problema, la inversa asociada con la iteración y el problema dual. Los cálculos posibles son los sgts.: Fórmula 1, Cálculo de las columnas de restricción: Columna restricción
Inversaen la
Columna restricción
en la iteración i
iteración i
original
Fórmula 2, Cálculo de fila objetivo “z”:
Coeficiente z - primal óptimo
Lado Izquierdo de la
Lado Derechode la
de cualquier variable x j
j - ésima restricción dual
j - ésima restricción dual
Ejemplo, modelo original y dual Max( z ) x1
5 x1 12 x2
2 x2 x3 x4h
2 x1 x2
3 x3
0 x
4 x3
0 x5a h 4
0 x
h 4
a 5
Mx
10 a 5
x
8
Min( w) y1
2 y2
2 y1 y2
10 y1 5 12
y1
3 y2
4
y1
0 y2
0
0 y1 y2
M
8 y2
Ejemplo
Matriz inversa asociada a una iteración a la resolución del simplex regular:
2
1
5 1
5 2
5 5 Con los datos presentados es suficiente para construir la tabla simplex en esta iteración, lo haremos como sigue:
Ejemplo, cálculo de columnas restricción
Del problema original se ve que tiene que haber 5 columnas de restricción:
2 5 1 5
1 5 .1 2 2 5
2 0 1
5 1 5
1 5 . 2 2 1 5
1 0
Aquí podemos ver el ejemplo del cálculo de las primeras dos columnas, encuentra las demás y arma la tabla simplex
Ejemplo, calculando el renglón z
Los coeficientes del renglón z son iguales a restar del lado izquierdo el lado derecho de las restricciones del dual, entonces para encontrar estos valores debemos contar con los valores de Y1 y Y2, para encontrar el valor numérico del lado izquierdo, estos valores los podemos hallar como se vio antes multiplicando los coeficientes básicas originales por la inversa de la iteración. Ejemplo encontrando los valores para X1 y X2 en z:
Coeficiente X1 = Y1 + 2.Y2 – 5 = 29/5 + 2.(-2/5)-5 = 0 Coeficiente X2 = 2.Y1 -Y2 – 12 = 2.(29/5) - (-2/5)-12 = 0
Encuentra los demás valores y termina la tabla simplex.
Análisis postóptimo o de sensibilidad Este análisis se ocupa de ver como manejar los cambios en las el modelo original, y nos ofrece formas de verificar que la solución final se mantiene, o como encontrar una nueva solución final óptima. Después de realizar los cambios si la solución no permanece factible u óptima se tiene que aplicar el simplex dual y/o el regular para recupera la optimalidad. Los casos que vamos analizar son los siguientes: 1. Cambios en el lado derecho de las restricciones. 2. Cambios en los coeficientes de la función objetivo.
Ejemplo de análisis
Con el siguiente ejemplo veremos de principio a fin la aplicación del simplex regular para resolver el primal y el dual, luego veremos el análisis de sensibilidad antes mencionado.
Ejemplo juguetería TOYCO La juguetería TOYCO ensambla y vende tres tipos de juguetes, trenes, camiones, y coches usando tres operaciones para ensamblarlos. Los tiempos disponibles para las tres operaciones de ensamblaje son 430, 460 y 420 minutos por día respectivamente. El precio de venta de cada tren, camión o choche es 3, 2 y 5 dólares respectivamente. Para el ensamblaje para un tren necesita de las tres operaciones el siguiente tiempo 1, 3 y 1 minutos en cada una de las operaciones respectivamente. Para cada camión se necesita 2 minutos de la operación 1, y 4 de la operación 2. Para cada coche se necesita 1 minuto de la operación 1 y 2 minutos de la operación 2. ¿Cuantos juguetes de cada clase se tienen que ensamblar para maximizar la utilidad de TOYCO?
