Laboratorio Nº 01: Simulación de la Serie de Fourier Mediante el Software Matlab Hans Junior Puente Jara Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica Eléctrica y Electrónica, Electrónica, Universidad Universidad Nacional de Ingeniería Ingeniería Lima, Perú Perú hanspuentegmail!com
OBJET!OS -Utilizando la sumatoria de “n” términos de la serie de Fourier estimar el ancho de banda de una onda y hallar su gráica a!ro"imada. -#!render a traba$ar con %eries de Fourier utilizando &atlab' as( como aumentar mis conocimientos sobre este sot)are. I.
" TEO#$% "!
Formas de de #n #ndas
*a orma orma de de onda onda de una una se+al se+al u onda' es la gráica gráica de su ,alor instantáneo' ,ersus tiem!o. n audio' audio' !or e$em!lo' siem!re estamos tratando con ormas ormas de onda !eridicas /ue son gráicas de las ondas sonoras /ue o(mos. stas ormas de onda !ueden ser dibu$adas en una gráica /ue se ,erá como alg0n ti!o de line cur,a /ue sube y ba$a de ni,el. 1e iz/uierda a derecha se graica graica el tiem!o. tiem!o. s decir decir !odemos ,er una !orcin de tiem!o de determinada onda y saber /ué ocurre en esa !orcin de tiem!o. 1e arriba a aba$o está la am!litud de esos ,olta$es instantáneos en el tiem!o. *as orma ormass de onda onda alguna algunass ,eces ,eces se usan usan tamb también ién !ara !ara nombrar el sonido generado !or un oscilador de un sintetizador. sintetizador. s decir se usa el nombre de la orma de onda !ara nombrar la on onda da en s(. s(. *as *as on onda dass más más comu comune ness gene genera rada dass !o !orr los los osciladores en un sintetizador son las de sinusoidal' diente de sierra sierra'' triang triangula ularr y cuadra cuadrada. da. %e dice dice entonc entonces es /ue cierto cierto oscilador genera una onda sinusoidal' o una onda de diente de sierra !or e$em!lo.
'!
(er (eries ies de de Fou Fouri rieer
Una serie serie de Fourier es una serie serie ininita ininita /ue con,erge !untualmente a una una uncin uncin !eridica !eridica y continua continua a trozos2o trozos2o !or !artes3. *as series series de Fourier constituyen la herramienta herramienta matemática básica del análisis de Fourier em!leado !ara analizar unciones !eridicas a tra,és de la descom!osicin de dicha uncin en una suma ininita de unciones senoidales mucho más sim!les 2como combinacin de senos y cosenos con recuencias enteras3. l nombre se debe al matemático rancés Jean-4a!tiste Jose!h Fourier /ue /ue desarroll la teor(a cuando estudiaba la ecuacin del calor . Fue el !rimero /ue estudi tales series series sistemáticamente sistemáticamente y !ublicando sus resulta resulta dos iniciales en 5678 y 5655 5655.. sta área de in,estigacin se llama algunas ,eces #nálisis armnico. armnico . s una a!licacin usada en en muchas ramas de la ingenier(a' además de ser una herramienta sumamente sumamente 0til en la teor(a matemática abstracta. 9reas de a!licacin a!licacin incluyen análisis análisis ,ibratorio' ac0stica' ac0stica' !tica' !rocesamiento !rocesamiento de imágenes y se+ales' y com!resin de datos. n ingenier(a' !ara el caso de los sistemas de telecomunicaciones' y a tra,és del uso de los com!onentes es!ectrales es!ectrales de recuencia de una se+al dada' dada' se !uede o!timizar el dise+o de un sistema sistema !ara la la se+al !ortadora !ortadora del mismo. :eiérase al uso de un analizador de es!ectros. *as series de Fourier tienen la orma;
1onde
y
se denominan denominan coeicie coeicientes ntes de Fourier Fourier de la
serie de Fourier de la uncin 1einicin; %i
es una uncin 2o se+al3 !eridica y su !er(odo es
la serie de Fourier asociada a
$r%&icas de las &ormas de onda m%s comunes
es;
'
1onde ' los ,alores;
y
son los coeicientes de Fourier /ue toman III. &ES%##OLLO &E L% E'(E#EN)% )!
E*uipos y +ateriales
• • • • • -!
Por la identidad de uler ' las rmulas de arriba !ueden e"!resarse también en su orma com!le$a;
Una com!utadora %ot)are &atlab #cceso a Internet
Procedimiento
5.-Haciendo uso del sot)are &atlab' elabore un !rograma /ue !ermita realizar lo siguiente; a3 1ada una uncin en el tiem!o' el !rograma debe !ermitir ,isualizar en !antalla la gráica real. b3
*os coeicientes ahora ser(an; c3 1eterminar gráicamente el es!ectro de recuencias.
