2. Ecuació Ecuación n difere di ferenci ncia al para circui cir cui tos de d e segundo segund o ord en Empezaremos el estudio con el circuito paralelo RLC de la figura, en el cual queremos obtener la expresión de la tensión v. La ecuación del circuito en el nudo es: 1
i R + i L + i C = i
R
v+
1
dv
∫ vdt + C dt = i L i(t )
Para eliminar la integral derivamos la ecuación: 1 dv
+
1
R dt L
2
v + C
d v 2
dt
=
di dt
2
d v 2
+
dt
1 dv
+
1
RC dt LC
v=
v
(
t
R
)
L
C
1 di C dt
Consideremos ahora el circuito serie RLC de la figura, en el cual queremos obtener la expresión de la intensidad i. La ecuación del circuito es: R
i(t )
v R + v L + v C = v
Ri + L
di dt
+
1 C
∫ idt = v v(t )
L
Para eliminar la integral derivamos la ecuación: R
di dt
2
+ L
d i 2
dt
+
1 C
i=
2
dv
d i
dt
2
dt
+
R di L dt
+
1 LC
i=
1 dv
C
L dt
Consideremos ahora un circuito algo más complicado, constituido por dos mallas, como el mostrado en la figura. Se busca la expresión correspondiente a la intensidad de la segunda malla i2. Las L1 ecuaciones de las mallas son:
+ Ri1 − Ri2 = v dt di L2 2 + Ri2 − Ri1 = 0 dt L1
di1
v
(
t
i1
)
R
i2
L2
Para facilitar los cálculos con ecuaciones diferenciales, un proceso útil es utilizar el operador s, siendo s=d/dt , que permite transformar 1 una ecuación diferencial en una algebraica . Utilizando este operador el sistema de ecuaciones es: L1si1 + Ri1 − Ri2 = v
L2 si2 + Ri2 − Ri1 = 0 de la segunda ecuación: Sustituyendo en la primera: La ecuación diferencial de segundo orden para i2 es:
( L1s + R )i1 − Ri2 = v ( L2 s + R )i2 − Ri1 = 0 i1 =
1 R
( L2 s + R )i2 1
L1 L2
R
R
( L1s + R ) ( L2 s + R )i2 − Ri2 = v 2
L1 L2 d i2 R
1
2
dt
+ ( L1 + L2 )
La elección del símbolo para el operador es arbitraria, también se emplean p o D en lugar de s.
di2 dt
=v
s i2 + ( L1 + L2 )si2 = v 2
3. Soluci ón de la ecuación di ferencial de segundo orden Como se ha visto en el apartado anterior, para los circuitos con dos elementos de almacenamiento de energía, siempre llegaremos a una ecuación diferencial de segundo orden de la forma: 2
a2
d x 2
dt
+
a1
dx dt
+
a0 x = f (t )
donde se conocen las constantes a2, a1, a0 y se especifica la función forzada f(t). La respuesta transitoria para x(t) vendrá dada por la superposición de los regímenes libre y forzado, es decir: x = xl
+
x f
3.1 Régim en lib re El régimen libre satisface la ecuación diferencial no forzada, cuando f(t)=0, es decir: Como xl y sus derivadas deben sati sfacer la ecuación, tomaremos como solución:
2
d xl
a2 xl
2
dt
+ a1
dxl dt
+ a0 xl = 0
= Ae st
Donde se deben determinar A y s. La función exponencial es la única que es proporcional a todas sus derivadas e integrales y, por tanto, es la elección natural para la solución de una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Sustituyendo esta solución en la ecuación y derivando, se tiene: 2
a 2 As e
Utilizando de nuevo la so lución, la ecuación queda como:
a 2 s xl
Como no se acepta la solución trivial xl=0, es necesario que:
a2 s
+ a1 Ase st + a0 Ae st = 0
st
+ a1 sxl + a0 xl = 0
2
(a
2
s
2
+ a1s + a0 ) xl = 0
+ a1s + a0 = 0
2
Esta ecuación en términos de s, recibe el nombre de ecuación característica. Se obtiene fácilmente utilizando el operador s en la ecuación de partida. La solución de esta ecuación tiene dos raíces: s1
