dualidad

Dualidad Onda-Part´ıcula

Claudio Dib F´ısica General IV (FIS-140) Departmento de F´ısica, Universidad Técnica Federico Santa Mar´ıa Casilla 110-V, Valpara´ıso, Chile Resumen Queremos aqu´ı resumir algunas ideas básicas de la formulación cuántica de la f´ısica y explicar algunos detalles que pueden ayudar a comprender mejor las rarezas de esta formulación. En particular, nos centraremos en estudiar la dualidad onda-part´ıcula, que hasta de palabra suena como un contrasentido. En verdad no es un contrasentido, excepto si insistimos en entender las cosas sólo de la forma que nos es más familiar. Pero, después de todo, ¿quién es uno para juzgar cómo deber´ıa estar hecho el mundo? Este art´ıculo está hecho para quienes estén cursando la asignatura FIS-140, de modo que no vamos a tratar el tema en forma autocontenida ni completa. Sólo vamos a entregar algunas ideas adicionales para pensar sobre el tema y algunas fórmulas básicas para entender cómo se trabaja en este campo...a este nivel.

Introduccio ń La descripción de la materia a escalas de taman ˜ o atómico fue el gran desaf´ıo de la F´ısica abordado a comienzos de los 1900’s. Las observaciones experimentales relacionadas con el mundo atómico no pod´ıan ser explicadas con las leyes cla ´sicas de la f´ısica. A la vez, las leyes clásicas parec´ıan ser inconsistentes cuando se trataban de aplicar para estudiar la materia a nivel ato ´mico. La formulación hasta hoy correcta de las leyes de la f´ısica (la llamada F´ısica Cua ńtica) ha resultado ser uno de los avances más notables del intelecto humano en toda su historia. Lo notable radica principalmente en que, en su inicio, la formulacio ń realmente escapa a nuestro sentido comu ´ n. Uno de esos aspectos “raros” es la dualidad onda–part´ıcula, esto es, el hecho de que en algunos casos lo que entendemos como part´ıculas materiales se comporten a veces como ondas y, viceversa, lo que conocemos como ondas (ej. electromagnéticas) se comporten a veces como part´ıculas. Surge entonces la pregunta filoso ´fica: Qué son todas esas cosas en verdad, ondas o part´ıculas? La respuesta es que en rigor no son ni lo uno ni lo otro. Ambos son aspectos de una realidad subyacente que se explica mejor (no perfectamente, pero mejor) mediante una formulacio ń distinta a todo lo anterior, que es la teor´ıa cuántica de campos. No nos vamos a meter en ese tema. Sólo vamos a tratar de describir situaciones para entender un poco qué queremos decir con que la materia se comporta como onda o part´ıcula. Más adelante, los más inquietos tendrań tiempo para adentrarse en el resto de los misterios. Por ahora, aprobemos dignamente.

