Actividad 2: Ejercicios de probabilidad Alumno: Ramirez Pedroza Eva Belén Correo-e:
[email protected] Mtro. Jorge Enrique Velazquez Mancilla Estadística y Probabilidad Probabilidad Departamento de Ingeniería Electrónica. Instituto de Estudios Universitarios
Aplicando las reglas de probabilidad realiza de manera clara los siguientes ejercicios: a) Ejercicios de principio principio fundamental de conteo. conteo. En un restaurante de comidas corridas se ofrece la posibilidad posibilidad de elegir como plato de entrada sopa o arroz; como plato principal carne, pollo o pescado y de postre pastel o helado. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir una comida corrida? Se multiplican las combinaciones posibles de cada alimento por cada una de las otras combinaciones posibles, es decir las dos opciones de sopa o arroz (2), por las opciones de carne, pollo o pescado (3), por las dos opciones de postre (2). El r esultado son 12 maneras de elegir una comida corrida.
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sopa arroz 2 # de manerras de elegir comida
carne pollo pescado 3 2*3*2
pastel helado 2 12
En una ciudad de la república mexicana mexicana las placas de los autos particulares particulares constan de tres dígitos seguidos, tres 3 letras (26 letras del alfabeto). Determinar cuántas placas puede haber. Se multiplican el número de dígitos posibles (10) por cada uno de los espacios disponibles (3), luego se multiplican por el número de l etras posibles (26) por el número de espacios disponibles (3). Esto resulta r esulta en 17576000 placas posibles.
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Digito 1
Digito 2
Digito 3
Letra 1
Letra 2
Letra 3
10 opciones
10 opciones
10 opciones
26 opciones
26 opciones
26 opciones
Cantidad de placas posibles
10*10*10*26*26*26
17576000
Si en el ejercicio anterior no se pueden repetir dígitos o letras, ¿cuántas placas puede haber? Se multiplican el número de dígitos posibles en cada uno de los espacios restando un dígito posible sucesivamente por cada uno de los espacios disponibles (3) quedando 10 opciones, 9 opciones y 8 opciones de dígitos, luego se multiplican por el número de letras posibles (26) restando una opción posible sucesivamente por el número de espacios disponibles (3), quedando primero 26 opciones, luego 25 y luego 24 opciones de letras. Esto resulta en 11232000 placas posibles. •
Digito 1
Digito 2
Digito 3
Letra 1
Letra 2
Letra 3
10 opciones
9 opciones
8 opciones
26 opciones
25 opciones
24 opciones
Cantidad de placas posibles
11232000
10*9*8*26*25*24
Una encuesta consiste en siete preguntas. Cuatro de las preguntas tienen dos posibles respuestas y las otras tres tienen cuatro posibles respuestas. ¿De cuántas maneras distintas se puede responder la encuesta. Se multiplican las posibles respuestas (2 y 4 respectivamente) el número de preguntas en las que son opción (4 y 3 respectivamente). Por lo que se multiplican 2 posibles respuestas las 4 veces que son opción y se multiplica el 4 las 3 veces que son opción. Así, la encuesta se puede responder de 1024 formas distintas. •
Preguntas
1
Posibles 2 respuestas Formas de responder encuesta
2
3
4
5
6
7
2
2
2
4
4
4
1024
2*2*2*2*4*4*4
Si seis personas abordan un avión en el que hay diez asientos vacíos, ¿de cuántas maneras pueden ocupar esos diez asientos? Se multiplican el número de asientos disponibles en total, restando uno sucesivamente por el número de personas que van ocupándolos. Primero 10 asientos, luego 9, luego 8, 7, 6 y 5, resultando en 151200 formas de ocupar los asientos. •
Personas
1
2
3
4
5
6
Asientos
10
9
8
7
6
5
Formas de ocupar asientos 10*9*8*7*6*5
151200
b) Ejercicios de permutaciones. En una carrera participan diez caballos. ¿De cuántas maneras pueden terminar tres caballos en primero, segundo y tercer lugar? Se multiplican 3 números (número de lugares disponibles), de acuerdo a la cantidad de caballos que pueden quedar, restando uno a cada lugar. Se multiplican los 10 caballos que pueden quedar en 1er lugar (10), por el número de caballos que pueden quedar en 2do (9), por el número de caballos que pueden quedar en 3er lugar (8), quedando 720 formas de ganar los 1os 3 lugares. •
Caballos 1
2
3
Lugares
2
3
1
4
5
Formas de ganar 3 10*9*8 primeros lugares
6
7
8
9
10
720
Una cerradura de combinación tiene tres ruedas con diez dígitos cada una. ¿Cuántas combinaciones formadas por tres dígitos son posibles si un dígito no puede ser usado más de una vez? Se multiplican el número de opciones de la primera rueda (10), por el número de opciones posibles de la tercera rueda (9), por el número de opciones posibles para la segunda rueda (9), por cada una de las veces que se pueden combinar (3x3), dejando 19683 formas de combinar las 3 ruedas. •
Ruedas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dígitos
10
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10*9*9*3*3*3 Formas de combinar 3 ruedas
•
19683
En una elección participan diez personas para las posiciones de presidente y vicepresidente, otras cinco personas participan para la posición de tesorero, y un tercer grupo de doce personas participan para las posiciones de primer, segundo y tercer secretario. ¿De cuántas maneras posibles puede terminar la elección?
Se multiplican las opciones posibles para cada uno de los puestos disponibles según el número de opciones personas para cada puesto considerando que se van restando opciones para 2os, 3os, 4os, etc puestos disponibles. Por lo que se multiplican 12 posibles personas para primer secretario, por 11 posibles personas para segundo, 10 posibles para tercero, por los 10 y por los 9 posibles presidente y vicepresidente, por los 5 posibles tesoreros. Dejando 594000 posibles formas de terminar la elección
Presidente y vicepresidente
1
2
3
4
5
Tesorero
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Secretarios 1 2 3 4 Formas de terminar la elección
5 6 7 12*11*10*10*9*5
8
9
10 11 594000
12
Determina el número de señales que se pueden hacer en un asta si se izan dos banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes. Se multiplican el numero de banderas (2) el número de veces que se pueden combinar de acuerdo a los colores disponibles. (6), permitiendo crear 64 señales distintas. •
Banderas
1
2
3
4
5
6
Juego
2
2
2
2
2
2
Número de señales
64
2*2*2*2*2*2
c) Ejercicios de combinaciones ¿De cuántas maneras se puede elegir a dos de cincuenta empleados con igual mérito para otorgarles un aumento salarial igual? Se multiplican el número de empleados (50) exponencialmente al número de oportunidades que tienen de ser escogidos para un aumento (2), por lo que hay 2500 opciones de combinaciones de personas a escoger. •
Empleados
50
A seleccionar
2
Formas de escogerlos
50*50
2500
En una compañía hay 30 obreros y 10 empleados. ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité formado por tres obreros y cuatro empleados? Se multiplican el número de obreros disponibles para cada uno de los 3 y 4 lugares disponibles respectivamente. 30 obreros para el primer lugar de los 3 disponibles en el comité, por los 29 para el segundo y por los 28 para el tercero, por los 10 empleados para el primer lugar de los 4 disponibles, por los 9 para el tercer, por los 8 y 7 para el segundo y último respectivamente, por lo que hay 122774400 formas de escoger el comité. •
Obreros
30
3
Empleados
10
4
Formas de escoger comité 30*29*28*10*9*8*7
•
122774400
¿De cuántas maneras se puede elegir tres ganadores de una T. V., cada uno en una rifa en la que participan 100 personas?
Si se pueden escoger entre 100 personas para el primer ganador, 99 para el 2do y 98 para el tercero, al multiplicarse esas posibilidades, resulta en 970200 formas de escoger ganadores.
