NOTAS PRO'B'
" A D ' I'Ll'»: M. I. sa
Faeultadde
P ro r o gr g r am a m a d e P o g ra ra d to to d e S i e m a ~U..J..lL~"".J ..J..lL~"".J ...
STAD"
~
I'ST1'CA ;
Contenldo
1. Esta Estadi dist stic ic
".
" ' " . " . " " "" "" " . " .
16
3.
27
4. Probabllidad
34
Variables
40
6. Funciones de
". ". 68 .85
ESTADI DIs1 s1'l 'lCA CA 1. ESTA es ad
DESC DESCRI RIPT PTIV IV
c a d es es er er ip ip t v a
b a c am am en en t
po
je t e s u n cpnj u l1 l1 t d e t ec ec n ic ic a s q u e t ie ie n e por o b je
o rg rg a ni ni za za r
presentar'
de {6 ni as
D: G ra ra t a s Pa me
frecuencias (agrupamiente ba as go at c. me
Uestadistica
de datos).
bastante sepci11a,au1)que no
mtetesante conclasiones acerca pareee ar mp mi descrihir me de:scriptiva.
mu primeramente de describir el la m a me Es S ,U ,U Q mo describir somo capa capace ce analiza! desconocido, si no somo la m p mo De ad
poblacion
posible on 10 qu
partir
ma
menci(:));1(), estadi mo estadist stica ica descriptiva c ab ab e a c a ra ra r que un o n n t d e o n a s p e excluY?l,!tes, sino o e n p e m en en ta ta r a s s i e m ba de d ic ic ha ha s e ccnn ic ic a ba rg rg o d ep ep en en d n q d e at ma ar mp bl ar as as..
Datos E s n ec ec es es a
d en en t c a
e n r e d a o s c ua ua l a t v o
Los datos uali ualita ta ivos ivos se ef eren eren co a ra ra e e r a s d e e xp xp e m en e n to to , m a s u e u su su a e s u t z a m e to to do do s g c c o
ndmbl'e dice, informacion sabr sabr cual cualid idad ades es numericos, os, P a r d e so v a ore numeric so ri ri 6i 6i r datos cualnativos 10
ip o datos numericos 'Ipara analiserles puedoo aplicaFse lo r e t ip antes, ot as pa logr lograr ar de pc e l conjunto d ~ d a to to s
Lo at an at tecmGas mencisnadas, u n m e jo jo r a ~p ~p l
on
cuantitttivos.
De
bi emo
u a o n e ad ad a u n d e a s e eenn ic ic a
1.
Dist Distri ribu buci ciDn Dn de Frec Frecue uenc ncla la
ad
de
va
g ra ra nd nd e d e d a o s
D e f n ic ic io io n 1 .2 .2 .1 .1 . de e eeuu ea Un tabl tabl dedi dedi tr buci buci6n 6n ea c a s e s una clasificaci6n valores. s. clases categorias deacuerdo on sus valore
Es
as
ac on
e rm rm i
en
datos (numericos) en
}a to to s econemicos c en en sa sa le le s . . n ta ta c 6 n d e ( }a ~~-
Un as
na ab
de da:se
Intervslos
Frenteras
Eimifes
___.
di
b uc uc io io n
Marc as de Clase
e ccuu en en c a s e s a q u
Frecuencia
Xi
m ue ue s
Freeueneia acumulada
Frecucocia relativa
r,
6-5
15.5
.1
fJ.15
O.l7S
0.325
27
0..35
0.675
35
0.:2
Q.g?5
40.,
0..125
Lo.OD
15.5 -24.5
-31.5 3 4 - 4: 4: 2
14
29
33.5 33.5 -'42 -'42.5 .5
42.5
51
47
observer, cont conten enid id se xpli xpli ar
columnas cu
c om om p le le t d e d is is trtr ib ib uc u c ie ie n ense ensegn gnid ida. a.