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Dónde se oculta la F´ısica Cuántica? La formulación cuántica para describir la materia a nivel ma´s fundamental no es necesaria en las escalas de taman ˜ o humano. A esas escalas, la descripción más sensata es la llamada F´ısica Clásica (ej. Mecánica de Newton, Electromagnetismo de Maxwell). Sin embargo, esta descripción falla cuando los sistemas que queremos estudiar son de taman˜ os atómicos o menores. Esto no significa que no exista evidencia de f´ısica cuántica en nuestra vida cotidiana, sino solamente que es menos obvia. Ejemplos: Para describir el movimiento de una piedra lanzada con la mano (o con cualquier otro dispositivo) nos bastan las leyes de Newton. Para describir la propagacio ń de calor por la piedra al recibir luz solar por un costado, nos basta un modelo clásico de transporte de calor, donde hay que medir previamente unos pocos para´metros del material, como la conductividad térmica y la capacidad calórica. Sin embargo...por qué tengo que medir la conductividad térmica y la capacidad calórica? No puedo acaso deducirlas teóricamente a partir de las leyes de la F´ısica? S´ı puedo, pero necesito conocer la estructura de la materia a escalas atómicas. Note que en el ejemplo previo, no necesitamos conocer la f´ısica a nivel atómico, salvo si quisiéramos describir los para´metros de la materia que se deben a esas escalas de taman ˜ o. Aparte de eso, no hay ninguna contradiccio ń: si no quiero meterme en el mundo ato ´mico, me basta medir unos pocos parámetros que resuman mi ignorancia acerca del mundo ato ´mico y ya está. Teniendo los valores de esos parámetros, me bastan las leyes macroscópicas para describir consistentemente los fenómenos térmicos mencionados. El hecho de que la f´ısica a escalas microscópicas se pueda resumir en un pequen˜ o conjunto de para´metros medibles (parámetros fenomenológicos), y todo el resto del mundo macroscópico pueda formularse en términos de leyes efectivas que usan a esos parámetros como datos de entrada es lo que hace que nuestro mundo sea “fácilmente” comprensible a nuestra mente: uno puede formular un modelo teo ´rico que use sólo unos pocos elementos observables, sin necesidad de conocer Todo desde el comienzo. Sin embargo, eso mismo hace que las leyes del mundo atómico sean tan dif´ıciles de descubrir...y a menos que se parezcan a las leyes macroscópicas, también resultan dif´ıciles de comprender. Ahora cabe preguntarse si todos los fenómenos macroscópicos que uno observa pueden realmente ser comprendidos en forma fenomenolo ´gica, donde el mundo ato ´mico se oculta tras unos pocos datos, o existen también fenómenos que son esencialmente debidos a la f´ısica microscópica que se muestra abiertamente, y no hay co ´mo explicarlos con las leyes que uno conoce. La respuesta es afirmativa. Algunos ejemplos: El espectro solar (distribucio ń de intensidad de radiacio ń vs. longitud de onda), y en general el espectro de emisión de cualquier gas (ej. ampolleta de Sodio). En vez de aparecer una distribucio ń suave y continua de intensidad, aparecen adema´s cu ´spides o hendiduras en valores bien definidos de longitudes de onda. Este feno ´meno se debe a la estructura de niveles de energ´ıa de los electrones en los átomos. El efecto fotoeléctrico (emisión de electrones cuando incide luz sobre un metal). Este fenómeno depende de la ordenación de los electrones en un metal y del carácter de la radiación electromagnética cuando interactu á con la materia a nivel atómico. 2

Figura 1: Espectro solar en rangos XUV, EUV, UV (ultravioleta), V (visible) e IR (infrarrojo). El espectro de radiación térmica (“radiación de cuerpo negro”), como la luz rojiza que emite un fierro caliente. En este caso, el problema es más bien técnico: no hay co ´mo explicar clásicamente la forma del espectro usando las leyes de la termodinámica y un modelo clásico de la radiación electromagnética. Puede pensar en otros? Como vemos, estos ejemplos no son tan obvios de notar (se necesita una instrumentación un poco ma´s refinada que el ojo y las manos). Por eso mismo, la f´ısica atómica no es un conocimiento que cualquier persona domine, o incluso tenga una vaga nocio ń, como lo tendr´ıa de la ley de gravedad o del principio de inercia. Pero aunque sean dif´ıciles de notar para nuestros sentidos, están presentes e influyen directamente en nuestra realidad!

El carácter de una part´ıcula Nuestro concepto de part´ıcula lo entenderemos como un objeto f´ısico con masa definida, m y sin taman ˜ o apreciable (un “punto”), que puede moverse por el espacio. En la Mecańica (mecánica relativista, por cierto; acaso existe otra?), esto significa que si su momentum es p, entonces su energ´ıa es , E = m2c4 + p2 c2 (1) Eso es todo, aunque podemos agregar algunos detalles: 3