Forma "!onencial; Por la identidad de uler !ara la e"!onencial com!le$a' o!erando adecuadamente' si
la serie de Fourier se !uede e"!resar como la suma de dos series;
d3 Para !ermitir realizar el !aso b3' el !rograma debe solicitar; *a ecuacin caracter(stica del término a 7. • *a ecuacin de los términos a n. • *a ecuacin corres!ondiente a los b n. • n el !rograma desarrollado' simule la onda • asignada !ara dierentes ,alores de n. >isualice los cambios' si realizamos ,ariaciones • en los !arámetros de la uncin? am!litud' !eriodo' duracin del !ulso.
n orma más com!acta;
Pulso triangular im!ar' am!litud 57 > !!' !eriodo @7 ms' duracin @7 ms.
!" #ES(*EST% % (#E+*NT%S 5. An telecomunicaciones cmo se re!resenta una uncin !eridicaB 1einicin;
>ale la !ena mencionar /ue en esta e"!resin se ha se!arado el término cuando n D 7' de la deinicin de %erie de Fourier dada en la seccin anterior' y ahora la sumatoria em!ieza en n D 5. Para obtener # 7 calculamos el !romedio tem!oral de 2t3' sustituyendo la anterior serie en la integral del !romedio y tomando en cuenta /ue el !romedio tem!oral de los senos y cosenos son cero. l ,alor de t7 normalmente es cero !ero más adelante nos con,endrá tomarlo como C@.
Una orma de onda ) 2t3 es !eridica con un !eriodo C 7 si; ) 2t3 D ) 2tEC 73
!ara toda t
253
1onde C7 es el n0mero !ositi,o más !e/ue+o /ue satisace esta relacin. Por e$em!lo' una orma de onda senoidal con recuencia con recuencia 7 D 5C7 hertz es !eridica' debido a /ue satisace la ecuacin 253. # !artir de esta deinicin se hace claro /ue una orma de onda !eridica tendrá ,alores signiicati,os sobre un inter,alo de tiem!o ininito 2G-G3. Por consecuencia' las ormas de onda (sicas no !ueden ser realmente !eridicas !ero s( contar con ,alores !eridicos sobre un inter,alo de tiem!o inito. sto es' la ecuacin 253 !uede satisacerse !ara t sobre alg0n inter,alo inito' !ero no !ara todos los ,alores de t. @. A*a serie de Fourier es una uncin !eridicaB"!licar 1einicin; Una serie de Fourier es una e"!ansin de una uncin !eridica 2t3' con !eriodo C' en términos de una suma ininita de senos y cosenos /ue toma la orma;
n otras !alabras' cual/uier uncin !eridica se !uede reescribir como una suma de unciones armnicas multi!licadas !or constantes a determinar; a n y bn .
Para calcular los coeicientes # m con mD5'@''∞' calcularemos el !romedio de una nue,a uncin; 2t3 Kcos 2 mK ω5Kt3
*a !rimera integral del lado derecho es cero !or/ue es el !romedio de un coseno. L !ara la siguiente !arte considerando /ue se nos !ermite intercambiar los signos de sumatoria e integral. ntonces calculemos !rimero la 0ltima integral usando /ue el !roducto sen2α3Kcos2β3 se !uede escribir como Msen2 αEβ3 Esen2α-β3N@' resultando as( dos !romedios /ue se anulan en un !er(odo' !ara todo ,alor de α y β' es decir !ara todo ,alor de n y m' y as( ning0n 4 m saldrá en el resultado. Para calcular la segunda integral usamos /ue el !roducto cos 2α3Kcos 2β3 se !uede escribir como Mcos2 αEβ3Ecos2α-β3N@' resultando as( dos !romedios /ue se anulan en un !er(odo' !ara todo ,alor de α y β' es decir !ara todo ,alor de n y m' e"ce!to !ara el caso nDm /ue solo se anula el !romedio de cos2 αEβ3' !or/ue cos2α-β3D cos273D5' cuyo !romedio es 5.
%in embargo' ,eremos /ue aun/ue la uncin no sea !eridica !odremos hacer un análisis de Fourier mediante la transormada integral de Fourier.
n resumen' solamente /uedará el ,alor #m@' o cambiando la letra del (ndice;
. 1eterminar los coeicientes de Fourier.
%imilarmente obtenemos;
l gráico de # n y 4 n en uncin de n 2 de ωn3 se conoce como el es!ectro de recuencias de la uncin !eridica 2t3. Oote /ue la distancia entre dos recuencias consecuti,as es; ∆ω D 2nE53 ω5 n ω5 D ω5 D @ π C.
