Nombre de unidad: Análisis de transitorios de segundo orden (RLC)
Asignatura: Análisis de circuitos eléctricos de CD Unidad: 4
Introducción
Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la energía del sistema, sea este mecánico, térmico o eléctrico. Como el suministro o la disipación de energía no puede realizarse con amplitud infinita este cambio requiere un tiempo determinado. Se pasa de un estado al otro en forma gradual, el tiempo de transición se denomina período transitorio. Una vez que el sistema se estabiliza en el nuevo estado se dice que se encuentra en su período estacionario, de régimen o forzado. En todos los casos esa "inercia" en responder es debida a la presencia de elementos capaces de almacenar energía: una masa, un resorte, etc. Nuestro estudio se referirá a los circuitos eléctricos, pero podremos observar la semejanza que existe con otros sistemas. Esta es la base de la computación analógica para el estudio de sistemas dinámicos.
Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación La respuesta natural (no forzada) del circuito RLC en paralelo que se muestra en la figura .se eligió este circuito para ilustrar las tres formas de las respuesta natural. Podría presentarse una discusión análoga del circuito RLC en serie, pero se omite dado que el propósito no es tener la solución de circuitos específicos si no ilustrar el método general. Se aplica la LCK en el nodo para obtener V R
t
+
I ∫ vdt+ i ( 0 ) +C dv L0 dt
=0
…. 9.5-1
Derivando la ecuación 9.51
C+
d2 v dt 2
+
1 dv i + v =0 R dt L …. 9.5-2
un circuito de segundo orden da lugar a una ecuación diferencial homogénea que contiene una derivada de segundo orden debido a la presencia de dos elementos independientes que almacenan energía. Usando los operadores, se obtiene la ecuación característica s2
1 1 s+ =0 ….9.5-3 RC LC
+
Las dos raíces de la ecuación característica son
Cuando
s1
y
s 1=
−1 +¿ 2 RC
s 2=
−1 +¿ 2 RC
s2
[(
1 2 ¿ 2 RC
-
1 1 /2 ¿ …. 9.5-4 LC
[(
1 2 ¿ 2 RC
-
1 1 /2 ¿ …. 9.5-5 LC
no son iguales, la solución de la ecuación diferencial de
segundo orden 9.5-2 para t ¿ 0
es
n=¿ A 1 e v¿
s1 t
+
A2 e
s 2t
….9.5-6
Las raíces de la ecuación característica pueden reescribirse como sigue:
Donde
α = 1/(2RC) y
s 1=−α+ √−α + w20
….9.5-7
s 2=−α + √−α +w20
….9.5-8
w 20
= 1/(LC).Normalmente,
w0
se llama frecuencia
resonante o frecuencia de resonancia. El concepto de frecuencia resonante de amplia .Las raíces de la ecuación característica están sujetas a tres condiciones posibles: α 2> w20
1. Dos raíces reales y diferentes cuando 2. Dos raíces reales iguales cuando
2
2
α =w 0
2 2 3. Dos raíces complejas cuando α > w0
.
.
.
Cuando las dos raíces son reales y distintas, se dice que el circuito esta sobreamortiguado cuando son reales e igual, se dice el circuito esta críticamente amortiguado, cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito esta subamortiguado. Se determinara la respuesta natural del circuito RLC sobreamortiguado de la figura 9.5-1 cuando las condiciones iníciales son v(0) e i(0) en el capacitor y el inductor, respectivamente. Nótese que, como ese circuito no tiene señal de entrada,
v n (0)
y v (0)
indican el mismo voltaje.la ecuación 9.5-6 en t=0 es V 0 ( 0 )= A1 A 2 Puesto que se desconocen tanto
A1
como
….9.5-9 A2
, se necesita una ecuación
mas en t=0.reescribiendo la ecuación 9.5-1 en t=0, tiene v (0) dv (0) +i ( 0 ) +C =0 R dt Dado que se conocen i(0) y v(0),se tiene
dv (0) −v ( 0) i(0) = − dt RC C ….9.5-10 Así que se conoce el valor inicial de la derivada de v en términos de las condiciones iníciales derivando la ecuación 9.5-6 y haciendo t=0,se obtiene. vn (0) dt
=
s 1 A 1+ s 2 A2 ….9.5-11
Igualando las ecuaciones 9.5-10 y 9.5-11,se obtiene una segunda ecuación en términos de las dos constantes, como sigue: −v (0) i(0) s 1 A 1+ s 2 A2 = RC − C ….9.5-12 Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, críticamente amortiguado y sin excitación. De nuevo se considere el circuito RLC en paralelo y ahora se determina el caso especial en que la ecuación característica tiene dos raíces reales iguales, lo que 2
ocurre cuando
2=¿ w0 , siendo. ∝¿
α= Supóngase que
s1
=
s2
1 w2 2 RC y 0
=
1 LC
y procédase a determinar
v n (t ) .La respuesta
natural se expresa como la suma de dos exponenciales, en la siguiente forma: vn
Donde
=
A 1 eS t 1
+
A2 eS t
=
1
A 3 eS t 1
….9.6-1
3=¿ A 1+ A 2 .como las dos raíces son iguales, solo existe una constante A¿
indeterminada, pero sigue habiendo dos condiciones iníciales por satisfacer. Obviamente, la ecuación 9.6-1 no es la solucione que contenga dos constantes arbitrarias, por lo que intuitivamente se intenta la solución. x n=g (t )e
s1 t
Donde g(t) es un polinomio en t.se probara
g (t) = Sustituyendo
xn
2+¿ A 1 t A¿
s t = g ( t ) e en la ecuación diferencial original y aplicando las 1
A1 y A
condiciones iniciales, se obtendrá la solución para
2
.