Si la masa no es cero, es posible encontrar un observador para quien la part´ıcula esté en reposo. Para ese observador, el momentum es cero y la energ´ıa es simplemente E = mc2 . La masa es, por lo tanto, una medida de la energ´ıa en reposo de la part´ıcula. Uno también puede encontrar un observador para quien la part´ıcula se mueva con velocidad pequen ã (comparada con c). Para dicho observador el momentum es “pequen õ”, en el sentido de que p · mc; en ese caso, la energ´ıa cuenta con una parte cinética: E = mc2 + EK , cuya expresión es la que que conocemos de la mecánica de Newton: EK = p2 /2m. En general, para un observador cualquiera y segu ń el cual el momentum no sea pequen õ, la energ´ıa (1) también se puede considerar como una parte en reposo (mc2 ) y el resto, E − mc2 , como energ´ıa cinética. Por u´ltimo, si m no es cero, es imposible encontrar un observador para quien la part´ıcula mueva con velocidad exactamente c. Si la masa es cero (energ´ıa puramente cinética), la energ´ıa y el momentum de la part´ıcula tienen valores que dependen del observador, pero la velocidad de la part´ıcula es siempre c, independiente de éste. En ese sentido, es imposible observar esta part´ıcula en reposo, si bien es posible que la energ´ıa y el momentum sean tan pequen ˜ os como se quiera.

El carácter ondulatorio de la radiacio ń Sabemos que la luz (la radiacio ń electromagnética, en general) es una onda de campos electromagnéticos. Sabemos de su caracter´ıstica ondulatoria debido a la forma en que se propaga por un medio. Este es el punto esencial; no lo olvide! Por ejemplo, al propagarse por un medio no uniforme (ej. al pasar a través de una serie de ranuras) exhibe el fenómeno de interferencia, que es propio de las ondas (además, como los campos electromagnéticos son de tipo vectorial, las ondas electromagnéticas exhiben polarización, pero eso no es esencial para definir su carácter de onda). Algunos detalles: La radiación se propaga con velocidad c, independiente del sistema de referencia. Toda radiación se puede descomponer en ondas armónicas (sinusoidales), de frecuencia y longitud de onda bien definidas. La frecuencia y longitud de onda de cada componente armo ńica están relacionadas de acuerdo a la expresión λν = c, llamada relación de dispersión. Cuando una onda pasa por una discontinuidad en su medio de propagacio ń (ej. del aire al agua), a partir de la zona donde esta´ la discontinuidad aparece una onda reflejada, que se devuelve por el medio incidente, y una onda transmitida hacia el otro lado de la discontinuidad. La velocidad de la onda es distinta en cada zona (y también la longitud de onda), pero la frecuencia de ondulacio ń es igual en todas partes. En cuanto a energ´ıa en la onda, los conceptos más importantes son los de densidad de energ´ıa e intensidad. La densidad de energ´ıa es la energ´ıa por unidad de volumen que existe en el espacio debido a la presencia de los campos eléctrico y magnético. La intensidad es una medida del transporte de esa energ´ıa: es la cantidad de energ´ıa que cruza una unidad de a´rea transversal (es decir, 4

perpendicular a la dirección de propagacio ń) por unidad de tiempo. Por ejemplo, cuando la radiacio ń incide perpendicularmente sobre una superficie, la intensidad es la potencia que incide por unidad de área de esa superficie.

Primer Encuentro Cuántico: El Carácter Corpuscular de la Radiacio ń La idea de Max Planck Para explicar la forma del espectro de radiacio ń de cuerpo negro (radiacio ń en equilibrio térmico con la materia a una determinada temperatura), Max Planck propuso que la radiacio ń deb´ıa interactuar con la materia sólo en unidades discretas de energ´ıa, o cuantos, donde el taman ˜ o del cuanto deber´ıa ser proporcional a la frecuencia de la radiacio ń: E = hν,

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donde h, la llamada constante de Planck, es una constante fundamental. Esta idea parece bastante descabellada, ya que una onda deber´ıa corresponder a un flujo continuo de energ´ıa y no discreto o a borbotones; además, que el taman ˜ o del cuanto de energ´ıa tenga que ver con la frecuencia de la onda suena au ´ n más descabellado. Curiosamente, la proposicion funciona a las mil maravillas, de modo que si es aceptada, el espectro de cuerpo negro puede explicarse perfectamente y en términos bastante simples. Dado que el valor numérico de la constante de Planck es bastante pequen˜ o en las unidades de energ´ıa y tiempo que nos son usuales: h = 6, 626 068 76(52) × 10−34 [Joule · s],

