TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
3.1. Turunan Fungsi Kompleks Turunan dari fungsi kompleks f pada titik z0 di tuliskan f’(z0) di nyatakan
dengan : f’(z0)= z lim → z
f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0
0
Atau dapat di tuliskan : f(z0)= lim
f ( z 0 + ∆ z ) − f ( z 0 ) ∆ z
∆ z →0
fungsi f’(z) di sebut diferensial ( dapat di turunkan ) di z0 bila limit di atas ada.
Contoh soal: Tentukan turunan dari fungsi berikut : . f(z) = ! "a#ab : f’(z)= lim
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ z
∆ z →0
= lim
∆ z →0
c −c ∆ z
=0
$. f(z) = z$ "a#ab :
f % ( z ) = lim
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ z
∆ z →0
=
lim ( $ z + ∆ z )
∆ z →0
•
=
=
lim
∆ z →0
f ( z + ∆ z ) $ ∆ z
$
− z
=
lim
∆ z →0
$ z ∆ z + ( ∆ z ) $ ∆ z
Atau
$ z
gunakan sifat&sifat turunan : f(z)=z$ maka f’(z)= $z$& f’(z) = $z
'. f(z) =
$ z + '
"a#ab : f ( z + ∆ z ) − f ( z ) f’() = ∆lim z →0 ∆ z $ ( z + ∆ z ) + ' = ∆lim z →0
−
$ ( z + '
∆ z
$( z + ') − ${ ( z + ∆ z ) + '}
lim = ∆ z →0
{ ( z + ∆ z ) + '} ( z + ') ∆ z
− $∆ z
lim { ( z + ∆ z ) + '} ( z + ∆ z ) = ∆ z →0 ∆ z −$
lim = ∆ z →0
{ ( z + ∆ z ) + '} ( z + ')
lim = ∆ z →0
−$ ( x + ') $
3.2. Persamaan Cauchy Riemann A. Fungsi Analitik •
uatu fungsi f(z) di katakan analitik di suatu domain * +ika f(z) terdefinisi dan dapat di turunkan pada setiap titik dari *.
•
,ungsi f(z) analitik pada z=z0 di *- +ika f(z) analitik di dalam lingkungan dari z0.
•
"adi keanalitikan f(z) di z0 berarti ba#a f(z) mempunyai turunan pada setiap titik di dalam suatu lingkaran dari z0 ( termasuk z0 sendiri)
$
B. Persamaan Cauchy Riemann
Andaikan suatu fungsi kompleks f(z) = u(-y)i/(-y) mempunyai turunan pada titik z0 = (a-b) atau fungsi analitik- maka f’(z)=ui/ terhadap
f’(z)=/y&i/y terhadap y
"adi :
u = /y dan / = &uy
Atau dapat di tulis : 6ersamaan Cau!hy 7iemann
Contoh soal: Tun+ukkan bah#a f(z) = z$i z'&i analitik 1 "a#ab : 2isal : z = iy
f(z) = (iy)$ i (iy) ' 3 i $ f(z) = ( x
− y − y + ' + ( $ xy + x − ) i $
u
4 (-y)=$ 3 y$ 3 y ' ∂u ∂u = −$ y − = $ x dan ∂ y ∂ x
/
5 (-y)=$y &
∂v = $ y + dan ∂ x
∂u ∂v = terpenuhi ∂ x ∂ y
∂u ∂v =− terpenuhi ∂ y ∂ x
ℑv = $ x ∂ y
'
"adi- f(z) analitik memenuhi persamaan Cau!hy 7iemann
C. Turunan Fungsi Elementer •
Turunan 8ksponensial (ez)’ = e
•
,ungsi Trigonometri dan hiperbolik . (!os z)’ = & sin z $. (sin z)’ = !oz z '. (tan z)’ = se!$ z 9. (!osh z)’ = sinh z . (sinh z)’ = !osh z . (tanh z)’ = se!h$ z
Contoh soal: *iferensialkan fungsi&fungsi berikut : = sin ( z − ) −$ maka; sin % = − z !os = − $ !os z z z z z
. sin
$. sinh (z$) maka; (sinh z$)’=$z !osh z
. Persamaan !aplace "an Fungsi #armonik
Andaikan suatu fungsi kompleks f ( z ) = u ( x- y ) + iv ( x- y ) yang analitik dalam domain *- maka memenihi persamaan
∂$ u ∂$ u ∇ u $ + $ = 0 ∂ x ∂ y $
Atau
∂$ v ∂$ v ∇ v $ + $ = 0 ∂ x ∂ y $
ila mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam *. 2aka fungsi kompleks tersebut merupakan fungsi harmonik.