Gn =
1 T 2 f (t) e T ∫ T 2
j n ω1 t
−
dt
−
. Utilizar la identidad de uler !ara determinar la orma com!le$a de la serie de Fourier. s !osible modiicar la ecuacin de la %erie de Fourier !ara /ue la uncin 2t3' real' /uede en términos de e"!onenciales com!le$as' usando !ara ello la rmula de uler- 1e &oi,re; j θ
e
= cosθ + j senθ
Para ello escribamos la serie de la siguiente manera;
1onde se cum!len las relaciones; A n = C n cos (φn) B n = - C n sen (φn)
Q. ARué ocurre si la uncin !eridica es discontinuaB *a e"!ansin en %erie de Fourier usualmente unciona de manera adecuada cuando tenemos unciones /ue son discontinuas en el inter,alo re/uerido. %in embargo' en estos casos la serie no !roduce una uncin discontinua' sino /ue “conecta” la uncin original en su discontinuidad. Por e$em!lo' !ara la uncin diente de sierra deinida como 2t3 D at 2con a S 73 y !eriodo π' /ue se muestra en la igura de la iz/uierda' y /ue !resenta una discontinuidad en t D π' encontramos /ue el desarrollo en %erie de Fourier e"iste' tal como se muestra en la igura de la derecha' el cual se ha calculado !ara ' T y 57 términos.
*a cual !odemos escribir como;
Finalmente' usando un solo signo de sumatoria; l ,alor de la uncin en términos de la %erie de Fourier en la discontinuidad será el !romedio de los ,alores /ue toma 2t3 en la discontinuidad. 1onde;
Las Gn se obtienen a partir de f(t) usando la integral:
&atemáticamente' !odemos e"!resar /ue en el !unto de discontinuidad t d' la serie con,erge al ,alor dado !or;
n la discontinuidad' la re!resentacin en series de Fourier de la uncin' FU:I: 2t3 toma ,alores /ue rebasan los corres!ondientes a la uncin original 2t3.
%i es continua en un !unto t' entonces la serie de Fourier con,erge en ese !unto a 2t3' o sea;
•
%i tiene una discontinuad de salto en un !unto t' entonces la serie de Fourier con,erge en ese !unto al !unto medio del salto' o sea;
T. "!licar detalladamente las condiciones de 1irichlet y el teorema de la con,ergencia.
)ondicione, de &iric-let: *as series de Fourier !ueden usarse !ara re!resentar una uncin !ara la cual no es !osible un desarrollo de Caylor. *as condiciones !articulares /ue debe reunir una uncin 2t3' a in de /ue !ueda re!resentarse mediante una serie de Fourier' se conocen como condiciones de 1irichlet y son las siguientes; i.
*a uncin 2t3 debe ser !eridica.
ii.
*a uncin debe ser mono,aluada y continua' e"ce!to 2!osiblemente3 en un n0mero inito de discontinuidades initas.
iii.
*a uncin debe tener solamente un n0mero inito de má"imos y m(nimos dentro de un !eriodo C? y
i,.
*a integral de V2t3V sobre un !eriodo C' debe con,erger.
%i se satisacen las condiciones anteriores entonces la serie de Fourier corres!ondiente con,erge a 2t3 en todos los !untos en /ue 2t3 es continua. >ale la !ena mencionar /ue cuando tenemos situaciones (sicas 2reales3' las tres 0ltimas condiciones de 1irichlet casi siem!re se cum!len' no as( la !rimera de ellas' ya /ue no todas las unciones son !eridicas. %in embargo' en muchas situaciones es !osible re!resentar una uncin no !eridica como una serie de Fourier mediante la mani!ulacin de la uncin !ara transormarla en una orma !eridica.
Teorema de la con.er/encia de &iric-let: %ea ; : W : una uncin !eridica de !er(odo C /ue satisace las condiciones de 1irichlet y sea;
1onde' como es habitual;
Indica el l(mite de en t !or la iz/uierda y;
Indica el l(mite de en t !or la derecha. l teorema nos dice' en !articular' /ue si satisace las condiciones de 1irichlet y redeinimos el ,alor de en cada !unto de discontinuidad como el !unto medio del salto' o sea' !oniendo;
ntonces la suma de la serie de Fourier coincide con 2t3 en cada t ∈ :. Por eso' en lo /ue sigue' y sal,o /ue se diga lo contrario' su!ondremos /ue esto se cum!le. 8. "!licar el enmeno de =ibbs en la serie de Fourier considerando la uncin salto o uncin 1elta de 1irac.