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el carácter cuantizado de la radiacio ń electromagnética es inobservable en la mayor´ıa de los fenómenos f´ısicos que nos son familiares. Calcule, por ejemplo, el nu ´ mero de “cuantos” de luz que le llegan por segundo sobre su cara, desde una ampolleta de 100 Watt que está a 1 metro de distancia. El nu ´ mero es abismantemente grande (cercano a 1015 fotones por cada cm2 por cada segundo). Usted no tiene ninguna posibilidad de detectar esa discretizacio ń de la energ´ıa con sus sentidos ordinarios (o incluso con instrumentos de laboratorio que valgan menos de varios miles de do ´lares). Au ´ n as´ı, averigu ë cuál es la m´ınima cantidad de luz que es capaz de detectar el ojo humano, y conviértala a fotones/segundo que inciden sobre el ojo. Dada la dificultad de detectar el caraćter discreto de la energ´ıa en la luz, nos hemos formado una visio ń simplificada de la radiacio ń en términos de ondas que se propagan e inciden sobre la materia como un chorro continuo. Esta visio ń simplificada no es errónea. Por el contrario, funciona muy bien en casi todo lo que percibimos. Además, si estamos tratando de entender las cosas, no es una buena estrategia buscar la explicacion más complicada posible, sino la más simple. El problema es que no hay que olvidarse de eso: nuestra explicación fue creada en un contexto limitado, y es posible que so ´lo sea una buena aproximacio ń en ese contexto. Si tratamos de aplicar esa visión a todo, es posible que nuestro modelo no nos funcione. No quiero meterme en filosof´ıa, pero este ejercicio mental se aplica a una amplia variedad de aspectos de la vida cotidiana, ma´s allá de la f´ısica. 5

Einstein y los fotones Para explicar el efecto fotoeléctrico, Einstein usó la idea de Planck y la llevo ´ un poco ma´s lejos: no sólo la energ´ıa de la radiación es intercambiada en forma discreta con la materia, sino que también el momentum, de modo que se puede pensar que la interacción de la radiacio ń con la materia a nivel más básico es el choque entre “part´ıculas” de luz y part´ıculas de materia (part´ıculas atómicas). Aparece as´ı la idea del corpu ´sculo de luz o fotón, que tiene energ´ıa y momentum definido segu ń lo que sabemos de las part´ıculas: como en las part´ıculas se cumple la relación (1), entonces, consistentemente con la relación de Planck E = hν tenemos para el momentum del fotón: p = E/c =

hν h = c λ

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El momentum del fotón no es en s´ı un concepto importante para explicar el efecto fotoeléctrico (el momentum es absorbido por el material, sin ser nunca ma´s visto ni contabilizado), pero deber´ıa aparecer naturalmente asociado a la idea de part´ıcula. As´ı, el transporte de energ´ıa y momentum en la onda electromagnética (vector de Poynting) se puede entender como flujo de fotones.

Compton y el momentum del foto ń A diferencia del efecto fotoeléctrico, para explicar el efecto Compton (cambio de longitud de onda de rayos gamma que interactu án con los electrones en un material) se hace uso expl´ıcito de la radiación como part´ıculas con momentum y energ´ıa definida. En este caso, la interaccio ń radiacio ń-materia es nada menos que un choque de fotones con electrones, cual bolas de billar, donde se conserva el momentum y la energ´ıa totales. No hay cómo explicar este cambio de longitud de onda en la teor´ıa clásica de la radiación electromagnética. En cambio, usando esta idea corpuscular de la radiacio ń, la explicación es simple, elegante y totalmente consistente con los resultados experimentales.

Segundo Encuentro Cuántico: El Carácter Ondulatorio de la Materia Louis De Broglie postuló que, tal como se puede asociar una caracter´ıstica de part´ıculas (fotones) a lo que usualmente se conoce por su carácter ondulatorio (onda electromagnética), asimismo se podr´ıa asociar una onda a lo que normalmente conocemos como un haz de part´ıculas. Para ser consistente, las mismas relaciones que se usan para la radiación entre la frecuencia y la energ´ıa del fotón (o la longitud de onda y el momentum de fotón) deber´ıan usarse para las ondas de materia: E = hν,

p = h/λ,

donde la relación E 2 = p2 c2 + m2 c4 define ahora la relacio ń de dispersión ν vs. λ.

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La funcio ń de onda En la formulacio ń ondulatoria de un haz de part´ıculas (ej. electrones), postulamos algo análogo a las ondas de radiacio ń, pero con las relaciones (5): la funcio ń de onda (aquéllo que “ondula”) es una funcio ń ψ(x, t) (en general una funcio ń cuyo valor es un nu ´ mero complejo). Esto ser´ıa análogo al campo eléctrico o magnético en la radiación. La intensidad de la radiacio ń (potencia que cruza cada unidad de a´rea transversal) es la densidad de energ´ıa multiplicada por la velocidad de la onda. Del punto de vista de un haz de part´ıculas, la intensidad debe ser la energ´ıa de cada part´ıcula multiplicada por la densidad de part´ıculas (eso da la densidad de energ´ıa) y multiplicada por la velocidad del haz: o. ˙ = energ´ıa × c = (hν) × N part´ıculas S ×c volumen volumen

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Como la intensidad en la onda electromagnética es proporcional al cuadrado del campo eléctrico, ˙ |E(x, t)|2 , entonces en nuestra interpretación de fotones, la densidad de fotones debe ser también proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Haciendo analog´ıa de esto en el2 caso de un haz de part´ıculas, diremos que el cuadrado (módulo al cuadrado) de la onda asociada, |ψ(x, t| , es proporcional a la densidad de part´ıculas en el haz : |ψ(x, t)|2 ∼

N o. part´ıculas volumen

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En un sentido ma´s amplio, se interpreta que esta cantidad es la probabilidad (por unidad de volumen) de encontrar una part´ıcula en (x, t). En todo caso, la idea no es muy distinta: si uno tiene un nu ´mero N grande de part´ıculas y |ψ(x, t)|2 es la probabilidad/volumen de encontrar una part´ıcula en (x, t), entonces la densidad de part´ıculas en (x, t) será N × |ψ(x, t)|2 .

Normalizacio ń y velocidad de propagacio ń Vimos que el módulo cuadrado de la funcio ń de onda para una part´ıcula representa la probabilidad por unidad de volumen de encontrar a la part´ıcula en una posicio ń dada. Es decir, simbolizando por P (x, t)dV a la probabilidad de encontrar a la part´ıcula en un volumen dV en torno al punto x en el instante t, entonces: (8) P (x, t)dV = |ψ(x, t)|2dV. As´ı, en las zonas donde |ψ| es mayor es más probable encontrar a la part´ıcula.

Normalizacio ń de la funcio ń de onda Si estamos describiendo la función de onda para una sola part´ıcula en un sistema donde la part´ıcula nunca desaparece, la probabilidad de encontrar la part´ıcula en alguna parte del espacio debe ser siempre 1, independientemente del tiempo: ¸ |ψ(x, t)|2dV = 1. V

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(9)

Esta condición fija la amplitud o norma de la funcio ń ψ(x, t). Ejemplo: (“pozo infinito”). Consideremos una part´ıcula confinada a moverse en una dimensio ń, libremente entre x = 0 y x = L, pero imposibilitada de llegar ma´s allá de esos bordes. Entonces la función de onda, que debe ser cero en los extremos x = 0 y x = L, necesariamente debe tener la forma: . nπ . (10) ψ(x, t) = A sin x × e−iωt, L donde n es un entero, y A es la norma o amplitud de la funcio ń de onda. La dependencia temporal de la funcio ń es sólo una fase (donde ω = E/¯ h) que no influye en la normalizacio ń. La norma A debe ser tal que ¸ L (11) |ψ(x, t)|2dx = 1. 0