Si aeeptamos queen 1a construcei construceion on a s e ae ae ie ie n d e a s d a o s ar
on
as de
Umites de p e n ec ec e
la
rel~tlva acu.IDulada
..05 05
-~;6.5
7- IS
Freeueneia
Fl
'\
2-6
~~
as
o n n ua ua c
qu
realizar zar una b l de distribuei6n de frecueneias se reali ra m ea ea t o n el criterio di en ab o n a r p r m e ra de olas olas bien bien edia ediant nt
as
los valo valore re meno meno :y Lo mi
mo ayol ayol qu de eUc'0niraFse la m i m a
en la maestra
at ma
unidad de aproximaciones decir:
datos
difeF,encia
1imi~tes ( 11 11 m . in in f d e
enter:os
enteros
deeimas
decimas
centesirnas
centesimas
e ra ra s
s ig ig ! e i
0.Q1
~2-
n.
SII p .
de
as
Hmi
d e u n clase
s ta ta ra ra n
me c on on te te n d o
np
nt
Iimites d e c la la se s e s a d ya ya e en en te te s Note
Fl'@n~a
Prontera superior
inferior
tJrru'te supenet
Limite inieril!)r
Ma como
(Xi);
Es
me
S6
bi aclarar a l u la la r a s m a a s be
Va IllSfront eras, ad mb go
mi ma
lasfrQnt~ras
a.
Qs
lo
c on on s d er er s r ep ep re re se se n a t v e d e an lo limites mi limite
frontera.
Freeuencia
m rm rm e
(f;):
ia s carrespond!?TI la D ia
mu
mi
observaciones en
muestra,
encuentran enel range determinadc a mb mb o
ftorneras,
exactameate
Fr
ci
{l Di
en
cuesfion.
lo limites ITGlnt€lras) determinan p'Qt
m i sm sm a clasificacidn,
ad
Fi):
frontera o b se se rv rv a da da s e n la clase d e n te te re re s Frecuencia relativa (fi7): e n c ue ue s o n mo c la la se se , c ue ue nc nc i e la la t v e
dato dato en la mues mues ra cu alor alor noex noexce ce Ia Para calcular ba c on on ta ta b z a a s e eeuu en en c a s las qnwriotes qnwriotes me
datQS en
al e xp xp re re s
me c om om o
er te te ne ne ce ce n m u e s t a q u e p er como el m im mu im e
g ue ue :
f;=_~i=ifi ·W
Pe an ab al me ar ac b ab ab i a d ae ad en t reco record rdam amos os la interpretacion frecuen:fi frecuen:fista sta de la prob probah ah lida lida defi define ne apro aproba babi bili lida da de u n v en om no at on me grande de repeficiones d io io , nuestra muestra am ]0 tanto,si d e e xp xp e m e n ba dicha c la :que la r eo eo ue ue ne ne i d e Gl!:1:sese la se se .E .E v d en en t m e n e , la probapilidad au me a p x im im a aa m a s g ra ra n as -3-
proporcion clase en cue£ti6B~ F/):
extension, se distribucien, yque la sems semsja janz nz
la m1,!estr m1,!estr que no
d€
la freeuencia acumulada re1a:,tivaS6 me ie m pr pr e q u la mues sl1Jra.mayor mayor s ie muestr tr se as grande. C ' f l es la dife difere renc ncia ia entre lafrontera superior
l a c la la se se , Para la consideraci6n ta siguie siguiente nte
la inferior de
en
frecuencias
rerromenda. rerromenda.cio ciones nesempiri empiricas: cas:
is tr tr ib ib u ci ci o 1. La a b l d e d is
de: frecuencias cOI):stara Iii. m i s rn rn a l an an g itit ud ud .
20 clas clases es incl inclus usiv ive. e.
f om om i a p a rt rt ic ic u la la r de C\oI):struccioll de bl bu :en xist xisten en algu alguna na or as altemas de constrecciorr, g en en e a l o n relativamente forma no b uc uc i6 i6 n d e cu ae as .inf .infon onaa aaci cien en cont conter erri rida da en otra otra abla abla forma, atribuihles m a de e a z e I a agrnpaeion.
C on on s e r
o s m im i m e ro ro s de inseripcion de algunos algunos estudi estudiante ante
1045
2265
23 193
lngenieria,
491
3073 1706
Construir
2002
1370
1767
1313
2772
1465
1565
947
1303
1249
1123
93
55
2181
distribuei6n de fteouenciaspara
dish dishes es dato datos: s:
Solndon: Ia tabla requiem qu ga an
S6
los datos e n m ue u e s a . Asi. a r 10 c ua ua l en s ig ig u e n d e n ie ie ie ie n -4-
tangO' e n . e l
Ra go
mu
a: Es
ma
Rango: Longitu(j 11:Itnimapermitida de l;/mNt Long Longit itud ud maxi maxima ma permitida de dase:
lo ma on nt a ra ra ; preciso,pero m em em o s e f
recomienda n fe fe r o r d e
qU
5 3H 3 H 8 - 5 5 5 25 25 3 5 2 5 3 1 2 0 " " 6 2 .6 .6 S > 1050.6 5253/5
ma al gi p ro ro b e m a a r G : u a r c on on s d e a nd n d s q u si "" 5 0 0 . nt E n nuestro casoconsideremos
de-bera deeidir eual sera valor
p r r te te r
a b l r es es ul ul ta ta n t
clase,
mu
menor
mi
se
clase q u e r e sn sn l t amllisis sera
B s limite se 5 { el limite
me data mensr de la que-se muestta:
mter mterva valq lq de clase Limltes
Frunteras
0-
54
550-1049
799.5
1 5 49 49 .
1299.5
1549.5 -2049.5
1799.5
1! 49
0..26'09
0.4348
0.1957
[).6~f]4
39
0.2114
0.8418
42
0.0652
0..913
0.0.2174
0.9348
O.Cl;2174
0..9565
5 - 3 44
3f)5o.- 3 5 4 9
3550-4049
3 5 49 49 .
4 04 04 9
3799.5
.0.956:5
4299.5 50 50 50
55
54 50
F; 0.1739
2~
10
,>
0.1739
299.5
04
54
Ii
x·
0.9$65
44
50
4799.5
0.0.2174
55
52!\19.5
0.02174
0.9782
Tota1:
1.3. Descripeion Gnitica G eenn e a lm lm en e n te te , an u na na , o rm rm a g ra ra t c a Asi, lo resultados mp : m p o c io io B d e u n p ob ob la la c 6 n (% la m :m entre otrOg. En ea da datos si numerieos. P a e l a , x i a lg lg un un a d e a s 1.3.1. Histograma
conjunto presentacicn clara at ge na om af a c u mb mb r n ta ta r g ra ra f a m n t ad mp ac g r a f i . G a s que.muestren h om om b a du du l ni:5.os), mujere:sadultas,
se l c om om p o r a m ie ie n m a clare comprendetcucil e se valores ma mu me na gr ar g ra ra f m b a g o utilizaremos solamente
.~ ll'recuencias
a r ra ra s e c a ng n g u a re re s gtafica formada p o b ar
cuyas
ma
clase
distribuci6n d e f re re ccuu en en c a s sus: areas as as ab c o e sp sp on on d e n e s N o te te s q u a cu cu e d o c o estadefinici6n nose Fequiere m i ar me ya n cousnuido. identificatan que s e h a ya
tambien e s o l u n d e a sc sc on on s u cc cc io io n la m i
C ab ab e
mb f re re c ue ue n ei ei a m: d en en s d a
r el el a titi va va s g ra ra m b ab ab i a d b ab ab i Po man lade, tH p a r . a , mo ar e n e 1 c a d e v a a b e s a le le a e r a s oontinuas.
c eenn t n ua ua c o n Fig.I.I.
mne
elh~s og ~ma de
Histograma de f re re c ue ue n ci ci a
Fig, 1.2.
mu Hi
an
po bl
o co co nn nn c d a gr ma b ab ab i a d a r a s la proaab proaabili ilidad dad de
o s d a o s d e e je je m p o ,
a b s ol ol nt nt a s
gr
g ra ra m
a-
e eeuu en en e a s a b o lu lu ta ta : p a
M.sn M.sn:a :a
T am am b
S6
de clas clas
je s o m o dOg e je
g ue ue :
as
1;2,1)9.5
1,199.5
299. 299.
