Laboratorio N° 1: Simulación de la Serie de Fourier mediante el software de Matlab Curso: EE513-M Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad acional de Ingeniería !i"a, #er$
I.
Objetivos:
El siguiente e%&eri"ento tiene 'inalidad "ostrar: •
• •
•
II.
(ra' (ra'ic icar ar a&ro a&ro%i %i"a "ada da"e "ent nte e una una onda onda &eriódica &or "edio de la su"atoria de )n* tér"inos de la serie de Fourier Esti"are"os el anc+o de anda esa esarr rrol ollo lo anal analít ític ico o del del es&e es&ect ctro ro de 'recuencias &ara una se.al asignada Calc Calcul ulo o de ar"ón ar"ónic icos os &ara &ara una "e/or "e/or a&ro%i"ación de la 'unción asignada eor!a: Introducción:
!as 0eries 0eries de trigon trigono"é o"étri tricas cas de Fourie Fourier, r, o si"&le"ente series de Fourier 'ueron desarrolladas &or el "ate"tico 'rancés 2eana&tiste 2ose&+ Fourier 41 de "ar6o de 1789 en u%erre - 18 de "ayo de 193; en #aris<= !a idea >ue suyace en las series de Fourier Fourier es la desc desco" o"&o &osi sici ción ón de una una se.a se.all &eri &eriód ódic ica a en tér"inos de se.ales &eriódicas sicas 4senos y cosenos< cuyas 'recuencias son "$lti&los de la se.al original= !a idea de desco"&osición es un &roces &roceso o 'unda" 'unda"ent ental al en el rea rea cientí cientí'ic 'ica a en general: la desco"&osición &er"ite el anlisis de las &ro&iedades y la síntesis de los o/etos o 'enó"enos=
Sumas "arciales:
#ara la serie de Fourier de una 'unción '4%< &eriódica de'inida en un intervalo de longitud ? la @-ési"a su"a &arcial, re&resentada &or 0@4%< est dada &or:
#ondiciones de conver$encia:
0ea ' 4%< una 'unción &eriódica de'inida en un inte interv rval alo o de long longit itud ud ? cont contin inua ua,, e%ce e%ce&t &to o &osil &osile"e e"ente nte en un n$"ero n$"ero 'inito 'inito de &untos &untos donde tiene discontinuidades 'initas y >ue &osee derivada continua ta"ién e%ce&to en n$"ero 'inito de &untos donde tiene discontinuidades 'initas= Entones, la serie de Fourier &ara '4%< converge a '4%< en todo &unto de continuidad y en los los &unt &untos os de disc discon ontitinu nuid idad ad la serie serie de Fourier converge a:
onde '4%A< re&resenta el lí"ite &or la derec+a a % y '4%B< re&resenta el lí"ite &or la i6>uierda a %= Forma com%acta de la series Fourier:
Serie de Fourier:
!a serie de Fourier de una 'unción &eriódica '4%< de &eriodo ?, ta"ién conocida co"o se.al, de'inida en un intervalo de longitud ? est dada &or:
Series com%lejas de Fourier:
!a serie co"&le/a de Fourier de una 'unción '4%< &eriódica de'inida en el intervalo de longitud ? est dada &or la 'ór"ula: "otencia Media:
•
•
III.
!a resolución de algunas ecuaciones di'erenciales en derivadas &arciales ad"iten soluciones &articulares en 'or"a de series de Fourier 'cil"ente co"&utales, y >ue otener soluciones &rcticas, en la teoría de la trans"isión del calor, la teoría de &lacas, etc= Es una a&licación usada en "uc+as ra"as de la ingeniería, ade"s de ser una +erra"ienta su"a"ente $til en la teoría "ate"tica astracta= Greas de a&licación incluyen anlisis viratorio, ac$stica, ó&tica, &rocesa"iento de i"genes y se.ales, y co"&resión de datos= En ingeniería, &ara el caso de los siste"as de teleco"unicaciones, y a través del uso de los co"&onentes es&ectrales de 'recuencia de una se.al dada, se &uede o&ti"i6ar el dise.o de un siste"a &ara la se.al &ortadora del "is"o= e'iérase al uso de un anali6ador de es&ectros= ,esarrollo de la e(%eriencia: +.
Una co"&utadora 0o'tHare M?! cceso a Internet Ca&turador de i"agen o c"ara 'otogr'ica= (uía de laoratorio 4 se encuentran en el ula irtual<
Nota:
#ara &oder res&onder la ®unta: &cuantos t'rminos de la serie de Fourier se deben tomar %ara a%ro(imar ra)onablemente una función %eriódica*
!a clave &uede estar en la &otencia "edia= 0e calcula la &otencia "edia y estalece un nivel en el cual se desea a&ro%i"arla= iga"os un 5D o un D= Con esto se van reali6ando su"as &arciales de la 'ór"ula de #arseval +asta alcan6ar el nivel de a&ro%i"ación deseado= un>ue sería deseale deter"inar analítica"ente &ara un nivel de a&ro%i"ación el valor no en el cual se otiene la a&ro%i"ación, en general, es "uy di'ícil tener dic+o valor=
I0.
1=
•
• •
(eneración de 'or"as de onda de corriente o tensión eléctrica &or "edio de la su&er&osición de sinusoides generados &or osciladores electrónicos de a"&litud variale cuyas 'recuencias ya estn deter"inadas= nlisis en el co"&orta"iento ar"ónico de una se.al= e'or6a"iento de se.ales= Estudio de la res&uesta en el tie"&o de una variale circuital eléctrica donde la se.al de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, "ediante el uso de trans'or"adas de !a&lace yo solución en régi"en &er"anente sinusoidal en el do"inio de la 'recuencia=
es%uesta a %re$untas:
En teleco"unicaciones, JCó"o re&resenta una 'unción &eriódicaK
se
Una 'unción &eriódica es re&resentada &or: '4t
+%licaciones: •
-ui%os / materiales:
#ara todo do"inio de )t* !uego &uede ser re&resentada "ediante una su"a de ar"ónicos 40erie de Fourier<= =
!a serie de Fourier es una 'unción &eriódicaK
!a 0erie de Fourier es una 'unción &eriódica, deido a >ue tiene el "is"o &eriodo de su res&ectiva 'unción '4t< de &eriodo ?= Otro "otivo es >ue esta serie es un ti&o es&ecial de series 'uncionales en las >ue sus tér"inos son 'unciones trigono"étricas 4sen y cos< de variale real 4t<=
3=
eter"inar los coe'icientes de Fourier=
#arti"os de la 'or"a general de la serie de Fourier:
Q=
Utili6ar la Identidad de Euler &ara deter"inar la 'or"a co"&le/a de la serie de Fourier=
l 'inal otene"os:
#ara otener el coe'iciente a;, asta integrar en un &eriodo ?= P &ara otener los coe'icientes an y n se "ulti&lica a cada "ie"ro &or: cos
( m ω o x ) y sen (m ωo x )
res&ectiva"ente y luego integra"os en un &eriodo ?, ayudndonos con las &ro&iedades de las 'unciones ortogonales= P
5=
Rué ocurre si la 'unción &eriódica es discontinuaK
0ea ' 4%< una 'unción &eriódica de'inida en un intervalo de longitud ? continua, e%ce&to &osile"ente en un n$"ero 'inito de &untos donde tiene discontinuidades 'initas y >ue &osee derivada continua ta"ién e%ce&to en n$"ero 'inito de &untos donde tiene discontinuidades 'initas= Entones, la serie de Fourier &ara '4%< converge a '4%< en todo &unto de continuidad y en los &untos de discontinuidad la serie de Fourier converge a:
otene"os: 8=
E%&licar detallada"ente las condiciones de ICS!E? y el teore"a de convergencia
!as condiciones de iric+let son condiciones su'icientes &ara garanti6ar la e%istencia de convergencia de las series de Fourier o de la trans'or"ada de Fourier= Estas condiciones son: Condición déil de iric+let:
Esta condición &lantea >ue los coe'icientes de la serie de Fourier deen ser 'initos= Esto se &uede de"ostrar "ediante la integral del valor asoluto de la 'unción a evaluar= T
∫|f ( )|dx <∞ X
0
Condiciones 'uertes de diric+let
#ara >ue las series conver/an es necesario >ue se cu"&lan las siguientes condiciones, /unto con la condición déil de iric+let=
!a 'unción '4t< en un &eriodo dee tener un nu"ero 'inito de "%i"os y "íni"os !a 'unción '4t< en un &eriodo dee tener un nu"ero 'inito de discontinuidades las cuales deen ser 'initas=
7=
E%&licar el 'enó"eno de (is en la serie de Fourier considerando la 'unción salto o 'unción elta de irac= La función salto
su&era con nitide6 a la de la 'unción salto= P ta"ién se &uede oservar co"o las gr'icas de las su"as &arciales soresalen &or dea/o de la gr'ica de '4%<, en las &ro%i"idades del &unto 4;,-1<= Oserva"os >ue el 'enó"eno de (is ta"ién se &roduce en los e%tre"os % L WX del intervalo 4BX, X<=
Considere"os la 'unción salto 9= !a -ési"a su"a &arcial corres&ondiente a su serie de Fourier viene dada &or la e%&resión:
Si"ulando en Matla la su"a &arcial de Fourier &ara L 3;, tene"os:
esarrolle analítica"ente el es&ectro 'recuencias &ara la se.al asignada==
de
Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda S (t) es ω, únicamente se requieren los valores de amplitud y fase de cada uno de los parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores se llama espectro.
{(A, !), (A", !"), (A#, !#),. . .$
0ae"os >ue, si ' y 'T son continuas, salvo en un nu"ero 'inito de &untos de discontinuadas de ti&o salto, las su"as &arciales de Fourier convergen &untual"ente a '4%< en los &untos de continuidad de ' y a la "edia de los li"ites laterales en los &untos de discontinuidad=
= 0i"ule &revia"ente la serie de Fourier antes de asistir a la &rctica de la 'unción >ue se le asignara en el laoratorio= 0.
Simulación:
Este resultado se a&lica al caso &articular de la 'unción salto y >ue &resenta una singularidad en % L ; 4discontinuidad de ti&o salto<= En la 'igura a&recia"os la 'or"a en la >ue cuando
x ≠ 0
, las serie de Fourier a&ro%i"an el valor de la 'unción en %, "ientras >ue en % L ; convergen a la "edia de los li"ites laterales, nula en este caso &uesto >ue '4;B< A '4;Aue la gr'ica de la su"a &arcial de Fourier e%cede a la de la 'unción salto en el &unto de discontinuidad= #or e/e"&lo, a la derec+a del &unto % L ; se ve co"o la gr'ica de la su"a &arcial de Fourier
n=50; %Número de términoshold on T = 20*(10^-3); A = 10;
hold on plot(-T!"#T!"$#-1 1$#&#line'idth#2) =linspe(-T!"#T!"#100); +=,eros(lenth()#1); .or /=1lenth() +(/)=0; .or =-nn +(/)=+(/)2*(-1)^*1i*ep(2*1i**(/)!T)!(); end end %e/es plot(-T!2 T!2$#0 0$#) plot(0 0$#-15 15$#) %serie de 4orier plot(#rel(+)# r); title(sprint.(Aproimi6n de 4orier %i términos#n)) l&el(t); +l&el(.(t)) hold o..
0I.
3iblio$raf!a:
+tt&:c="ty=ites"="%"a3;;"ateriales" a3;;-series-'ourier=&d' +tt&:'rr>=cvg=utn=edu=ar&lugin'ile=&+&875 "odYresourcecontent;8Y &unteYdeYcatedra=&d' +tt&:euler=us=esZ&lo&e6'eno"eno-de(is=+t" +tt&:verso="at=ua"=esHee6ua6uadocu "entosY&ulicarc+ivos&ersonalcon'erenci ascuo=&d' +tt&s:"atHe=u&c=edu&eo&lelali=arriereasserie'ourier=&d' +tt&:HHH=de&i=itc+i+ua+ua=edu="%aaguirr e&d'"ateYv&d'UUY5YQ=&d'
