9-Analisis de Estructuras Con Teoria de Segundo Orden

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ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS CON TEORÍA DE SEGUNDO ORDEN 1-Introducción Se dice que una estructura es analizada con teoría de segundo orden toda vez que para el planteo del equilibrio del sistema de fuerzas que sobre ella actúa la misma se considera en su posición deformada. Si se recuerda que el análisis lineal de estructuras contiene entre sus hipótesis el concepto de linealidad estática, que establece que las ecuaciones de equilibrio se plantean en la estructura no deformada (teoría de primer orden) es simple entender que el análisis de estructuras con teoría de segundo orden se transforma en un problema no lineal a pesar que las restantes hipótesis del análisis lineal se mantienen (linealidad mecánica y cinemática). El concepto de análisis no lineal se resume en la falta de proporcionalidad entre causa y efecto. A continuación se ejemplifican estructuras resueltas con teoría de primer y segundo orden: Primer orden.

Segundo orden.

2 El problema planteado requiere conocer previamente la posición deformada de la estructura y en consecuencia no resulta de resolución directa. Sin embargo es posible llevar adelante un proceso iterativo planteando el equilibrio en primer orden, luego proceder a determinar las solicitaciones y con ellas la deformación inicial. Conocida la deformación es posible modificar las solicitaciones y consecuentemente la deformada. El proceso indicado puede o no ser convergente en función de las características geométricas y mecánicas de la estructura como así también de la magnitud del estado de cargas. La convergencia existirá toda vez que entre dos pasos sucesivos de la iteración tanto las solicitaciones como la deformación de la estructura resulten valores prácticamente iguales. En este caso se puede afirmar que se ha llegado a establecer : la configuración deformada de la estructura como así también las solicitaciones de segundo orden de la misma. En lo que sigue se analiza idéntico caso pero con la fuerza P dirigida hacia arriba generando tracción en la columna

Primer orden.

Segundo orden.

3 Finalmente se grafica un tercer caso para luego obtener conclusiones. Primer orden

Segundo orden

Conclusiones que se obtienen en función de los tres ejemplos desarrollados. En el primer ejemplo se advierte en segundo orden un incremento de la solicitación momento flexor en la columna respecto de primer orden. En este caso la fuerza P dirigida hacia abajo genera compresión en la misma. En el segundo ejemplo se observa en segundo orden una disminución de la solicitación momento flexor respecto de primer orden. La fuerza P dirigida hacia arriba genera tracción en la misma. En el tercer ejemplo se observa que en primer y segundo orden se manifiestan idénticas solicitaciones. Al mismo tiempo el esfuerzo normal en la columna es nulo. La primera conclusión importante de acuerdo a los resultados obtenidos establece que: La problemática de segundo orden en un miembro estructural se encuentra relacionada con la existencia en el mismo de esfuerzo normal de compresión. Consecuentemente el estudio de estructuras con teoría de segundo orden se orienta a esta situación y se adopta por criterio que para elementos estructurales sometidos a tracción son seguros los resultados provenientes de la teoría de primer orden. Como el único esfuerzo normal que se evalúa es el de compresión cuando de teoría de segundo orden se trata, el mismo es considerado positivo con el objeto de simplificar las expresiones de cálculo. La segunda conclusión importante surge del primer y segundo ejemplo..Se observa claramente que en ambos ejemplos el esfuerzo de corte en la columna es nulo pero el momento flexor no es constante, en contraposición con la relación diferencial existente entre ambos esfuerzos de acuerdo a la teoría de primer orden (Q=dM/dz).En consecuencia se puede afirmar que: Las relaciones diferenciales existentes entre esfuerzos internos característicos y entre ellos con la fuerza específica deben ser replanteadas con respecto a las de primer orden cuando se desea analizar una estructura con teoría de segundo orden.

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2-Deducción de las relaciones diferenciales entre esfuerzos internos característicos entre si y con la función fuerza especifica en teoría de segundo orden. Se parte del siguiente elemento diferencial de estructura recordando que en teoría de segundo el esfuerzo normal de compresión se considera positivo.

Con respecto a la representación gráfica que precede conviene hacer las siguientes aclaraciones: 1-Dada la conservación de la hipótesis de linealidad cinemática (teoría de pequeñas rotaciones) puede considerarse que ds es aproximadamente igual a dz. Consecuentemente la fuerza específica por unidad de longitud de eje de barra (s) es aproximadamente igual a la fuerza específica por unidad de longitud horizontal (z) y así se representa. 2-Si bien el esfuerzo normal debe presentar dirección coincidente con el eje de barra y el esfuerzo de corte debe resultar perpendicular a dicho eje, dada la linealidad cinemática es posible expresar dichas solicitaciones horizontal y verticalmente como se indica en la figura sin cometer error significativo.Lo expresado queda justificado en las pequeñas rotaciones de las secciones. A continuación se procede a plantear el equilibrio del sistema de fuerzas actuantes sobre el elemento diferencial de estructura adoptando como centro de reducción el punto G2: Rz=0)

N(Z) – N(Z) – dN(Z) + qz(z).dz=0

Rz=0)

Q(Z) + dQ(Z) – Q(Z) + qy(z).dz=0

MxG2=0) M(Z) + dM(Z) – M(Z) – Q(Z).dz – N(Z).dη(Z) + qy(z).dz.dz / 2 – qz(z).dz.dη / 2=0 Operando con estas expresiones y recordando el concepto de infinitésimo de orden superior se arriba a las relaciones diferenciales válidas en teoría de segundo orden que a continuación se expresan:

5 Puede observarse el cambio de signo de la relación diferencial referida al esfuerzo normal como consecuencia de haber considerado el esfuerzo interno de compresión como positivo, como así también el importante cambio sufrido por la relación existente entre el esfuerzo de corte y el momento flexor .

3-Determinación de la expresión de la elástica transversal al eje de barra en teoría de segundo orden Se parte de la expresión de la curvatura utilizada en teoría de primer orden. La misma sigue siendo válida en teoría de segundo orden dado que se cumplen las hipótesis bajo las cuáles la misma fue obtenida, es decir linealidad cinemática y mecánica. Entonces:

Dado que las funciones de esfuerzos internos característicos inicialmente no se conocen se busca relacionar la elástica transversal con la fuerza específica qy(z) que si se conoce por ser dato del problema. Entonces, si se deriva y se tienen en cuenta las relaciones diferenciales anteriormente deducidas resulta:

Reordenando términos :

que es la: ecuación diferencial de la elástica transversal al eje de barra en teoría de segundo orden Si con carácter simplificativo se considera nula la fuerza específica qz(z) entonces el esfuerzo normal será constante. Consecuentemente la ecuación diferencial se transforma como sigue:

Esta última expresión es la que se utilizará en las resoluciones que siguen y su solución general es la que se indica:

La validez de la última expresión como solución de la ecuación diferencial puede comprobarse derivándola cuatro veces respecto de z y sumando a dicho resultado la derivada segunda multiplicada por k2.

