Discretización Discretización De Controladores Controladores De Tiempo Continuo José Luis Ortiz 20031005141 – Leonardo Ramírez 20031005142 – Jorge Leonardo Espinosa 20061005106 Control II Ing. Electrónica Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Introducción En este laboratorio se estudian los distintos procedimientos para obtener sistemas en tiempo discreto que se comporten aproximadamente igual a un sistema en tiempo continuo dado. Esta operación suele denominarse Discretización. El problema no tiene solución exacta general, aunque las diferentes técnicas que se describirán son de frecuente aplicación, sin gran problema si el periodo de muestreo es pequeño. Entre muchas aplicaciones se destacan la simulación por computador de sistemas continuos que en esencia es una discretización, como son las técnicas numéricas de integración de ecuaciones diferenciales, el diseño de filtros digitales basados en diseños de filtros analógicos previos y el diseño de un controlador digital basado en un diseño analógico.
Métodos De Discretización Existen tres técnicas fundamentales, cada una de ellas con distintos métodos o variaciones. Aunque se mencionaran algunas propiedades generales que convienen conocer, en la práctica muchas veces hay que probar con distintos métodos para ver cual da el mejor resultado. Por ejemplo el diseño de un controlador, debe analizarse el comportamiento en lazo cerrado del sistema de control.
Transformaciones Consisten en sustituir en G(s) la variable s por una función racional de z. Son sencillas y flexibles de aplicar en casi cualquier situación. Pueden justificarse como una aproximación a la derivación, como una aproximación a la integración y como una Tss aproximación racional de z=e . Derivación adelantada, no causal ( forward rule) o integración rectangular retrasada:
Donde, los polos y ceros están en z=1+T ss, la ganancia estática es igual en z y se evitan lazos algebraicos. Tienden a ser inestable por polos r ápidos. Derivación (backward rule) o integración rectangular:
Donde los polos y ceros están en z=1/(1-T sz) y la ganancia estática es igual.
Integración trapezoidal: es la transformación bilineal con c=2/T s. se conoce también como regla de Tustin.
Donde los polos y ceros están en z=(2+T ss)/(2-Tss), la ganancia estática es igual, la integración es trapezoidal y hay oscilaciones en los polos rápidos. Propiedades y comentarios: • Todas conservan la ganancia estática, ya que f(1) = 0. Ts
• Los polos y ceros en s se transforman mediante aproximaciones racionales de z=e s . Si G(s) está en forma ceros y polos, resulta cómodo transformarlos individualmente; pero debe ajustarse además una ganancia. • Estudiando la transformación de los polos se demuestra que todas, salvo forward rule , conservan la estabilidad: si G(s) es estable, también lo será Ga[z]. • La forward rule da Ga[z] inestable para polos rápidos de G(s). • La regla de Tustin es usualmente buena, pero si hay polos reales rápidos en G(s) que aparecen con oscilaciones (amortiguadas) a la frecuencia de Nyquist. Puede ser preferible la integración rectangular, que no tiene este problema. • La transformación bilineal permite obtener la misma respuesta a una frecuencia elegida. Tiene el mismo peligro que la regla de Tustin. • Son flexibles, en el sentido de que pueden realizarse bloque a bloque en diagramas compuestos. Forward rule evita la aparición de lazos algebraicos en esquemas realimentados, al introducir un retardo en el lazo.
Simulaciones invariantes Están basadas en la idea de reconstruir u(t) con un retenedor. Resulta entonces una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de u(t) que el retenedor reconstruya exactamente, ua(t)=u(t). Son las más laboriosas de obtener, exigiendo un desarrollo en residuos.
Figura 1. Idea de simulación invariante
Para impulso invariante:
*()+
Para Constantes por tramos: Para lineales por tramos:
{ ()}
() { ()}
Propiedades y comentarios • Todas, salvo para impulso invariante, conservan la ganancia estática. • Los polos en s se transf orman mediante z = e Tss. Pero no así los ceros, que dependen de los residuos. • Debido a la propiedad anterior todas conservan la estabilidad: si G(s) es estable, también lo será Ga[z]. • Constantes por tramos y lineales por tramos son usualmente buenas. • No son flexibles: si se realizan bloque a bloque en diagramas compuestos pierden la propiedad de invariancia.
Transformación de polos y ceros La idea es transformar los ceros con la misma transformación aplicable a los polos en las simulaciones invariantes, aunque no hay base matemática que lo justifique estrictamente. Si es un polo o cero en s, λi es el polo o cero correspondiente en z:
Para reflejar los ceros en infinito de G(s) (número menor de ceros que de polos), y siguiendo el modelo de las transformaciones, pueden añadirse ceros: a) en -1; b) en 0. El número de los mismos puede ser el necesario para igualar el orden, o para que el orden del numerador sea justo inferior al del denominador. La opción preferida suele ser: completar con ceros en – 1 hasta un orden del numerador justo inferior al del denominador.
Discretización En MATLAB En la herramienta MATLAB se puede hacer la discretización utilizando la función c2d(), la cual devuelve una función de transferencia en el dominio z. Los parámetros que recibe la función son: sys función de transferencia en el dominio s, Ts periodo de muestreo en segundos y ‘method ’ el método de discretización a utilizar. De acuerdo con el parámetro method la función puede hacer las siguientes discretizaciones: 'zoh' — Zero-order hold. 'foh' — Triangle approximation. 'impulse' — Impulse invariant discretization. 'tustin' — Bilinear (Tustin) method. 'matched' — Zero-pole matching method. Para la planta de velocidad anteriormente implementada con función de transferencia: 0.02289 s + 1 --------------------------------1.539e-005 s^3 + 0.003259 s^2 + s
Se diseñó el controlador PID por medio de la herramienta sisotool con función de transferencia: 2.61 s + 5.437 -------------s y por medio de la función c2d() se discretizará con los diferentes métodos disponibles en MATLAB, para asi escoger la mejor respuesta del controlador digital e implementarla. Cd=c2d(Cc,0.0005,'zoh') Transfer function: 2.61 z - 2.607 -------------z-1 Sampling time: 0.0005 >> Cd=c2d(Cc,0.0005,'foh') Transfer function: 2.611 z - 2.608 --------------z-1 Sampling time: 0.0005 >> Cd=c2d(Cc,0.0005,'impulse') Transfer function: 5.437 z ------z-1 Sampling time: 0.0005 >> Cd=c2d(Cc,0.0005,'tustin') Transfer function: 2.611 z - 2.608 --------------z-1 Sampling time: 0.0005 >> Cd=c2d(Cc,0.0005,'matched') Transfer function: 2.611 z - 2.608 --------------z-1 Sampling time: 0.0005
