Kelompok 6
OLEH : Alfi Mulyahadi (1001125006) Mika Melina (1001125105) Winda Trisnawati (1001125194)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA JAKARTA 2014
BAB 1 PERSAMAAN CAUCHY REIMANN
A.
PENDAHULUAN Persamaan Cauchy – Reimann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y). Pada pasal ini akan mengembangkan syarat perlu dan cukup agar suatu fungsi yang diberikan mempunyai turunan. Hal ini dicapai melalui dua teorema. Teorema pertama memberikan rumus untuk turunan asal turunan itu ada. Sedangkan teorema kedua memuat syarat cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan akan menjamin adanya adanya turunan fungsi dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu berada. Sebelum membahas kedua teorema tersebut perhatikan gejala berikut. Misalkan diberikan f z z , dengan mengunakan definisi turunan diperoleh: 2
f z lim '
f w f z w z
w z
lim
w 2 z 2
w z
w z
2 z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Misalkan z x iy, diperoleh
f z z 2 x iy x 2 y 2 2 xyi 2
Jadi, u x, y x
y 2 dan v x, y 2 xy
2
Turunan parsial pertama dari u dan v adalah
u x x, y 2 x, u y x, y 2 y ,
v x x, y 2 y ,
dan v y x, y 2 x
Fungsi u, v, u x , u y , v x dan v y semuanya kontinu pada R 2, karena masing-masing merupakan fungsi polinom. Dari turunan parsial pertama dapat dibentuk hubungan berikut
u x v y 2 x dan u y v x 2 y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dari persamaan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa jika f z 2 z , diperoleh '
f ' z 2 x iy 2 x 2iy u x iv x v y iu y Dengan melihat gejala tersebut di atas diturunkan suatu teorema yang disajikan di bawah ini yang disebut dengan persamaan Cauchy Reimann.
B.
PERSAMAAN CAUCHY REIMANN 1. Definisi Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
u x v y
u y v x
dengan u x 2.
u u v v u y v x v y x y x y
.
Teorema Teorema 1 Diberikan f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y) terdefinisi pad region D C dan
z 0 x0 iy 0 D . Jika f ( z 0 ) ada, maka
f ( z 0 )
u v u v ( x0 , y 0 ) i ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 ) i ( x , y ) x x y y 0 0
sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu
u v u v ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 ) dan ( x0 , y 0 ) i ( x0 , y 0 ) x y y x Bukti : Karena f ( z 0 ) ada, maka sepanjang y = 0 diperoleh : f ( z 0 ) lim
f ( z 0 z ) f ( z 0 )
z u x0 x, y0 y iv x0 x, y0 y u( x0 , y0 ) iv( x0 , y0 ) f ( z 0 ) lim x ( x , x )( 0 , 0 ) u x0 x, y0 u( x0 , y0 ) iv x0 x, y0 v( x0 , y0 ) f ( z 0 ) lim x x 0 u x0 x, y0 u( x0 , y0 ) v x0 x, y0 v( x0 , y0 ) i lim f ( z 0 ) lim x x x 0 x 0 u v f ( z 0 ) ( x0 , y 0 ) i ( x0 , y 0 ) x x z 0
Dengan memilih kurva x = 0, secara sama akan diperoleh bahwa
f ( z 0 )
u v ( x0 , y 0 ) i ( x0 , y 0 ) x x
Teorema kedua memuat syarat cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan akan menjamin adanya turunan fungsi dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu berada. Teorema 2 Diberikan f z u x, y iv x, y terdefinisi pada region D C dan z 0
x0 iy0 D.
