Actividad 1
1.1.. 1.1
Consul Consultar tar el el sistem sistema a de Hill Hill para para encr encript iptar ar y dese desencr ncript iptar ar mensa mensajes jes
SISTEMA HILL El cifrado de Hill es un criptosistema polialfabetico que trabaja dividiendo el mensaje original en bloques de un tamaño fijo transformando cada bloque de forma independiente en otro conjunto de letras distinto! Esta transformaci"n viene definida por una aplicaci"n del algebra lineal# la multiplicaci"n matricial! Este sistema es polialfabetico pues puede darse que un mismo car$cter en un mens mensaj aje e a envi enviar ar se encr encrip ipte te en dos dos cara caract cter eres es dist distin into toss en el mens mensaj aje e encriptado! Lester Hill trato por primera ve% este criptosistema en 1&'& en ( T)e American Mat)ematical Mont)l* Mont)l* introduciendo as+ uno de las primeras aplicaciones del algebra lineal a la criptograf+a poligr$fica! En 1&,1* volvi" a escribir un art-culo sobre el cifrado en otra edici"n del mismo peri"dico! Hill* con aud auda a de Loui Louiss .eisn eisner er** tuvi tuvier eron on la idea idea de cons constr trui uirr una una m$qu m$quin ina a que que impl implem emen enta tase se el crip cripto tosi sist stem ema! a! La llam llamar aron on t)e t)e Mess Messag age e /rot /rotec ecto torr la patentaron! La m$quina operaba con bloques de seis letras se basaba en un sistema de engranajes poleas! En primer lugar* en el cifrado de Hill* se asocia cada letra del alfabeto con un n0me n0mero ro!! La form forma a m$s m$s senc sencililla la de )ace )acerlo rlo es con con la asoc asocia iaci ci"n "n natu natura rall ordenada* aunque podr+an reali%arse otras asociaciones diferentes! Adem$s* tambin podr$n añadirse otros s+mbolos usuales* como el espacio en blanco 234* el punto 2!4 o la coma 2*4* la interrogaci"n 254* las 16 cifras b$sicas* entre otros!
7omo en la correspondencia anterior* anterior* entre letras8signos n0meros* solamente aparecen '9 n0meros* )a que trabajar con los n0meros enteros 2m"dulo '94! Es decir* decir* se consideran los n0meros enteros 6* 1* ':* '; el resto se identifica con estos de forma c+clica! As+* As+* el '9 es igual a 6* el '< a 1* el '& a '* etctera* lo mismo con los n0meros negativos* de forma que = 1 es igual ';* = ' es igual '>* entre otros! Adem$s* se reducen las operaciones aritmticas ?suma* resta* multiplicaci"n divisi"n@ al conjunto de los n0meros enteros m"dulo '9 de forma natural* es decir* al operar dos n0meros enteros ?m"dulo '9@ el resu resultltad ado o se cons consid ider era a tamb tambi in n m"du m"dulo lo '9! '9! /or /or ejem ejempl plo* o* si se real reali% i%a a la multiplicaci"n de los n0meros ; 1,* m"dulo '9* el resultado dar$ ' ?m"dulo '9@* puesto que ;B1,C 9< 9< C 'B '9 D '! el inverso de '* es decir* el n0mero a tal que 'Ba es igual a 1 ?m"dulo '9@* es 1* puesto que 'B 1 C '<* que es igual a 1* m"dulo '9! En el cifrado de Hill se utili%a una matri% cuadrada de n0meros A como clave* la cual determina la transformaci"n lineal F C A G * donde F* son vectores columna A se multiplican* con la multiplicaci"n de matrices! 7onsideremos como ejemplo la matri% cuadrada , , ?aunque en gene genera rall pued pueden en cons consid ider erar arse se matri matrice cess cuad cuadra rada dass de cual cualqu quie ierr tama tamaño ño@@ siguiente la correspondiente transformaci"n lineal F C AB
1.2.. 1.2