Planteando el modelo primal y el dual Max( z ) x1
2 x2
2 x2 x3
430
2 x3
460
3 x1 x1
3 x1
4 x2
5 x3
420 Min( w)
430 y1
460 y2
1 y1
3 y2 1 y3
3
2 y1
0 y2
4 y3
2
1 y1
2 y2
0 y3
5
420 y3
Resolviendo el primal, estandarizando, encontrando la tabla inicial, entra X3 y sale X5
Max( z )
2 x2
0 x4h
5 x3
2 x2 x3 x4h
x1 3 x1 x1
3 x1
0 x5h
0 x6h
430 x5h
2 x3
460 x6h
4 x2
420
Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
-3
-2
-5
0
0
0
0
X4
1
2
1
1
0
0
430
X5
3
0
2
0
1
0
460
X6
1
4
0
0
0
1
420
Ajustando la tabla
Se obtiene la siguiente tabla:
Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
9/2
-2
0
0
5/2
0
1150
X4
-1/2
2
0
1
-1/2
0
200
X3
3/2
0
1
0
1/2
0
230
X6
1
4
0
0
0
1
420
En la tabla se observa que la siguiente variable a entrar es X2 y la que sale es X4.
Ajustando la tabla
Se obtiene la siguiente tabla: Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
4
0
0
1
2
0
1350
X2
-1/4
1
0
1/2
-1/4
0
100
X3
3/2
0
1
0
1/2
0
230
X6
2
0
0
-2
1
1
20
En la tabla se observa que ya no hay variable de entrada es la solución óptima. De donde X1 = 0, X2 = 100, X3 = 230 y Zmax = 1350. Con estos resultados podemos encontrar el resultado de las variables duales, y también podemos saber que el resultado óptimo del problema dual puede ser mayor o igual que 1350.
Método 1 y Método 2
Para encontrar el resultado del problema dual:
Min( w)
430 y1
460 y2
1 y1
3 y2 1 y3
2 y1
0 y2
4 y3
2
1 y1
2 y2
0 y3
5
420 y3
3
Podemos aplicar dos métodos usando la matriz inversa (Método 1) o usando las restricciones del dual (Método 2), lo haremos por los dos métodos:
Método 1: Por la matriz inversa
Multiplicando el vector fila de los coeficientes originales de las variables básicas en el orden que se encuentran en la tabla óptima por la matriz inversa, encontramos los valores de las variables duales: 1 1 0 2 4 1 ( y1 y2 y3 ) (2 5 0). 0 0 (1 2 0) 2 2 1 1 Estos son los valores de las variables duales Y1 = 1, Y2 = 2 y Y3 = 0, con estos valores encontramos Wmin = 1350, que es igual al valor de Zmax del primal.
Método 2: Por las restricciones duales
Vamos a encontrar los valores de las variables duales, usando las restricciones duales, para esto usamos el dual completo, y los coeficientes del renglón z. Según este método, los coeficientes óptimos de en la tabla óptima primal de las variables básicas iníciales (variables que quedan arriba de la matriz inversa) son iguales a el lado izquierdo menos el lado derecho de las restricciones duales. De la anterior relación podemos despejar sin mayores problemas los valores de Y1, Y2 y Y3.
Método 2: Encontrando el dual del primal estándar Max( z ) x1
2 x2
5 x3
2 x2 x3 x4h
3 x1 x1
3 x1 2 x3
4 x2
0 x4h
0 x5h
0 x6h
430 x5h
460 x6h
420
Min( w)
430 y1
1 y1
460 y2
3 y 2
2 y1 1 y1
420 y3
1 y3
3
4 y3
2
2 y 2
5
1 y1
0 1 y 2
0 1 y3
0
Aplicando el Método 2
Según el método tenemos que en la tabla óptima primal X4, X5, X6 son las variables sobre la matriz inversa o las variables básicas originales y sus valores son 1, 2 y 0, entonces, tomando las restricciones correspondientes del dual anterior:
1 = Y1 – 0 2 = Y2 – 0 0 = Y3 – 0 De donde se puede despejar fácilmente Y1 = 1, Y2 = 2 y Y3 = 0 que son los valores ya obtenidos antes.