Jika
1
fungsi u x, y , v x, y , u x x, y , u y x, y , v x x, y , dan v y x, y , semuanya kontinu di titik z 0 x0 , y 0
2
memenuhi persamaan Cauchy Re imann u x x0 , y 0 v y x0 , y 0 dan u y x0 , y 0 v x x0 , y 0 maka f ' z 0 ada dan f ' z 0 u x x0 , y 0 iv x x0 , y 0 v y x0 , y 0 iu y x0 , y 0
Bukti: Misalkan f z u x, y iv x, y , maka untuk sebarang titik x0 '
N z 0 , r diperoleh
u u x0 x, y 0 y u x0 , y 0 u u u x y x, y x x, y y v y
x, y 0 y pada
dengan
lim
x , y 0, 0
x, y 0 dan
lim
x , y 0, 0
x, y 0
Selain itu, diperoleh
v v x0 x, y 0 y w x0 , y 0 v v v x y x, y x x, y y x y Dengan
() () () () () ()
dan
Menurut hipotesis (2), dua relasi diatas menjadi:
∆x+ ∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y .. . . . . . . . . (i) ∆v = ∆x+ ∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y . . . . . . . . . (ii) ∆u =
dan
Oleh karena itu, diperoleh f(z 0 + ∆z ) – f(z 0 ) = [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x,y0 + ∆y)] – [u(x0 ,y0 ) + iv(x0 ,y0 )] = [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – u(x0 ,y0 )] + i[v(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – v(x0 ,y0 )] = ∆u + i∆v Menurut (i) dan (ii), persamaan itu menghasilkan
f z 0 z f z 0
z
= = =
+ ( + i ) . . . . . . . . . (iii)
+ ( + i ) + ( + i )
+ ( + i )
+ ( + i ) + ( + i )
Berasarkan relasi (iii), diambil limitnya untuk ∆z → 0 sehingga diperoleh:
( ) ( ) + ( )() * * ( ) ( ) + =
f’(z0) =
karena ∆z → 0 maka ∆ x → 0 dan ∆ y → 0 serta semua , , , → 0, sehinga diperoleh
+i
→ 0 dan + i → 0.
≤ 1 dan ≤ 1, diperoleh f’(z ) = Dengan cara sama , diperoleh f’(z ) = Karena | 0
0
Catatan: (a) Pada teorema 2 terdapat beberapa hal penting untuk diperhatika, yaitu - konvers dari teorema tersebut salah - dapat terjadi persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, tetapi f’(Z 0 ). - syarat (2) yaitu persamaan cauchy reimann merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup untuk eksitensi f’(Z 0 )
(b)
Teorema 2 menyatakan sebagai konverse dari teorema 1, yaitu jika f’(z 0) ada, maka persamaan Cauchy Reimann dipenuhi. Tetapi terdapat suatu fungsi yang mempunyai turunan tetapi fungsi komponennya u dan v serta turunan parsial tidak semuanya kontinu.
Bentuk Polar Persamaan Cauchy-Reimann Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks f z u r , iv r , dengan
z re i r cos i sin , dimana u r , r cos dan v r sin . Sehingga
u cos r v sin r
dan dan
v r cos u r sin
maka
u 1 v r r
C.
v 1 u r r
dan
CONTOH SOAL 1.
Diberikan fungsi f(z) =
{ () () () ()
Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi
f ' z lim
f z 0 z f z 0
z
z 0
tak kontinu di (0,0)
u u x0 , y0 i x0 , y0 x x
x 2 sin x1 u x,0 u0,0 1 u 0,0 lim f ' 0 lim lim x sin 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x Penyelesaian : Misalkan u(x,y) =
{ () () () ()
Dan v(x,y) = 0, untuk setiap (x,y). Diperoleh :
x 2 sin x1 0 u u x,0 u 0,0 1 0,0 lim lim lim x sin 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x
dan
1 1 1 u 2 x sin x 2 cos x x x x 1 1 u 2 x sin cos x x x
f u x 2 sin x1 Misal x 2 p sin x1 p
p ' 2 x
q ' cos x1 x12 q ' x12 cos x1
u 1 p' q pq' 2 x sin x1 x 2 2 cos x1 2 x sin x1 cos x1 x x u 1 1 lim 2 x sin cos Sehingga diperoleh lim x , y 0 , 0 x x , y 0 , 0 x x lim
x , y 0 , 0
2 x sin
1
1 cos x
lim
x x , y 0, 0 1 0 lim cos x , y 0 , 0 x 1 lim cos tidak ada x , y 0 , 0 x
() ( ) Karena maka tak kontinu di (0,0) ()()
Tetapi, f ' 0 lim
f 0 z f 0
z 0
z
lim
z 0
f z
z
lim
z 0
z 2 sin 1z z
f ' 0 lim z sin 1z lim 0 sin 10 0 z 0
2.