=
− a1 +
2
a1
− 4a 2 a 0
=
s2
2a 2
− a1 −
− 4 a 2 a0
2
a1
2a 2
Cuando hay dos raíces distintas existen dos soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden, pero su suma también es una solución, puesto que la ecuación es lineal. Además la solución ha de constar de tantos términos de acuerdo al orden de la ecuación, cada uno con un coeficiente arbitrario, para satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. La solución de la ecuación diferencial de segundo orden es por tanto:
= A1e s t + A2 e s t
xl
1
2
Consideremos el circuito paralelo RLC de la figura, del cual queremos obtener la expresión para la tensión v. En este circuito sin alimentación forzada consideraremos condiciones iniciales, para t=0, una carga inicial en el condensador vC (0) y en la bobina i L(0). Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo, tenemos: i R
1
+ i L + iC = 0
C
L
vdt + C =0 L ∫ dt
1 dv
+ 1 v + C d 2v = 0
2
R dt L
dt
2
d v 2
iL(0)
dt
+
1 dv
+
1
RC dt LC
v=0
Utilizando el operador s llegamos a obtener la ecuación característica: s v+ 2
Cuyas raíces son:
1 RC
sv +
1 LC
=0
s
2
+
1 RC
α
=− =
α
1 LC
=0
2
− ω 02
2
− ω 02
2
1 1 − = −α − − RC RC LC 2 2 1
1
s+
2
1 1 s1 = − + = −α + − 2 RC 2 RC LC 1
s2
donde:
v
y
2 ω 0
2 RC
=
α
1 LC
Normalmente ω 0 recibe el nombre de frecuencia resonante y α el de coeficiente de amortiguamiento. Las raíces de la ecuación característica pueden dar lugar a tres soluciones distintas:
•
Dos raíces reales y diferentes, cuando
α
•
Dos raíces reales iguales, cuando
α
•
Dos raíces complejas conjugadas, cuando
α
v
C
dv
v+
R
Derivando y reordenando la ecuación:
1
R
2
> ω 02 , se dice que el circuito está sobreamortiguado.
2
= ω 02 , se dice que el circuito está críticamente amortiguado.
2
< ω 02 , se dice que el circuito está subamortiguado.
(
0
)
3.1.1 Circuito sobreamortiguado Considerando que se trata del primer caso, circuito sobreamortiguado, la solución de la ecuación diferencial será de la forma: v = A1e 1
+ A2 e s t
s t
2
Para el cálculo de los coeficientes A1 y A2 haremos uso de las condiciones iniciales, donde: Para t=0 se cumple la ecuación:
1 R
v (0) + iL (0) + C
dv (0)
dv (0)
=0
dt
v(0) = vC (0) = A1
dt
=−
vC (0) RC
+ A2
−
iL (0) C
Para obtener una expresión con la derivada de v en el instante inicial, derivamos la solución y hacemos t=0: dv dt
dv (0)
= A1s1e s t + A2 s2e s t 1
2
dt
vC (0) = A1 + A2 − vC (0) − i L (0) = A s + A s 1 1 2 2 RC C
Los coeficientes A1 y A2 se obtendrán con el siguiente sistema de dos ecuaciones:
Las corrientes en el circuito son:
i R
=
v R
iC = C
i L
=
1
1
= A1s1 + A2 s2
= ( A1e s t + A2e s t ) 1
2
R dv dt
= C ( A1s1e s t + A2 s2e s t ) 1
1 A1
∫ vdt = L s L
1
e
2
s1t
+ A2 e s t s2 2
Las gráficas de las figuras se han obtenido con los siguientes valores de circuito: R=2/3Ω , L=1H , C=1/2F , i L(0)=2A y vC (0)=10V . (Hacer los ejercicios 15.1 y 15.9)
3.1.2 Circuito críticamente amortiguado Cuando las raíces de la ecuación característica son reales e iguales, se trata de un circuito críticamente amortiguado, en el que: 2
α
= ω 02
s1
Por tanto la solución de la ecuación diferencial será en este caso:
v = A1e 1
s t
= s2
+ A2 e s t = ( A1 + A2 )e s t = A3e s t 1
1
1