Entonces, para dos raíces iguales simultaneas de la ecuación característica, se probara la solución vn
=
es t
A 1 t+ A2
(
1
)
….9.6-2
Considérese un circuito RLC en paraleló donde L = 1H, R=1Ω , C=1/4 F, v(0)=5v,t i(0) =-6 A.La ecuación característica de este circuito es s
O bien
2
1 s RC
+
1 =0 LC
s2
=
−2
2
s +4 s+ 4=0
Entonces, las dos raíces son
s1
=
.Usando la ecuación 9.6-2 para la
respuesta natural se obtiene vn
Dado que
=
e−2t ( A1 t+ A2 )
v n (0) =5, entonces, cuando t=0, 5=
Ahora,para obtener
A1 ,
….9.6-3
A2
se determina la derivada de
vn
,evaluándola cuando
t=0.esa derivada se determina diferenciando la ecuación 9.6-3 y se obtiene dv dt
=
−2 A1 te−2 t + A 1 e−2 t
-
2 A 2 e−2 t
….9.6-4
Al evaluar esta ecuación cuando t=0, el resultado es
dv (0) dt
=
A 1−2 A2
Figura 9.6-1 Respuesta critica amortiguada del circuito RLC en paralelo
Se puede aplicar de nuevo la ecuación 9.5-10 y entonces dv (0) dt
=-
v (0) RC
2=¿
Ósea
Por lo tanto,
A1 vn
-
i(0) C
−5 −6 − =4 1/4 1/ 4 1−¿ 2 A ¿ A¿
= 4 y la respuesta natural es e−2t (14 t + 5) v
=
En la figura 9.6-1 se ve la respuesta natural, críticamente amortiguada, de este circuitoRespuesta RLC. natural de un circuito RLC en paralelo subamortiguado y sin excitación
La ecuación característica del circuito RLC en paralelo tendrá dos raíces complejas conjugadas cuando
2
2
∝ < w0 . Esta ecuación se cumple cuando. 2 LC<(2RC ¿
O cuando L<4 R 2
C
Recuérdese que vn
=
A 1 es t 1
+
A 2 es t 2
….9.7-1
Siendo s 1,2=−α ± √ α 2 w 20
Cuando w 20> α 2 se obtiene s 1,2=−α ± √ w20 α 2 En donde i=√−1 Las raíces complejas originan una respuesta de tipo oscilatorio, se define la raíz cuadrada
√w
2 0
α2
como
wa
, y a esto se le llama frecuencia resonante
amortiguada. El factor α se llama coeficiente de amortiguamiento, y determina la rapidez con que decrecen las oscilaciones, entonces, las raíces son s 1,2=−∝± j w a En consecuencia, la respuesta natural es −∝ t
v n =A 1 e o bien
e
jwa t
−∝ t − jwa t
+ A2 e
e
v n =e−∝ t ( A 1 e jw t + A2 e− jw t ) ....9.7-2 a
Por otro lado, identidad de
a
Euler 2 es
e ± jwt =cos wt ± j sen wt Sea w=
wa
….9.7-3
en la ecuación 9.7-3.al sustituir esa ecuación en la 9.7-2 se obtiene v n =e−∝ t ( A 1 cos wa t+ j A 1 sen wa t+ A 2 cos w a t + j A 2 sen w a t)
=
e−∝t [( A 1+ A 2 ) cos wa t+ j( A1− A 2)sen wa t ]
Dado que las contantes reemplazara (
A 1 +A 2
) y
….9.7-4
A 1 y A2
se desconocen y son arbitrarias, se
j( A 1−A 2)
y con otras constantes arbitrarias, que
también se desconocen por ahora: las constantes deben ser complejos conjugados, de forma que
B1
B1 y B2
Y
B2
,
A1
Y
A2
sean números reales.
Por todo lo anterior, la ecuación 9.7-4 se transforma en vn
En la que
B1
Y
B2
=
e−∝t ( B1 cos w a t+B2 sen w a t)
….9.7-5
se determinan con las condiciones iníciales, v ( 0 ) e i ( 0 ) .