_ 2 z , z 0 z Diberikan fungsi f z 0 , z 0 Tunjukkan bahwa persamaan Cauchy Reimann dipenuhi di z 0, tetapi f 0 tidak ada. '
Penyelesaian:
_ 3 z , z 0 z 2 f z 0 , z 0
x 3 3 xy 2 y 3 3 x 2 y x 2 y 2 x 2 y 2 , x, y 0,0 = 0, x, y 0,0
Diperoleh:
x 3 3 xy 2 x 2 y 2 , x, y 0,0 u x, y 0 , x, y 0,0 dan
y 3 3 x 2 y , x, y 0,0 2 2 x y v x, y 0 , x, y 0,0 Oleh karena itu, diperoleh x
3
0 2 u u x,0 u 0,0 x 0,0 lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x0 x x 0 x u u 0, y u 0,0 0 0,0 lim lim 0 y 0 y 0 y y y 0 v v x,0 v0,0 0 lim 0 0,0 lim x 0 x 0 x x x 0 y
3
0 2 v v0, y v0,0 y 0,0 lim lim lim 1 1 y 0 y 0 y 0 y y 0 y Karena
u v u v 0,0 1 0,0 dan 0,0 0 0,0 , x y y x
maka persamaan C-R dipenuhi
di (0, 0), tetapi _
z f 0 lim '
f z f 0
z 0
z 0
Sepanjang kurva y = 0,
Sepanjang kurva y = x,
3.
_ 2
x iy z lim z lim 2 lim x , y 0 , 0 x iy 2 z 0 z z 0 z 2
lim
x iy 2 lim 2 x iy x0
lim
2ix 2 x iy 2 lim 1 x iy 2 x0 2ix 2
x , y 0, 0
x , y 0, 0
x 2 x 2
1
Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya a.
f ( z ) x 2 iy 2
b.
f ( z ) z
c.
f ( z ) z
2
Penyelesaian : a.
f ( z ) x 2 iy 2 .Df = C.
x 2 dan v( x, y ) y 2 maka u u v v u u v v 2 x, 0 0, 2 y dan u, v, , , , semuanya x y x y x y x y
Misalkan u ( x, y )
untuk setiap (x,y) R 2
kontinu
Misalkan persamaan C-R dipenuhi, yaitu
u v x y 2 x 2 y y x u v 0 0 y x f ( z 0 ) ada hanya untuk satu titik z 0 ( x0 , y0 )
u v ( x0 , y 0 ) i ( x0 , y 0 ) 2 x x x Akibatnya diperoleh f ( z ) 2 x Jadi f ( z 0 )
b.
f ( z ) z x iy .Df = C. Misalkan u ( x, y ) x dan v( x, y ) y maka
u u v v u u v v 1, 0 0, 1 dan u, v, , , , semuanya x y x y x y x y
kontinu untuk
setiap (x,y) R 2 Karena
u v 1 1 untuk setiap(x,y) R 2maka f ( z ) z tidak x y
mempunyai turunan
pada C. c.
2
f ( z ) z x 2 y 2 .Df = C.
x 2 y 2 dan v( x, y ) 0 maka u u v v u u v v 2 x, 2 y 0, 0 dan u, v, , , , semuanya kontinu untuk x y x y x y x y
Misalkan u ( x, y )
setiap (x,y) R 2 Misalkan persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, yaitu
u v x y _ 2 x 0 x 0 f z r e Selidiki apakah 1 u v 2 y 0 y 0 y x Persamaan Cauchy Riemann hanya dipenuhi di titik (0,0) z = 0 dan f ( z )
2
R .
jadi f ( z ) ada hanyauntuk
u v (0 ,0 ) i (0,0) 0 0i 0 x x _
4. Selidiki apakah f z 1 r e diferensial di z 1 _
f z 1 r e 1 r cos ir sin . Maka u r , 1 r cos dan v r , r sin tidak
_
berlaku persamaanCauchy - Reimann di z 1 r 1 dan 0. Jadi f z 1 r e tidak diferensial di z 1
D.
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan semua nilai z C sehingga f ' z tidak ada _
2.
a.
f z z z
b.
f z 2 x ixy 2
Tunjukkan bahwa f ' dan f ' ' ada setiap z C , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan pertama dan keduanya
3.
a.
f z iz 2
b.
f z z 3
Tunjukkan bahwa fungsi
x 3 y 3 x 3 y 3 x 2 y 2 x 2 y 2 i , z 0 f z 0 , z 0 4.
Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di z 0 , tetapi tidak mempunyai turunan di C. Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut a.
f z x 2 y 2 i
b.
f z
c.
f z e y cos x i sin y
1 x iy
LAMPIRAN Penyelesaian Latihan Soal 1.