,

As´ı encontramos que |A| = 2/L. Tenemos todav´ıa la libertad de escoger una fase compleja para A, o simplemente escoger A real positiva, pues en todo caso, esa fase no aparecerá en la funcio ń de probabilidad. Problema: En el caso de que la onda asociada a una part´ıcula sea armónica, es decir: ψ(x, t) = Aei(kx−ωt), no es posible normalizar, en el sentido de que ¸ |ψ(x, t)|2dV

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¸ = |A|2

V

dV

= |A| 2 V.

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V

En un espacio de volumen infinito, esto diverge. Es decir, la funcio ń de onda no es normalizable. ¿Qué hacemos en este caso? Podemos volver al caso original, análogo a la radiacio ń electromagnética, de representar un haz de part´ıculas como una onda viajera. La onda monocroma´tica (una sola frecuencia) significa que todas las part´ıculas del haz tienen la misma energ´ıa y la amplitud de la onda es tal que el mo ´dulo cuadrado de la funcio ń de onda representa la densidad de part´ıculas en el haz (análogo al módulo cuadrado del campo eléctrico en la radiación). As´ı, para la funcio ń de onda (12), |A|2 =

n u´mero de part´ıculas . volumen

(14)

Si el movimiento es sólo en una dimensio ń (en el eje X), entonces |A|2 es el nu ´ mero de part´ıculas por unidad de longitud.

La velocidad de la onda Una onda armo ńica monocromática, que está asociada a un haz de part´ıculas monoenergéticas, tiene la forma: ψ(x, t) = Aei(kx−ωt), (15) donde, como siempre, k = 2π/λ corresponde al momentum de las part´ıculas (k = p/¯ h) y ω = 2πν corresponde a la energ´ıa de las mismas (ω = E/¯ h).

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Figura 2: Un pulso de extensio ń finita en el espacio x. La velocidad de esta onda (velocidad de fase) es, como sabemos, ω

(16) . k Aqu´ı hay algo raro: uno esperar´ıa que la onda avance con la velocidad de las part´ıculas. Sin embargo, eso no es cierto, excepto en el caso de part´ıculas con masa cero (como los fotones!). Efectivamente, vf =

2

2

ω E mγc c k = p = mγv = v

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Esto es peor au ´ n: ¡esta velocidad es mayor que c ! ¿Qué está pasando? No deber´ıamos preocuparnos todav´ıa: la velocidad de fase es sólo el aparente “movimiento” del punto donde la fase de la onda tiene un valor dado, pero en verdad eso no es el movimiento o transporte de nada f´ısico. De hecho, si calculamos la probabilidad, esta fase desaparece, quedando sólo una distribucio ń uniforme de probabilidad en el espacio...no hay nada que se vea moverse! Pero...que nada parezca moverse tampoco es bueno. ¿No se supone que estamos representando un chorro de part´ıculas? Para notar el movimiento, en vez de tomar una onda monocroma´tica, que tiene un módulo uniforme y una extensio ń infinita, tomemos un “paquete de ondas”, que es equivalente a un solo pulso. El pulso tiene un valor no nulo so ´lo en una regio ń limitada del espacio. As´ı, podremos notar si ese pulso se desplaza y con qué velocidad lo hace. Sea entonces un pulso, que en t = 0 tenga la forma espacial ψ(x, 0), localizado en una zona de extensión ∆x. En ese instante, podemos descomponer el pulso en oscilaciones armónicas (Fourier) en el espacio: ¸ dk ikx ˜ e ψ(x, 0) = ψ(k), (18) 2π ˜(k) (compleja) significa, como sabemos, la componente (amplitud y donde la transformada de Fourier ψ fase) armónica con nu ´ mero de onda k. Además, si la extensión espacial de la funcio ń es ∆x, entonces la extensión en armónicas (algo as´ı como el ancho de banda) de la transformada es ∆k, inversamente proporcional a ∆x: (19) ∆x · ∆k ≥ 1/2. 9