La respuesta natural subamortiguada es oscilatoria, y su magnitud decrece.la rapidez de la disminución o decaimiento depende de α, y la frecuencia de wa oscilación depende de . Ahora se determinara la forma general de la solución para
B1
y
B2
, en
términos de las condiciones iníciales,cuando el circuito no está forzado.En tal caso,cuando t=0, v n ( 0 )=B1 Para determinar
B2
se evalúa la primera derivada de derivada de
vn
es
vn
cuando t=0. La
d vn dt
=
v e−∝t
[(
w a B2−∝ B 1 ¿ cos wa t−( w a B1−∝ B 2) sen w a t
]
y cuando t=0 se obtiene d v n (0) =wa B2 dt
B1
-α
….9.7-6
Recuérdese que antes se vio que la ecuación 9.5-10 determina
dv (0)/dt
circuito RLC en paralelo como sigue: d v n (0) dt
v (0) RC
=-
–
i(0) C
….9.7-7
En consecuencia, con las ecuaciones 9.7-6 y 9.7-7 se obtiene w a B2
=α
B1
–
V (0) RC
–
i(0) C
….9.7-8
para el
Respuesta forzada de un circuito RLCcircuito RLC La respuesta forzada de un circuito RLC descrito por una ecuación diferencial de segundo orden debe satisfacer la ecuación diferencial y no debe contener constantes arbitrarias, la respuesta a una función de excitacióntendrá a menudo la misma forma que estáde nuevo se establece la ecuación diferencial para circuito de segundo orden como: 2
d x 2 dt
X fo
La respuesta forzada sustituir
a1
+
dx dt
+
a0 x=¿
f(t)
….9.8-1
debe satisfacer la ecuacion 9.8-1.por lo tanto,al
X fo se tiene d 2 x fo d t2
+
a1
d x fo dt
Se necesita determinar una
X fo
+
a0 x fo
= f(t)
….9.8-2
tal que esta y sus derivadas primera y
segunda satisfagan la ecuacion 9.8-2. Si la función de excitación es una constanteses de esperarse que la respuesta forzada sea tambien constante dado que las derivadas de una constante son cero.Si la función de excitación es de la forma f(t)= Be derivadas de f(t) son todas exponenciales de la forma
−at
Qe−at
,entonces las y se espera
que .
X fo = De−at Si la función de excitación es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal.si f(t) A sen
X fo = M sen
w 0 t + N cos w 0 t = Q sen ( w 0 t + ɵ)
w 0 t, se intentara con
Respuesta completa de un circuito RLC
Se ha conseguido determinar las respuestas natural y forzada de un circuito descrito por una ecuación diferencial de segundo orden. Ahora se procederá a determinar la respuesta completa del circuito. Se sabe que la respuesta completa es la suma de las respuestas natural y forzada y,por tanto.
n+¿ x fo x=x ¿ Entonces se puede obtener la respuesta compleja junto con sus constantes no especificadas evaluando x(t) en t=0 y dx/dt en t=0,para determinar dichas constantes. Considérese el circuito RLC en serie de la figura 9.3-2,cuya ecuación diferencial (9.3-8) es 2
LC
d v 2 dt
+ RC
dv + v=v f dt
Cuando L = 1H, C=1/6 F y R=5 Ω, se obtiene 2
d v 2 dt
Se hará que
+5
dv +6 v=6 v f dt
2 e−t v f= v 3
….9.9-1
, v(0) =10 v y dv(0)/dt = -2 v/s
Primero estas respuestas se tienen la respuesta completa con dos constantes no especificadas.
Se usaran las condiciones iníciales para especificar estas constantes y obtener la respuesta completa. Para obtener la respuesta natural, se escribe la ecuación característica usando operadores:
s 2+5 s +6=0 Por lo tanto, la respuesta natural es −2 t
vn
= A1 e
−3 t
+ A2e
La respuesta forzada se obtiene examinando la función de excitación y observando que su respuesta exponencial tiene una constante de tiempo diferente de la constante de la respuesta natural,por lo que se puede escribir v fo= B e
−t
….9.9-2
Se puede determinar B sustituyendo la ecuación 9.9-2 en la 9.91,entonces se tiene B e−t +5 (−B e−t ) +6 ( B e−t )=4 e−t O
B=2 La respuesta completa es, por lo tanto v =v n + v fo = A1 e−2 t + A 2 e−3 t +2 e−t Para determinar
A 1 y A2
, se usan las condiciones iníciales.En t=0 se
tiene v(0)=10,obteniendo así 10=
A 1 + A 2 +2
Dado que
….9.9-3
dv =−2 en t=0. se tiene dt
−2 A1−3 A 2−2=−2
….9.9-4
Resolviendo las ecuaciones 9.9-3 y 9.9-4 con la regla de cramer,se A 1=24 y A2 =−16 obtiene .En consecuencia, v =24 e−2t −16 e−3 t +2 e−t v
4.4 Características generales de las respuestas de segundo orden En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) condensador (capacitancia).
que
contiene y un
Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primero orden). Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lo rige). Circuito RLC en serie
Circuito RLC en serie.
Circuito sometido a un escalón de tensión Si un circuito RLC en serie es sometido a un escalón de tensión mallas impone la relación:
Introduciendo la relación característica de un condensador:
, la ley de las
Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
Dónde:
E es la fuerza electromotriz de un generador, en Voltios (V);
uC es la tensión en los bornes de un condensador, en Voltios (V);
L es la inductancia de la bobina, en Henrios (H);
i es la intensidad de corriente eléctrica en el circuito, en Amperios (A);
q es la carga eléctrica del condensador, en Coulombs (C);
C es la capacidad eléctrica del condensador, en Faradios (F);
Rt es la resistencia total del circuito, en Ohmios (Ω);
t es el tiempo en segundos (s)
En el caso de un régimen sin pérdidas, esto es para solución de la forma:
, se obtiene una
Dónde:
T0 el periodo de oscilación, en segundos;
φ la fase en el origen (lo más habitual es elegirla para que φ = 0)
Lo que resulta:
Donde
es la frecuencia de resonancia, en hercios (Hz).