A parti partirr de la consu consulta lta anter anterior ior,, con sus sus prop propias ias pala palabra bras, s, descr describa iba el paso a paso para cifrar la palabra DEDICACIÓN empleando la matri cla!e
(
1 0
−4 1
)
y la asi"naci#n num$rica %ue aparece en
el si"uiente recuadro &en $l, el s'mbolo ()* representa el espacio entre las palabras+. Tenemos Tenemos como posible solución el siguiente procedimiento:
/ara cifrar la palabra DEDICACIÓN lo primero que reali%amos fue anali%ar el m"dulo con el cual se iba a trabajar* cabe resaltar que en la informaci"n investigada el sistema de cifrado de Hill se trabaja con m"dulo '; es decir es un sistema de cifrado poli alfabtico! Esto quiere decir que a cada letra del alfabeto se le asigna un n0mero! /ero en nuestro caso iba a ser diferente al tene tenerr la sigu siguie ient nte e asig asigna naci ci"n "n num numri rica ca dada dada en la acti activi vida dad d del del trab trabaj ajo o colaborativo! Al anali%ar nuestra asignaci"n numrica notamos que no es m"dulo ';* puesto que* aunque en ella se tiene '; letras del alfabeto cada una con una asignaci"n numri numrica* ca* tambi tambin n encont encontram ramos os el signo signo - ) - el sign signo o -. - Los cuales tamb tambi in n tien tiene e una asi asigna gnaci" ci"n num numrrica ica que corre orresspond ponde e a '9 '< respectivamente! J/ero porque )ablamos de m"dulo '& 5* porque en este caso el n0mero 6 ser+a el '&! Al tener a definido nuestro modulo* procedemos a separar la palabra a cifrar en sila silaba bas* s* es decir# decir# DE, DI, DI, CA, CI, CI, ÓN as+ multiplicar cada pareja por nuestra matri% clave
( ) () D E
=
3 4
( D I )=( ) 3 8
(
1 0
−4 1
) de la siguiente manera#
( )() C = A
2 0
( I C )=( ) 2 8
()( ) O= N
15 13
aso 1. Se reali%a transcripci"n numrica* teniendo en cuanta la tabla de sustituci"n anterior # 2,**,*<*'*6*'*<*1>*1,4! 7omo la transformaci"n lineal es de orden '* Kamos a agrupar los n0meros en grupos de dos* en ternas* sobre las que luego aplicaremos la transformaci"n lineal* ?,*@* ?,* <@* ?'*6@* ?'*<@* ?1>*1,@!
aso 2. Se transforma transforman n las ternas de n0meros n0meros anteriores anteriores** mediante mediante la transforma transformaci"n ci"n lineal dada por la clave* en nuevas ternas* que ser$n el mensaje numrico cifrado* es decir se multiplica la matri% clave con la terna calculada! Se debe tener en cuenta que en la transformaci"n lineal se est$ trabajando con los n0meros enteros m"dulo '&!
( ) ( ) ( 1 0
−4 ∗ 1
3 4
) ( )
( ) = 1∗3 + −4 + 4 = −13 4 0∗3 + 1∗4
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
( )! 16 4
(
)() (
) ( )
−4 ∗ 3 = 1∗3 + (−4 )+ 8 = −29 1 8 8 0∗3 + 1∗8
1 0
convirtie convirtiendo ndo a modulo modulo 29 es
()! 0 8
( − )∗( )=( ∗∗+(+− ∗)+ )=( )
(
1 0
4 1
2 0
1 2
4
2 0
0 2 1 0
)() (
) ( )
−4 ∗ 2 = 1∗3 + (−4 )+ 8 = −30 1 8 8 0∗3 + 1∗8
1 0
Convirtiendoamodulo 29 es
0
( ) ( ) (
( )! 28 8
)( )
−4 ∗ 15 = 1∗ 3 + (−4 )+ 8 = −37 1 13 13 0∗3 + 1∗8
1 0
Convirtiendoamodulo 29 es
( )! 21 13
Aunque la transformaci"n transformaci"n lineal de la terna
( ) es inicialmente 3 8
( ) como se est$ trabajando con enteros m"dulo '&* entonces −29 8
esta terna se convierte en
( ) * este valor se )all" empleando el 0 8
siguiente comando en Ecel* CEST ?'&N '&@ para escribir '& en m"dulo '&!
aso /. Las matrices rengl"n corresponder+an a las siguientes letras de acuerdo a nuestra asignaci"n numrica m"dulo 29.