Si interpretamos que ∆p ≡ ¯ h∆k es el rango de precisión con el que podemos definir el momentum y ∆x es el rango de precisión con el que conocemos la posición, esto no es otra cosa que el famoso el principio de incertidumbre de Heisenberg. Teniendo ψ(x, 0) en t = 0 expandido en armo ńicas, es fácil construir una expresio ń para la onda en t posteriores: sabemos que una armónica dada, que en t = 0 tenga la forma eikx, en t posteriores deberá tener la forma ei(kx−ωt) (estamos suponiendo que la onda se propaga hacia los x positivos). As´ı, usando la superposicio ń de armónicas como en (18), la función de onda para tiempos posteriores queda simplemente: ¸ dk i(kx−ω(k)t) ˜ e ψ(x, t) = ψ(k). (20) 2π Note que indicamos expl´ıcitamente que la frecuencia ω(k) debe ser una funcio ń de k, pues la relación de dispersión que se obtiene de la expresión (1) es: , . E p2 c 2 + m 2 c 4 = k2 c2 + m2 c4 /¯ h2. (21) ω(k) ≡ = h ¯ h ¯ Valga decir que los “nin õs grandes” usan h ¯ = 1 y c = 1, para que las expresiones se hagan más legibles. En esa convención, E y ω son lo mismo, p y k son lo mismo, la energ´ıa en reposo es simplemente m, etc. Pero como todav´ıa estamos empezando, vamos a poner todos los factores de c y ¯ h. ˜(k) es apreciablemente distinto de Ahora, si suponemos que el “paquete de ondas” descrito por ψ cero sólo en un pequen˜ o rango ∆k en torno a un valor central ko , podemos hacer el cambio de variable k = ko + k r en la integral: ¸ dk r i(ko x+kt x−ω(ko +kt)t) ˜ e ψ(x, t) = (22) ψ(ko + k r). 2π ˜(ko + k r ) como función de r es igual que la anterior, pero centrada en torno a Ahora, ba´sicamente ψ k r = 0. Adem´ a s, como el integrando es apreciable sólo en un entorno ∆k pequen õ comparado con ko , k podemos restringir k r a valores pequen õs. Podemos entonces expandir la funcio ń ω(ko + k r ) en potencias de k r : dω . . r (23) r ω(ko + k ) = ω(ko ) + kok + . . . dk Viendo la relación de dispersión (21), es claro que 2 2 dω kc 2 pc mγvc = v. = . 2 = E = mγc dk k 2 c2 + m2 c4 /¯ h2

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A esta derivada se le llama velocidad de grupo y corresponde nada menos que a la velocidad de las part´ıculas en el haz. Llamando ωo ≡ ω(ko ), la expresión aproximada para la funcio ń de onda del pulso queda: ¸ t dk r ik (x−vt) ˜ o + k r). e (25) ψ(k ψ(x, t) = ei(ko x−ωo t) 2π La fase que se factoriza fuera de la integral (y que desaparece de la funcio ń de probabilidad cuando tomamos el módulo cuadrado) es una ondulacio ń que se desplaza con la velocidad de fase vf = ωo /ko , la misma que hab´ıamos encontrado para la onda armo ńica pura. 10

Por otro lado, el pulso mismo, que corresponde a la integral de Fourier que queda, es una funcio ń de (x − vt), es decir, es un pulso que se desplaza con la velocidad de grupo (que es la velocidad con la que se mueve el paquete o grupo –de ah´ı su nombre), y que coincide con la velocidad de las part´ıculas en el haz. La forma del paquete o pulso es la que determina la densidad de probabilidad, cuando tomamos el cuadrado: sea la funcio ń f (z) dada por: ¸ f (z) ≡

dk r ikt z ˜ e ψ(ko + k r), 2π

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Entonces la funcio ń de onda del pulso es una fase multiplicada por una envolvente f (x − vt): ψ(x, t) = ei(ko x−ωo t) · f (x − vt)

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y por lo tanto la densidad de probabilidad queda como funcio ń de esa envolvente: P (x, t) = |ψ(x, t)|2 = |f (x − vt)|2.