Circuitos sometidos a una tensión sinusoidal La transformación compleja aplicada a las diferentes tensiones permite escribir la ley de las mallas bajo la forma siguiente:
Siendo, introduciendo las impedancias complejas:
La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:
Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en: Y
Circuito RLC en paralelo
Circuito RLC en paralelo.
se
obtiene:
Ya que
Atención, la rama C es un corto-circuito: de esta manera no se pueden unir las ramas A y B directamente a los bornes de un generador E, se les debe adjuntar una resistencia. Las dos condiciones iniciales son:
conserva su valor antes de la puesta en tensión (porque la inductancia se opone a la variación de corriente).
conserva su valor antes de la puesta en tensión
.
Circuito sometido a una tensión sinusoidal La transformación compleja aplicada a las diferentes intensidades proporciona:
Siendo, introduciendo las impedancias complejas:
Siendo : La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:
Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:
y se obtiene: Utilización de los circuitos RLC Los circuitos RLC son generalmente utilizados para realizar filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancia. Estos circuitos pueden entonces comportar múltiples inductancias y condensadores: se habla entonces de "red LC". Un circuito LC simple es denominado de segundo orden porque su función de transferencia comporta un polinomio de segundo grado en el denominador.
Representación gráfica de respuestas subamortiguada
Circuito RLC en paralelo subamortiguado Continuando con el proceso que se inició en la última sección incrementando R una vez más para obtener lo que denominaremos una respuesta subamortiguada.
0 De esta forma el coeficiente de amortiguamiento α disminuye mientras
permanece constante,
2
0 2 se hace más pequeña que
y el radicando que
S1 S 2
aparece en la expresión de y se vuelve negativo. Lo anterior provoca que la respuesta tome un carácter muy diferente, aunque ´por fortuna no es necesario regresar de nuevo a la ecuación diferencial básica. Mediante el uso de números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta senoidal amortiguada que está compuesta en su totalidad por cantidades reales, de modo que las cantidades complejas solo son necesarias para la deducción. Forma de la respuesta subamortiguada Comenzamos con la forma exponencial v (t ) A1e s1t A2 e s2t
Donde s1,2 2 0 2 Y en ese caso, sea
2 0 2 1 0 2 2 j 0 2 2 j 1
Donde
1 Los ingenieros en electricidad utilizan “j” en lugar de “i” para representar el símbolo corrientes.
y evitar confusiones con las
Consideramos ahora el nuevo radical, que es real para el caso subamortiguado,
d pero lo denominaremos
, la frecuencia resonante natural:
d 0 2 2 La respuesta se escribiría ahora como
jd t
v(t ) e t A1e
A2 e
jd t
O, en forma más extensa pero equivalente.
v(t ) e
t
e
A1 A2
jd t
e 2
jd t
j A1 A2
e
jd t
e j2
jd t
Al aplicar las identidades que se describen en el apéndice de los números complejos, el primer corchete de la ecuación anterior es exactamente igual al
send t
cos d t , y el segundo, a
. Por consiguiente:
v(t ) e t A1 A2 cos d t j A1 A2 send t De esta forma se asignarían nuevos símbolos a los factores multiplicadores:
v(t ) e t B1 cos d t B2 send t
v (t ) e t A1e
jd t
A2e
j d t
v(t ) e t B1 cos d t B2 send t
Donde las ecuaciones y son idénticas. Tal vez parezca extraño que la expresión haya aparecido originalmente con un componente complejo, ahora es solo real. Sin embargo, debemos recordar A1
A2
s1 s2
que se permitió al principio que y fueran complejos, lo mismo que y . En cualquier situación, si estamos tratando con el caso subamortiguado, dejamos
d ahora a un lado a los números complejos. Lo anterior debe ser cierto, pues α,
t
y
v (t )
son cantidades reales, por lo que la propia debe ser una cantidad real (que podría presentarse mediante un osciloscopio, un voltímetro o una hoja de papel v(t ) e t B1 cos d t B2 send t
gráfico). La ecuación es la forma funcional deseada de la respuesta subamortiguada y su validez se verifica mediante la sustitución directa de la ecuación diferencial original; las dos constantes reales
B1
y
B2
se eligen de nuevo para que se ajusten a las condiciones iníciales dada. Ahora regresamos al circuito RLC simple en paralelo de la figura 9.2 con R=6Ω, C= 1/42 F y L= 7H, pero se incrementa la resistencia a un valor de 10.5Ω. Por lo tanto, 1 2s 1 2 RC 1 0 6 s 1 LC
Y
d 0 2 2 2rad / s Salvo por la evaluación de las constantes arbitrarias, en este caso se conoce la respuesta:
v (t ) e 2t B1 cos 2t B2 sen 2t
B1 B2 Calculando los valores de
y
Para el cálculo de las dos constantes se procede como antes. Si continuamos
v(0) 0 i (0) 10 suponiendo que
e
B1
, entonces
debe ser cero. De ahí que
v(t ) B2e 2t sen 2t La derivada es:
dv dt
Y en
t 0
2t B2 e 2t cos 2t 2 B2 e 2t sen 2t
se convierte en
dv dt
Donde
ic
t 0
2 B2
ic(0) 420 C
se define en la figura 9.2. Por lo tanto,
v(t ) 210 2e 2t sen 2t
Representación gráfica de la respuesta subamortiguada
Observe que, como antes, esta función de respuesta tiene un valor inicial de cero, debido a la condición de tensión inicial que impusimos, y un valor final de cero en virtud de que el termino exponencial se anula para valores grandes de Cuando
t
t
.