( )() 16 4
= P E
( )=( A I ) 0 8
( )=( AC ) 2 0
( )=( ) . I
28 8
( )=( N U ) 21 13
Se toman los resultados de la transformaci"n lineal de cada terna* teniendo as+ un mensaje numrico cifrado 21;* * 6* <* '* 6* '<* <* '1 * 1,4* que al transformar transformar de nuevo los n0meros en sus correspondien correspondientes tes letras* se convierte en el mensaje cifrado# 2/EAI7A !IOP4
AC0IIDAD 2. Suponga que se intercepta el mensaje HTQROLOFH/HTUHTQAV.IW/H Uunto con# AC
( ) 4 5 2
2 3 1
1 2 1
etodolo"'a "eneral# /ara descifrar el mensaje oculto debemos utili%ar la matri% clave como apoo* esto es* calculamos su matri% inversa de tal forma que esta nos permita )acer m0ltiples productos de dic)a matri% con matrices columna de , elementos* generadas por cada trio de
letras sucesivas del mensaje encriptado! Al final obtendremos matrices columnas de tres n0meros que al convertirl convertirlos os a alfa caracteres caracteres con el sistema sistema Hill se revelar$ revelar$ el mensaje oculto!
rimer paso3 7alculamos la inversa de A como A
−1
=
1
Det ( A )
A
−1
#
∗ Adj ( A )
Entonces el Veterminante de A#
( )
4 Det ( A )= det 5 2
2 3 1
1 2 1
/ara calcular el determinante de la matri% A* usamos el mtodo de eliminaci"n Waussiana Waussiana** primero primero convertimos convertimos la matri% matri% en una matri% triangular ! Si en un determinante a una fila o columna se le suma otra paralela multiplicada por un n0mero n0mero no nulo* nulo* el deter determin minan ante te no var+a! var+a! El determ determina inante nte de la matri matri%% triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal!
Entonces#
( )
det
4 5 2
2 3 1
1 2 1
=1
A)ora calculamos la Adj?A@# 7omo 7omo el dete determ rmin inan ante te de la matr matri% i% A es dist distin into to de cero cero** ento entonc nces es la matri matri%% invertible A1 eiste! /ara resolver una matri% invertible calculemos los menores cofactores de la matri% A3
7alculemos un menor
M 1,1
cofactor
C 1,1
de
A 1,1
! En la matri% A
C 1,2
de
A 1,2
! En la matri% A
C 1,3
de
A 1,3
En la matri% A
C 2,1
de
A 2,1
! En la matri% A
C 2,2
de
A 2,2
En la matri% A
C 2,3
de
A 2,3
En la matri% A
eliminemos la fila 1 columna 1!
( )= ∗ − ∗ =
M 1,1=
3 1
2 1
3 2 2 1 1
=(−1 )1+1∗ M 1,1=1 C 1,1 1,1 =(− 7alculemos un menor
M 1,2
cofactor
eliminemos la fila 1 columna '!
( )= ∗ − ∗ =
M 1,2=
5 2
2 1
5 1 2 2 1
=(−1 )1+2∗ M 1,2=−1 C 1,2 1,2 =(− 7alculemo 7alculemoss un menor menor
M 1,3
cofactor
eliminemos la fila 1 columna ,! M 1,3=
( )= ∗ − ∗ =− 5 2
3 1
5 1
2 3
1
1+ 3 ∗ M 1,3 =−1 C 1,3 1,3 =(−1 )
7alculemos un menor
M 2,1
cofactor
eliminemos la fila ' columna 1!