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Funciones de Onda y Cantidades F´ısicas Funciones de posicio ń A partir de la funcio ń de onda ψ(x, t) podemos determinar la probabilidad de encontrar la part´ıcula en x (en un rango dx), en todo instante t. En verdad, el postulado de la Mecańica Cuántica es que todo lo que es f´ısicamente observable en el sistema puede obtenerse a partir de ψ(x, t). En ese sentido, ψ(x, t) es la máxima información que podemos tener del estado en el que se encuentra el sistema f´ısico. Una consecuencia de esto es que, a menos que ψ(x, t) sea una delta de Dirac en x, la probabilidad de encontrar la part´ıcula estará distribuida en una zona extendida del espacio. Esto significa que en general es imposible conocer la posición de una part´ıcula con absoluta certeza y precisión. En otras palabras, la pregunta “¿Cua´l es la posición de la part´ıcula?” es en general una pregunta sin sentido: no existe tal cosa, sino sólo posiciones con una distribucio ń de probabilidad. Entonces, ¿qué se puede saber de la posición? –Todo aquello que se pueda extraer de la distribucio ń de probabilidad |ψ(x)|2. En particular: El valor esperado o promedio de la posicio ń: ¸ (x) = d 3 x x |ψ(x, t)|2

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V

La varianza o incerteza cuadrática de la posisión: ¸ 2 2 (∆x) = d3 x (x − (x)) |ψ(x, t)|2 V

11

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Note que, en general, ambas cantidades son funciones de t. As´ı, en el sentido usual de lo que es el movimiento, no hay trayectorias pues no se puede especificar la posición de la part´ıcula con total certeza, sino sólo la posición esperada (x) en función del tiempo.

Funciones de momentum ¿Se puede también conocer el momentum (valor promedio) a partir de la funcio ń de onda? –S´ı se puede. ˜(k), que La forma más directa para ver esto es usar la transformada de Fourier de la funcio ń de onda, ψ no es otra cosa que la distribucio ń de probabilidad de momentum, tal como ψ(x) es la distribución de probabilidad de posicio ń: ˜(k)|2 d3 k (31) P (k)d3 k = |ψ Recuerde que k y p son esencialmente lo mismo, salvo la constante de Planck ¯ h. Con esta distribucio ń podemos encontrar los valores esperados asociados a momentum: El valor esperado o promedio del momentum: ¸ ˜(k)|2 (p) = d3 k ¯ hk |ψ

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La varianza o incerteza cuadrática del momentum: ¸ 2 2 ˜(k)|2 (∆p) = d3 k (¯ hk − (p)) |ψ

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En verdad no es necesario encontrar la transformada de Fourier de ψ(x) para calcular los valores esperados de momentum. Se puede usar la siguiente propiedad de la transformada de Fourier: ˜(k) la transformada de Fourier de ψ(x). Entonces la transformada de Fourier de la derivada Sea ψ ˜(k). dψ(x)/dx será ikψ Con esto, el valor esperado de momentum es: ¸ ¯ ∂ h ψ(x) (p) = d3 x ψ ∗(x) i ∂x

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En general, todas las operaciones con funciones de onda en x que correspondan a momentum implican el uso de p no como una cantidad numérica sino como el operador diferencial −i¯ h∂/∂x. Pregunta: ¿cua´l es la expresión para ∆p, usando ψ(x)? De este mismo modo, note que la ecuación de Schro ¨dinger se construye justamente usando este reemplazo para p en la expresión de la conservación de la energ´ıa total mecánica de la part´ıcula: E=

p2 + V (x) 2m

−→

¯h2 ∂ 2 ψ(x) + V (x)ψ(x). Eψ(x) = − 2m ∂x2

Atte, Claudio Dib 12

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