*a O-ésima suma !arcial corres!ondiente a su serie de Fourier ,iene dada !or la e"!resin;
Por tanto' !ara nuestra uncin salto' la suma !arcial de Fourier /ueda;
Por otra !arte' como b Z D 7 si Z es !ar' la suma se !uede escribir también de la orma;
%abemos /ue' si y d son continuas' sal,o en un n0mero inito de !untos de discontinuidad de ti!o salto' las sumas !arciales de Fourier con,ergen !untualmente a 2"3 en los !untos de continuidad de y a la media de los l(mites laterales en los !untos de discontinuidad. ste resultado se a!lica al caso !articular de la uncin salto /ue estamos considerando y /ue !resenta una singularidad en " D 7; una discontinuidad de ti!o salto. n la igura a!reciamos la orma en la /ue' eecti,amente' cuando " dierente de 7' las series de Fourier a!ro"iman el ,alor de la uncin en "' mientras /ue en " D 7 con,ergen a la media de los l(mites laterales' nula en este caso !uesto /ue; M 27[3 E 27E3N@ D 25 [ 53@ D 7 n este !unto de discontinuidad " D 7 se a!recia también con claridad el enmeno de =ibbs. n eecto' se obser,a claramente /ue la gráica de la suma !arcial de Fourier e"cede a la de la uncin salto en el !unto de discontinuidad. Por e$em!lo' a la derecha del !unto " D 7 se ,e como la gráica de la suma !arcial de Fourier su!era con nitidez a la de la uncin salto.
L dibu$ando la gráica de la suma !arcial de Fourier de la uncin salto' !ara O D 7
n la siguiente igura' se !uede obser,ar cmo las gráicas de las sumas !arciales sobresalen !or deba$o de la gráica de 2"3' en las !ro"imidades del !unto 27'-53.
L inalmente; 4n =
@7 n
@
π
@
M sen2nπ 3 − @ sen2n
π
@
3N
Por lo tanto' tenemos /ue la ecuacin del !ulso es; ∞
& 2t 3 =
∑= 24
n
3 K sen2
n 5
n K π K t 3 57
6. 1esarrolle anal(ticamente el es!ectro de recuencias !ara la se+al asignada.
!" SM*L%)N
Funcin; Funcin;
Pulso triangular impar .amplitud "/ 0 pp , periodo '/ ms, duración '/ ms1
1ado /ue la uncin es im!ar' entonces !odemos reducir el análisis de la serie de Fourier? donde a 7D7' a nD7 y 4n =
P 2
2 F @
∫ & 2t 3 K sen2n K 3
7
K t 3 dt
7
ntonces analizando b n !ara el !eriodo CD@7;
4n =
P 2
Q
∫ 7
7
%e obtiene; 4n =
con lo cual se obtiene;
∫ 2t − 573 sen2n3 t 3dt N Q
P 2n @ 37@
M sen257n37 3 − @ sen2Qn37 3N
Primero mostraremos la gráica de la uncin triangular !edida mediante la siguiente codiicacin; "D-57;7.77Q;57? D2"\D-Q3.K2"E573E2"S-Q]"\DQ3.K2-"3E2"SQ3.K2"-573? !lot2"''^r^3'grid on
57
M 2 −t 3 sen2n37 t 3dt +
Pulso triangular impar .amplitud "/ 0 pp , periodo '/ ms, duración '/ ms1
L inalmente com!aramos ambas gráicas; "D-57;7.77Q;57? #hora simulamos la serie de Fourier de esta uncin triangular D2"\D-Q3.K2"E573E2"S-Q]"\DQ3.K2-"3E2"SQ3.K2"-573? im!ar' mediante el siguiente cdigo; sumaD7? bDzeros25'3? or ZD5; b2Z3D@72Z_@K!i_@3K2sin2ZK!i3-@Ksin2ZK!i@33? "D-57;7.77Q;57? sumaDsumaEb2Z3Ksin2ZK!i57K"3? sumaD7? end bDzeros25'3? !lot2"''^r^'"'suma'^b-^3'grid on or ZD5; b2Z3D@72Z_@K!i_@3K2sin2ZK!i3-@Ksin2ZK!i@33? sumaDsumaEb2Z3Ksin2ZK!i57K"3? end !lot2"'suma'^b-^3'grid on
#s( obtenemos esta gráica;
>I.
BBLO+#%F
%$ `olto)sZi' &ichael. “%ignals and %ystems” Purdue Uni,ersity. Feb @75@' htt!s;engineering.!urdue.edumiZedzee75ee75.html “%eries de Fourier”. #&P*I#
