1
Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos, d) Determinar la esperanza matemática de que los accidentes se atribuyan a errores humanos e) Hallar la desviación estandart y el coeficiente de variación.
p= q=
Probabilidad de que sucedan por error humano Probabilidad de que no sucedan por error humano
n= x= x
5 Variable aleatoria = 0 1 2 3 5
0.75 0.25
a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos
b
(
2;
5;
Respuesta Respuesta
0.75 )
= 5 C 2 * 0.563 * 0.0156 = = 10 0.563 0.0156 = 0.087890625
0.087890625 8.79%
es la probabilidad de que 2 accidentes se atribuyan a errores humanos es la probabilidad de que 2 accidentes se atribuyan a errores humanos
b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano b
(
0;
5;
0.75 )
= 5C 0* = 1
* 0.000976563 0.000976563
= = 0.0009765625
b
(
1;
5;
0.75 )
= 5 C 1 * 0.75 * 0.00390625 = 5 0.75 0.00390625
= = 0.0146484375
0.0009765625 Respuesta Respuesta
0.0146484375 = 0.015625 1.56%
1 1
0.015625
es la probabilidad de que maximo 1 accidente se atribuya a errores humanos es la probabilidad de que maximo 1 accidente se atribuya a errores humanos
c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos, Cambiamos a la probabilidad de que no sean por error humano b ( 3 ; 5 ; 0.25 ) = 5 C 3 * 0.016 * 0.5625 = 10 0.016 0.5625
= = 0.087890625
Respuesta Respuesta
0.08789 8.79%
es la probabilidad de que 3 de los accidentes no se atribuyan a errores humanos es la probabilidad de que 3 de los accidentes no se atribuyan a errores humanos
d) Determinar la esperanza matemática de que los accidentes se atribuyan a errores humanos Solo para binomial aplicamos la siguiente formula
E
(
X ) = 5*
Respuesta
0.75 = 3.75
3.75 es la esperanza matematica de que los accidentes se atribuyan a errores humanos
e) Hallar la desviación estandart y el coeficiente de variación. Varianza en la binomial V = n * P * V
=
5 * 0.75 *
Respuesta
q 0.25
=
0.9375
0.9375
Desviación estandar Es la raiz cuadrada de la varianza, entonces Respuesta
2
0.9682458366
0.9682458366
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 7 tabletas de narcótico en una botella que contiene 15 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 4 tabletas aleatoriamente para analizarla determine:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? c) Determinar la esperanza matemática de que sea arrestado el viajero, e) Hallar la desviación estandart y el coeficiente de variación. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA N K N-K n Formula:
= = = =
Tamaño de la población Exitos en la población Fracasos en la población Tamaño de la muestra
= = = =
15 7 8 4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, h (>=1 , Respuesta Respuesta
15 ,
4 ,
7 ) = 0.2871795 + 0.4307692 + 0.2051282 + 0.025641 =
0.9487179487 95%
0.9487179487
es la probabilidad de que sea arrestado es la probabilidad de que sea arrestado
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? h
(
0 , 15 ,
Respuesta Respuesta
4
,
7 ) = 0.0512821
0.0512820513 5%
0.0512820513
es la probabilidad de que no sea arrestado es la probabilidad de que no sea arrestado
c) Determinar la esperanza matemática de que sea arrestado el viajero, Formula en la hipergeométrica
E =
4
*
Respuesta:
7 = 1.8666667 15 1.867 es la esperanza matemática de ser arrestado el viajero
e) Hallar la desviación estandart y el coeficiente de variación. Varianza
V
=
Respuesta:
15 15
4 1
*
4
0.782 es la varianza
Desviación standar
7 7 * [ 1 ] = 15 15
11 14
* 1.87 * 0.53 = 0.78222
Es la raiz cuadrada de la varianza 0.8844332774 Respuesta:
3
0.884 es la desviación standar
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar:
a) Probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos, b) Probabilidad de identificas al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) Probabilidad de identificar cuando más una imperfección en 15 minutos. Como los resultados ocurren durante un intervalo dado, entonces podemos verlo como un DISTR. POISSON
a) Probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos, l x t
= = =
p
(
0.2 Promedio de inperfecciones detectadas por minuto 1 "inperfeción" 3 minutos 1
Respuesta: Respuesta:
1,
0.6 )
(
0.6
)
* 1
e-(
0.6 ) =
0.32929
0.32928698 la probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos 32.9% la probabilidad de identificar una imperfección en 3 minutos
b) Probabilidad de identificas al menos dos imperfecciones en 5 minutos, l x t
= 0.2 Promedio de inperfecciones detectadas por minuto 2,3,4…. = "inperfeciónes" = 5 minutos
p(x>=2)
0 p
(
0,
1.0 )
(
1
)
* 1 1
p
(
1,
1.0 )
(
1
)
* 1
e
( -1.0 )
e
( -1.0 )
=
0.36788
=
0.36788
Como lo que nos piden es de al menos 2 en adelante entonces tenemos que restar de 1 el resultado de la suma 1-
(
0.3679 +
Respuesta: Respuesta:
0.368 ) =
0.2642 26.4%
0.2642
la probabilidad de identificar por lo menos 2 imperfección en 5 minutos la probabilidad de identificar por lo menos 2 imperfección en 5 minutos
c) Probabilidad de identificar cuando más una imperfección en 15 minutos. l x t
= = =
0.2 Promedio de inperfecciones detectadas por minuto 0 y 1 "inperfeciónes" 15 minutos
p(x<=1) 0 p
(
0,
3.0 )
(
3
)
p
(
1,
3.0 )
(
3
)
* 1 1 * 1
e
( -3.0 )
e
( -3.0 )
=
0.04979
=
0.14936
La suma de los 2 resultados sera la probabilidad de cuando mas una inperfección en 15 minutos 0.0498 + Respuesta: Respuesta:
4
0.1494
=
0.1991
0.1991 19.9%
la probabilidad de identificar cuanto más 1 imperfección en 15 minutos la probabilidad de identificar cuanto más 1 imperfección en 15 minutos
El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?