( )= ∗ − ∗ =
M 2,1=
2 1
1 1
2 1 1 1
1
=(−1 )2+1∗ M 2,1=−1 C 2,1 2,1 =(− 7alculemo 7alculemoss un menor menor
M 2,2
cofactor
eliminemos la fila ' columna '!
( )= ∗ − ∗ =
M 2,2=
4 2
1 1
4 1 2 1
2
2+ 2
=(−1 ) C 2,1 =(−
∗ M 2,2= 2
7alculemo 7alculemoss un menor menor
M 2,3
cofactor
eliminemos la fila ' columna ,! M 2,3=
( )= ∗ − ∗ = 4 2
2 1
4 1 2 2 0
2+ 3
C 2,3 =(−1 )
∗ M 2,3 =0
7alculemo 7alculemoss un menor menor M 3,1 cofactor C 3,1
de
A 3,1 En la matri% A
de
A 3,2 En la matri% A
de
A 3,3 En la matri% A
eliminemos la fila , columna 1!
( )= ∗ − ∗ =
M 3,1=
2 3
1 2
2 2 3 1 1
3+ 1
=(−1 ) C 3,1 =(−
∗ M 3,1=1
7alculemo 7alculemoss un menor menor M 3,2 cofactor C 3,2 eliminemos la fila , columna '!
( )= ∗ − ∗ =
M 3,2=
4 5
1 2
4 2 5 1 3
3+ 2
=(−1 ) C 3,2 =(−
∗ M 3,2=−3
7alculemo 7alculemoss un menor menor M 3,3 cofactor C 3,3 eliminemos la fila , columna ,! M 3,3=
( )= ∗ − ∗ = 4 5
2 3
4 3
5 2
2
3+ 3
C 3,3 =(−1 )
∗ M 3,3 =2
La matri% obtenida es una matri% de cofactores#
(
C =
−1 −1
1 −1 1
2 −3
0 2
)
Transponiendo Transponiendo la matri% cofactores tenemos# T
(
→ C =
1 −1 −1
−1 2 0
1 −3 2
)
= Adj ( A )
Xinalmente la matri% inversa es# A
−1
=
1
Det ( A )
4e"undo paso3
1
(
∗ Adj ( A )= ∗ 1
1 −1 −1
−1 2 0
1 −3 2
)( =
1 −1 −1
−1 2 0
1 −3 2
)
A)ora usamos el mensaje encriptado para convertirlo en matrices columna
de , n0meros* obtener la letra correspondiente a cada fila o rengl"n! Sabe Sabemo moss que que el mens mensaj aje e tien tiene e ,6 letr letras as segu seguid idas as** lo divi dividi dimo moss en 16 matrices columna de , letras seguidas para )acer la transformaci"n seg0n el sistem sistema a Hil Hilll ?modul ?modulo o '&@! '&@! “HTQ-ÑUL-UYX-HBZ-PHX-OTJ-HTQ-BAD-WIGPZH4 H 1. T = Q
()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ( )() ( )( ) ( ) ( ) 7 20 , 2. 17
U = !
P 5. H #
14 21 , 3. 11
=
$ 8. A D
U " = #
16 7 , 24
=
1 0 , 3
21 25 , 4. 24
O 6. T &
=
' 9. I (
=
H 7 $ = 1 , % 26
H 7. T Q
15 20 , 9
23 P 8 , 10. % 6 H
=
=
7 20 , 17
16 26 7
.
Las matrices generadas se multiplican con la matri% inversa para obtener las matrices columna que nos revelaran el mensaje# Simb"licamente ser$ as+# A ( ¿¿ −1)∗( )∗( Matri) columna )=(matri) matri) columna columna *eneradora *eneradora delmensaje ) ¿
(
1 −1 −1
−1 2 0
)( )(
1 −3 2
∗
7 20 17
1∗7 + (− 1 )∗ 20 + 1∗17
convirtie convirtiendo ndo a modulo modulo 29 es
(
1 −1 −1
−1 2 0
)( ) (
1 −3 2
∗
14 21 11
)( )
= −1∗7 + 2∗20 −3∗17 = −1∗7 + 0∗20 + 2∗17
() 4 11 27
4 −18 27
!