Donde A3=A1+A2. Como las dos raíces son iguales, sólo existe una constante indeterminada, pero sigue habiendo dos condiciones iniciales por satisfacer. Por tanto la ecuación anterior no es la solución total para el régimen libre de un circuito críticamente amortiguado. Hace falta una solución que contenga dos constantes arbitrarias, por lo que con cierta previsión se intenta la solución: v = g (t )e 1
s t
donde g(t) es un polinomio en t :
g (t ) = A2 + A1t
La solución a adoptar es por tanto:
v = e 1 ( A1t + A2 ) s t
Para el cálculo de los coeficientes A1 y A2 haremos uso de las condiciones iniciales, donde: Para t=0 se cumple la ecuación:
1 R
v(0) + iL (0) + C
dv(0) dt
=0
v(0) = vC (0) = A2 dv(0) dt
=−
vC (0) RC
−
i L (0) C
Para obtener una expresión con la derivada de v en el instante inicial, derivamos la solución y hacemos t=0: dv dt
= s1e s t ( A1t + A2 ) + e s t A1 1
1
Los coeficientes A1 y A2 se obtendrán con el siguiente sistema de dos ecuaciones:
Las corrientes en el circuito son:
i R
=
v R
iC = C i L
=
1
=
e
R
dv dt
∫ L
s1t
dv(0) dt
= s1 A2 + A1
vC (0) = A2 − vC (0) − i L (0) = s A + A 1 2 1 RC C
( A1t + A2 )
= Ce s t [s1 ( A1t + A2 ) + A1 ]
vdt =
1
1 A2 + A1 t − Ls1 s1 e
s1t
Las gráficas de las figuras se han obtenido con los siguientes valores de circuito: R=1Ω , L=1H , C=1/4F , i L(0)=-6A y vC (0)=5V . (Hacer los ejercicios 15.2 y 15.3)
3.1.3 Circuito subamortiguado Cuando las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas, se trata de un circuito subamortiguado, en el que: 2
α
< ω 02
2 2 2 2 s1, 2 = −α ± α − ω 0 = −α ± j ω 0 − α = −α ± jω a
Las raíces complejas dan lugar a una respuesta de tipo oscilatorio. Haciendo
2
ω 0
− α 2 = ω a que recibe el nombre de frecuencia
resonante amortiguada. Por tanto la solución de la ecuación diferencial será:
v = A1e 1 + A2 e
Haciendo uso de la identidad de Euler:
e
−α t
s t
± jω a t
s1t
= A1e −α t e jω t + A2 e −α t e − jω t = e −α t A1e jω t + A2 e − jω t a
a
a
a
= cosω a t ± j sen ω a t
( A1 cosω a t + jA1 sen ω a t + A2 cosω a t − jA2 sen ω a t ) = e − t [( A1 + A2 )cosω a t + j ( A1 − A2 )sen ω a t ]
La ecuación queda como:
v=e
Haciendo:
B1 = ( A1 + A2 )
La solución para el régimen libre es:
α
B2 = j ( A1 − A2 )
y v=e
−α t
( B1 cosω at + B2 sen ω a t )
Para el cálculo de los coeficientes B1 y B2 haremos uso de las condiciones iniciales, donde: v(0) = vC (0) = B1 1
Para t=0 se cumple la ecuación:
R
v(0) + iL (0) + C
dv(0) dt
=0
dv(0) dt
=−
vC (0) RC
−
i L (0) C
Para obtener una expresión con la derivada de v en el instante inicial, derivamos la solución y hacemos t=0: dv dt
= e − t [(− α B1 + B2ω a )cos ω a t − ( B1ω a + α B2 )sen ω a t ] α
Los coeficientes B1 y B2 se obtendrán con el siguiente sistema de dos ecuaciones:
Las corrientes en el circuito son:
i R =
v
=
R
iC = C i L =
1 L
e
dv dt
dv(0) dt
= −α B1 + B2ω a
vC (0) = B1 − vC (0) − i L (0) = −α B + B ω 1 2 a RC C
−α t
R
( B1 cosω a t + B2 sen ω at )
= Ce − t [( B2ω a − α B1 )cos ω a t + ( B1ω a + α B2 )sen ω a t ] α
∫ vdt = −i
R
− iC
Las gráficas de las figuras se han obtenido con los siguientes valores de circuito: R=50/3Ω , L=0.1H , C=0.001F , vC (0)=10V e i L(0)=0.6A. (Hacer los ejercicios 15.4, 15.5, 15.6 y 15.12)
3.1.4 Circuito oscilatorio