9
Contoh oal : . elidiki bah#a f (u ) = $ x ( − y ) harmonik1 "a#ab :
= $ x − $ xy ∂$u $ $ y = − ⇒ $ =0 ∂ x $ ∂u = −$ x ⇒ $ = 0 ∂ y
f (u )
∂u ∂ x ∂u ∂ y
$ u ∂$u ∂ 6ersamaan
∴ fungsi f (u ) = $ x( − y ) harmonik. $. elidiki apakah f (u ) = x
$
− y $ − $ xy − $ x + ' y harmonik atau tidak> ?emudian
tentukan f ( z ) 1 "a#ab :
= x $ − y $ − $ xy − $ x + ' y ∂u = $ x − $ y − $ ⇒ ∂ $ u = $ ∂ x ∂ x $ ∂u = −$ y − $ x + ' ⇒ ∂ $ u = −$ ∂ y ∂ y $ $ u ∂ $u ∂ $ ∇ u = $ + $ = $ −$ = 0 ∂ x ∂ y
f (u )
"adi f (u ) merupakan fungsi harmonik. 6ersamaan Cau!hy 7iemann;
∂u ∂v = ∂ x ∂ y $ x −$ y −$ =
∂v ∂ y
∂v = ($ x −$ y −$)∂ y
∫
v = ($ x −$ y −$)∂ y v = $ xy − y
$
−$ y +c
$%A!&$%A! !AT'#A(
. Carilah f ( z ) dengan menggunakan definisi : a. f ( z ) = z $
+ ' z
b. f ( z ) = $ z −
$. Tun+ukkan keanalitikan dari persamaan berikut : a. f ( z )
= iz $ − 9 z + 'i
b. f ( z ) = ' z $
+ 9iz − + i
!. f ( z ) = z
$
+ iz + ' − i
'. elidikilah apakah fungsi f (u ) = x $
− y $ + $ xy − ' x + $ y merupakan fungsi
harmonik- lalu !ari f ( z ) nya1
9. Tentukan fungsi analitik f ( z ) = u ( x- y ) + iv ( x - y ) apabila diketahui : $ $ a. u = x − y − y
9 $ $ 9 b. u = x − x y + y
. deferensialkan fungsi berikut : a. b.
d sin z = !os z dz d dz
tan z = se! $ z
Penyelesaian Soal – Soal Latihan
.
a. f(z) = z$ 'z f(z ∆z ) = (z
z ) (z ∆
∆z)'(z ∆ z )&(z$'z)
= z$ $z ∆z ∆z $'z' ∆z &z$&'z = $z ∆z ∆ z $ ' ∆z = lim
∆ z →0
= lim
∆ z →0
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ z
$ z ∆ z + ∆ z $
+ '∆ z
∆ z
@
= ∆lim $z ∆z ' z →0 = $z' b. f(z) = $z 3 z ) = $(z ∆ z ) & f(z ∆
= $z $ ∆z & = lim
f ( z + ∆ z ) − f ( z )
∆ z $ z + $∆ z − − ($ z − ) lim ∆ z →o ∆ z
∆ z →0
=
= lim
$ z + $ ∆ z − − $ z +
∆ z
∆ z →0
=0
$. a. f ( z ) = iz $
− 9 z + 'i
2isal : z = x + iy f ( z )
= i ( x + iy )( x + iy ) − 9( x + iy ) + 'i = i ( x $ + $ xiy + i $ y $ ) − 9 x − 9iy + 'i = ix $ + $ xi $ y + i $ y $ i − 9 x − 9iy + 'i = ix $ − $ xy − y $ i − 9 x − 9iy + 'i
= ( −$ xy − 9 x ) + ( x $ − y $ − 9 y + ')i u
/
u ( x- y ) = −$ xy − 9 x