Hallando la solución al dual para verificar
Estandarizamos el siguiente modelo planteado a un principio: Min( w)
Min( w)
430 y1
430 y1
1 y1
3 y2 1 y3
2 y1
0 y2
4 y3
2
1 y1
2 y2
0 y3
5
460 y2
1 y1
4 y3 2 y2
0 y4e
0 y5e
a
3
y7 e
a
y5
2
y8
y e6
420 y3
3
420 y3
1 y1 3 y2 1 y3 y4e 2 y1
460 y 2
a
y9
5
0 y6e My7a My8a My9a
Formamos la siguiente tabla y procedemos por el Método M
Nos queda la siguiente tabla, la cual debemos ajustar antes de empezar, como se ve abajo, donde entra el más positivo Y3 y sale Y8:
Base
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
w
-430
-460
-420
0
0
0
-M
-M
-M
0
Y7
1
3
1
-1
0
0
1
0
0
3
Y8
2
0
4
0
-1
0
0
1
0
2
Y9
1
2
0
0
0
-1
0
0
1
5
Base
Y1
Y2
Y3
w
-430+4M
-460+5M
Y7
1
Y8 Y9
Y6
Y7
Y8
Y8
Y9
Y9
Sol.
Y4 Y5
Y6
Y7
Sol.
-420+5M
-M
-M
-M
0
0
0
10M
3
1
-1
0
0
1
0
0
3
2
0
4
0
-1
0
0
1
0
2
1
2
0
0
0
-1
0
0
1
5
Ejemplo
Se obtiene la tabla siguiente:
Base
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Sol.
w
-220+ (3M/2)
-460 +5M
0
-M
(M/4) -105
-M
0
105(5M/4)
0
(15M/2) +210
Y7 Y3 Y9
½ ½ 1
3 0 2
0 1 0
-1 0 0
¼ -1/4 0
0 0 -1
1 0 0
-1/4 ¼ 0
0 0 1
5/2 ½ 5
En la que vemos que la variable que entra es Y2 y la que sale es Y7
Ejemplo
Se obtiene la tabla siguiente:
Base
Y1
Y2
Y3
w
-430/3+ 2M/3
0
0
Y2 Y3 Y9
1/6 ½ 2/3
1 0 0
0 1 0
Y4
Y5
2M/3- -M/6 460/3 -200/3
-1/3 0 2/3
1/12 -1/4 -1/6
Y6
Y7
Y8
Y9
Sol.
-M
460/3- 200/35M/3 5M/6
0
10M/3 +1780/3
0 0 -1
1/3 -1/12 0 ¼ -2/3 1/6
0 0 1
5/6 ½ 10/3
En la que vemos que la variable que entra es Y1 y la que sale es Y3
Ejemplo
Se obtiene la tabla siguiente:
Base
Y1
Y2
w
0
0
Y2 Y1 Y9
0 1 0
1 0 0
Y3
Y4
Y5
860/3- 2M/3- M/6 4M/3 460/3 -415/3
-1/3 2 -4/3
-1/3 0 2/3
1/6 -1/2 1/6
Y6 -M
0 0 -1
Y7
Y8
460/3- 415/35M/3 7M/6
1/3 0 -2/3
-1/6 ½ -1/6
Y9
Sol.
0
8M/3 +2210/3
0 0 1
2/3 1 8/3
En la que vemos que la variable que entra es Y4 y la que sale es Y9
Ejemplo
Se obtiene la tabla siguiente:
Base
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
w
0
0
-20
0
-100
-230
-M
Y2 Y1 Y4
0 1 0
1 0 0
-1 2 -2
0 0 1
¼ -1/2 1/4
-1/2 0 -3/2
0 0 -1
Y8
Y9
100-M -M+230
-1/4 ½ -1/4
½ 0 3/2
Sol. 1325
2 1 4
Vemos que esta tabla es la óptima. De la solución vemos que se verifica lo que obtuvimos antes usando el método 1 y 2 sobre el primal. Es decir Y1 = 1, Y2 = 2, Y3=0, y Wmin = 1325.
Verificando obtener del dual el primal
Por el método 1, usando la matriz inversa: 0 x1 x2
x3
460
430 0 . 0 1
1
1
4 1
2
2 1 4
0
0 100
3 2
Con lo que se verifica los valores obtenidos por el primal a partir del dual. Encuentra los mismos valores por el método 2.
230
Análisis de sensibilidad, Caso 1: Cambios en el lado derecho de las restricciones
Cuando cambiamos el lado derecho de las restricciones, el nuevo lado derecho se calcula según la Fórmula 1: Nueva Col. restricción
Inversaen la
Nueva Col. restricción
en la iteración i
iteración i
original
Resultado de este cambio nos puede dar una nueva solución factible, en este caso solo tenemos que hallar de nuevo en Zmax. Caso contrario si no diera factible se aplica simplex dual para encontrar una solución factible nueva y el nuevo valor de Zmax.