6 Se aclara que se trata de la solución general (ecuación diferencial igualada a cero) y por lo tanto en el caso de existencia de fuerza específica transversal al eje de barra habrá que contemplar la necesidad de una solución particular para dicha ecuación diferencial que debe adicionarse a la solución general. Cabe reiterar que todo el planteo involucra la existencia de esfuerzo normal de compresión. En el caso que el esfuerzo normal sea nulo deberá recurrirse a las expresiones de primer orden (recordar conclusiones iniciales). En función de lo expresado k debe resultar siempre mayor que cero para que las expresiones sean válidas.

4-Determinación de rigideces utilizando teoría de segundo orden. Desde el inicio debe quedar aclarado que la rigidez axíl de un elemento estructural no se modifica al ser analizada en teoría de segundo orden. Se procede a resolver el caso de un cedimiento de vínculo giro de valor unitario en uno de los extremos de la barra empotrada-empotrada para luego, por aplicación del segundo teorema de reciprocidad de Maxwell (igualdad de las rigideces cruzadas), obtener las restantes rigideces:

Cabe aclarar que en el extremo A se ha reemplazado el empotramiento completo por uno guiado a fin de permitir que efectivamente el esfuerzo normal actúe sobre la barra. Se trabaja con la expresión η(Z) indicada al final de la página anterior y se determinan las constantes de integración en función de las condiciones de borde: Sí Z=0 →

η =0 = C2 + C4

Sí Z=0 → Θ=η’ =ΘA =C1.k + C3 Sí Z=L →

η =0 =C1.sen (k.L) + C2.cos(k.L) + C3.L + C4

Sí Z=L → Θ=η’=0=C1.k. cos (k.L) - C2.k. sen (k.L) + C3 Recordando que k2=N/E.I resulta k= (N/E.I)0.5 .Si además se llama a=k.L entonces las ultimas expresiones se pueden escribir nuevamente como sigue: Sí Z=0 →

η=0 = C2 + C4

Sí Z=0 → Θ=η’= Sí Z=L →

(1)

ΘA =C1.k + C3

(2)

η=0 =C1.sen a + C2.cos a+ C3.L + C4

(3)

Sí Z=L → Θ=η’=0=C1.k. cos a - C2.k. sen a + C3 (4) Operando con las expresiones (1) y (2) se obtiene: C4= -C2 (5)

C3=

ΘA - k.C1

(6)

7 Reemplazando (5) y (6) en (3) y (4) y operando se obtiene: C1.(sen a – a ) + C2.(cos a -1) = C1.(cos a – 1 ) - C2. sen a

ΘA . L

(7)

= - ΘA /k (8)

Multiplicando la (7) por sen a , la (8) por (cos a -1) y sumando se obtiene la expresión de la constante C1.O sea:

Multiplicando la (7) por (cos a -1) , la (8) por (sen a -a) y restando se obtiene la expresión de la constante C2.O sea:

Finalmente C3 y C4 se obtienen según las expresiones (5) y (6) . A continuación y para ΘA=1 se busca determinar la función momento flexor, como paso intermedio para determinar las fuerzas extremas de barra (rigideces). La función momento flexor es: M(Z)= - E.I. η’’(Z )= - E.I .(-C1.k2.sen k.z - C2.k2.cos k.z ) M(Z)= E.I .( C1.k2.sen k.z + C2.k2.cos k.z ) Si z=0 se obtiene el momento flexor de la sección A. MA*=E.I. C2. k2 Si z=L se obtiene el momento flexor de la sección B. MB*=E.I.( C1.k2.sen a + C2.k2.cos a ) Donde el asterisco indica que se trata de solicitaciones de segundo orden. Si ahora se dividen las solicitaciones de segundo orden por las de primer orden es posible obtener el coeficiente necesario para realizar dicha transformación. A1=MA*/MA = E.I. C2. k2 / (4.E.I / L) Reemplazando la constante C2 y operando se obtiene el valor de A1.

2

2

8

A2=MB*/MB = E.I.( C1.k .sen a + C2.k .cos a )/(-2.E.I/L)

Conocido el momento flexor en los extremos de barra como así también el esfuerzo normal, por simple planteo de ecuaciones de equilibrio en la posición deformada es posible determinar la totalidad de las fuerzas extremas de barra tal como a continuación se muestra:

El coeficiente A3 se determina mediante una ecuación de momento respecto del punto B. 4. E.I.A1/L + 2.E.I.A2/L = (6. E.I.A3/L2).L Operando:

Si bien resulta redundante se recuerda que las fuerzas obtenidas son rigideces de segundo orden pudiendo ser expresadas como sigue:

9 Si el cedimiento de vínculo giro unitario se produce según la coordenada 2 entonces el esquema de rigideces queda como sigue:

A continuación se resuelve el caso de la barra empotrada-empotrada con un cedimiento de vinculo unitario transversal al eje de barra. O sea:

Haciendo uso del concepto de rigidez cruzada y utilizando las mismas coordenadas indicadas para el caso de la barra empotrada-empotrada con cedimiento de vínculo giro de valor unitario se tiene:

Para este caso las rigideces cruzadas r13 y r23 se han obtenido por igualdad con las rigideces cruzadas r31 y r32 respectivamente ( estas últimas correspondientes al caso de cedimiento de vínculo giro actuante primero en la coordenada 1 y luego en las coordenada 2). En cambio las rigideces r43 y r33 surgen planteando equilibrio de la estructura en su posición deformada, restando determinar el valor del coeficiente A4 que transforma las rigideces de primer orden en rigideces de segundo orden. Este coeficiente se obtiene a continuación planteando una ecuación de momento respecto del punto B: 2.6. E.I.A3/L2 = (12. E.I.A4/L3).L + N.1 Operando:

10 Se resuelve el caso de la barra empotrada - articulada sometida a cedimiento de vínculo giro unitario mediante el método de las incógnitas cinemáticas tal como a continuación se desarrolla:l

Aplicando la ecuación de equilibrio en la sección A resulta: 0= - 2.E.I.A2/L + (4.E.I.A1/L).