∂u = −$ y − 9 ∂u = −$ x ∂v = ∂v terpenuhi ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y v ( x - y ) = ( x $ − y $ − 9 y + ')i ∂v = $ x ∂v = −$ y − 9 ∂v = − ∂v terpenuhi ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y "adi f(z) analitik memenuhi persamaan Cau!hy 7iemann
b. f(z) = 'z $ 9iz&i maka : f(z) = '(iy)(iy)9i(iy)&i
= '( = '
$
$
+$ xiy + i $ y $ ) + 9ix + 9i $ y − + i
+ xiy + i $ y $ ) + 9ix + 9i $ y − + i
$ $ = ' +: xiy − y + 9ix − 9 y − + i
= (' $ − y $
− 9 y − ) + ( xy + 9 x + )i
u
/
u ( x- y ) =' $ − y $ − 9 y −
∂u = x ∂u = −$ y − 9 ∂v ∂v = terpenuhi ∂ x ∂ y x ∂ y ∂ v ( x- y ) = xy + 9 x + ∂v = y + 9 ∂v = y ∂v = − ∂v terpenuhi ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y "adi f(z) analitik memenuhi persamaan Cau!hy 7iemann
!. f(z) = z $ +iz ' & i misal : z = iy $ f(z) = ( x + iy ) + i ( x + iy ) + ' − i
f(z) = ( $ − y $ − y + ') + ( $ xy + x −)i $ $ • u(-y) = − y − y + '
∂u = $ x ∂u = −$ y − ∂v ∂v = terpenuhi ∂ x ∂ y x ∂ y ∂ v ( x- y ) = $ xy + x + ∂v = $ y + ∂v = $ y ∂v = − ∂v terpenuhi ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y "adi- f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cau!hy 7ieman.
'. f (u ) = x $
− y $ + $ xy − ' x + $ y
2aka: f(u) = $ − y $ + $ xy − ' x + $ y
∂u = $ + $ − ' ⇒ ∂ $ u x y =$ ∂ y $ ∂ x ∂u ∂$ u = −$ y + $ x + $ ⇒ $ = −$ ∂ y ∂ y
B
∆$ u =
∂$ u ∂ $ u + ∂ x $ ∂ y $
=$(&$) =0 "adi- fungsi f() fungsi harmoni! •
6ersamaan Cau!hy 7iemen ∂u ∂v = ∂ x ∂ y
⇒ $ $y 3 ' =
∂ v ∂ y
∂v = ($ x + $ y − ') ∂ y /=
∫ ($ x +$ y −')∂y
/ = $y y $ & 'y +adi- f(z) = u i/ = ( $ − y $
+ $ xy − ' x + $ y ) + ($ xy + y $ − ' y + c)
9. a. u = $ − y $ − y ∂u ∂ x
= $ x
∂u = −$ y − ∂ y
?on+ugat harus memenuhi
∂u ∂v ∂u ∂v =− = dan ∂ y ∂ x ∂ x ∂ y
ehingga; ∂u ∂ x
∂v = $ y + ∂ x
= $ x
"adi/ = $y = $y ! ,ungsi analitik : f(z) = u (-y) i/ (-y) =
$
− y $ − y + i ( $ xy + x + c )
= z $ +iz + ic
0
b. u = 9 −: x $ y $ + y $
∂u = 9 x ' −$ xy $ ∂ x ∂u = −$ x $ y + 9 y ' ∂ y
∂u ∂v ∂u ∂v =− = dan ∂ y ∂ x ∂ x ∂ y
?on+ugat harus memenuhi ehingga; ∂v = 9 x ' −$ xy $ ∂ y
/=
$ '
x $ y − 9 xy ' + h ( y ) - h(y) = o
' ' maka; / = 9 y − 9 xy + c
fungsi analitik : f(z) = u (-y) i/(-y) f(z) = x 9
− x $ y $ + y 9 + i (9 x ' y − 9 xy ' + c)
= z 9 i!
. a.
d sin z = !os z dz
in z = !os z
b.