Ejemplo, cambio del lado derecho TOYCO decide evaluar que pasaría si amplia su línea de ensamblaje aumentando diariamente la capacidad de las operaciones 1,2 y 3 en 40% lo cual es sería incrementar a 602, 644 y 588 minutos respectivamente. ¿Cómo cambia esto la solución óptima encontrada? Rta.- Según la formula anterior encontramos los nuevos 1 1 valores de la solución: 0 1)
x2
2
x3
0
x6
2
4 1 2 1
602
140
0 . 644
322
588
28
1
Esta nueva solución es factible, por tanto X1 =0 , X2 =140 y X3 = 322, con Zmax = 1890, es un mejor valor de utilidad.
Ejemplo, cambio del lado derecho 2) TOYCO decide evaluar que pasaría si cambia sus
empleados para aumentar la capacidad la operación 3 quitandolos de la operación 1, los nuevos tiempos para las tres operaciones serán 450, 460 y 400. ¿Cómo cambia esto la solución óptima encontrada? Rta.- Según la formula anterior encontramos los nuevos 1 1 valores de la solución: 0 x2
2
x3
0
x6
2
4 1 2 1
450
110
0 . 460
230
400
40
1
Esta nueva solución NO es factible, por que se puede ver claramente que X6 toma un valor negatívo. En este caso aplicamos el simplex dual para recuperar la factibilidad.
Ejemplo, ajustando la última solución
Recuerda que la tabla óptima es la siguiente en la que acomodamos en nuevo lado derecho y el valor de Zmax, para luego aplicar simplex dual: Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
4
0
0
1
2
0
1370
X2
-1/4
1
0
1/2
-1/4
0
110
X3
3/2
0
1
0
1/2
0
230
X6
2
0
0
-2
1
1
-40
Vemos aquí que la variable que sale es X6 con -40 en la solución y la que entra, solo puede ser X4 con la menor razón positiva de denominador negativo.
Caso 1, cambios en lado derecho, caso no factible
La tabla que obtenemos es distinta a la anterior óptima, pero la solución permanece siendo la misma como se puede observar, lo que significa que el cambio que quiere hacer no afectará en nada las utilidades, así que puede hacerlo o no. Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
5
0
0
0
5/2
½
1350
X2
¼
1
0
0
0
¼
100
X3
3/2
0
1
0
½
0
230
X6
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
20
Con este ejemplo ya vimos todos los posibles resultados de hacer cambios en el lado derecho de las restricciones.
Análisis de sensibilidad , Caso 2: Cambios en los coeficientes de la función objetivo
Cuando cambiamos la función objetivo para encontrar la solución óptima procedemos de la siguiente forma: 1. Encontramos los valores duales usando el método 1. Multiplicando los nuevos coeficientes por la matriz inversa, luego pasamos al paso 2. Se hace esto suponiendo que la solución del problema no cambia es decir se mantiene la misma inversa a pesar de cambiar los valores del renglón Z. 2. Luego aplicamos la fórmula 2 para determinar los nuevos coeficientes del renglón z, hallamos el nuevo valor objetivo, si la solución continua óptima no se hace nada, si NO es óptima se debe aplicar el método simplex para ajustar la tabla resultante.
Ejemplo 1, Caso 2: Cambios coeficientes de Z 1) TOYCO esta evaluando implementar una nueva
política de precios para ajustarse a sus competidores, los nuevos precios serán 2, 3 y 4 dólares por tren, camión y coche respectivamente. ¿Cómo afecta la solución óptima este cambio? Paso 1, encontramos los nuevos valores de las variables duales con Max(z) = 2X1 + 3X2 + 4X3:
( y1 y2
y3 )
1
1
2
4 1
(3 4 0). 0 2
2 1
0 0 1
(
3
5
2
4
0)
Antes de continuar veamos el modelo dual y su relación con el primal de nuevo, con la nueva función objetivo Max( z ) x1
3 x2
4 x3
2 x2 x3 x4h
3 x1 x1
2 x1 2 x3
4 x2
0 x4h
0 x5h
0 x6h
430 x5h
460 x6h
420
Min( w)
430 y1
Corresponde a X1 1 y1
460 y2
3 y 2
2 y1 1 y1
1 y3
2
4 y3
3
2 y 2
4
Corresponde a X4 1 y1 Corresponde a X5
420 y3
0 1 y 2
0 1 y3
0
Ejemplo 1, Caso 2: Cambios coeficientes de Z Paso 2, encontramos los nuevos valores para el renglón z, en la tabla óptima usando los valores de las variables duales antes obtenidos y la Fórmula 2 que es la resta del lado izquierdo menos el derecho nos da el coeficiente z de la tabla simplex primal. Fíjate en el modelo del problema dual antes de hallar los valores siguientes, todos son positivos la solución es óptima. Coef. X1 = Y1+3.Y2+Y3 – 2 = 3/2 + 3.(5/4) + 0 – 2 = 13/4 Coef. X4 = Y1 – 0 = 3/2 Coef. X5 = Y2 – 0 = 5/4 No calculamos los demás valores pues X2, X3 y X6 están en la base y su coeficiente permanece igual a cero. El nuevo valor de Zmax es 1220, lo cual nos indica que no es provechoso hacer el cambio.