Existe una situación particular del circuito subamortiguado, en el que no hay amortiguación, dando lugar a una oscilación constante de la corriente. Esto sucede cuando no hay resistencia y el circuito recibe el nombre de oscilatorio. En este caso: α
=0
α
2
< ω 02
s1, 2 = ± − ω 02 = ± j
Por tanto la solución de la ecuación diferencial será:
v = A1e
Haciendo uso de la identidad de Euler:
e
± jω 0 t
s1t
= ± jω 0
2 ω 0
+ A2e s t = A1e j
ω 0
1
t
+ A2 e − j
ω 0
t
= cosω 0t ± j sen ω 0t
La ecuación queda como:
v = A1 cos ω 0 t + jA1 sen ω 0 t + A2 cosω 0 t − jA2 sen ω 0t = ( A1 + A2 )cos ω 0t + j ( A1 − A2 )sen ω 0 t
Haciendo:
B1 = ( A1 + A2 )
La solución para el régimen libre es:
B2 = j ( A1 − A2 )
y
v = B1 cosω a t + B2 sen ω a t
Para el cálculo de los coeficientes B1 y B2 haremos uso de las condiciones iniciales, donde: v(0) = vC (0) = B1 Para t=0 se cumple la ecuación:
i L (0) + C
dv(0) dt
=0
dv(0) dt
=−
i L (0) C
Para obtener una expresión con la derivada de v en el instante inicial, derivamos la solución y hacemos t=0: dv dt
dv (0)
= B2ω a cos ω a t − B1ω a sen ω a t
dt
Los coeficientes B1 y B2 se obtendrán con el siguiente sistema de dos ecuaciones:
Las corrientes en el circuito son:
i R =
v R
iC = C i L =
1 L
=
1
R dv dt
= B2ω a
vC (0) = B1 − i L (0) = B ω 2 a C
( B1 cos ω 0 t + B2 sen ω 0t )
= C ( B2ω 0 cos ω 0 t − B1ω a sen ω 0 t )
∫ vdt = −i
R
− iC
Las gráficas de las figuras se han obtenido con los siguientes valores de circuito: L=0.1H , C=0.001F , i L(0)=-0.6A y vC (0)=10V
3.2 Régimen forzado La respuesta forzada de un circuito RLC descrito por una ecuación diferencial de segundo orden debe satisfacer la ecuación diferencial y contener constantes no arbitrarias. La respuesta a una función forzada tendrá a menudo la misma forma que ésta. La respuesta forzada x f debe satisfacer la ecuación: a2
d 2 x f 2
dt
+
a1
dx f dt
+
a0 x f
=
f (t )
Se necesita hallar una x f tal que ésta y sus derivadas primera y segunda satisfagan la ecuación anterior. Si la función forzante es una constante, la respuesta forzada es también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función forzada es de la forma f (t ) = Be at , entonces las derivadas de f(t) son todas exponenciales de la forma Qe at y se espera que: −
−
x f
=
De
−
at
Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Si f (t ) = A sen ω 0 t , se probará:
x f
=
M sen ω 0 t + N cos ω 0 t = Q sen (ω 0 t + θ )
Resumiendo, si la función forzada es del tipo mostrado a continuación, tomar la solución supuesta que se indica: Función forzada K Kt 2 Kt Ksenω t -at Ke
Solución supuesta A At+B 2 At +Bt+C Asenω t+Bcosω t -at Ae
Para el cálculo de las constantes, procedemos a sustituir la solución en la ecuación diferencial de segundo grado.
3.3 Régimen transi tor io La respuesta transitoria del circuito vendrá dada por la suma de los regímenes libre y forzado calculados, por tanto la solución final de la ecuación diferencial de segundo grado será: x = x l
x f
+
En el caso de ser un circuito sobr eamortiguado con excitación exponencial:
x = A1e
s1t
+
A2 e
s2 t
+
De
−
at
Para el cálculo de las constantes del régimen libre, haremos uso de las condiciones iniciales en esta ecuación, tal y como se ha descrito en el caso de no haber régimen forzado. (Hacer los ejercicios 15.7, 15.8, 15.10, 15.11, 15.13, 15.14 y 15.15)
