Aplicaciones de ED de segundo orden
Introducción: En este capítulo se presentarán dos tópicos en los cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden desempeñan un papel vital para su modelación, a saber, vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos. Un principio fundamental de la física establece que los sistemas físicos tienden a estar en una posición de mínima energía potencial denominada posición de equilibrio y si, por alguna razón, el sistema es forzado a salir de ese equilibrio, entonces tenderá a regresar a él. Por ejemplo, piense por un momento en un péndulo estático; si golpea la masa del péndulo con una pequeña fuerza, el sistema saldrá de su posición de equilibrio y en algún momento posterior se detendrá, pero al no estar en equilibrio retornará buscando dicha posición. La teoría de oscilaciones pequeñas permite describir cuantitativa y cualitativamente el movimiento que ocurre en los sistemas físicos cuando están cerca de su posición de equilibrio estable. Muchos fenómenos (péndulos, terremotos, mareas, etc.) pueden ser analizados utilizando esta teoría. El modelo más simple que permite describir cuantitativa y cualitativamente el fenómeno de vibración es el sistema masaresorte, también llamado oscilador armónico, en el cual no hay pérdida de energía. Otro modelo es el de masa-resorte-amortiguador, donde además se consideran fuerzas disipativas; en este caso la energía no se conserva y las oscilaciones tienden a desaparecer en el tiempo. Un tercer modelo es el oscilador forzado que considera fuerzas de excitación que incrementan o reducen la energía del sistema. En algunos casos, esta fuente de energía puede llegar a ser la responsable de la destrucción del sistema. En la primera parte de este capítulo analizaremos los osciladores libre, amortiguado y forzado. La segunda parte la dedicaremos al estudio de los circuitos eléctricos RLC en serie que están formados por un resistor R, un inductor L y un capacitor C. Estos circuitos encuentran su aplicación más práctica en el sistema eléctrico de una instalación ya sea doméstica o industrial y en todos los aparatos eléctricos que utilizamos en nuestra vida cotidiana. En nuestro análisis describiremos cómo se comportan la carga y la corriente en circuitos RLC. Finalmente, estableceremos una relación electromecánica entre las vibraciones.
CONCEPTO:
Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden clasificar en homogéneas (igual a cero) y no homogéneas (igual a una función de x). En este tutorial se explica este concepto y como se relaciona la solución de una ED homogénea con la de una ED No homogénea. Para ello se explica primero el principio de superposición que permite conocidas n soluciones linealmente independiente para una ED Lineal homogénea de orden n encontrar su solución general. Luego se procede a establecer que la solución a la no homogénea es la suma de la solución general de la homogénea más una solución particular En este video veremos los conceptos fundamentales sobre las soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la siguiente forma: an(x)(y´N)+an- 1(x)(y’N 1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), cada vez que nos den este tipo de ecuación vamos a
tratarla de partirla en dos, en una de las partes tomamos el término de la izquierda y lo igualamos a cero, es decir: an(x)(y´N)+an- 1(x)(y’N -1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)=0, a esta parte de la ecuación igualada a cero se le conoce como ecuación diferencial homogénea, la otra parte es la ecuación diferencial como tal, es decir: an(x)(y´N)+an1(x)(y’N -1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), a esta parte de la ecuación diferencial se le
conoce como ecuación diferencial no homogénea. Teniendo en cuenta lo anterior decimos que la solución general de este tipo de ecuaciones consta de una solución de la parte homogénea y de una solución particular de la parte no homogénea, es decir: Y=YH+YP. La solución de la ecuación diferencial homogénea depende del grado de la derivada, es decir si en nuestra ecuación diferencial el mayor grado de la derivada es dos, la solución de la ecuación homogénea asociada tendrá dos resultados Y1 y Y2 y su solución estará representada como YH=C1Y1+C2Y2, siempre y cuando Y1 y Y2 sean linealmente independientes, es decir que sean diferentes. La solución de la ecuación diferencial no homogénea se estudiara en los siguientes videos, ya que para llegar a su solución se necesitan de métodos definidos.
Vibraciones mecánicas: Comenzamos el estudio de los fenómenos oscilatorios presentando algunos ejemplos en que estos fenó-menos ocurren además del que se mencionó en la introducción. Otro ejemplo puede ocurrir cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión permanece estable en gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida momentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con diversos aparatos que permiten la disipación de la vibración de forma rápida y segura. Un tercer ejemplo lo podemos observar cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los
amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto. En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a un sistema físico que se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio. Para entender el proceso físico que ocurre, recordemos que un sistema físico está en una posición de equilibrio estable cuando se encuentra en un mínimo de energía potencial.
Para que abandone esa posición es necesario proporcionarle energía mediante la acción de una fuerza. Cuando se deja de aplicar la fuerza, el sistema ha adquirido energía potencial, que al intentar retornar a la posición de equilibrio, se transforma en energía cinética. Es decir, cuando pasa la posición de equilibrio tendrá energía cinética y no se detendrá; continuará su movimiento transformando ahora, hasta que desaparezca, su energía cinética en potencial. Esta transferencia entre energía cinética y potencial se repetirá indefinidamente a menos que algún mecanismo permita la disipación de energía mecánica.
Movimiento armónico simple
Para iniciar el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) el cual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequeña x0, medida desde la posición de equilibrio (ver figura anterior), y se le aplica una velocidad v0. Desde ese momento, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa que tiende a regresarla a su posición de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión (o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido contrario a la deformación. Dicha suposición se conoce como ley de Hooke para resortes lineales. Es decir, la fuerza FR que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa está dada por
Donde x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte. Por otra parte, y de acuerdo con la segunda ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación
Igualando estos dos resultados, se obtiene el P VI que modela el sistema masa-resorte:
O equivalentemente:
El modelo encontrado es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Para resolverla, proponemos como solución de la ecuación diferencial una función del tipo x =er t : Derivando dos veces con respecto al tiempo y sustituyendo en (??) ob tenemos la ecuación algebraica
Cuyas dos raíces son imaginarias debido a que m y k son constantes positivas,
Si definimos la frecuencia natural del sistemao, de tal forma que un conjunto fundamental de soluciones lo constituyen las dos funciones sinusoidales cos wt y senwt. Entonces la solución general de la ecuación diferencial es Derivando la ecuación (??), se obtiene la velocidad del cuerpo, ésta es
Las constantes c1 & c2 que aparecen en las ecuaciones (??) y (??) se deben determinar a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Como la masa se encuentra inicialmente (t D 0/ a una distancia x0 de la posición de equilibrio, y se suelta con velocidad inicial v0; entonces se debe cumplir que
de donde
Finalmente, integrando los resultados anteriores (??) a la ecuación (??), se obtiene la siguiente expresión para la posición instantánea de la masa en todo tiempo t:
Vibraciones amortiguadas libres:
Vibraciones forzadas:
Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de excitación FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (véase la siguiente figura):
En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por
Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema.
Esta ecuación se puede reescribir como
O bien en la forma:
