Serie de Fourier en MatLab

SeriedeFourier SeñalesySistemas FacundoRamón

RESUMEN Representación,conunalgoritmocreadoenMatLabR2010a,deunaseñal periódicaconlaSeriedeFourieryanálisis.

UniversidadNacionaldeTresdeFebrero IngenieríadeSonido 1erCuatrimestre2011

Seminario Señales y Sistemas

Ramón Facundo

Objetivo El obje objeti tivo vo del trab trabaj ajo o es calc calcul ular ar los los coefi coefici cien ente tes s de Fo Four urie ier r para para la sigu siguien iente te función.

(1) Yobtenerunalgoritmoquepuedagraficarlaserieypermitavariarsunúmerode armónicosparapoderapreciarlasdiferentesaproximaciones.

CálculodelosCoeficientes PrimeroespertinentedefinirlaseriedeFourier.

(2)

(3)

Ahorasepuedeprocederalcálculodeloscoeficientes! ! (!)unafunciónperiódicadeperiodo! Seconsideraa ! [−2 2]paralaintegración.

!

(4) y! relacionadosa ! ! (! ). 4,ysetomaelintervalo !

=

,

(5) Ahorasecalcula! . !

(6) Pararesolver(6)esnecesariorealizaruncambiodevariables.

Universidad Nacional de Tres de Febrero – Ing. De Sonido

1


Ramón Facundo

(7) Aplicando(7)en(6)seobtiene:

(8) Resolviendo(8)sellegaalvalorde! . !

(9) !(!)esunafunciónimpar, Dadoque ! esunafunciónimpar,loscompone loscomponentespare ntesparesdesuseriedeFourier sdesuseriedeFourier sonnulos.Esporestoque! essiemprenula. Ahorasecalcula! . !

!

(10) Aligualqueenelcasoanterior,esnecesariorealizaruncambiodevariables.Se usaelcambiorealizadoen(7).Yaplicandoen(10)seobtiene.

(11) Resolviendo(11)seobtieneelvalorde! . !

(12) Analiz Analizando ando (12) (12) se puede puede observa observar r que valdrá valdrá cero cero cuando cuando!sea sea par, par, dado dado que que para!parcos

!"

=

1.Mientrasquepara!impar!!

! =

.Porlotanto:

!"

(13)

DesarrollodelAlgoritmo Conloscoeficientescalculadosmanualmente,esposiblerealizarunalgoritmoque realicelassumatoriasdelaecuación(2).


2


Ramón Facundo

Secreaunavariable Nlacuáldefineelnúmerodearmónicosquetendrálaserie. Lueg Luego o se crea crea un vect vector or x que que cubr cubre e el inte interv rval alo o de [−2 2]de integr integració ación n con saltosde0.01. Comoloscoeficientes!! y! sonnulosnoesnecesarioagregarlosalalgoritmo.Sí es nece necesar sario io real realiza izar r la suma sumato tori ria a de! . Para Para ello ello se real realiz iza a un loop loop for que que realizalasumatoria. Finalmente se grafica la función original y sobre ella la serie de Fourier correspondiente. ,

!

!

Código

disp('Serie disp('Serie de Fourier') Fourier' ) N= NUMERO DE ARMÓNICOS DESEADOS; x=-2:0.01:2; sum=0; for k=1:2:N b(k)=4/(k*pi); sum=sum+b(k)*sin(k*pi*x/4); end f=(x<0).*(-1)+(x>=0).*1; plot(x,f,'g' plot(x,f,'g',x,sum, ,x,sum,'b' 'b') ) grid title('Aproximación title('Aproximación por Serie de Fourier') Fourier' )

Resultados ConN=1seobtieneelsiguientegráfico.

Ilustración1-SeriedeFourierconN=1


3


Ramón Facundo

Laaproximacióndelaserieestoscaperosepuedenotarcomolaformasenoidal,al menos,compartelasregione menos,compartelasregionesde sdepositi positividadynegativida vidadynegatividadconla dconla funciónoriginal. funciónoriginal. Este Este es el resu result ltad ado o de util utiliz izar ar un únic único o armó armóni nico co, , es deci decir, r, sólo sólo una una func funció ión n senoidalconlafrecuenciafundamentaldelaserie. Cuandoelnúmerodearmónicoses2,esdecirN=2,seobtieneelmismoresultado que con N=1, dado dado que que en la ecuaci ecuación ón (13) (13) se obse observ rva a que que los los coef coefic icie ient ntes es son nuloscuandoNespar. ! (!)defineunaondacuadradaenunsolointervalo,yesconocidoqueuna Además, ! onda onda cuad cuadra rada da (fís (físic icam amen ente te impo imposi sibl ble e dada dada su abru abrupt pta a disc discon onti tinu nuid idad ad) ) se componedelasumatoriadearmónicosimparesdeunafunciónsenoidal. ConN=5elgráficoeselsiguiente.


Comoeradeesperarse,laserieseaproximamejora ! ! (!)conmayorcantidadde armónicos.SiendoN=5tenemos3funcionessenoidalescondistintascomponentes frecuencialesinteractuandojuntas.Laecuación(2)conloscoeficientesya calculadosevaluadaen N=5resultalasiguienteecuación.

(14) MásterminosseránsumadossiaumentaN,ymejorserálaaproximación. ConN=55laaproximaciónesconsiderablementebuena.


4


Ramón Facundo


YsiN=99.



5


Ramón Facundo

Nohayningunarestricciónpara N,esdecir,puedesertangrandecomoquiera.Sin embargo,congrandesvaloresde N elgráfico elgráfico deeste algorit algoritmopierde mopierde presic presición ión,, dado dado que que el domi domini nio o sigu sigue e siend siendo o el vect vector or x que que avan avanza za de a paso pasos s de 0.01, entoncescuandolafrecuenciadelascomponentesaumentaconsiderablementey superíodoesmenora0.01resultadificilverlaoscilaciónysepierdepresición.

EfectodeGibbs Sepuedeobservarqueseacual Sepuedeobservarqueseacualseaelvalorde seaelvalordeNhayunaimpresiciónconstanteen las cercaní cercaníasde asde ladiscontin ladiscontinuida uidad d de ! !(!).EstefenómenoseconocecomoEfecto deGibbs. Laaproxima Laaproximación ción por Fourie Fourier rsedifere sediferenci ncia a hasta hastaenun enun %18porciento ! (! )enlosentornosdelasdiscontinuidades. delvalorrealde !

Ilustración5-EfectodeGibbsconN=21

Con valore valores s de N altos, altos, por ejemplo ejemplo N=21,yasemostróquelaaproximaciónes relativamentebuena,sinembargo,enlascercaníasde x=0,oseaenelpuntode ! (!),laaproximacióndelaseriallegaasudiferenciamáxima discontinuidad discontinuidad de ! conelvalorrealdelafunción.Mientraslafunciónvale 1laserievale1.18,locual esel18%masqueelvalorrealdelafunción. Amedidaque N aument aumente,el e,el puntode puntode difere diferenci ncia amáx máxima ima seacercaráal seacercaráal puntode puntode discont discontinu inuidad idad.. Sin embarg embargo, o, para para cualqui cualquier er valor valor de N, la máxima máxima diferen diferencia cia se conservaráconstante. AcontinuaciónseobservaelefectodeGibbsconN=55y N=99.


6


Ramón Facundo




7


Ramón Facundo

Mientraslaposicióndelpicodelaserieseacercaa x=0,suvalorsobreelejey permaneceprácticamenteconstanteeny=1.18.

Bibliografía MatLabR2010a,MatlabGettingStartedGuide,TheMathworksInc.2010 SeñalesySistemas2011,Materialyapuntesdelcurso,UNTREF,Ing.DeSonido 2011 SeminariodeAnálisisFuncional,Materialyapuntesdelseminario,UNTREF,Ing. DeSonido2011 A.V.Oppenheim,A.S.Willsky,SeñalesySistemassegundaedición,Ed.Pearson, 1997.

Tabladecontenido Objetivo..................................... Objetivo................ .......................................... ........................................... ........................................... .................................... ...............1 CálculodelosCoeficientes.......................................... ..................... .......................................... .......................................... .......................... .....1 DesarrollodelAlgoritmo......................................... .................... ........................................... ........................................... ............................. ........2 Código................................................... .................................................................. ..................................................... .....................................................3 3 Resultados......................................... .................... .......................................... ........................................... ........................................... ............................. ........3 EfectodeGibbs......................................... .................... .......................................... ........................................... ........................................... ...................... .6 Bibliografía................... Bibliografía ........................................ .......................................... ........................................... ........................................... ............................. ........8


8

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