obJEtIvos dE aPrEndIZaJE
TOYOTA MOTOR CREDIT CORPORATION (TMCC), una subsidiaria de Toyota Motor, ofreció algunos valores para su venta al público el 28 de marzo de 2008. Bajo los términos de la transacción, TMCC prometió reembolsarle al propietario de uno de estos valores 100 000 dólares el 28 de marzo de 2038, pero los inversionistas no recibirían nada sino hasta entonces. Los inversionistas le pagaron a TMCC 24 099 dólares por cada uno de estos valores; y por lo tanto, ellos entregaron 24 099 dólares el 28 de marzo de 2008, a cambio de la promesa de un pago de 100 000 dólares 30 años después. Tal valor, por el cual usted pagó alguna cantidad hoy a cambio de una suma
5
única prometida que se recibiría en una fecha futura, de hecho es el tipo más sencillo de transacción. ¿Es una buena negociación dar 24 099 dólares a cambio de 100 000 dólares en 30 años? En el lado favorable, usted vuelve a obtener alrededor de 4 dólares por cada dólar que usted aporta. La probabilidad suena bien; pero en el lado desfavorable, usted tiene que esperar 30 años para obtener esa cantidad. Lo que usted necesita saber es cómo analizar este conjunto de ventajas y desventajas; este capítulo le proporciona las herramientas que necesita.
Uno de los problemas básicos a los que se enfrenta el administrador financiero es cómo determinar el valor actual de los flujos de efectivo que se esperan en el futuro. Por ejemplo, el premio mayor en un sorteo de lotería de PowerBallTM era de 110 millones de dólares. ¿Significa esto que el boleto ganador tenía un valor de 110 millones de dólares? La respuesta es no porque el premio mayor se pagaría a lo largo de 20 años, al ritmo de 5.5 millones de dólares por año. ¿Cuánto valía entonces el boleto? La respuesta depende del valor del dinero en el tiempo, que es el tema de este capítulo. En el sentido más general, la frase valor del dinero en el tiempo se refiere al hecho de que, hoy, un dólar en la mano vale más que un dólar prometido en algún momento futuro. En un nivel práctico, una razón de esto es que se podrían ganar intereses mientras se espera; así que, más adelante, un dólar actual aumentaría a más de un dólar. De este modo, el intercambio entre el dinero ahora y el dinero después depende, entre otras cosas, de la tasa que se gane si se invierte. La meta de este capítulo es evaluar de manera explícita este intercambio entre los dólares actuales y los dólares de algún momento futuro. La comprensión a fondo del material de este capítulo es crucial para comprender el material de los capítulos siguientes, de manera que se le debe estudiar con un cuidado particular. En este capítulo se presentan varios ejemplos. En muchos problemas, la respuesta del lector podría diferir un poco de la de los autores. Es posible que esto se deba al redondeo y no es motivo de preocupación.
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PartE 3
INTRODUCCIÓN A LA VALUACIÓN: EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
OA1 Cómo determinar el valor futuro de una inversión realizada hoy. OA2 Cómo establecer el valor presente del efectivo a recibirse en una fecha futura. OA3 Cómo encontrar el rendimiento sobre una inversión. OA4 Qué cantidad de tiempo se requiere para que una inversión alcance un valor deseado.
valuación de flujos de efectivo a futuro
Después del estudio de este capítulo el lector deberá entender:
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P a r t E 3 Valuación de flujos de efectivo a futuro
5.1 Valor futuro e interés compuesto
valor futuro (VF)
La cantidad que vale una inversión después de uno o más periodos.
Lo primero que se estudia es el valor futuro. El valor futuro (VF) habla de la cantidad de dinero a la que crecerá una inversión en cierto periodo y de una tasa de interés determinada. Dicho de otra manera, el valor futuro es el valor en efectivo de una inversión en algún momento futuro. Comiéncese por considerar el caso más sencillo, una inversión de un solo periodo.
Inversión por un solo periodo Suponga que usted invierte 100 dólares en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrá en un año? Dispondrá de 110 dólares. Esta suma es igual a su principal originario de 100 dólares más 10 dólares de intereses que usted gana. Se dice que 110 dólares es el valor futuro de los 100 dólares invertidos a un año a 10%, y tan sólo se quiere decir que 100 dólares actuales valen 110 dólares dentro de un año, debido a que la tasa de interés es de 10 por ciento. En general, si usted invierte por un periodo a una tasa de interés de r, su inversión se incrementará a (1 + r) por cada dólar invertido. En este ejemplo, r es el 10%, así que su inversión aumenta a 1 + .10 = 1.1 dólar por cada dólar invertido. En este caso usted invirtió 100 dólares, de manera que acaba con 100 dólares × 1.10 = 110 dólares. composición
El proceso de acumular interés sobre interés en una inversión a lo largo del tiempo, con el fin de ganar más interés.
interés sobre interés
El interés ganado sobre la reinversión de los pagos previos de interés.
interés compuesto
El interés ganado por el principal originario, así como por el interés reinvertido proveniente de los periodos previos.
interés simple
Es el interés ganado sólo por la cantidad del principal originario.