aumenta a partir de cero en pequeños valores
v (t )
210 2sen 2t
positivos, aumenta como , pues el término exponencial permanece en esencia igual a la unidad. Pero en cierto tiempo
tm
, la función exponencial empieza a disminuir
más rápido a medida que la función v (t )
alcanza un máximo
que
tm
vm
no es el valor de
sen 2t
crece. De tal modo,
y empieza a disminuir. Observemos
t
para el cual
sen 2t
sino que debe ocurrir un poco antes de que
es un máximo,
sen 2t
alcance su t / 2
máximo. Cuando , v (t ) / 2 t 2 es cero. En consecuencia, en el intervalo , la t 2
respuesta es negativa, y se vuelve cero de nuevo en . v(t ) Por consiguiente, es una función oscilatoria del tiempo y cruza el eje de tiempo un número infinito de veces en t n / 2
n
, donde es cualquier entero positivo. Sin embargo, en nuestro ejemplo la respuesta solo es un poco subamortiguada, y el término exponencial provoca que la función se desvanezca tan rápido que la mayor parte de los cruces por cero no serán evidentes en el dibujo. La naturaleza oscilatoria de la respuesta se nota más cuando α disminuye. Si α es cero, lo cual corresponde a una v(t ) resistencia infinitamente grande, entonces es una senoidal subamortiguada que oscila con amplitud constante. Nunca
v (t )
hay un tiempo para el que se reduzca y permanezca por debajo de 1% de su valor máximo; en consecuencia, el tiempo de establecimiento es infinito, aunque no es el movimiento perpetuo. Supusimos tan solo una energía inicial en el circuito y no proporcionamos ningún medio para disiparla, por lo que se transfiere desde su ubicación inicial en el inductor hasta el capacitor, para luego regresar al inductor, etc., por siempre. Función de la resistencia finita Una R finita en el circuito RLC en paralelo actúa como un tipo de intermediario de transferencia eléctrica. Cada vez que la energía se transfiere de L a C o de Ca L, el intermediario exige una comisión. En poco tiempo habrá tomado toda la energía, disipando de manera desenfrenada hasta el último Joule. La L y C se quedan sin un Joule propio, sin tensión y sin corriente. Los circuitos RLC en paralelo reales pueden construirse a fin de que tenga valores eficaces de R tan grande que se conserve durante años de respuesta senoidal subamortiguada natural, sin suministrar ninguna energía adicional. Regresando al problema numérico específico, la diferenciación localiza el primer
v (t ) máximo de
:
vm1 71.8V
tm1 0.435s en
El mínimo siguiente,
vm2 0.845V
tm2 2.66s en
Y así en forma sucesiva. La curva de respuesta se muestra en la figura 9.14, y las curvas de respuesta adicionales de circuitos cada vez más subamortiguados, en la figura 9.15.
Es posible obtener el tiempo de establecimiento mediante una solución de ensayo y error, y para R=10.5Ω, resultar ser de 2.92 s, algo más pequeño que el
tm2
ts amortiguamiento crítico. Observe que
vm2
es mayor que
debido a que la
vm1
magnitud de es mayor que 1% de la magnitud de . Ello sugiere que una ligera reducción de R disminuiría la magnitud de la distancia al eje y permitiría que
tm2
ts fuera menor que
.
Representación gráfica de respuestas críticamente amortiguada Amortiguamiento critico El caso sobreamortiguado se caracteriza por
0 o
LC 4 R 2C 2
s1
s2
Y da lugar a valores reales negativos para y , además de una respuesta expresada como la suma algebraica de dos exponenciales negativas.
0 Ajustamos ahora los valores de los elementos hasta que α y sean iguales. Es un caso muy especial que recibe el nombre de amortiguamiento crítico. Si se tratara de construir un circuito RLC en paralelo que estuviera críticamente amortiguado, intentaríamos una tarea en esencia imposible, pues nunca
0 podríamos lograr que α fuera exactamente igual a . Sin embargo, para completar el tema explicaremos el circuito críticamente amortiguad, ya que muestra una transición interesante entre el sobreamortiguamiento y el subamortiguamiento. El amortiguamiento crítico se obtiene cuando
0 LC 4 R 2C 2 L 4 R 2C
Amortiguamiento crítico
Logramos un amortiguamiento crítico al cambiar el valor de cualquiera de los tres elementos del ejemplo numérico que se expuso al principio de la sección 9.1. Elegiremos R y aumentaremos su valor hasta obtener el amortiguamiento crítico, y
0 luego, dejaremos a
7 6 / 2
inalterada. El valor necesario de R es
siendo 7H y C se mantiene en
1 F 42
; L sigue
. Así tenemos que
0 6s 1 s1 s2 6s 1 v(0) 0 Y recordaremos las condiciones iniciales que se especificaron,
e
i (0) 10 A. Formas de una respuesta críticamente amortiguada Procedemos a tratar de construir una respuesta como la suma de dos exponenciales, ?