Personas que participan
100
Ganadores posibles
3
Formas de escoger ganadores
100*99*98
970200
Una comisión del senado está integrada por nueve senadoras y ocho senadores. Se requiere elegir una subcomisión integrada por cuatro miembros de la comisión. Si la subcomisión consiste de dos senadoras y dos senadores, ¿de cuántas maneras se puede formar? Teniendo que hay 9 posibles senadoras para uno de los lugares, dejando 8 posibles para el otro lugar y 8 y 7 senadores para los dos lugares disponibles respectivamente, deja 4032 formas de formar la comisión del senado. •
Senadoras
9
Senadores
8
Subcomisión
2 senadores
2 senadoras
Formas de formar subcomisión
9*8*8*7
4032
d) Ejercicios de probabilidad Un estudio en una tienda departamental muestra que de 3,560 clientes que entraron a la tienda, sólo 1,134 hicieron al menos una compra. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la tienda haga al menos una compra? Se dividen el número de accesos “exitosos”= compras entre el número de accesos totales, 1134 compras entre el número de clientes (3560), habiendo una probabilidad de casi 32% de que una compre. •
Clientes
3560
Compras
1134
Probabilidad de compra de 1134/3560 una persona
0.318539325842697
La población estudiantil de una escuela es de 350 mujeres y 390 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un estudiante este sea mujer? Se divide la población de mujeres entre la población total de estudiantes, dando una probabilidad del 47% de que sea mujer escogiendo un estudiante al azar. •
Mujeres
350
Hombres
390
740
Probabilidad de que sea mujer
350/(350+390)
0.472972972972973
Un fabricante de piezas de cerámica requiere que en cada caja de veinte piezas se sometan a inspección cuatro de ellas antes de ser embarcadas. Si las cuatro piezas embarcadas están bien, se hace el embarque, pero si alguna de las cuatro tiene un defecto, se tienen que inspeccionar las otras dieciséis piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja si una de las veinte piezas está defectuosa? De un total de 20 piezas, se inspecciona una muestra de 4 piezas, de donde una o las 4 piezas pue•
den estar defectuosas.
Caja
20
piezas
Inspecciones
4
piezas
Probabilidad de embarcar caja
(1/20)*(19/4)/20/4)
0.8
e) Ejercicios de la regla de la adición Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan de dos a cinco autos? Al ser eventos mutuamente excluyentes, sólo se suma la probabilidad de vender 2, 3, 4 y 5 autos, dando un 50% de probabilidad de vender de 2 a 5 autos. •
0
1
2
3
4
5
0.05
0.1
0.15
0.18
0.12
0.05
Probabilidad de vender 2-5 automóviles
•
0.15+0.18+0.12+0.05
0.5
Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan cinco o más autos?
Si se calcula primero la probabilidad de vender a lo hasta automóviles, que al sumar igual que en el ejercicio anterior, 0.05+0.1+0.15+0.18+0.12, resulta en 60% de probabilidad, entonces la probabilidad de que se vendan 5 o más autos es 1-0.6 =0.4, o sea del 40%
0
1
2
3
4
5
0.05
0.1
0.15
0.18
0.12
0.05
Probabilidad de vender =ó>5 automóviles
1-(0.05+0.1+0.15+0.18+0.12+0.05)
0.4
Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia de cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al menos uno de los dos noticieros? Sólo se suman las probabilidades de que una familia esté viendo alguno de los noticieros o ambos, (A+B+C), resultando en un 98% de probabilidad de que una familia vea al menos uno de los dos. •
Televisa
TV Azteca
0.2
0.3
Ambos 0.02
Probabilidad de que una familia vea 0.2+0.3+0.02 al menos uno de los dos noticieros
0.98
f) Ejercicios de la regla de la multiplicación, probabilidad conjunta y probabilidad condicional Una caja de fusibles que contiene veinte unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se retiran de la caja, uno tras otro ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén defectuosos? Sean A el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el evento de que el segundo este defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto: •
P(A ∩ B) = (1/4) (4/19) = 1/19
Defectuosas
1
2
Caja
20
fusibles
Probabilidad de que ambos estén defectuosos (P(A ∩ B)
3
(1/4)(4/19)
4
5
0.0526315789473684
