UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO DIVISION DE INGENIERIAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA ˜ PROCESAMIENTO DIGITAL DE SENALES TAREA 1, PARTE 1 CESAR EDUARDO CONEJO BENITEZ BENITEZ Analisis en la frecuencia de se˜ nales nales peri´odicas odicas de tiempo continuo. PROBLEMA 1. Considere la se˜ nal seno rectificada de onda completa mostrada nal en la Figura 1. A) Determine el espectro Xa(F)
+∞
X a(t) =
j 2πkt/T
Ck e
−
k=−∞
1 Ck = Tp 1 Ck = T A Ck = 2 jT
T
x(t)e
j 2πkt/T
−
T
Asen( Asen(
0
πt )e T
(ej (πt/T ) − e
j 2πkt/T
−
j (πt/T
))e ))e
−
(1)
· dt
j 2πkt/T
−
(2) · dt
(3)
0
jπ (1 2k) jπ (1+2k k) A ejπ(1 − 1 e jπ(1+2 − 1 − ( ) 2 j jπ(1 jπ (1 − 2k k) jπ (1 + 2k 2k ) − 2 − jπ(1
(4)
2A π (1 − (1 − 4 4k k2 )
(5)
−
Ck =
· dt
Tp
−
Ck =
Ahora es posible calcular el espectro X a(f ) f ) =
∞
X a(t)e
j 2π(F −k/T ) k/T )t
−
· dt
(6)
−∞
+∞
∞
k=−∞
j 2π(F −k/T ) k/T )t
e
−
Ck
· dt
−∞
+∞
k/T ) Ck σ (F − k/T )
k=−∞
El espectro Xa(t) consiste de la frecuencia de lineas espectrales k/T. B)Calcule la potencia de la se˜nal nal 1 P x = Tp
T
0
1
x(t)2 · dt
(7)
1 T 2 · dt P x = A sen2 (πt/T ) πt/T ) · dt T 0 Al resolver la integral, la potencia de la se˜nal nal resulta
(8)
A2 2
P x =
(9)
C) Grafique su densidad espectral de potencia. La densidad espectral de potencia para k=0 es: 2A 2 ) π
(10)
2A )2 π (1 − (1 − 4 4k k2 )
(11)
Ck 2 = ( Y para k mayores y menores a 1 es: Ck 2 = (
La grafica seria en forma de onda completa rectificada pero con tren de impulsos.
D) Verifique la validez de la relacion de Parseval para esta se˜nal.
+∞
Ck 2
k=−∞
4A2 P x = 2 π
+∞
k=−∞
1 (1− (1−4k2 )2
PROBLEMA 2. Determine los coeficientes de Fourier de la se˜nal nal x(t)=At para su periodo [-T,T]. Usando la formula 1, se determinara Ck. A Ck = T
π
te
j 2πkFot
−
· dt
(12)
0
Esta integral se resuleve por el m´ etodo etodo de integraci´on on por partes, dando como resultado: Ck =
A j [ te T 2πkFo
j 2πkFot
−
2
+
1 4π 2 k 2 F o 2
e
j 2πkFot T ]0
−
(13)
Al evaluar la integral, obtendremos el coeficiente Ck Aj 2πkFo
(14)
Y esta se sustituye en la ecuaci´on on 1. PROBLEMA PROBLEMA 3. Encuentre Encuentre los coeficientes coeficientes de la Serie de Fourier Fourier de las siguientes funciones peri´odicas odicas (se proporciona el valor del intervalo [-T/2, T/2], siendo T su periodo), bosqueje la se˜ nal. nal. * Dado x(t) = -1, si tE(-1,0) y x(t) = 1, si tE(0,1) Lo que se tiene que hacer es realizar una integral para cada caso es decir, encontrar dos constantes Ck y despues sumarlas. 1 Ck 1 = − = − T
0
e
j 2πkFot
−
· dt
(15)
1
−
1 j Ck 1 = − = − [ e j 2πkFot ]0 1 T 2πkFo 1 j j Ck 1 = − = − ( [1 − [1 − e ej 2πkFo ]) = − [1 − [1 − e ej 2πkFo ] T 2πkFo 2πk Ahora se calculara el segundo Ck
(16)
−
−
1 Ck 2 = T
1
j 2πkFot
e
−
· dt
(17)
(18)
(19)
0