EJEMPLO 5.1
Inversión por más de un periodo De vuelta a la inversión de 100 dólares, ¿cuánto tendrá usted dentro de dos años, suponiendo que la tasa de interés no cambie? Si deja el total de 110 dólares en el banco ganará 110 dólares × .10 = 11 dólares de interés durante el segundo año, así que tendrá un total de 110 dólares + 11 = 121 dólares. Esta cantidad de 121 dólares es el valor futuro de 100 dólares dentro de dos años, a 10%. Otra manera de ver esto es que dentro de un año, a partir de ahora, usted estará invirtiendo con exactitud 110 dólares a 10% durante un año. Éste es un problema de un solo periodo, de manera que usted acabará con 1.10 dólares por cada dólar invertido, es decir, 110 dólares × 1.1 = 121 dólares en total. Esta cantidad de 121 dólares tiene cuatro partes. La primera es el principal originario de 100 dólares. La segunda es la cantidad de 10 dólares de interés que usted ganó en el primer año. La tercera son los otros 10 dólares que gana en el segundo año, para un total de 120 dólares. El último dólar con el que usted acaba (la cuarta parte) es el interés que gana durante el segundo año sobre el interés pagado en el primer año: 10 dólares × .10 = 1 dólar. Este proceso de dejar su dinero y cualquier interés acumulado en una inversión durante más de un periodo, reinvirtiendo con ello el interés, se llama composición. Componer el interés significa interés sobre interés, de manera que al resultado se le llama interés compuesto. Con el interés simple, el interés no se reinvierte, de manera que el interés se gana cada periodo sólo sobre el principal original.
Interés sobre interés Suponga que usted encuentra una inversión a dos años que paga 14% anual. Si invierte 325 dólares, ¿cuánto tendrá al final de los dos años? ¿Cuánto de esa suma es interés simple? ¿Cuánto es interés compuesto? Al final del primer año usted tendrá 325 dólares × (1 + .14) = 370.50 dólares. Si reinvierte esta cantidad total, y con ello compone el interés, tendrá 370.50 dólares × 1.14 = 422.37 dólares al final del segundo año. Por consiguiente, el interés total que usted gana es 422.37 dólares − 325 = 97.37 dólares. Su principal original de 325 dólares gana 325 dólares × .14 = 45.50 dólares de interés cada año, para un total de 91 dólares de interés simple. Los restantes 97.37 dólares − 91 = 6.37 dólares son el resultado del interés compuesto. Usted puede verificar esto al observar que el interés ganado el primer año es 45.50 dólares. Por consiguiente, el interés sobre interés ganado el segundo año es 45.50 dólares × .14 = 6.37 dólares, como se calculó.
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
Ahora se verá más de cerca cómo se calculó el valor futuro, los 121 dólares. Se multiplicó la cifra de 110 dólares por 1.1 para obtener 121 dólares. Sin embargo, los 100 dólares también se multiplicaron por 1.1. En otras palabras: $121 = $110 × 1.1 = ($100 × 1.1) × 1.1 = $100 × (1.1 × 1.1) = $100 × 1.12 = $100 × 1.21 A riesgo de sonar repetitivo, pregúntese: ¿cuánto se incrementarían los 100 dólares después de tres años? Una vez más, en dos años se estarán invirtiendo 121 dólares por un periodo a 10%. Se finalizará con 1.10 dólares por cada dólar invertido, o sea 121 dólares × 1.1 = 133.10 dólares en total. De manera que estos 133.10 dólares son: $133.10 = $121 × 1.1 = ($110 × 1.1) × 1.1 = ($100 × 1.1) × 1.1 × 1.1 = $100 × (1.1 × 1.1 × 1.1) = $100 × 1.13 = $100 × 1.331
Para un estudio de los conceptos del valor en el tiempo (y mucho más), visite www.financeprofessor.com.
Es probable que el lector observe un patrón en estos cálculos, así que ahora se puede seguir adelante y expresar el resultado general. Como lo sugieren los ejemplos, el valor futuro de un dólar invertido durante t periodos a la tasa de r por periodo es: Valor futuro = 1 dólar × (1 + r)t
[5.1]
La expresión (1 + r) en ocasiones se conoce como factor del valor futuro del interés, o factor del valor futuro, para un dólar invertido a la r por ciento durante t periodos, y se puede abreviar como FVF(r, t). En el ejemplo, ¿cuánto valdrían sus 100 dólares después de cinco años? Primero se calcula el factor del valor futuro pertinente como: t
(1 + r)t = (1 + .10)5 = 1.15 = 1.6105 De manera que sus 100 dólares se incrementarán a: $100 × 1.6105 = $161.05 El incremento de sus 100 dólares por año se ilustra en la tabla 5.1. Como se indica, el interés ganado cada año es igual a la cantidad original multiplicada por la tasa de interés de 10%.
Año
Cantidad inicial
Interés simple
Interés compuesto
Cantidad final
1
$100.00
$10
.00
$10.00
$110.00
2
110.00
3
121.00
10
1.00
11.00
121.00
10
2.10
12.10
133.10
4
133.10
10
3.31
13.31
146.41
5
146.41
10
4.64
14.64
161.05
Interés $50 simple total
$
Interés ganado total
Interés $11.05 compuesto total
Interés $61.05 total
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tabla 5.1 Valor futuro de 100 dólares a 10%
122
P a r t E 3 Valuación de flujos de efectivo a futuro
FIGURA 5.1 Valor futuro, interés simple e interés compuesto
$161.05
160 150
$146.41
Valor futuro ($)
140
$133.10
130
$121
120 110
$110
100
$0
1
2
3 4 Tiempo (años)
5
Crecimiento de un monto original de $100 a 10% anual. El área intermedia muestra el interés simple. El área superior representa la porción del total que resulta de la capitalización del interés.
Una breve introducción a los conceptos financieros clave está disponible en www.teachmefinance.com.
En la tabla 5.1 observe que el interés total que usted gana es 61.05 dólares. Durante cinco años de esta inversión el interés simple es 100 dólares × .10 = 10 dólares anuales, así que usted acumula 50 dólares de esta manera. Los otros 11.05 dólares provienen del interés compuesto. La figura 5.1 aclara el crecimiento del interés compuesto de la tabla 5.1. Observe que el interés simple es constante cada año, pero que la cantidad del interés compuesto que usted gana es mayor por año. La cantidad del interés compuesto sigue aumentando porque cada vez se acumula más interés y, por lo tanto, hay que agregar más interés compuesto. Los valores futuros dependen en forma crucial de la tasa de interés supuesta, en particular para las inversiones de larga vida. La figura 5.2 explica esta relación al trazar el crecimiento de un dólar para cinco tasas de interés y lapsos diferentes. Note que el valor futuro de un dólar después de 10 años es de alrededor de 6.20 dólares a una tasa de 20%, pero sólo es de alrededor de 2.60 dólares a 10%. En este caso, al duplicar la tasa de interés el valor futuro aumenta a más del doble. Para resolver problemas del valor futuro se requiere encontrar los factores pertinentes del valor futuro. Hay varias formas de hacerlo. En el ejemplo se pudo haber multiplicado 1.1 por sí mismo tres veces. Esto daría buenos resultados, pero resultaría muy tedioso, por ejemplo, para una inversión a 30 años. Por fortuna, hay varias formas más fáciles de obtener los factores del valor futuro. La mayoría de las calculadoras tienen una tecla con el rótulo “yx”. En general se anota 1.1, se oprime esta tecla, se introduce el número 5 y se oprime la tecla “=” para obtener la respuesta. Ésta es una manera fácil de calcular los factores del valor futuro debido a que es rápida y exacta. Como alternativa, es posible usar una tabla que contenga los valores futuros para algunas tasas de interés y periodos comunes. La tabla 5.2 contiene algunos de estos factores. La tabla A.1 del apéndice, al final de este libro, contiene una serie más amplia. Para emplear la tabla encuentre la columna que corresponde a 10%. Después recorra los renglones hacia abajo hasta encontrar cinco periodos. Debe encontrar el factor que se calculó: 1.6105. Las tablas como la 5.2 no son tan comunes como antes, debido a que son anteriores a las calculadoras de precio bajo y sólo están disponibles para un número reducido de tasas. Las tasas de interés a menudo se cotizan a tres o cuatro puntos decimales, de manera que las tablas necesarias
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
FIGura 5.2 Valor futuro de un dólar para diferentes periodos y tasas
7 20%
Valor futuro de un dólar
6 5
15%
4 3
10%
2
5%
1
0% 1
2
3
4
5 6 Tiempo (años)
7
8
9
10
tabla 5.2
Tasa de interés Número de periodos
5%
10%
15%
20%
1
1.0500
1.1000
1.1500
1.2000
2
1.1025
1.2100
1.3225
1.4400
3
1.1576
1.3310
1.5209
1.7280
4
1.2155
1.4641
1.7490
2.0736
5
1.2763
1.6105
2.0114
2.4883
Factores del valor futuro del interés
para calcularlas con precisión serían muy largas. Como resultado, en la actualidad se ha abandonado su uso. En este capítulo se hace hincapié en la utilización de la calculadora. Estas tablas todavía tienen una función útil. Para asegurarse de que se están haciendo los cálculos en la forma correcta, tome un factor de la tabla y después haga el cálculo para ver si obtiene la misma respuesta. Hay muchos números de donde elegir.
Interés compuesto
EJEmPlo 5.2
Usted ha localizado una inversión que paga 12%. Esta tasa le parece buena, de manera que invierte 400 dólares. ¿Cuánto tendrá en tres años? ¿Cuánto tendrá en siete años? Al final de siete años, ¿cuánto interés habrá ganado? ¿Cuánto de ese interés resulta del interés compuesto? Con base en la exposición, se calcula el factor del valor futuro para 12% y tres años como: (1 + r)t = 1.123 = 1.4049
(continúa)
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P a r t E 3 Valuación de fl ujos de efectivo a futuro
Así que sus 400 dólares aumentan a: $400 × 1.4049 = $561.97 Después de siete años usted tendrá: $400 × 1.127 = $400 × 2.2107 = $884.27 De este modo, su dinero ha aumentado a más del doble en siete años. Dado que usted invirtió 400 dólares, el interés en el valor futuro de 884.27 dólares es 884.27 dólares − 400 = 484.27 dólares. A 12% su inversión gana 400 dólares × .12 = 48 dólares de interés simple por año. De esta manera, durante siete años el interés simple suma 7 × 48 dólares = 336 dólares. El resto, 484.27 dólares − 336 = 148.27 dólares, es del interés compuesto.
El efecto de capitalizar el interés no es grande en periodos breves, pero en realidad empieza a aumentar a medida que crece el horizonte. Para tomar un caso extremo, suponga que uno de sus antepasados más previsores había invertido 5 dólares para usted a una tasa de interés de 6% hace 200 años. ¿Cuánto tendría usted hoy? El factor del valor futuro es un considerable 1.06200 = 115 125.90 (esta cifra no la encontrará en una tabla), de manera que usted tendría hoy 5 dólares × 115 125.90 = 575 629.52 dólares. Observe que el interés simple es sólo 5 dólares × .06 = .30 dólares al año. Después de 200 años, esto equivale a 60 dólares. El resto es de la reinversión. ¡Ése es el poder del interés compuesto!
EJEmPlo 5.3
¿cuánto por esa isla? Para ilustrar todavía más el efecto del interés compuesto durante horizontes prolongados, considere el caso de Peter Minuit y los indios americanos. En 1626, Minuit compró toda la isla de Manhattan a un precio de casi 24 dólares en mercancía y baratijas. Parece un precio muy bajo, pero tal vez los indígenas obtuvieron la mejor parte del trato. Para ver por qué, supóngase que los indígenas vendieron los bienes e invirtieron los 24 dólares a 10%. ¿Cuánto valdría hoy esa inversión? Han pasado alrededor de 383 años desde esa operación. A 10%, los 24 dólares habrán aumentado mucho durante ese tiempo. ¿Cuánto? El valor futuro es aproximadamente: (1 + r)t = 1.1383 = 7 100 000 000 000 000 Es decir, 7.1 seguido de 14 ceros. De manera que el valor futuro es del orden de 24 dólares × 7.1 = 170 cuatrillones de dólares (más o menos algunos cientos de billones). Pues bien, 170 cuatrillones de dólares es mucho dinero. ¿Cuánto? Si usted tuviera ese dinero, podría comprar Estados Unidos. Todo el país. Al contado. Y le sobraría dinero para comprar Canadá, México y, para lo que importa, el resto del mundo. Por supuesto, este ejemplo es muy exagerado. En 1626 no habría sido fácil encontrar una inversión que pagara 10% anual sin fallar durante los 383 años siguientes.
suGErEncIas Para El uso dE la calculadora Uso de la calculadora financiera Aun cuando hay diversas formas de calcular los valores futuros que se han descrito hasta ahora, muchos de los lectores decidirán que la mejor forma de hacerlo es con una calculadora financiera. Si usted está planeando utilizar una, debe leer esta amplia sugerencia; de lo contrario, ignórela. Una calculadora financiera es un instrumento común, aunque con algunas características extra. En particular, tiene programadas algunas de las fórmulas financieras que se utilizan en forma generalizada, así que puede calcular directamente cosas como los valores futuros. (continúa )
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
Las calculadoras financieras tienen la ventaja de que manejan muchos cálculos, pero en realidad eso es todo. En otras palabras, usted todavía necesita comprender el problema: la calculadora sólo se encarga de una parte de la aritmética. De hecho, hay un viejo chiste (un tanto modificado) que dice: cualquiera puede cometer un error en un problema del valor del dinero en el tiempo, ¡pero para de veras arruinarlo todo se necesita una calculadora financiera! Por lo tanto, en esta sección se tienen dos metas. En primer lugar, se explica cómo calcular los valores futuros. Después de eso, se examina cómo evitar los errores más comunes que cometen las personas cuando empiezan a utilizar las calculadoras financieras.