d dz
tan z = se! $ z
sin z = se! $ z dz !os z d
2issal: u = sin z
/ = !os z
u’= !os z
/’= & sin z
maka:
(!os z )(!os z ) − ( − sin z )(sin z ) u % v − v% u = $ v !os $ z
⇒
!os $ z + sin $ z $
!os z
⇒
!os
$
z
⇒ se! $ z
= se! $ z = se! $ z = se! $ z
687TADAA&687TADAA AAT *E?4E
. 6ertanyaan dari 7iyani ($00$') a. Tun+ukkan keanalitikan dari persamaan f(z) = ( i )z$ "a#ab : 2isal : z = iy f ( z ) = ( + i ) z $ f ( z ) = ( + i )( x + iy ) $ f ( z ) = ( + i )( x $ + $ xyi − y $ ) f ( z ) = x $ + $ xyi − y $ + ix $ − $ xy − iy $ f ( z ) = ( x $ − y $ − $ xy) + ( $ xy + x $ − y $ )i
2isal : u = x $ − y $ − $ xy v = $ xy + x $ − y $
4ntuk u = x $ − y $ − $ xy
$
u ( x- y ) = x $ − y $ − $ xy
∂u ∂u = $ x − $ ydan = −$ y − $ x ∂ x ∂ y ∂u ∂v ∂u ∂v $ $ = = − (terpenuhi) v ( x- y ) = x − y − $ xy (terpenuhi) dan ∂ y ∂ x ∂ x ∂ y ∂v ∂v = $ x − $ ydan = −$ y − $ x ∂ x ∂ y "adi f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cau!hy 7iemann b. Tentukan fungsi analitik f(z) = u(-y) /(-y) apabila diketahui u = y$ & $ "a#ab : f (u ) = y $ − x $
∂u = − ⇒ ∂ $ u = − $ x $ ∂ x ∂ x $ ∂u = ⇒ ∂ $ u = $ y $ ∂ y ∂ y $ $ $ ∇ $ u = ∂ u$ + ∂ u$ = −$ + $ = 0 ∂ x ∂ y "adi f(u) merupakan fungsi harmoni! 6ersamaan Cau!hy 7iemann ∂u ∂u = ∂ x ∂ y ∂u − $ x = ∂ y ∂v = ( −$ x )∂ y
∫
v = ( −$ x ) ∂ y v = −$ xy + c f ( z ) = u + iv f ( z ) = ( y $ − x $ ) + i ( −$ xy + c )
$. 6ertanyaan dari iti Asiah ($00$'@$)
'
*iketahui f(z) = !os z. Tentukan turunan dari fungsi tersebut dengan menggunakan rumus f % ( z )
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) = ∆lim z →0 ∆ z
"a#ab : f ( z + ∆ z ) = !os( z + ∆ z ) f ( z + ∆ z ) = !os z . !os ∆ z − sin z . sin ∆ z f ( z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ z →0 ∆ z
f % ( z ) = lim
(!os z . !os ∆ z − sin z . sin ∆ z ) − !os z
= lim
∆ z − !os z ( − !os ∆ z ) − sin z . sin ∆ z = lim ∆ z →0 ∆ z − !os ∆ z sin ∆ z = lim (− !os z − sin z ∆ z →0 ∆ z ∆ z = (− !os z ).0 − (sin z ). = −sin z ∆ z →0
'. pertanyaan dari urlena ($00$'0) Carilah f’(z) dengan menggunakan definisi : a. f ( z ) =
$ z − i z + $i
b. f ( z ) = z ' − $ z "a#ab : a. f ( z + ∆ z )
= $( z + ∆ z ) − i ( z + ∆ z ) + $i
= f % ( z )
$ z + $∆ z − i z + ∆ z + $i
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) = ∆lim z →0 ∆ z
9
$ z + $∆ z − i = lim
∆ z →0
z + ∆ z + $i ∆ z
−
$ z − i z + $i
$ z $ + $ z ∆ z − zi + 9 zi + 9i∆ z − ($ z $ + $ z ∆ z + 9 zi − zi − i∆ z − $i $ ( z + ∆ z + $i )( z + $i)
= lim
∆ z
∆ z →0
$
$
$ z + $ z ∆ z − zi + 9 zi + $i − $ z $ − $ z ∆ z − 9 zi + zi + i∆ z − $ ( z + ∆ z + $i)( z + $i )
= lim
∆ z
∆ z →0
i∆ z ( z + ∆ z + $i)( z + $i )
= lim
∆ z
∆ z →0
i
= lim
∆ z →0