1 j [ e j 2πkFot ]10 T 2πkFo j Ck 2 = [e j 2πkFo − 1] 2πk La sumatoria de las dos Ck da como resultado: Ck 2 =
−
(20)
−
j [Cos(2 Cos (2πkFo πkFo)) − 1] πk
Ck T ot =
(21)
* Dado x(t) = t, si tE(-2,0) y x(t) = 0, si tE(0,2) 1 Ck 1 = T
0
te
j 2πkFot
−
· dt
(22)
2
−
Esta es una integral por partes y quedar´ quedar´ıa: Ck 1 =
1 j [ te T 2πkFo
Ck 1 =
1 j 1 [ 2ej 4πkFo + 2 2 2 [1 − [1 − e ej 4πkFo ]] T 2πkFo 4π k F o
j 2πkFot
−
3
+
1 4π 2 k 2 F o 2
e
j 2πkFot 0
−
]
2
−
(23) (24)
Ck 1 =
j 1 2ej 4πkFo + 2 2 [1 − [1 − e ej 4πkFo ] 2πk 4π k F o
(25)
Y Ck 2 = 0
(26)
Por lo tanto: Ck 1 =
j 1 2ej 4πkFo + 2 2 [1 − [1 − e ej 4πkFo ] 2πk 4π k F o
(27)
* Dado x(t) = -t, si tE(-1,0) y x(t) = t, si tE(0,1) 1 Ck 1 = − T
0
j 2πkFot
te
−
· dt
(28)
1
−
Se vuelve vuelve a presenta presentarr una integral integral que se resuleve resuleve por el m´ etodo etodo por p or partes, partes, dando como resultado: 1 j Ck 1 = − [ te T 2πkFo
j 2πkFot
−
Ck 1 = − = − Y
+
1 e 4π 2 k 2 F o 2
j 2πkFot 0
−
]
1
−
j j 2πkFo 1 e [1 − e ej 2πkFo ] − 2 2 [1 − 2πk 4π k F o
(30)
1 1 Ck 2 = te j 2πkFot · dt T 0 1 j 1 Ck 2 = [ te j 2πkFot + 2 2 2 e j 2πkFot ]10 T 2πkFo 4π k F o 1 j Ck 2 = e j 2πkFo + 2 2 [e j 2πkFo − 1] 2πk 4π k F o
(31)
−
−
−
−
(29)
(32) (33)
−
Por lo tanto: Sen(2 Sen (2πkFo πkFo)) 1 − 1 − cos cos(2 (2πkFo πkFo)) − 2 2 πk 2π k F o
Ck T ot = Ck C k1 + C + Ck k2 = * Dado x(t) = -t, si tE(-1,1) 1 Ck = T Ck =
1
j 2πkFot
te
−
· dt
(34)
(35)
1
−
1 j 1 [ te j 2πkFot + 2 2 2 e j 2πkFot ]1 1 T 2πkFo 4π k F o jCos(2 jCos(2πkFo πkFo)) C os(2 os(2πkFo πkFo)) Ck = + 2 πk 2π k 2 F o −
−
−
(36) (37)
* Dado x(t) = 1, si tE(-2,0), x(t) = 0, si tE(0,1) y x(t) = 1, si tE(1,2) 1 Ck 1 = T
0
e
j 2πkt/T
−
2
−
4
· dt
(38)
1 j T j 2πkt/T 0 [ e ] 2 T 2πk j Ck 1 = (1 − (1 − e ej 4πk/T ) 2πk Ck 2 = 0
Ck 1 =
−
−
1
Ck 3 =
2
(40) (41)
j 2πkt/T
e
· dt T 1 1 j T j 2πkt/T 2 Ck 3 = [ e ]1 T 2πk j Ck 3 = (e j 4πk/T − e j 2πk/T ) 2πk Ck = C = Ck k1 + Ck + Ck 2 + C + Ck k3
(42)
(43)
−
−
−
(39)
(44)
−
(45)
j 1 − 1 − e e j 2πk/T (Cos(4 Cos (4πk/T πk/T ) + ) πk 2 −
Ck =
(46)
*Dado x(t) = e(-t), si tE(-T/2,0) y x(t) = et, si tE(0,T/2) 1 Ck 1 = T Ck 1 =
0
e te −
j 2πkt/T
· dt
−
(47)
T /2
−
1 2(1+j 2πk/T ) πk/T ) (eT /2(1+j − 1) T + j2 j 2πk
(48)
1 T /2 t(1+j πk )/T Ck 2 = e (1+j 2πk) · dt T 0 1 2(1+j 2πk/T ) πk/T ) Ck 2 = (1 − (1 − e eT /2(1+j ) T + j2 j 2πk Ck = C = Ck k1 + Ck + Ck 2 = 0
(49) (50) (51)
*Dado x(t) = 0, si tE(-T/2,0) y x(t) = et, si tE(0,T/2) Si notamos, es similar al problema anterior, por lo tanto:
Ck 1 = 0
(52)
1 T /2 t(1+j πk )/T · dt Ck 2 = e (1+j 2πk) T 0 1 2(1+j 2πk/T ) πk/T ) Ck 2 = (1 − (1 − e eT /2(1+j ) = C k T + j2 j 2πk
(53)
(54)
*Dado x(t) = 0, si tE(-2,1) y x(t) = 1, si tE(1,2)
1
Ck 1 = 0
Ck 2 = Ck 2 =
T
j [e 2πk
2
e
(55)
j 2πkt/T
−
· dt
(56)
1
j 4πk/T
−
5
− e
j 2πk/T
−
] = Ck C k
(57)