ΘA → ΘA=0.5. A2/ A1

Entonces: MB* = 4.E.I.A1/L - (2.E.I.A2/L).ΘA= 4.E.I.A1/L - (2.E.I.A2/L). (0.5. A2/ A1) Operando y expresando el valor de MB* (momento en B de segundo orden) como el momento en B de primer orden por un coeficiente resulta: MB* = 3.E.I.A5/L Resultando el coeficiente A5 de la siguiente expresión:

Atendiendo a razones de equilibrio resultan: QA* = 3.E.I.A5/L2 QB* = 3.E.I.A5/L2

11 Finalmente las fuerzas extremas de barra (rigideces de segundo orden) expresadas en coordenadas quedan como se muestra:

Se resuelve ahora el caso de la viga empotrada - articulada solicitada por un cedimiento de vínculo unitario transversal al eje de barra en uno cualquiera de sus extremos. O sea:

Nuevamente haciendo uso del concepto de rigidez cruzada y utilizando las mismas coordenadas indicadas para el caso de la barra empotrada-articulada con cedimiento de vínculo giro de valor unitario resulta:

En este caso la rigidez r14 se ha obtenido por igualdad con la rigidez r41 anteriormente calculada. En cambio las rigideces r34 y r44 resultan del equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre la barra deformada, restando determinar el coeficiente A6 que transforma dichas rigideces de primer a segundo orden. Si se plantea una ecuación de momento respecto del punto B resulta: 3. E.I.A5/L2 = (3.E.I.A6/L3).L + N.1 Operando resulta:

12 Si en vez de ceder transversalmente el extremo A (extremo articulado),cediera transversalmente el extremo B (extremo empotrado) la solución sería la misma. En efecto, si bien en el presente desarrollo se indica el cedimiento transversal hacia abajo en el extremo articulado a nadie le escapa que es equivalente considerar que el extremo empotrado ha cedido transversalmente hacia arriba. A continuación y por aplicación del método de las incógnitas cinemáticas se da solución al caso de la barra empotrada-empotrada guiada donde el extremo empotrado experimenta un cedimiento de vínculo giro unitario.

Aplicando la ecuación de equilibrio en la sección A resulta: 0= - 6.E.I.A3/L2 + (12.E.I.A4/L3).

η A → ηA=0.5.L. A3/ A4

Entonces: MA* = 2.E.I.A1/L - (6.E.I.A3/L2). η A= 2.E.I.A1/L - (6.E.I.A3/L2). (0.5.L. A3/ A4) MB* = 4.E.I.A1/L - (6.E.I.A3/L2). η A= 4.E.I.A1/L - (6.E.I.A3/L2). (0.5.L. A3/ A4) Operando y expresando el valor de MA* y MB* (momento en A y en B de segundo orden) como el momento en A y en B de primer orden por un coeficiente resulta: MA* =-.E.I.A8/L

MB* =.E.I.A7/L

La expresión de cálculo de los coeficientes A7 y A8 es la que sigue:

13 A continuación se grafican las fuerzas extremas de barra (rigideces de segundo orden):

Si el cedimiento de vínculo giro unitario se produce en el empotramiento operando de idéntica forma que en el caso que precede se obtienen las fuerzas extremas de barra que a continuación se detallan:

A continuación se resume en una tabla todos los casos de rigideces de segundo orden que se han desarrollado. Se adjunta además valores de los coeficientes A1 a A8 en función del parámetro a = L . (N/E.I)0.5 . Se deja aclarado que a se encuentra expresado en radianes y en consecuencia cuando resulta argumento del seno y coseno se deben tomar las precauciones correspondientes para obtener un resultado correcto. Para que quede aún mas claro,se está obteniendo el seno y el coseno de un ángulo expresado en radianes. Dado que se adjuntan las expresiones de cálculo de los coeficientes, resulta sencillo para valores particulares del parámetro a determinar dichos coeficientes.

14 RESUMEN DE RIGIDECES DE SEGUNDO ORDEN

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16 VALORES DE LOS COEFICIENTES

A

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5-Análisis de rigideces directas en teoría de segundo orden. Si se recuerda el caso de la viga empotrada – empotrada sometida a cedimiento de vínculo giro unitario en uno de los empotramientos, resulta el momento de empotramiento en correspondencia con el giro unitario igual a 4.E.I.A1/L. Si ahora se observa la tabla de valores de los coeficientes A, se concluye que A1 en función del parámetro a (que involucra al esfuerzo normal de compresión),puede resultar positivo, cero o negativo, en clara oposición al concepto manejado en teoría de primer orden donde se afirma que una rigidez directa siempre debe ser positiva. Consecuentemente resulta que, al aplicar teoría de segundo orden, una rigidez directa puede ser positiva ,cero o negativa. A continuación se grafica un ejemplo de rigidez directa negativa:

El caso de rigidez directa negativa analizado no es el único, pero sirve como ejemplo de la nueva situación planteada dejándola al descubierto.

6-Análisis de la viga simplemente apoyada sometida a cedimiento de vínculo transversal unitario.

Se parte de la expresión:

y se plantean las condiciones de borde necesarias para definir las constantes de integración: Sí Z=0 →

η =1 = C2 + C4

(1)

Sí Z=0 → M=-η’’.E.I = 0=C2 (2) Sí Z=L →

η =0 =C1.sen a + C2.cos a+ C3.L + C4

(3)

Sí Z=L → M=-η’’.E.I =0=-C1.k2. sen a - C2.k2. cos a

(4)

20 Operando:

C1=C2=0

C3= -1/L

C4=1

Finalmente la función elástica transversal al eje de barra es la que sigue:

η(Z )= -Z/L + 1 La función momento flexor es: M(Z)= - E.I. η’’(Z )=0 La función esfuerzo de corte resulta: Q(Z)= M’(Z) - N. η’(Z )=N / L Se puede observar que en teoría de segundo orden isostático genera solicitaciones (corte en este caso).

un cedimiento de vínculo en un sistema

Además y de acuerdo a las relaciones diferenciales es posible un diagrama de corte constante en correspondencia con un diagrama nulo de momento flexor.(se debe recordar que en teoría de primer orden un diagrama constante de corte se corresponde con un diagrama lineal de momento flexor). Las fuerzas extremas de barra son las que a continuación se grafican:

Obsérvese la aparición de una rigidez directa negativa.