)( )
1∗14 + (−1 )∗21 + 1∗11
= −1∗14 +2∗21−3∗11 = −1∗14 + 0∗21 + 2∗11
convirtie convirtiendo ndo a modulo modulo 29 es
() 4 24 8
4 −5 8
(
1 −1 −1
−1 2 0
)( ) (
1 −3 2
∗
21 25 24
1∗21 + (−1 )∗ 25 + 1∗24
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
(
1 −1 −1
−1 2 0
)( )(
1 −3 2
∗
7 1 26
(
−1 2 0
∗
16 7 24
(
−1 2 0
∗
15 20 9
(
−1 2 0
∗
7 20 17
(
−1 2 0
∗
1 0 3
() 4 11 27
)( )
)( )
= −1∗1 + 2∗0 −3∗3 = −1∗1+ 0∗0 + 2∗3
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
()
4 −18 27
!
1∗1 + (−1 )∗0 + 1∗3
4 19 5
4 −2 3
!
= −1∗7 + 2∗20 −3∗17 = −1∗7 + 0∗20 + 2∗17
)()(
1 −3 2
)( )
1∗7 + (− 1 )∗ 20 + 1∗17
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
1 −1 −1
() 4 27 3
33 −74 32
!
= −1∗15 + 2∗20 −3∗9 = −1∗15 + 0∗20 + 2∗9
)( )(
1 −3 2
() 4 13 3
1∗15 + (−1 )∗20 + 1∗9
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
1 −1 −1
)( )
= −1∗16 + 2∗7 −3∗24 = −1∗16 + 0∗7 +2∗24
)( ) (
1 −3 2
()
32 −83 45
3 4 . 16
1∗16 + (−1 )∗7 + 1∗24
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
1 −1 −1
)( )
= −1∗7 + 2∗1 −3∗26 = −1∗7 + 0∗1 + 2∗26
)( ) (
1 −3 2
() 20 15 27
1∗7 + ( −1 )∗1+ 1∗26
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
1 −1 −1
)( )
= −1∗21+ 2∗25 −3∗24 = −1∗21 + 0∗25 + 2∗24
20 −43 27
!
4 −10 5
(
−1
1 −1 −1
2 0
)( ) (
1 −3 2
∗
23 8 6
1∗23 + (−1 )∗ 8 + 1∗6
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
(
−1
1 −1 −1
2 0
)( )(
1 −3 2
∗
16 26 7
)( )
= −1∗23 + 2∗8 −3∗6 = −1∗23 + 0∗8 + 2∗6
() 21 4 18
21 −25 −11
!
1∗16 + (−1 )∗26 + 1∗7
)( ) −3
= −1∗16 +2∗26 −3∗7 = 15 −2 −1∗16 + 0∗26 + 2∗7
convirtiend convirtiendoo a modulo modulo 29 es
() 26 15 27
!
0ercer paso3 Agrupando en orden las matrices columna generadas* con sus respectivas letras asignadas tenemos que#
¿ E ! −¿
5.
()
4 1. 11 27
2.
=¿ 6.
( )() E = # I
4 24 8
¿ T O
3.
4.
7.
−¿
() ( )() 20 15 27
=¿
3 4 16
D = E P
8.
( )() ( )( ) 4 13 3
E = N D
4 27 3
=
E −¿ D
¿ E ! −¿
() ( )() 4 11 27
=¿
4 19 5
E = +
9.
( )() 21 4 18
U = E -
¿ % 0
10.
−¿
() 26 15 27
=¿
Cuarto paso3 7on las asignaciones dadas finalmente unimos los caracteres en el orden establecido previamente desciframos el mensaje oculto#
E!E"#T$!%E&E'%E!%E!E()*E+,$!