=
( z + ∆ z + $i )( z + $i)
i ( z + $i ) $
b. f ( z ) = z $ − $ z f ( z + ∆ z )
= ( z + ∆ z )( z + ∆ z )( z + ∆ z ) − $( z + ∆z ) = ( z $ + $ z ∆ z + ∆ z $ )( z + ∆ z ) − $ z − $∆ z = z ' + $ z $ ∆ z + z ∆ z $ + z $ ∆ z + $ z ∆ z $ + ∆ z ' − $ z − $∆ z = z ' + ' z $ ∆ z + ' z ∆ z $ + ∆ z ' − $ z − $∆ z
f % ( z ) = lim
∆ z →0
= lim
f ( z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ z
z ' + ' z $ ∆ z + ' z ∆ z $ + 9 z ' − $ z − $∆ z − ( z ' − $ z ) ∆ z
∆ z →0
$
= lim
$
'
' z ∆ z + ' z ∆ z + ∆ z − $∆ z ∆ z
∆ z →0
$
$
= lim ' z + ' z ∆ z + ∆ z − $ ∆ z →0
$
= ' z + ' z (0) − $ $
= ' z − $
9. 6ertanyaan dari 7ani Tartillah ($00$'') uktikan apakah f (u ) = e −x ( x sin y − y !os y ) merupakan fungsi harmoni!> "a#ab : f (u ) = e −x ( x sin y − y !os y )
⇒ ∂u = e − x ( x sin y − y !os y) + e − x sin y ∂ x $
∂ u ∂ x
$
=e
− x
( x sin y − y !os y ) − e − x sin y − e − x sin y
= e − x ( x sin y − y !os y ) − $e − x sin y = e − x ( x sin y − y !os y − $ sin y )
⇒
∂u = e −x ( x !os y − !os y + y sin y ) ∂ y =e
− x
(− x sin y + $ sin y + y !os y )
∂ $ u ∂$ u + = 0 ⇒ harmonik ∂ x $ ∂ y $
. 6ertanyaan dari 2ita 6arlia ari Tun+ukan apakah f ( z ) = !os $ z analitik1 "a#ab : 2isal : z = x +iy f ( z ) = !os($( x +iy))
= !os( $ x + $iy ) = !os $ x + !os $iy = !os $ x + (!os $ y )i
2isal : u = !os $ / = !os $y
∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂v ∂ x ∂v ∂ y
= −$ sin $ x =0 ⇒
=0
∂u ∂v ∂u ∂v ≠ =− dan ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
= −$ sin $ y
∴ f ( z ) tidak analitik
. 6ertanyaan dari Endah 2arta ?umala *e#i ($00$'$) elidiki bah#a f (u ) = $ x $
$
+ y + 9 xy + $ x + y harmoni!
atau tidak dan tentukan f(z)1
"a#ab : ∂u ∂ x ∂u ∂ y
$
= 9 x + 9 y + $ ⇒
∂ u ∂ x
$
=9
$
= $ y + 9 x + ⇒
∂ u ∂ y
$
=$
∂ $u ∂ $u ∇u= $ + =9+$ = ∂ y ∂ x $
"adi f(u) bukan fungsi harmoni! 6ersamaan Cau!hy 7iemann ∂u ∂v = ∂ x ∂ y 9 x + 9 y +$ =
∂v ∂ y
∂u = 9 x +9 y +$∂ y
∫
v = 9 x + 9 y +$∂ y
= 9 xy + $ y $ + $ y + c f(z) = u i/ $ $ $ f ( z ) = ($ x + y + 9 xy + $ x + y) + ( 9 xy + $ y + $ y + c )i
@. 6ertanyaan dari Daumil Agus Akhir($00$'0) $ $ uktikan apakah f (v ) = ' x y + $ x
− y ' − $ y $ merupakan fungsi harmoni! lalu !ari
f(z)nya1
@
"a#ab :
= ' x $ y + $ x $ − y ' − $ y $ $ ∂ = xy + 9 x ⇒ v$ = − y − 9 ∂ y $ ∂ $ $ = ' x − ' y − 9 y ⇒ v$ = − y − 9 ∂ y
f (v )
∂v ∂ x ∂v ∂ y
∇$ v =
∂$ v ∂$ v + = : x − : y ∂ x $ ∂ y $
"adi f(/) bukan merupakan fungsi harmoni! 6ersamaan Cau!hy 7iemann $ ∂u ∂v = ∂ x ∂ y ∂v ∂ y ∂u = : xy + 9 x∂ y : xy + 9 x =
∫
u = : xy + 9 x∂ y u = : xy $ + 9 xy + c jadif ( z ) = u + iv f ( z ) = (: xy $ + 9 xy + c ) + i (' x $ y + $ x $ − y ' − $ y $ )
. hhhh