2,79 2,799. 9.
3, 99,5 99,5 3,79 3,799, 9,
at
4, 99,5 99,5 4,79 4,799. 9.
29!M 29!M
1.3. 1.3.2. 2. Poli Poligo gono no de Frec Frecue uenc ncia ia
barras para h ac ac e
g ra ra f c a e l p o g on on o d e
dato dato de ejem ejempl pl
la eje,
clare e ccuu en en e a s
ante anteri rior or
Polizono de frecuencias
'199.5 Harcas
d~ etas es
que
r eq eq u e r
histog ogra rarn rna. a. Obse Observ rv e I hist
Figura. .4
la sigu siguie ient nt graf grafic ica. a.
Poli Poligo gono no de frecuencraseon
do
ie
fFecu.endas 12
10
rasss
1799.5
3m.S Kilteas
a~ cIas e1
319'9.5
no
O Jiva gr go la representapara frecueneia acumulada frecu frecuenei enei relati relativa va acumulada h as a s t d ic ic h f t·t· r m t er er a Cuando la que ma IrecuenGia nama o j v a o r para relativa aeumulada ua di ci a s g ra ra f a s a n e r o r r az az a e s g n ifif ic ic a e s n d p en en sa sa b c ou ou ta ta l e o I l l s d o s e jjee s c o er er de de n ad ad o s ojiv.a
otrahacia ardb&
la
ml
ma
La ojiva porcentuale ma porcentuales, s, Vlar Vlaria iabl bl alea aleato tori ri qu repr repres esen enta ta al
C on on s d e
s ig ig u e n
ab
de di
Fronteras
mites
36 38 39 42 44 45, 47
mo
ma poblacion,
b uc u c i6 i6 n d e
bu 6n
e ccuu en en c a s T ra r a c Ia ojiva correspondiente.
r,
Xi
Ii
Fi
28.45
29..95 95 32.' 32.'~5 ~5
31.45
3 2 . @ 5 - 35..95
3'4.45
14
CU
0.4<17
35 .95
37045
19
0.167
0.633
40..45
21
43.45
25
38...95
0.167
44.95 _·47.95
50
53
50.95
49.45
53,95
52.45
Total:
Figu Figura ra .5
6n
grafi.ca
29.~5 -,
26.95 3$:.9
bcia abajo,
30
..
0.7
.1
0.933
0,03.3
0.967
0.033
30
Ojiva
0·,· 0·,··· ··
2.·5
2:
1S
10
Ii
26.,95, __
F:ro F:roni nien en!, !,·$ ·$
De cier cierta ta desc descri ripc pcio io
de qu
la graf grafic icas as hacer consciente
de comportamiento
a be be m o
g r a fi fi ea ea s p u ed ed e n mentir,
de esea eseala la vari vari cion ciones es qu pr babl bablem emen en sean sean eque eque ia pued pued ve mu gran grande de viceverea, aproximarse, valare re q u e c a ra l a o b te te n ei ei o de vala ra c te te ri ri ce ce n l a r nu nu es e s tr tr a pueden solamente 10 precisa que ademes de g ra ra f c a r eq eq ue ue r m o s eo po tami tamien en de lo dato dato llama ''parametros numericos" pOCG> de precis precision ion
Pararnetr etros os Numeri Numericos cos 1.4 Pararn pmametros numericos,
de informacion
que dan, se clasifiean en:
rm a es d e o rm tros nu eric ericos os qu P re r e se se nt nt ar ar em em o s s o a m e nt n t e os pa am tros
as comunmente se utilizan, utilizan,
Tendencla Central. So valo valore re
q u s e e no no ue ue n a n
de lo que e s u d a r m o s
la mues ra us al
stan stan
ed
se puedencons puedenconsidera idera arit aritme meti tica ca
medi medi na
como la moda moda
continuacion.