7-Análisis de la ménsula sometida a cedimiento de vínculo giro unitario.

Partiendo nuevamente de la expresión de la elástica transversal en teoría de segundo orden :

y aplicando las condiciones de borde para este caso resulta:

21 Sí Z=0 →

M= -η’’.E.I =0=C2

Sí Z=0 → Q=M’Sí Z=L →

N.η’=0=C3

(1) (2)

η =0 =C1.sen a + C2.cos a+ C3.L + C4

(3)

Sí Z=L → Θ=η’= -1=C1.k. cos a - C2.k. sen a + C3 (4) Operando:

C1= - 1/ k. cos a

C2=C3=0

C4=tg a / k

Finalmente la función elástica transversal al eje de barra es la que sigue:

η(Z )= (sen a -sen (k.z)).L / a. cos a La función momento flexor es: M(Z)= - E.I. η’’(Z )= - N. L. sen (k.z) / a. cos a La función esfuerzo de corte resulta: Q(Z)= M’(Z) - N. η’(Z )=0 En este caso existe una función no constante de momento flexor en correspondencia con una función nula de corte. Las fuerzas extremas de barra resultan:

Nuevamente la rigidez directa es negativa.

8-Análisis de barras solicitadas por causa deformante fuerza. Primer caso: Barra empotrada-empotrada solicitada por fuerza distribuida uniforme.

22 Recordando la expresión de la ecuación diferencial de la elástica transversal en teoría de segundo orden:

Para el caso que se pretende resolver la expresión de la función fuerza específica es la que sigue:

En este caso la solución de la ecuación diferencial es suma de la solución general más la solución particular tal como a continuación se indica:

La validéz de la presente solución puede verificarse derivando hasta el orden cuatro y reemplazando en la ecuación diferencial. Aplicando las condiciones de borde resulta: Sí Z=0 →

η =0 = C2 + C4

(1)

Sí Z=0 → Θ=η’ = 0 =C1.k + C3 (2) Sí Z=L →

η =0 =C1.sen a + C2.cos a+ C3.L + C4 + qL2/2EIk2

Sí Z=L → Θ=η’=0=C1.k. cos a - C2.k. sen a + C3+ qL/ EIk2

(3) (4)

Operando con el sistema de ecuaciones planteado se obtienen las constantes de integración que se indican a continuación:

Con las constantes obtenidas la expresión de la elástica transversal al eje de barra queda definida y a partir de ella la función momento flexor.Entonces: M(Z)= - E.I. η’’(Z )= (q.L2/2.a).sen (k.z) +(q.L2/2.a).[sen a /(1- cos a )].cos (k.z) - q.L2/a2 La función esfuerzo de corte queda representada de la siguiente manera: Q(Z)= M’(Z) - N. η’(Z )=q.L/2 – q.z Reemplazando valores en las expresiones anteriores para z=0 y z=L y recordando la relación entre esfuerzos internos y fuerzas extremas de barra, es posible obtener las mismas tal como a continuación se grafica:

23

El coeficiente B1 tiene por expresión de cálculo la que se indica a continuación:

Se recuerda que el parámetro a = L . (N/E.I)0.5 se expresa en radianes y por lo tanto al determinar las funciones trigonométricas que lo involucran es necesario tener presente dicha situación.Para que quede aún mas claro,se está obteniendo el seno y el coseno de un ángulo expresado en radianes. Segundo caso: Barra empotrada-empotrada solicitada por fuerza concentrada centrada.

El caso planteado puede ser resuelto aplicando simetría estructural y de carga, aplicando además el método de las incógnitas cinemáticas tal como a continuación se desarrolla:

24 Aplicando la ecuación de equilibrio en la sección B resulta: 0= - P/2 + [12.E.I.A4(a/2)/(L/2)3].

η B → ηB=P.L3/192.E.I A4(a/2)

Entonces: MB* = MC* = [6.E.I.A3(a/2)/(L/2) 2].(PL3/192.E.I. A4(a/2)) = P.L.A3(a/2) / 8. A4(a/2) Finalmente las fuerzas extremas de barra son las que se indican a continuación:

El resultado obtenido indica que una vez obtenido el parámetro a=L . (N/E.I)0.5 para la estructura,es necesario determinar los coeficientes A3 y A4 para el valor a/2 . Por ejemplo, si el parámetro a es igual a 1 entonces los coeficientes A3 y A4 deben ser calculados para el valor a/2=0.5. Tercer caso: Barra empotrada-empotrada solicitada por un momento actuando en el centro del tramo.

El caso planteado puede ser resuelto aplicando simetría estructural y antisimetría de carga, aplicando además el método de las incógnitas cinemáticas tal como a continuación se desarrolla:

25 Aplicando la ecuación de equilibrio en la sección B resulta: 0= - M/2 + [4.E.I.A1(a/2)/(L/2)].

Θ B → ΘB=M.L/16.E.I A1(a/2)

Entonces: MC* = [2.E.I.A2(a/2)/(L/2)].(M.L/16.E.I. A1(a/2)) = M.A2(a/2) / 4. A1(a/2) QC* = [6.E.I.A3(a/2)/(L/2)2].(M.L/16.E.I. A1(a/2)) = 3.M.A3(a/2) / 2.L.A1(a/2) Finalmente las fuerzas extremas de barra son las que se indican a continuación:

Comentarios finales en referencia al tema desarrollado en el punto 7 del presente trabajo. 1-Como puede observarse se han desarrollado los casos de la barra empotrada-empotrada solicitada por los estados de carga más habituales. 2-Si para los mismos estados de carga la vinculación de la barra fuera diferente, a continuación se indican las pautas de resolución (determinación de fuerzas extremas de barra). Barra empotrada – articulada: Puede ser resuelta por aplicación del método de las incógnitas cinemáticas utlizando como sistema fundamental la barra empotrada-empotrada resultando incógnita el giro del nudo articulado.El planteo indicado puede ser consultado en la página 10 del presente trabajo haciendo abstracción del estado de carga que solicita a la barra. Barra simplemente apoyada: Puede ser resuelta por aplicación del método de las incógnitas cinemáticas utlizando como sistema fundamental la barra empotrada-empotrada resultando incógnitas cinemáticas los giros de ambos nudos articulados. Alternativamente y si se cuenta con su resolución, podrá utilizarse como sistema fundamental la barra empotrada – articulada resultando incógnita el giro del nudo que en el sistema fundamental se encuentra empotrado. 3-Independientemente del sistema de vínculación de la barra (empotrada-empotrada,empotrada articulada o simplemente apoyada) si la misma se encuentra solicitada por una fuerza transversal a su eje y ubicada posición arbitraria , entonces el problema puede ser resuelto por el método de las incógnitas cinemáticas resultando como tales el giro y el corrimiento transversal al eje de barra en el nudo donde la fuerza se encuentra aplicada.Lo mismo ocurre si la carga es un momento aplicado en cualquier sección de la barra.