Espesor del mortero 7/16 pulgadas
= =
p(x<
0.635 0.082 0.4375 )
Dibujamos la situación
Hallamos Z
Z
=
0.4375 - 0.635 = 0.082
-2.41
Esto quiere decir que 7/16 de pulgadas de espesor estan a 2,41 desviaciones estandar de la media (0,635) Tomando el área bajo la curva de la gráfica tenemos p=0,0080
Entonces 0,0 0.008 *
100%
=
0.80%
Trabajandolo con la formula de dist.normal excel me da lo mismo 0.0080083104
Respuesta:
5
0.80% de los recubrimientos de mortero tienn un espesor menor a 7/16 de pulgada
Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas.Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas.
a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas?
x1
= = =
Z1
=
Fabricante Variable duración en horas del tubo 1 7000 horas 1000 horas
9000 - 7000 = 1000
2.00
Competidor x2 = Variable duración en horas del tubo 2 = 7500 horas = 1200 horas
Z2
= 9000 - 7500 = 1200
1.25
Por tabla conociendo Z Probabilidad tubo 1 p(x1>9000) =
Probabilidad del competidor p(x2>9000) = 0.1056
0.0228 2%
11%
Por lo tanto el tubo del competidor tiene mayor probabilidad de durar más de 9000 horas b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? Z1
=
5000 -
7000
=
-2.00
Z2
= 5000 -
7500
=
-2.08
=
1000
-2.00
1200
=
-2.08
Por tabla conociendo Z Probabilidad tubo 1 p(x1>9000) =
Probabilidad del competidor p(x2>9000) = 0.0188
0.0228 2.3%
1.9%
Por lo tanto el tubo 1 "Fabricante" tiene mayor probabilidad de durar menos de 5000 horas
6
La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50.
a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?
a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? x<90 x=90
= =
200 Interruptores por día 50 horas
Gráfica para entender la situación
Z
=
90
50
200
=
-2.20
Por tabla conociendo Z y confirmado por formula en excel p(x<90)
=
0.0139
Respuesta:
1.39% de los días la demanda será de menos de 90 interruptores
b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?
Z1
=
225 50
200
=
Z2
0.50
=
275 - 200 = 50
1.50
Por tabla conociendo Z
p1(x1>225)
=
p2(x2>275) =
0.69146 69.1%
0.93319 93.3%
Restamos de p1-p2, para obtener el % en el intervalo solicitado p( 225< x>275)= Respuesta:
0.9331928 - 0.691462461 = 0.241730337 24%
c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?
Caso de distribución inversa
x
=
200
+
78
=
278
Respuesta: Aproximadamente debe producir
278
interruprores
7
En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a. 3 ó más puntos. b. 6 o más puntos. c. Entre 2 y 5 puntos. Distribución muestral por diferencia de promedios 72 puntos 8 puntos n1= 28 n2= 36
a. 3 ó más puntos. Z=
3
(
-
0
8 )2 + 28
= 8 36
Por tabla P[(X1-X2) ≥ 3]=0.0014 Respuesta
)2
1.49
0.0681
6.81%
6.81%
b. 6 o más puntos. 6
-
0
Z=
=
(
8 ) 28
2
8 36
+
Por tabla P[(X1-X2) ≥ 6]=0.0014 Respuesta
2.98
)
2
0.0014
0.14%
0.14%
c. Entre 2 y 5 puntos. 2
-
0
Z=
=
(
8 )2 + 28
8 36
)2
Por tabla
0.1611 5
Z=
0.99
-
0 =
2.48
16.11%
2.48
(
8 )2 + 28
8 36
)2
Por tabla
0.0066
Para hallar el área en el intervalo
0.161
P[ 2 <(X1-X2)< 5]= Respuesta
0.66% -
0.007
=
0.155
0.309
0.1545 15.45%
Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de:
DIFERENCIA MUESTRAL DE PROPORCIONES a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.
a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. Proporciones Ph = 0.26 Pm = 0.24 n1 = 150 n2 = 150 P(p1 - p2 <
0.035 ) Aplicamos la formula para hallar z
0.035 +
Z=
150
0.5 + 150 2
- (
0.02 ) =
por tabla
(
0.26 *
0.74 150
0.6443087548
0.24 +
* 150
0.76
0.37
Respuesta
0.6443087548
aprox
64%
b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres. Proporciones Ph = 0.26 Pm = 0.24 n1 = 150 n2 = 150 P[ 0.01< (ph-pm) < 0.04]= Aplicamos la formula para hallar z
0.010 +
Z=
150
- (
0.02 ) =
(
0.26 *
0.74 150
Por tabla
0.24 +
*
0.76
150
150
0.5 + 150 2
- (
0.02 ) =
(
-0.13
0.4470
0.040 +
Z=
0.5 + 150 2
0.26 *
0.74 150
Por tabla
0.24 +
*
0.47
0.76
150
0.6797
Para hallar el área dentro del intervalo 0.6797 0.4470 = 0.2327 Respuesta
0.2327
aprox
23.27%
La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre:
a. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b. El valor de la media a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.
a. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años.
0.03