Cómo calcular los valores futuros con una calculadora financiera Al examinar una calculadora financiera se observan cinco teclas que tienen un interés particular. En general tienen un aspecto como el siguiente:
N
I/Y
PMT
PV
FV
Por ahora es necesario enfocarse en cuatro de ellas. Las teclas que dicen PV y FV son exactamente lo que usted piensa, valor presente y valor futuro. La tecla N se refiere al número de periodos, lo que se ha estado llamando t. Por último, I/Y significa la tasa de interés, que se ha denominado r.1 Si se ha preparado bien la calculadora financiera (véase la siguiente sección), entonces el cálculo de un valor futuro es muy sencillo. Vuélvase a la pregunta sobre el valor futuro de 100 dólares a 10% durante cinco años. Ya se ha visto que la respuesta es 161.05 dólares. El número preciso de veces que usted oprimirá las teclas dependerá de qué tipo de calculadora tenga, pero en esencia todo lo que debe hacer es lo siguiente: 1. Marque −100. Oprima la tecla PV . (El signo negativo se explica a continuación.) 2. Marque 10. Oprima la tecla I/Y . (Observe que se anota 10, no .10; véase a continuación.) 3. Marque 5. Oprima la tecla N . Ahora ya se ha registrado toda la información pertinente. Para encontrar el valor futuro se necesita preguntarle a la calculadora cuál es el FV. Dependiendo de su calculadora, usted debe oprimir el botón “CPT” (abreviatura de compute; es decir, calcular) y después oprimir FV , o bien sólo oprimir FV . En cualquier forma, debe obtener 161.05. Si no lo hace (y quizá no lo haga si es la primera vez que utiliza una calculadora financiera), se le ofrece asistencia en la siguiente sección. Antes de explicar las clases de problemas con las que podría tropezar, es deseable establecer un esquema estándar para mostrarle cómo usar una calculadora financiera. Con el ejemplo que se acaba de ver, de aquí en adelante se ilustran esos problemas como sigue:
Enter
5
N
−100
10
I/Y
PMT
PV
Solve for
FV 161.05
Un consejo importante: el apéndice D (que está en nuestro sitio web) contiene instrucciones más detalladas para los tipos más comunes de calculadoras financieras. Vea si la suya está incluida. Si está, siga las instrucciones cuando requiera ayuda. Por supuesto, si todo lo demás falla, lea el manual que viene con la calculadora.
Cómo obtener una respuesta errónea utilizando una calculadora financiera Hay un par de problemas comunes (y frustrantes) que surgen con las calculadoras financieras y que causan muchas dificultades. En esta sección se le ofrecen algunas sugerencias importantes de lo que debe y no debe hacer. Si le parece que no puede resolver un problema consulte esta sección. Hay dos categorías que se examinan, tres cosas que necesita hacer sólo una vez y tres cosas que se deben hacer cada vez que quiera resolver un problema. Las cosas que necesita hacer sólo una vez conciernen a las siguientes configuraciones de la calculadora: 1. Asegúrese de que su calculadora esté configurada para mostrar un gran número de cifras decimales. La mayoría de las calculadoras financieras sólo están configuradas para indicar dos cifras decimales; esto causa problemas debido a que con frecuencia se trabaja con números, como las tasas de interés, que son muy pequeños. (continúa)
La razón por la que las calculadoras financieras utilizan N e I/Y es que el uso más común de estas calculadoras es determinar los pagos de préstamos. En este contexto, N es el número de pagos e I/Y es la tasa de interés sobre el préstamo. Pero como se verá, hay muchos otros usos de las calculadoras financieras que no implican pagos de préstamos ni tasas de interés. 1
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P a r t E 3 Valuación de fl ujos de efectivo a futuro
2. Asegúrese de que su calculadora esté configurada para suponer un solo pago por periodo o por año. La mayoría de las calculadoras financieras están configuradas para suponer pagos mensuales (12 por año), a menos que usted le indique lo contrario. 3. Asegúrese de que su calculadora esté en el modo de “end”. Por lo general éste es el default, pero usted lo puede cambiar por accidente al modo de “begin”. Si usted no sabe cómo configurar estas tres cosas, vea el apéndice D en nuestro sitio web o consulte el manual de operación de su calculadora. También hay tres cosas que usted necesita hacer cada vez que quiera resolver un problema:
1. Antes de empezar, borre por completo el contenido de su calculadora. Esto es muy importante. No hacerlo es la razón número uno de las respuestas erróneas; usted tan sólo debe adquirir el hábito de limpiar su calculadora cada vez que empiece un problema. El cómo lo haga depende de su calculadora (véase el apéndice D en nuestro sitio web), pero debe hacer algo más que tan sólo despejar la pantalla. Por ejemplo, en una calculadora BA II Plus de Texas Instruments se debe oprimir 2nd y después CLR TVM para borrar valor del dinero en el tiempo. Hay un comando similar en su calculadora. ¡Conózcalo! Observe que el hecho de apagar la calculadora y volver a prenderla no le dará resultado. La mayoría de las calculadoras financieras recuerdan todo lo que usted introduce, incluso después de apagarlas. Además, si está a la mitad de un problema y comete un error, borre todo y vuelva a empezar. Es mejor ir a la segura que lamentarse. 2. Ponga un signo negativo en los flujos de salida de efectivo. La mayoría de las calculadoras financieras requieren que se ponga un signo negativo en los flujos de salida de efectivo y un signo positivo en los flujos de entrada de efectivo. Como regla práctica, esto por lo general significa que usted debe introducir la cantidad del valor presente con un signo negativo (porque por lo regular el valor presente representa la cantidad que usted entrega hoy a cambio de flujos de entrada de efectivo más adelante). Por el mismo motivo, cuando usted resuelve un valor presente, no se debe sorprender si ve un signo negativo.
3. Introduzca en forma correcta la tasa. Las calculadoras financieras suponen que las tasas aparecen en porcentajes, de manera que si la tasa es .08 (8%), usted debe ingresar 8, no .08. Si usted sigue estas pautas (en particular la de limpiar la calculadora), no deberá tener problemas al utilizar una calculadora financiera para resolver todos los problemas de este capítulo y los siguientes. Donde resulta apropiado se le proporcionan ejemplos y pautas adicionales.
una nota sobrE El crEcImIEnto comPuEsto Si usted considera la idea de depositar dinero en una cuenta que paga interés, entonces la tasa de interés de esa cuenta es exactamente la tasa a la que aumenta su dinero, suponiendo que no retire ninguna cantidad. Si esa tasa es de 10%, entonces cada año usted tiene nada más 10% más del dinero que tenía el año anterior. En este caso, la tasa de interés es sólo un ejemplo de una tasa de crecimiento compuesto. La forma en que se calcularon los valores futuros en realidad es muy general y le permite a usted responder otros tipos de preguntas relacionadas con el crecimiento. Por ejemplo, su empresa tiene en la actualidad 10 000 empleados. Usted ha estimado que el número de empleados aumenta 3% cada año. ¿Cuántos empleados habrá dentro de cinco años? Aquí se empieza con 10 000 personas en vez de dólares y no se piensa que la tasa de crecimiento sea una tasa de interés, pero el cálculo es el mismo: 10 000 × 1.035 = 10 000 × 1.1593 = 11 593 empleados Habrá alrededor de 1 593 empleados nuevos contratados en los próximos cinco años. Para dar otro ejemplo, según Value Line (un importante proveedor de información de empresas para los inversionistas), las ventas de Wal-Mart en 2007 fueron de alrededor de 374 000 millones de dólares. Suponga que se proyectó que las ventas se incrementen a una tasa de 15% anual. ¿Cuáles serán las ventas de Wal-Mart para el año 2012 si esto es correcto? Verifique que la respuesta es alrededor de 752 000 millones de dólares, casi el doble.
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
crecimiento de los dividendos
EJEmPlo 5.4
TICO Corporation paga en la actualidad un dividendo en efectivo de 5 dólares por acción. Usted cree que el dividendo se incrementará 4% cada año indefinidamente. ¿Qué tan grande será el dividendo dentro de 8 años? Aquí se tiene un dividendo en efectivo que está aumentado porque la administración lo está incrementando, pero una vez más, el cálculo es el mismo: Valor futuro = 5 dólares × 1.048 = 5 dólares × 1.3686 = 6.84 dólares El dividendo aumentará 1.84 dólares en este periodo. El crecimiento de los dividendos es un tema que se vuelve a tratar en un capítulo posterior.
Preguntas sobre conceptos 5.1a ¿Qué se quiere decir cuando se habla del valor futuro de una inversión? 5.1b ¿Qué significa interés compuesto? ¿En qué difiere el interés compuesto del interés simple? 5.1c En general, ¿cuál es el valor futuro de un dólar que se invierte a r por periodo durante t periodos?
Valor presente y descuento
5.2
Cuando se habla del valor futuro se está pensando en preguntas como: ¿a cuánto aumentará mi inversión de 2 000 dólares si gana un rendimiento de 6.5% anual durante los próximos seis años? La respuesta a esta pregunta es lo que se denomina valor futuro de 2 000 invertidos a 6.5% durante seis años (verifique que la respuesta es alrededor de 2 918 dólares). Hay otro tipo de pregunta que surge cada vez con más frecuencia en la administración financiera y que, por supuesto, se relaciona con el valor futuro. Suponga que usted necesita tener 10 000 dólares en 10 años y que puede ganar 6.5% sobre su dinero. ¿Cuánto necesita invertir hoy para llegar a su meta? Usted puede verificar que la respuesta es 5 327.26 dólares. ¿Cómo se sabe esto? Siga leyendo.
El caso dE un solo PErIodo Se ha comprobado que el valor futuro de un dólar invertido durante un año a 10% es 1.10 dólares. Ahora se formula una pregunta un poco distinta: ¿cuánto se debe invertir hoy a 10% para tener un dólar en un año? En otras palabras, se sabe que aquí el valor futuro es un dólar, ¿pero cuál es el valor presente (VP)? No es muy difícil averiguar la respuesta. Cualquier cantidad que se invierta hoy será 1.1 veces más grande a finales del año. Puesto que se necesita un dólar a finales del año: Valor presente × 1.1 = 1 dólar
valor presente (VP)
El valor actual de los futuros flujos de efectivo descontados a la tasa de descuento apropiada.
O despejando el valor presente: Valor presente = 1 dólar/1.1 = .909 dólares En este caso, el valor presente es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿qué cantidad, si se invierte hoy, aumentará a un dólar en un año si la tasa de interés es de 10%? Por lo tanto, el valor presente es con exactitud lo contrario del valor futuro. En vez de componer el dinero hacia delante, hacia el futuro, se descuenta de nuevo al presente.
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descuento
Cálculo del valor presente de alguna cantidad futura.
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P a r t E 3 Valuación de fl ujos de efectivo a futuro
EJEmPlo 5.5
vP de un solo periodo Suponga que usted necesita 400 dólares para comprar libros de texto el próximo año. Puede ganar 7% sobre su dinero. ¿Cuánto necesita invertir hoy? Es necesario conocer el VP de 400 dólares dentro de un año a 7%. El procedimiento es similar al del ejemplo anterior: Valor presente × 1.07 = 400 dólares Ahora es posible encontrar el valor presente: Valor presente = 400 dólares × (1/1.07) = 373.83 dólares Por consiguiente, 373.83 dólares es el valor presente. Una vez más, esto tan sólo significa que la inversión de esta cantidad durante un año a 7% resultará en que usted tenga un valor futuro de 400 dólares.
De los ejemplos, el valor presente de un dólar que se va a recibir en un periodo por lo general se da como: VP = $1 × [1/(1 + r)] = $1/(1 + r) En seguida se examina cómo obtener el valor presente de una cantidad que se va a pagar en dos o más periodos hacia el futuro.
valorEs PrEsEntEs Para mÚltIPlEs PErIodos Suponga que usted necesita tener 1 000 dólares dentro de dos años. Si puede ganar 7%, ¿cuánto debe invertir para estar seguro de que tendrá los 1 000 dólares cuando los necesite? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de 1 000 dólares dentro de dos años si la tasa pertinente es de 7%? Con base en su conocimiento de los valores futuros, usted sabe que la cantidad invertida debe aumentar a 1 000 dólares durante los dos próximos años. En otras palabras, debe ser el caso que: $1 000 = VP × 1.07 × 1.07 = VP × 1.072 = VP × 1.1449 Conocido esto, es posible encontrar el valor presente: Valor presente = 1 000 dólares/1.1449 = 873.44 dólares De esta manera, 873.44 es la cantidad que usted debe invertir para alcanzar su meta.
EJEmPlo 5.6
ahorro Usted quiere comprar un automóvil nuevo. Tiene alrededor de 50 000 dólares, pero el automóvil cuesta 68 500. Si usted puede ganar 9%, ¿cuánto debe invertir hoy para comprar el automóvil dentro de dos años? ¿Tiene suficiente? Suponga que el precio seguirá siendo el mismo. Lo que debe conocer es el valor presente de la cantidad de 68 500 dólares que se va a pagar dentro de dos años, a una tasa de 9%. Con base en el análisis, es ésta: VP = 68 500 dólares/1.092 = 68 500 dólares/1.1881 = 57 655.08 dólares Todavía le faltan alrededor de 7 655 dólares, incluso si está dispuesto a esperar dos años.
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
tabla 5.3
Tasa de interés Número de periodos
5%
10%
15%
20%
1
.9524
.9091
.8696
.8333
2
.9070
.8264
.7561
.6944
3
.8638
.7513
.6575
.5787
4
.8227
.6830
.5718
.4823
5
.7835
.6209
.4972
.4019
Factores del valor presente del interés
Como quizá el lector ha reconocido a estas alturas, el cálculo de los valores presentes es muy similar al cálculo de los valores futuros y el resultado general parece casi igual. El valor presente de un dólar que se va a recibir en t periodos en el futuro a una tasa de descuento de r es: VP = $1 × [1/(1 + r)t] = $1/(1 + r)t
[5.2]
La cantidad entre corchetes, 1/(1 + r)t, se conoce con diferentes nombres. Debido a que se utiliza para descontar un futuro flujo de efectivo, a menudo se le conoce como factor de descuento. Con este nombre no es de sorprender que a la tasa utilizada en el cálculo a menudo se le denomine tasa de descuento. Cuando se hable de valores presentes se procurará llamarla de esta manera. tasa de descuento La cantidad entre corchetes también se llama factor del valor presente del interés (o sólo factor La tasa que se utiliza para del valor presente) para un dólar a la r por ciento por t periodos, y en ocasiones se abrevia como calcular el valor presente de los flujos de efectivo futuros. FVPI(r, t). Por último, el cálculo del valor presente de un futuro flujo de efectivo para determinar su valor de hoy se conoce como valoración del flujo de efectivo descontado. valoración del flujo de A manera de ejemplo, suponga que se necesitan 1 000 dólares dentro de tres años. Es posible efectivo descontado ganar 15% sobre el dinero. ¿Cuánto se necesita invertir hoy? Para averiguarlo es necesario deter- El cálculo del valor presente de minar el valor presente de 1 000 dólares dentro de tres años a 15%. Lo anterior se hace al descon- un flujo de efectivo futuro para determinar su valor actual. tar 1 000 dólares tres periodos hacia atrás a 15%. Con estas cifras, el factor de descuento es: 1/(1 + .15)3 = 1/1.5209 = .6575 Por consiguiente, la cantidad que se debe invertir es: $1 000 × .6575 = $657.50 Se dice que 657.50 dólares es el valor presente o valor descontado de 1 000 dólares, que se recibirán dentro de tres años a 15%. Hay tablas para los factores del valor presente, así como tablas para los valores futuros, que se utilizan en la misma forma (si es que se usaran). La tabla 5.3 contiene una serie pequeña. Una serie mucho mayor se encuentra en la tabla A.2, en el apéndice del libro. En la tabla 5.3, el factor de descuento que se acaba de calcular (.6575) se encuentra recorriendo debajo de la columna titulada “15%” hasta llegar al tercer renglón.
suGErEncIas Para El uso dE la calculadora Los problemas del valor presente se resuelven con una calculadora financiera exactamente como se solucionan los problemas del valor futuro. Para el ejemplo que se acaba de examinar (el valor presente de 1 000 dólares que se van a recibir dentro de tres años a 15%), usted haría lo siguiente:
Enter
Solve for
3
15
N
I/Y
1 000
PMT
PV
FV
−657.50
Observe que la respuesta tiene un signo negativo; como se explica antes, eso se debe a que representa un flujo de salida hoy a cambio de un flujo de entrada de 1 000 dólares más adelante.
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P a r t E 3 Valuación de flujos de efectivo a futuro
EJEMPLO 5.7
¿Una publicidad engañosa? En ocasiones, las empresas anuncian: “Venga a probar nuestro producto. ¡Si lo hace, le entregaremos 100 dólares sólo por venir!” Si usted lee la letra menuda, lo que averigua es que le darán un certificado de ahorro que le pagará 100 dólares dentro de 25 años más o menos. Si la tasa de interés actual sobre dichos certificados es de 10%, en realidad, ¿cuánto le entregarán hoy? Lo que de veras recibe usted es el valor presente de 100 dólares que le pagarán dentro de 25 años. Si la tasa de descuento es de 10% anual, entonces el factor de descuento es: 1/1.125 = 1/10.8347 = .0923 Esto indica que un dólar dentro de 25 años hoy vale poco más de nueve centavos, suponiendo una tasa de descuento de 10%. Dado esto, la promoción en realidad le está pagando a usted alrededor de .0923 × 100 dólares = 9.23 dólares. Tal vez esto sea suficiente para atraer a los clientes, pero no son 100 dólares.
A medida que se alarga el tiempo hasta el pago, el valor presente disminuye. Como lo ilustra el ejemplo 5.7, los valores presentes tienden a hacerse más pequeños a medida que aumenta el horizonte de tiempo. Si se ve muy lejos, siempre se acercan a cero. Además, para un lapso determinado, cuanto más elevada es la tasa de descuento, tanto más bajo es el valor presente. Dicho de otra manera, los valores presentes y las tasas de descuento están relacionados de manera inversa. Si se incrementa la tasa de descuento, disminuye el valor presente, y viceversa. La relación entre tiempo, tasas de descuento y valores presentes se ilustra en la figura 5.3. Observe que para el momento en que se llega a 10 años, los valores presentes son considerablemente más pequeños que las cantidades futuras.
FIGURA 5.3 Valor presente de un dólar para diferentes periodos y tasas
1.00
r = 0%
Valor presente de un dólar
.90 .80 .70 .60
r = 5%
.50 .40
r = 10%
.30 r = 15%
.20
r = 20%
.10 1
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6 5 Tiempo (años)
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c a P í t u l o 5 Introducción a la valuación: el valor del dinero en el tiempo
Preguntas sobre conceptos 5.2a ¿Qué se quiere decir con valor presente de una inversión? 5.2b ¿El proceso de descontar una cantidad futura de regreso al presente es lo opuesto de hacer qué? 5.2c ¿Qué se quiere decir con valoración del flujo de efectivo descontado? 5.2d En general, ¿cuál es el valor presente de un dólar que se va a recibir en t periodos, suponiendo una tasa de descuento de r por periodo?
Más sobre los valores presentes y futuros
5.3
Si se regresa a las expresiones propuestas para los valores presentes y futuros, se verá que hay una relación muy sencilla entre ambos. En este apartado se examina esta relación y algunos aspectos vinculados.
valor PrEsEntE y valor Futuro Lo que se conoce como factor del valor presente es sólo el recíproco (es decir, 1 dividido entre) del factor del valor futuro: Factor del valor futuro = (1 + r)t Factor del valor presente = 1/(1 + r)t De hecho, la forma fácil de calcular un factor del valor presente en una calculadora es computar primero el factor del valor futuro y después oprimir la tecla “1/x” a fin de invertirlo. Si se establece que VFt represente el valor futuro después de t periodos, entonces la relación entre el valor futuro y el valor presente se puede escribir tan sólo como uno de los siguientes: VP × (1 + r)t = VFt VP = VFt/(1 + r)t = VFt × [1/(1 + r)t]
[5.3]
A este último resultado se le llama ecuación básica del valor presente y se utilizará en todo el texto. Hay muchas variaciones que se presentan, pero esta sencilla ecuación es la base de muchas de las ideas más importantes en las finanzas corporativas.
Evaluación de inversiones
EJEmPlo 5.8
Para darle una idea de cómo se van a utilizar los valores presentes y futuros, considere la siguiente inversión sencilla. Su empresa se propone comprar un activo a un precio de 335 dólares. Esta inversión es muy segura. Podría vender el activo dentro de tres años a un precio de 400 dólares. Usted sabe que podría invertir los 335 dólares a 10% en otra parte con muy poco riesgo. ¿Qué piensa usted de la inversión propuesta? Esta inversión no es buena. ¿Por qué no? Porque usted puede invertir los 335 dólares en otra parte a 10%. Si lo hace, después de tres años habrá aumentado a: $335 × (1 + r)t = $335 × 1.13 = $335 × 1.331 = $445.89
(continúa)
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