26 RESUMEN DE BARRAS SOLICITADAS POR ESTADO DE CAUSA DEFORMANTE FUERZA RESUELTAS CON TEORIA DE SEGUNDO ORDEN

27

9-Determinación de reacciones de vínculo externo e interno aplicando teoría de segundo orden. En este punto se aborda básicamente el trazado de diagramas de características haciendo uso de la teoría de segundo orden. Es habitual utilizar el método de las incógnitas cinematicas para la resolución de la estructura. Adicionalmente y con el objeto de disminuir el número de incógnitas cuando la estructura se encuentra especialmente diseñada para resistir flexión como esfuerzo principal ,es posible utilizar la hipótesis de indeformablidad axil de los elementos estructurales. Sea la siguiente estructura de la cuál se solicita el trazado de diagramas de características haciendo uso de la teoría de segundo orden:

En primer término se desarrolla su resolución en primer orden mediante el método de incógnitas cinemáticas haciendo uso de la hipótesis de indeformabilidad axil de las barras.Entonces:

28

Planteando el sistema de ecuaciones de equilibrio resulta:

Numéricamente:

0= - 66.66 Knm + 270000 knm x ΘB - 27000 kn x ξB 0= 100.00 Kn - 27000 Kn x ΘB + 9000 kn/m x ξ B ΘB=-1.23457x10-3

ξ B=- 0.01481 m

A continuación se obtienen las fuerzas extremas de barras para transformar la estructura original en isostática:

MEOA=(0–54000x1.23457x10-3 + 27000x0.01481)Knm=333.20Knm (Horario) MEOC=(66.66 – 81000x1.23457x10-3)Knm= – 33.33 Knm (Antihorario) La estructura isostática equivalente a la original es la que se muestra en la página siguiente:

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Los diagramas de caracteristicas en primer orden de la estructura que se analiza son los que a continuación se grafican:

En lo que sigue se inicia la resolución de la estructura considerando los efectos de segundo orden. A tal efecto se considera en cada barra el esfuerzo normal proveniente de la resolución de la estructura en primer orden. Cabe aclarar y recordar que solo se consideran afectadas por efectos de segundo orden las barras que presentan esfuerzo normal de compresión.En consecuencia las barras afectadas por esfuerzo normal de tracción o bien que no se encuentran solicitadas por esfuerzo normal no modifican su comportamiento respecto de primer orden.Lo expresado en el presente párrafo es de suma importancia en el sentido de no obtener resultados erroneos.

30 Con el objeto de aclarar conceptos se grafica a continuación la superposición de efectos a fin de resolver la estructura por el método de las incógnitas cinemáticas modificando los términos intervinientes mediante los coeficientes de segundo orden:

Determinación de los coeficientes de segundo orden. Barra AB

a-AB = 6m x (1175.03Kn/162000Knm2)0.5= 0.511 En función del parámetro calculado se obtienen los coeficientes de segundo orden.

31

A1-AB =0.991

A2-AB =1.004

A3-AB =0.996

A4-AB =0.974

Barra BC

a-BC = 4m x (100Kn/162000Knm2)0.5= 0.1 En función del parámetro calculado se obtienen los coeficientes de segundo orden.

A1-BC =1

A2-BC =1

A3-BC =1

B1-BC =1

Comentarios: 1-Puede observarse que si el parámetro a es pequeño entonces los coeficientes de segundo orden se aproximan a la unidad. Debe quedar aclarado que en dicho parámetro inciden el esfuerzo normal de compresión de la barra como así tambien su rigidez flexional. 2- Se deja aclarado que los coeficientes A fueron obtenidos mediante la planilla Excel que es parte integrante del presente trabajo. A diferencia, el coeficiente B1-BC se obtuvo mediante la expresión indicada en la página 26. A continuación se vuelve a representar la superposición de efectos con las reacciones de vínculo agregado ya afectadas por los coeficientes de segundo orden:

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Planteando el sistema de ecuaciones de equilibrio en segundo orden (términos indicados con *) resulta :

Numéricamente:

0= - 66.66 Knm + 269028 knm x Θ*B - 26892 kn x ξ* B 0= 100.00 Kn - 26892 Kn x Θ*B + 8766 kn/m x ξ* B Θ*B=-1.28725x10-3

ξ* B=- 0.01535 m

Puede analizarse que las incógnitas cinemáticas determinadas son convergentes con las obtenidas en primer orden (ver página 28). Cuando lo indicado no ocurre y las magnitudes cinemáticas se disparan respecto de las de primer orden es claro síntoma de un mal dimensionamiento inicial de la estructura. Por otra parte y para dar por válida la resolución de segundo orden desarrollada es necesario comprobar como ha variado el esfuerzo normal en las barras que constituyen la estructura puesto que como resulta evidente a esta altura de los conocimientos,los efectos de segundo orden resultan función del esfuerzo normal de compresión de las barras.

33 En un todo de acuerdo a lo expresado precedentemente se aceptará por válida la solución de segundo orden desarrollada si el esfuerzo normal de compresión en las barras no difiere en más de un 5% respecto de los obtenidos en primer orden. Si la diferencia fuera mayor a la indicada (5%) será necesario efectuar una nueva resolución de la estructura en segundo orden pero considerando los esfuerzos normales de compresión que se obtuvieron de la primera resolución de segundo orden.Este proceso debe repetirse hasta lograr entre una resolución y la siguiente una diferencia del esfuerzo normal no mayor a la indicada precedentemente. En lo que sigue se analiza el caso en estudio: Barra AB Para determinar el esfuerzo normal en dicha barra se obtendra previamente la fuerza transversal al eje de barra en el extremo B de la viga.Entonces:

Q*B,viga = (-100 - 60750x1.28725x10-3) Kn = -178.20 Kn (hacia arriba) Finalmente por equilibrio del nudo B se obtiene el esfuerzo normal de la barra AB:

N*AB=1178.20 Kn de Compresión Puede comprobarse que el valor obtenido no difiere en más del 5% repecto del de primer orden (ver página 29) Barra BC En este caso el esfuerzo normal en primer y segundo orden resulta compresión)

coincidente (100 Kn de

De acuerdo a lo analizado precedentemente puede concluirse que: LA SOLUCION OBTENIDA ES LA DE SEGUNDO ORDEN. Trazado de diagramas de características. Cuando la estructura se analiza con teoría de segundo orden no es posible obtener el sistema isostático equivalente tal como se hizo en primer orden. El motivo es que ,por definición de teoría de segundo orden,el equilibrio del sistema de fuerzas que actúa en la estructura debe ser planteado en la posición deformada.Es decir primero habría que obtener la posición deformada de la estructura y luego plantear el equilibrio del sistema de fuerzas que sobre ella actuacion situación que es muy complicada y laboriosa. En segundo orden lo que se hace siempre es determinar las fuerzas extremas de barra y luego obtener los diagramas de caracteristicas.Entonces: Determinación de las fuerzas extremas de barra en la sección A de la columna.