Ejemplo 2, Caso 2: Cambios coeficientes de Z 2) TOYCO en vista de que la anterior política no es
provechosa decide probar otra para ver si aumenta su utilidad, los nuevos precios serán 6, 6 y 4 dólares por tren, camión y coche respectivamente. ¿Cómo afecta la solución óptima este cambio? Paso 1, encontramos los nuevos valores de las variables duales con Max(z) = 6X1 + 6X2 + 4X3:
( y1 y2
y3 )
(6
1
1
2
4 1
4 0). 0 2
2 1
0 0 1
(3
1 2
0)
Ejemplo 2, Caso 2: Cambios coeficientes de Z Paso 2, encontramos los nuevos valores para el renglón z, en la tabla óptima usando los valores de las variables duales antes obtenidos y la Fórmula 2, NO todos son positivos la solución NO es óptima. Es decir en este caso la suposición de que se mantenía la misma inversa con la que calculamos los valores duales es equivocada debemos ajustar la tabla resultante usan el simplex . Coef. X1 = Y1+3.Y2+Y3 – 6 = 3 + 3.(1/2) + 0 – 6 = -3/2 Coef. X2 = Y1 – 0 = 3 Coef. X5 = Y2 – 0 = 1/2 No calculamos los demás valores pues X2, X3 y X6 están en la base y su coeficiente permanece igual a cero. Pasamos a aplicar el simplex regular, donde entra X1.
Ejemplo 2, Caso 2: Cambios coeficientes de Z
De hacer los cambios en la función objetivo nos queda la siguiente tabla, donde se hallaron los nuevos valores del renglón z, y como podemos ver no es óptima pues hay una variable que puede entrar en el caso actual de maximizar y es X1 cuyo coeficiente nos dio negativo y la variable que sale es X6, los valores en rojo son los que hemos cambiado con los resultados obtenidos antes:
Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
-3/2
0
0
3
1/2
0
1220
X2
-1/4
1
0
1/2
-1/4
0
100
X3
3/2
0
1
0
1/2
0
230
X6
2
0
0
-2
1
1
20
Ejemplo 2, Caso 2: Tabla óptima nueva
De hacer los cambios en la función objetivo se obtuvo una tabla que no era óptima, por el métodos simplex se hemos encontrado la siguiente que si lo es. De esta tabla podemos ver que con el cambio, si bien no se gana más, ahora si se pueden producir y vender trenes, opción que se puede considerar.
Base
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Sol.
z
0
0
0
3/2
5/4
¾
1235
X2
0
1
0
¼
-1/8
1/8
205/2
X3
0
0
1
3/2
-1/4
-3/4
215
X1
1
0
0
-1
½
½
10
Otra vez el simplex generalizado
Del análisis de sensibilidad podemos ver que se puede obtener mucha información sobre los cambios en el modelo, de esta forma se pueden sugerir nuevas y atractivas propuestas para las empresas, que tal vez en el momento no cambien el valor objetivo pero con el tiempo puede ser que lo mejoren. Por esta razón es importante conocer bien como aplicar los métodos 1 y 2, y las fórmulas 1 y 2, así como también los métodos simplex regular, el método M y el simplex dual, toda estos métodos y fórmulas son lo que se llama el simplex generalizado que permite analizar cualquier problema e interpretarlos correctamente.