Tentukan semua nilai z C sehingga f ' z tidak ada _
a.
f z z z f x, y x iy x iy x x iy iy 2iy u x, y 0 v x, y 2 y u x 0
v x 0
u y 0
v y 2
karena u x v y dan v x u y maka tidak berlaku persamaanCauchy Reimann sehingga f z tidak ada b.
f z 2 x ixy 2
f x, y 2 x ixy 2 u x, y 2 x
v x, y xy 2
u x 2
v x y 2
u y 0
v y 2 xy
karena u x v y dan v x u y maka tidak berlaku persamaanCauchy Reimann sehingga f z tidak ada 2.
Tunjukkan bahwa f ' dan f ' ' ada setiap z C , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan pertama dan keduanya a.
f z iz 2 f x, y i x iy 2 xi i 2 y 2 xi y 2 2 y xi u x, y 2 y u x 0 u y 1 v x, y x v x 1 v y 0 karena u x v y dan v x u y maka berlaku persamaanCauchy Reimann sehingga f z analitik f ' z u x iv x 0 i f ' ' z 0
b.
f z z 3
f z x iy x iy x 2 2 xyi i 2 y 2 x iy x 3 x 2 yi 2 x 2 yi 2 xy 2 i 2 2
xy 2 y 3if z x 3 3 x 2 yi 2 xy 2 xy 2 y 3i x 3 3 x 2 yi 3 xy 2 y 3i x 3 3 xy 2 f z x 3 3 xy 2 3 x 2 yi y 3i u x, y x 3 3 xy 2 u x 3 x 2 3 y 2 u y 6 xy v x, y 3 x 2 y y 3 v x 6 xy v y 3 x 2 3 y 2 karena u x v y 3 x 2 3 y 2 dan v x u y 6 xy maka berlaku persamaan
Cauchy Reimann sehingga f z analitik f ' z u x iv x 3 x 2 3 y 2 6 xyi f ' ' z 6 x 6 yi x yi 3.
Tunjukkan bahwa fungsi
x 3 y 3 x 3 y 3 x 2 y 2 x 2 y 2 i , z 0 f z 0 , z 0 Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di z 0 , tetapi tidak mempunyai turunan di C.
x 3 y 3 x 2 y 2 , x, y 0,0 u x, y 0 , x, y 0,0 dan
x 3 y 3 x 2 y 2 , x, y 0,0 v x, y 0 , x, y 0,0 Oleh karena itu, diperoleh 3 u u x,0 u0,0 x x 0,0 lim lim 2 lim lim 1 1 x0 x 0 x x0 x x0 x x 0
x
u y 3 y u 0, y u0,0 0,0 lim lim lim lim 1 1 2 y 0 y 0 y 0 y 0 y y 0 y y y
v v x,0 v 0,0 x 3 x lim 2 lim lim 1 1 0,0 xlim x 0 x x 0 x x 0 0 x x 0 x
v v0, y v 0,0 y 3 y lim 2 lim lim 1 1 0,0 lim y 0 y 0 y y 0 y y 0 y y 0 y karena
u v u v 0,0 1 0,0 dan 0,0 1 0,0 , maka x y y x
pers amaan Cauchy Reimann dipenuhi di 0,0 , tetapi f ' 0 lim z 0
f z f 0 z 0
lim
x , y 0, 0
x
y 3 x 3 y 3 2 i x 2 y 2 x y 2 3
2 x 3
x 2 x 2 Karena sepanjang kurva y 0 dan y x nilai limitnya berbeda, maka lim
x , y 0, 0
lim
x , y 0, 0
4.
x
y 3 x 3 y 3 2 i tidak ada. Jadi, f ' 0 tidak ada. x 2 y 2 x y 2 3
Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut a.
f z x 2 y 2 i
u x, y x 2 u x 2 x u y 0 v x, y y 2 v x 0 v y 2 y karena u x v y dan v x u y maka tidak berlaku persamaanCauchy Reimann sehingga tidak memiliki diferensial. 1
b.
f z
c.
1 untuk z i . Fungsi f analitik disetiap titik kecuali di titik z i x iy 2 Titik z i adalah titik singular. f z e y cos x i sin y
x iy
f ' z
f x, y e y cos x e y i sin y u x, y e y cos x v x, y e y i sin y
u x e y sin x v x 0
u y e y cos x
v y e y cos y
karena u x v y dan u y v x maka tidak berlaku persamaan Cauchy Reimann sehingga tidak memiliki diferensial