v(t ) A1e
6t
A2e
La cual se podría escribir como ?
v(t ) A3e
6t
6t
En este punto, alguno de nosotros podría sentirse perdido. Tenemos una respuesta que contiene sólo una constante arbitraria, pero hay dos condiciones
i (0) 10 A.
v(0) 0 iniciales
e
, y ambas deben ser satisfechas por esta
A3 0
v(0) 0
constante. Si elegimos , entonces , lo cual resulta congruente con la tensión inicial del capacitor. Sin embargo, aunque no hay energía almacenada
t 0
en el capacitor en , tenemos 350J de energía almacenada inicialmente en el inductor, la cual originara una corriente transitoria que fluirá hacia fuera del inductor y propiciara una tensión distinta de cero en los tres elementos. Lo anterior parece estar en conflicto directo con la solución propuesta.
Si no ha sido un error lo que provoco nuestras dificultades, debimos empezar un supuesto incorrecto y únicamente se formuló uno. Inferimos al principio que la ecuación diferencial podría resolver suponiendo una solución exponencial, lo cual resulto incorrecto para este caso especialsimple de amortiguamiento crítico.
0 Cuando convierte en:
C
, la ecuación diferencial, ecuación
d 2 v 1 dv 1 v0 dt 2 R dt L
, se
d 2v dv 2 2v 0 2 dt dt La solución de esta ecuación no es un proceso muy complejo, pero no lo desarrollaremos aquí, ya que es de tipo normal y se encuentra en los textos comunes de ecuaciones diferenciales. La solución es:
v e t A1t A2 Debemos observar que la solución sigue expresándose como la suma de dos términos, donde uno es la familiar exponencial negativa y el otro es t veces una exponencial negativa. Podemos observar que la solución contiene las dos constantes arbitrarias esperadas.
A1 Calculo de los valores de
A2 y
Completaremos el ejemplo numérico. Luego de sustituir el valor conocido de α en
v e t A1t A2 la ecuación
, obtenemos
v A1te A1
Y establecemos los valores de
6t
,
6t
A2
y
al imponer primero las condiciones iniciales
A2 0
v(t ) v(0) 0 sobre la propia
A2 e
; de tal modo
. Este simple resultado aparece
v (t ) debido a que elegimos como nulo el valor inicial de la respuesta ; el caso más general requerirá la solución simultánea de dos ecuaciones. La segunda condición inicial debe aplicarse a la derivada dv/dt exactamente como en el caso
A2 0 sobreamortiguado. Por lo tanto, derivamos recordando que
dv A1t 6 e dt
Evaluamos en
6t
A1e
:
6t
t 0
dv dt
t 0
A1
Y expresamos la derivada en términos de la corriente inicial en el capacitor:
dv dt
t 0
ic (0) iR (0) i (0) C C C
Donde las direcciones de referencia de 9.2. En consecuencia,
ic iR ,
e
i
son las definidas en la figura
A1 420V La respuesta es, por lo tanto:
v(t ) 420te 2.45t V
Representación gráfica de la respuesta críticamente amortiguada
Antes de graficar en detalle esta respuesta, tratemos de anticipar otra vez su forma mediante un razonamiento cualitativo. El valor inicial específico es cero, que v(t ) 420te 2.45t
coincide con la ecuación V. No se manifiesta de inmediato que la respuesta tienda también a cero cuando t se vuelve infinitamente grande, debido a
te 2.45t
que es una forma indeterminada. Sin embargo, este obstáculo se supera con facilidad mediante el empleo de la regla de L´Hopital, la cual establece que:
lím v t 420 lím t
t
t e 2.45t
1 0 t 2.45e 2.45t
420 lím
Y una vez más tenemos una respuesta que empieza y termina en cero y que tiene
vm valores positivos en todos los demás tiempos. Un valor máximo
ocurre otra
tm vez en el tiempo
; en nuestro ejemplo:
tm 0.408s vm 63.1V y Este máximo es mayor que el que se obtuvo en el caso sobreamortiguado, y además es una consecuencia de las perdidas más pequeñas que ocurren en una resistencia más grande, el tiempo de la respuesta máxima es un poco mayor que el correspondiente al sobreamortiguado. El tiempo de establecimiento también se determinaría resolviendo
vm 420ts e 2.45ts 100 ts Para (mediante métodos de ensayo y error, o con una rutina SOLVE de calculadora):
ts 3.12 s
Que es un valor mucho más pequeño que el que resulta en el caso sobreamortiguado (5.15s). En realidad, se demuestra que, para valores dados L y C, la selección del valor de R que proporcione amortiguamiento crítico siempre dará un tiempo de establecimiento más breve que cualquier elección de R que produzca una respuesta sobreamortiguada. Sin embargo, se obtendría una ligera mejora (reducción) del tiempo de establecimiento mediante un pequeño aumento en la resistencia; una respuesta ligeramente sobreamortiguada tal que no alcanzaría al eje cero antes de desvanecerse provocara que el tiempo de establecimiento sea más breve.
La curva de respuesta del amortiguamiento crítico que se dibuja en la figura 9.11; puede compararse con el caso sobreamortiguado (y subamortiguado) de la figura 9.16.
Representación gráfica de respuestas sobreamortiguada
0
1 LC
Una comparación de las ecuaciones mayor que
0 LC 4 R 2C 2 si
s1 s2
y
1 2RC
muestra que α será
. En este caso, el radical utilizado en el cálculo de
s1
y será real, así que desigualdades
s2 y
también lo serán. Además, las siguientes
2 0 2
2 0 2 2 0 2 0 s1 2 0 2
Se aplicaran a las ecuaciones
s1 que tanto
s2 2 0 2
y
para mostrar
s2 como
son números reales negativos. De tal manera, la respuesta
v (t ) se expresa como la suma algebraica de dos términos exponenciales decrecientes que tienden a cero cuando aumenta el tiempo. E3n realidad, puesto
s2
s1
s2
que el valor absoluto de es mayor que el de , el termino que contiene a tiene una tasa de reducción más rápida, y para valores de tiempos grandes, escribimos la expresión limite como
v(t ) A1e s1t 0 Como
t
A1
A2
El siguiente paso consiste en determinar las constantes arbitrarias y según las condiciones iniciales. Elegimos un circuito RLC en paralelo con R=6Ω, L=7 H y, C
para simplificar el cálculo,
1 F 42
. El almacenamiento de energía inicial se
v(0) 0 especifica mediante una tensión inicial en el circuito
y una corriente de
i (0) 10 A. inductor inicial
donde v e i se define en la figura 9.2.
Tal vez se determinen con facilidad los valores de varios parámetros
3.5 0 6
(todo
s 1
)
s 1 1 s2 6 Y de inmediato escribiríamos la forma general de la respuesta natural:
v(t ) A1e t A2 e 6t
A1 Calculo de los valores de
A2 y
A1 A2 Sólo resta la evaluación de las dos constantes
y
. Si conociéramos la
v (t ) respuesta
en dos valores diferentes del tiempo, tales valores podrían
A1
v(t ) A1e t A2 e 6t
A2
sustituirse en la ecuación , de modo que y se determinarían sin ningún problema. Sin embargo, conocemos sólo un valor
v(t ) instantáneo de
.
v (0) 0 Y por lo tanto,
0 A1 A2 A1 Podemos obtener una segunda ecuación que relaciona
v (t )
A2 y
si se toma la v(t ) A1e t A2e 6t
derivada de con respecto al tiempo en la ecuación , determinamos el valor inicial de la derivada mediante el uso de la condición inicial
i (0) 10 restante
y se igualan los resultados. De esta forma, al derivar ambos v(t ) A1e t A2e 6t
lados de la ecuación
tenemos:
dv A1e t 6 A2e 6t dt
Y al evaluar la derivada en
t 0
dv dt
t 0
A1 6 A2
Obtenemos una segunda ecuación. Si bien esta forma parece ser útil, no tenemos un valor numérico del valor inicial de la derivada, por lo que no disponemos todavía de dos ecuaciones con dos incógnitas… ¿O sí? La expresión dv/dt sugiere una corriente de capacitor, puesto que
ic C
dv dt
La ley de corriente de Kirchhoff debe cumplirse en cualquier instante de tiempo, ya que se fundamenta en la conservación de electrones. De tal modo, podríamos escribir
ic (0) i (0) iR (0) 0 Al sustituir nuestra expresión para la corriente del capacitor y al dividir entre C, tenemos
dv dt
t 0
ic (0) i (0) iR (0) i (0) 420V / s C C C
Puesto que la tensión inicial cero en la resistencia requiere de una corriente inicial cero a través de ella. En consecuencia, tenemos la segunda ecuación,
420 A1 6 A2 0 A1 A2 y la solución simultanea de las ecuaciones A1 84
420 A1 6 A2
y
A2 84
proporciona dos amplitudes y . Por lo tanto, la solución numérica final de la respuesta natural de este circuito es
v(0) 84 e t e 6t V Representación gráfica de la repuesta sobreamortiguada.
v(0) 84 e t e 6t Regresando a la ecuación y observamos la información adicional que podemos determinar respecto de este circuito. Podemos interpretar el primer término exponencial como si tuviera una constante de tiempo de 1s, y la
otra exponencial, como si la tuviera
1 6
de s. Cada uno empieza con amplitud
v (t ) unitaria, aunque el último decae con mayor rapidez; nunca es negativo. Cuando el tiempo se vuelve infinito, cada término tiende a cero, y la respuesta misma se desvanece, como debe ser. Por lo tanto, tenemos una curva de
t 0
t
respuesta que es cero en , cero en , y nunca es negativa; puesto que no es cero en todo lados, debe poseer al menos un máximo, el cual no es un punto difícil de determinar con exactitud. Derivamos la respuesta:
dv 84 e t 6e 6t dt
tm Se iguala la derivada a cero para determinar el tiempo vuelve máxima:
0 etm 6e 6tm Simplificando,
e 5 tm 6
Y obtenemos
tm 0.358s y
con el cual la tensión se
v(tm ) 48.9 V Es posible elaborar un dibujo razonable de la respuesta graficando los dos
84e t
84e 6t
términos exponenciales y para después tomar su diferencia. La utilidad de esta técnica se indica mediante las curvas de la figura 9.8; las dos exponenciales corresponden a trazas delgadas, y su diferencia, la respuesta total
v (t ) , se dibuja como una taza a color. Las curvas verifican también que nuestra
v (t ) predicción previa del comportamiento funcional de
84e t
para t es muy grande, de
s1 , el termino exponencial contiene la magnitud más pequeña de
s2 y
.
Una pregunta que se plantea con frecuencia se refiere al tiempo que transcurre en realidad para que desaparezca (o se “amortigüe”) la parte transitoria de la respuesta. En la práctica, muchas veces resulta deseable conseguir que esta repuesta transitoria tienda a cero tan rápido como sea posible; esto es, se debe
ts minimizar el establecimiento del tiempo
ts . En teoría, desde luego,
es infinito
v (t ) debido a que nunca se establece como cero en un tiempo finito. Sin embargo, una respuesta despreciable se presenta luego de que se estableció la
v (t ) magnitud de
en valores que permanecen menores que 1% de su valor
vm absoluto máximo
.
Se define el tiempo que se requiere para que esto ocurra como el tiempo de
vm vm 48.9 establecimiento. Puesto que Ven el ejemplo, el tiempo de establecimiento es el necesario para que la respuesta disminuya hasta 0.489 V. Al
v (t )
v (0) 84 e t e 6 t
sustituir este valor de en la ecuación V e ignorar el segundo término exponencial, que se sabe que es posible omitir en este caso, encontramos que el tiempo de establecimiento corresponde a 5.15 s.
Las respuestas sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada de esta red, según PSpice, se presentan en la misma gráfica de la figura 9.16. Una comparación de las tres curvas hace posibles las siguientes conclusiones generales:
Cuando el amortiguamiento cambia al incrementar el tamaño de la resistencia en paralelo, la magnitud máxima de la respuesta resulta mayor y la cantidad de amortiguamiento menor.
La respuesta se vuelve oscilatoria cuando se presenta el subamortiguamiento, por lo que el tiempo de establecimiento mínimo se obtiene para un subamortiguamiento ligero.
Circuito LC sin perdidas circuito RLC
Circuito LC sin pérdidas.
En la figura se ha dibujado un circuito oscilante LC (una bobina y un condensador) ideal, es decir sin pérdidas. Supóngase
que, en
la
situación
inicial,
el condensador está
cargado
a
una tensión V y que en ese momento se conecta la inductancia. La tensión presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo, que aumentará con el tiempo. A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia, se descarga y la tensión disminuye. La disminución de la tensión hace que la corriente aumente menos rápidamente. La situación continua así, con la tensión del condensador que disminuye cada vez más rápidamente (porque la corriente aumenta) y la corriente que aumenta más lentamente (porque la tensión disminuye). Llega un momento en el cual el condensador está completamente descargado y la corriente ha llegado a un máximo. Ahora la corriente continúa circulando porque la inductancia se lo impone. El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tensión en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente. La situación continúa del siguiente modo: el condensador se va cargando cada vez más lentamente (porque la corriente disminuye), mientras que la corriente va disminuyendo cada vez más rápidamente (porque la tensión inversa aumenta). Así, se llega a la situación en la cual la corriente se anula y la tensión del condensador es máxima y del mismo valor que la tensión inicial, pero con sentido opuesto. La situación es análoga a la
de una masa sostenida por un resorte. La inductancia juega el papel de la masa. La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente. La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente. Veamos las ecuaciones. El comportamiento eléctrico del condensador está descrito por la ecuación: .El de la inductancia está descrito por
. Como en el esquema
es positivo
cuando sale del lado positivo de la inductancia, hay que agregar un signo negativo:
. Se tiene, pues, este sistema de ecuaciones diferenciales:
Para eliminar , basta derivar la primera ecuación, para remplazar la derivada de I en la segunda:
Que se puede escribir como:
Esta ecuación es la misma que la de la masa con un resorte.
es
equivalente a la posición .
es
es equivalente a la masa
equivalente a la constante del resorte . La solución es:
y
con
Como de costumbre,
y
dependen de las condiciones iniciales.
Circuito LC con pérdidas
Circuito LC con pérdidas. La resistencia da cuenta de todas la perdidas posibles.
El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en unaresistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador,
pero
también
pueden
ser
resistencias
internas
de
esos
componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuando la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. La
ecuación del nuevo sistema es:
La ecuación es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez
es el equivalente del coeficiente de rozamiento . La
solución es:
con
y
Donde
es la frecuencia propia del circuito (sin pérdidas).
Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas
Circuito LRC atacado por un generador sinusoidal.
El esquema de la derecha muestra un generador conectado a un circuito LC en serie. Si la tensión del generador es
, la ecuación es:
La expresión se puede reescribir, dándole un aspecto similar a las formas precedentes:
Como en el ejemplo mecánico, en régimen estacionario la solución es:
Donde
y
y
son los mismos que en el párrafo precedente. La amplitud de la tensión de
salida es máxima a la resonancia (cuando entrada.
) y vale
veces la tensión de
Conclusión
En esto temas observamos y diferenciamos los tipos de respuesta que generan los circuitos de segundo orden RLC, las características que tienen y cuales son los tipos de respuesta que pueden presentar cada uno de los circuitos ,las cuales son respuesta natural, respuesta forzada y completa, en si solo son dos respuestas ya que la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada.