M*A,columna = (0 – 54216 x 1.28725x10-3 + 26892 x 0.01535 ) Knm = 343 Knm (horario) Q*A,columna = (0 – 26892 x 1.28725x10-3 + 8766 x 0.01535 ) Kn = 100 Kn (hacia la derecha)

34 Determinación de las fuerzas extremas de barra en la sección B de la columna.

M*B,columna =(0 – 107028 x 1.28725x10-3 + 26892 x 0.01535 )Knm = 275.20 Knm (horario) Q*B,columna = (0 + 26892 x 1.28725x10-3 – 8766 x 0.01535 ) Kn = -100 Kn (hacia la izquierda) Determinación de las fuerzas extremas de barra en la sección B de la viga.

M*B,viga = (- 66.666 – 162000 x 1.28725x10-3 ) Knm = - 275.20 Knm (antihorario) Q*B,viga = (-100 - 60750x1.28725x10-3) Kn = -178.20 Kn (hacia arriba) Determinación de las fuerzas extremas de barra en la sección C de la viga.

M*C,viga = (66.666 – 81000 x 1.28725x10-3 ) Knm = - 37.60 Knm (antihorario) Q*C,viga = (-100 + 60750x1.28725x10-3) Kn = -21.80 Kn (hacia arriba) Antes de proceder a la representación gráfica de los diagramas de características se recuerda al lector la diferencia conceptual entre fuerza extrema de barra y esfuerzo interno característico. En forma práctica si la fuerza extrema de barra se encuentra aplicada en cara derecha entonces coincide en valor y signo con el esfuerzo interno característico. A diferencia si la fuerza extrema de barra se encuentra aplicada en cara izquierda coincide en valor pero es de signo opuesto al esfuerzo interno característico.

Los diagramas de características obtenidos aplicando teoría de segundo orden pueden ser comparados con los correspondientes a teoría de primer orden con el objetivo de obtener las diferencias porcentuales en los resultados.

35

10-Análisis de las funciones que representan la variación de los esfuerzos internos en una estructura calculada aplicando teoría de segundo orden. Se parte de las relaciones diferenciales válidas en teoría de segundo orden que se indican a continuación y que fueron deducidas en página 4:

De la observación de las mismas surgen los siguientes comentarios: 1-Dado que se ha efectuado la simplificación de no considerar fuerza específica de la dirección del eje de barra, en el análisis con teoría de segundo orden los diagramas de esfuerzo normal serán siempre constantes en las barras que conforman la estructura.Adicionalmente se recuerda que el esfuerzo normal de compresión es considerado positivo según la teoría desarrollada. 2-La relación entre esfuerzo de corte y fuerza específica de dirección transversal al eje de barra coincide con la obtenida en teoría de primer orden. Por este motivo se mantienen los conceptos conocidos.Es decir, si una barra no se encuentra solicitada por fuerza específica entonces el esfuerzo de corte es constante en la misma .Si la fuerza específica que actua es constante entonces la función esfuerzo de corte es lineal y así sucesivamente. 3- En teoría de segundo orden la relación diferencial entre momento flexor y esfuerzo de corte difiere notablemente de la obtenida en teoría de primer orden.Puede observarse en la expresión correspondiente la intervención del esfuerzo normal y la derivada primera de la función elástica transversal al eje de barra. Por este motivo ya no puede afirmarse,como en teoría de primer orden, que a una funcion constante de esfuerzo de corte le corresponde una función lineal de momento flexor o bien que a una función lineal de esfuerzo de corte le corresponde una función cuadrática de momento flexor.Tampoco surge que cuando el momento flexor pasa por un máximo o un mínimo entonces el esfuerzo de corte deba ser nulo como en teoría de primer orden. Si bien es habitual en teoría de segundo orden representar las curvas de momento flexor como en primer orden,es necesario tener en cuenta lo precedentemente explicado con el objeto de no cometer errores. A continuación y con el objeto de efectuar comparaciones se traza en detalle la función momento flexor en segundo orden para la barra BC de la estructura resuelta en el punto anterior.Entonces:

36 Se parte de la expresion de la elastica transversal a eje de barra para el caso planteado:

Si se recuerda que k2=N/E.I y a=k.L y se aplican condiciones de borde resulta: Sí Z=0 →

η =0 = C2 + C4

(1)

Sí Z=0 → M=-η’’.E.I = 37.60 Knm = C2.100 Kn – 81000 Knm (2) Sí Z=L →

η =0 =C1.sen 0.1 + C2.cos 0.1 + C3.4m + C4 + 4m

(3)

Sí Z=L → M=-η’’.E.I = -275.20 Knm = C1.100 Kn.sen 0.1 + C2.100 Kn.cos 0.1– 81000 Knm (4) De la resolución del sistema de ecuaciones surgen los valores de las constantes de integración que se indican a continuación: C1=9.22040524 m

C2=810.376 m

C3= - 0.218

C4= - 810.736 m

Las funciones momento flexor y esfuerzo de corte son las que a continuación se detallan: M(Z)= - E.I. η’’(Z )= {922.040524 . sen [(0.025 1/m).z] + 81037.6 cos [(0.025 1/m).z] -81000} Knm Q(Z)= M’(Z) - N. η’(Z )=21.8 Kn – (50 Kn/m).z Para obtener momento flexor máximo se deriva la función M(Z) respecto de z, se iguala a cero y se obtiene la abcisa z en la cuál dicha primera derivada se anula.Posteriormente se reemplaza la abcisa z en la función M(Z) y se obtiene el valor del momento flexor máximo buscado.Para el caso analiizado resulta:

Momento flexor máximo = 42.85 Knm en z=0.455 m Si se desea obtener la abcisa en la cuál resulta nulo el esfuerzo de corte es lógico igualar a cero dicha función.Para el caso en análisis:

Abcisa de corte nulo: z=0.436 m Puede observarse que en teoría de segundo orden la abcisa de esfuerzo de corte nulo ,en general, no coincide con la abcisa de momento flexor máximo.Se dice en general pues seguramente existirán casos particulares en los cuales se siga cumpliendo la condición de primer orden.Por ejemplo en la barra empotrada-empotrada solicitada por fuerza específica uniforme. Trazado detallado de la función momento flexor en la barra analizada

37

11- Modificación del número de incógnitas cinemáticas en teoría de segundo orden. Considerese la siguiente estructura:

Si se pretende deteminar los diagramas de características en primer orden es posible efectuar la siguiente simplificación:

En este caso la solución de la parte hiperstática de la estructura (tramo AB) puede ser obtenida haciendo uso de la tablas de estructuras cinemáticamente determinadas que fueron agregadas como anexo al tratar el método de las incógnitas cinemáticas. En referencia al tramo BC (ménsula) el mismo se encuentra resuelto pues se encuentra solicitado por un sistema de fuerzas en equilibrio. Si ahora la estructura se quisiera resolver aplicando teoría de segundo orden ,el equilibrio del sistema de fuerzas debe ser planteado en la posición deformada y por lo tanto el momento de reducción de las fuerzas que actúan en la ménsula a la sección B resulta en este caso:

M = PxL2 + N x ηc

Dado que el valor de ηc es desconocido se transforma en incógnita cinemática del problema que se analiza.De esta forma en teoría de segundo orden es posible la resolución de la estructura en análisis mediante el método de las incógnitas cinemáticas haciendo uso del sistema fundamental que a continuación se detalla:

38 A continuación se identifican los tipos de incógnitas cinemáticas que pueden generarse en una estructura.Se aplica hipótesis de indeformabilidad axil de las barras

Incógnitas cinemáticas Tipo1:Son las habituales independientemente de si la estructura es analizada con teoría de primer orden o de segundo orden. Incógnitas cinemáticas Tipo 2: Estas incógnitas se utilizan tanto en primer orden como en segundo orden y tienen por objeto permitir trabajar con barras de sección constante. Incógnitas cinemáticas Tipo 3: Estas incógnitas son típicas de segundo orden y se utilizan cuando en una barra existe modificación del esfuerzo normal y también ,como se explico al principio, ante la necesidad de conocer un determinado corrimiento transversal al eje de barra.

12- Análisis de la estabilidad del equilibrio en estructuras aporticadas. Las estructuras aporticadas pueden definirse en forma sencilla como aquellas constituidas por vigas y columnas conectadas entre si en forma rígida o articulada.Dichas estructuras se diseñan para resistir todas las solicitaciones conocidas (momento flexor,esfuerzo de corte,esfuerzo normal y torsión). Sea entonces la estructura aporticada cargada indicada a continuación, la cuál ha alcanzado su posicion deformada. .Al mismo tiempo se ha logrado el equilibrio del sistema de fuerzas que sobre ella actúa.

39 La estructura indicada se analiza mediante teoría de segundo orden por lo tanto el equilibrio del sistema de fuerzas que sobre ella actúa se plantea en la posición deformada de la misma. Dicho equilibrio puede ser manifestado mediante la expresión general del método de las incógnitas cinemáticas.Es decir:

En lo que sigue se pretende analizar la calidad del equilibrio alcanzado por el sistema de fuerzas actuante en la estructura. Para lograr dicho objetivo se estudia que ocurre cuando una causa absolutamente independiente del sistema de fuerzas actuante en la estructura, produce una modificación en la posición deformada de la misma y cesa en su actuación.Dicha causa recibe el nombre habitual de perturbación. Gráficamente:

Cuando la perturbación cesa en su actuación pueden ocurrir tres situaciones claramente diferenciadas que se enuncian a continuación: Primero:Si al cesar la perturbación la estructura recupera la posición deformada originada por el sistema de fuerzas que sobre ella actúa entonces el equilibrio logrado por dicho sistema de fuerzas es estable. Segundo:Si al cesar la perturbación la estructura permanece en la posición deformada modificada como consecuencia de la perturbación y el sistema de fuerzas que sobre ella actúa alcanza el equilibrio en dicha posición deformada ,entonces el equilibrio logrado por dicho sistema de fuerzas es indiferente. Debe quedar claro que en esta situación no es posible cuantificar la modificación de la deformación como consecuencia de la actuación de la perturbación.Es decir se desconocen como varían las magnitudes cinemáticas en cada sección de la estructura cuando la misma es perturbada.Lo expresado debe interpretarse como la posibilidad de perturbar la estructura de infinitas maneras distintas siempre que se respete la hipótesis de linealidad cinemática adoptada en el tratamiento del problema en estudio.Esta aclaración debe ser considerada en el análisis que se desarrolla más adelante.

40 Tercero:Si al cesar la perturbación la estructura continúa modificando su posición deformada sin lograrse el equilibrio el sistema de fuerzas que sobre ella actúa ,resulta entonces que el equilibrio logrado originalmente por el sistema de fuerzas actuante en la estructura es inestable. Queda claro de acuerdo a lo precedentemente indicado que el equilibrio indiferente es el límite entre el equilibrio estable y el inestable. Por otra parte situaciones de equilibrio inestable son indeseables desde el punto de la seguridad estructural. A continuación se busca determinar cuál es la configuración del sistema de fuerzas actuante en la estructura que conduce a la situación de equilibrio indiferente. A dicha configuración se la denomina como configuración de carga crítica de la estructura. Desde el punto de vista práctico la configuración del sistema de fuerzas real actuante en la estructura debe estar lo suficientemente alejada de la condición de equilibrio indiferente .Es decir debe representar una clara situación de equilibrio estable. Mediante la aplicación del método de las incógnitas cinemáticas la situación de equilibrio indiferente puede ser planteada en forma general como sigue:

La expresión precedente indica que sin variación del sistema de fuerzas actuante en la estructura se ha logrado una nueva situación de equilibrio con variación de las incógnitas cinemáticas en referencia a las que se originan como consecuencia de la deformación provocada por el sistema de fuerzas actuante sobre la estructura. Desde el punto de vista resolutivo se trata de un sistema de ecuaciones homogéneas el cuál puede resultar compatible determinado o indeterminado. Si el sistema es compatible determinado (determinante de la matriz de rigidez de segundo orden distinto de cero) entonces la variación de las incógnitas cinemáticas es nula .Esta solución no es de interés pues implica que la estructura no ha modificado su posición deformada en clara oposición al problema que se estudia que es el equilibrio del sistema de fuerzas en la posición deformada modificada como consecuencia de la perturbación. Si el sistema es compatible indeterminado (determinante de la matriz de rigidez de segundo orden igual a cero) entonces es posible obtener infinitos resultados para la variación de las incógnitas cinemáticas.Esta solución responde claramente al problema en estudio si se recuerda que es posible perturbar a la estructura de infinitas maneras distintas siempre que se repete la hipótesis de linealidad cinemática.(ver página 39 al final). Finalmente y por todo lo expresado la configuración de carga crítica de la estructura surge de igualar a cero el determinante de la matriz de segundo orden de la estructura.Es decir:

CONFIGURACION DE CARGA CRITICA DE LA ESTRUCTURA →

det [r*]=0

41 En lo que sigue y con el objeto de aclarar los conceptos precedentemente explicados se desarrolla en forma práctica la determinación de la configuración de carga crítica de la estructura analizada en el punto 9. Sea la estructura indicada que a continuación se representa:

En primera instancia se representa la estructura con todas las cargas actuantes en función de una de ellas.Además en función de la resolución de primer orden (paso previo siempre necesario antes de operar con teoría de segundo orden) se indican los esfuerzos normales en las barras comprimidas en funcíon de idéntica carga.Graficamente:

En la determinación de la configuración de carga crítica se adopta por hipótesis el crecimiento proporcional de las cargas exteriores como así también que se mantiene la relación entre el esfuerzo normal de las barras comprimidas con la carga exterior tomada por referencia.

42 Para una mejor visualización se representa nuevamente el sistema fundamental adoptado en la resolución de la estructura analizada ,solicitado por las incógnitas cinemáticas actuando con valor unitario.Entonces:

En forma general la rigideces de segundo orden pueden ser expresadas como se indica a continuación:

r*11= 108000Knm A1-AB +162000Knm A1- BC r*21= r*12=- 27000Kn A3-AB r*22=9000Kn/m A4-AB El determinante asociado a la matriz de segundo orden teniendo en cuenta la igualdad de las rigideces cruzadas es el que a continuación se indica:

det [r*]= r*11 x r*22 – (r*12)2 A continuación se varía P hasta lograr la nulidad del determinante indicado.Es decir: Para P=0Kn En este caso todos los coeficientes resultan unitarios.Entonces:

r*11= 270000Knm

r*22= 9000Kn/m r*12=-27000Kn det [r*]=1.701x109Kn2

43 Para P=1000Kn En este caso todos los coeficientes de segundo ordenfueron determinados en la resolución de segundo orden efectuada en el punto 9.Entonces:

r*11= 269028Knm

r*22= 8766Kn/m r*12=-26892Kn det [r*]=1.635x109Kn2

Para P=6000Kn Barra AB

NAB=1.175x6000Kn=7050Kn

a-AB = 6m x (7050Kn/162000Knm2)0.5= 1.2517

En función del parámetro calculado se obtienen los coeficientes de segundo orden utilizando la planilla Excel. A1-AB =0.947 A3-AB =0.974 A4-AB =0.843 Barra BC

NBC=0.1x6000Kn= 600Kn

a-BC = 4m x (600Kn/162000Knm2)0.5= 0.2434

En función del parámetro calculado se obtienen los coeficientes de segundo orden utilizando la planilla Excel. A1-BC =0.998

r*11= 263952Knm

r*22= 7587Kn/m r*12=-26298Kn det [r*]=1.311x109Kn2


NAB=1.175x12000Kn=14100Kn

a-AB = 6m x (14100Kn/162000Knm2)0.5= 1.7701


NBC=0.1x12000Kn= 1200Kn

a-BC = 4m x (1200Kn/162000Knm2)0.5= 0.3443


r*11= 257580Knm

r*22= 6165Kn/m r*12=-25569Kn det [r*]=0.932x109Kn2

44 Para P=24000Kn Barra AB

NAB=1.175x24000Kn=28200Kn

a-AB = 6m x (28200Kn/162000Knm2)0.5= 2.5033


NBC=0.1x24000Kn= 2400Kn

a-BC = 4m x (2400Kn/162000Knm2)0.5= 0.4869


r*11= 243972Knm

r*22= 3312Kn/m r*12=-24057Kn det [r*]=0.228x109Kn2


NAB=1.175x28200Kn=33135Kn

a-AB = 6m x (33135Kn/162000Knm2)0.5= 2.7135


NBC=0.1x28200Kn= 2820Kn

a-BC = 4m x (2820Kn/162000Knm2)0.5= 0.5277


r*11= 238950Knm

r*22= 2313Kn/m r*12=-23490Kn det [r*]=0.0009x109Kn2


NAB=1.175x28205Kn=33140.875Kn

a-AB = 6m x (33140.875Kn/162000Knm2)0.5= 2.7138

En función del parámetro calculado se obtienen los coeficientes de segundo orden utilizando la planilla Excel. A1-AB =0.726 A3-AB =0.870 A4-AB =0.256

45 Barra BC

NBC=0.1x28205Kn= 2820.5Kn

a-BC = 4m x (2820.5Kn/162000Knm2)0.5= 0.5278


r*11= 238950Knm

r*22= 2304Kn/m r*12=-23490Kn det [r*]= - 0.0012x109Kn2

De acuerdo a los dos últimos resultados obtenidos se adopta como valor seguro de P que anula el determinante de la matriz de rigidez de segundo orden 28200 Kn. Finalmente la configuración de carga crítica del pórtico que se analiza es la que a continuación se grafica:

Puede observarse que la configuración de carga crítica del pórtico se encuentra lo suficientemente alejada del estado de carga que originalmente solicita a la estructura .Esta situación ocurre toda vez que la estructura presenta dimensiones adecuadas. La determinación de la configuración de carga crítica del pórtico tiene además una aplicación muy importante en el análisis estructural permitiendo determinar la longitud de pandeo de las columnas que conforman la estructura.Esta situación se explica en detalle en el punto siguiente donde se efectúa el análisis de la estabilidad del equilibrio en columnas.

9-Analisis de Estructuras Con Teoria de Segundo Orden

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