Media
n,luy impertante
c le le n ot ot a a l g d if if er er e nt nt e Q.
s e d e fi fi n de la siguiente forma:
Si entonces:
se ncue ncue tran tran si ag upar upar /I
1=
donde
muestr tra. a. tamafio de la mues
muestra.
b. utilizamos el m i s m o
media antmetiea -9-
como:
p ue ue s
qu
endonde
m im im e am
Xi
as
fi
Media.na Bs a lo lo r a r deei deeir, r, esaq esaque ue mayores iguales ael, E n d a o s s o m e no no re re s gu
mu mismo nurnero de datos menores palabras, la medians es aqU'el valor para
ma
61
P a r e a c u a r Ia mediana de m u d e d i b ue u e io io n d e e ccuu en en c a s s sd sd eb eb e
s eg eg u
at o s s ig ig u e n e s p a o s
ag
ad
tabla
date en-f en-for orma ma cree creeie ient nt 6,deer 6,deerec ecie ient nte, e, lo date VI?;Z
'0<1808:
aq1!J:eiue eiue seencu seencuent entre re lo r c e nt nt ra ra l aq1!J: 8i el mimero de datos es impar, la mediana es el v a lo ga Es
sera e1 promedio
de datos
b.
(n!21
ga
Ejemplo4. ma m im im e durante u n 1 e o d d e I J n a o , d eb eb id id o a l a s n re re ccaa n b a 1,3, 1,3,9, 9,2. 2. 7, 8,.0, s e l o s ig ig u ie ie a e s Ob ng
me Leis d a to de m a qu qu m a to s o b te te n id id o s m ed e d ia ia n del numerode-fallas.
Solucion:
1. Ordenando Da lugares
ma me
l2
(n/2)
0 , 1,2,2:,3,3,4,
mediana sera el me ordenacion, es decir, la m e d a n s e -1:&-
7, 7,
el
me
lo
datos
q,ue ocupe lo
ga
erdenacien,
3+4
Si os da n ccuu e a a a g u pa pa d ar e n o j v a c om om o n d c a c on on t n ua ua c o n
bt ne
Cl
m e d a na na s
50%
d eebb e e a z e u n
po ac
Es
mb
clase medians,
G ta ta f a r
la c la la s m e d ia ia n a Freeuencia acumulada Fj+]
50%
Frontera
....._ ....._-----rr- ....... ....... ....j,........ Li+l
Medians
FsO%-F, Li+l-
L,
Fso%
Pi+1-F
x-L, L;+I-1;
) ( L ;+ ;+ 1 Li)
Li
FtwF,
e n d en e n de de ; on er L;+ I:
,,,
on te te r la r on es la
u en en c
n fe fe r o r d e I a c la la s m e d a n s up up er e r io io r a ou ou mu m u la la d
ae as ba
m e d ia ia n Li
;2
be
i+
es
frecuen'Cia a c U t r u lal a d a 1 1 .a. a s tata L. i - f tam'ifie ti la'IDu€::; la'IDu€::;tt ttli li el tam'ifie
Se oeooia. como. JI4, es aque aquell ll ObSePil8Ci ObSePil8Cion on que, se re,pitecon mties1ta. Puede existlrrilas unji t110d! miStna agrupados a. De p ue ue d c nn nn si si ds ds ra ra r coraomeda, la mama de elase. elase.del del intervalo COlt rna;y@tfrecueficia.
se
n o a l g _n _ n e difereneia de ia media ~ritn'l:etfea la rnediana,: la 'mona no sigttif ific ic ql.t ql.teen een un m i m o @ n etes etesan anam am nt eE un valor unico, Esto sigtt dato datos, s, pued pueden en e x s t v a a s J : J 'o 'o c a s n nq nq u a m b ie ie n p ue ue d se 6:nica.
Medi.d Medi.das, as,de de disper dispersio sio E-xi E-xist sten en varia varia m e d d a d e d is is pe pe rs rs io io n algtlJila&aeel1as (l m a Y C l lrlr la la 1s 1s e r ni ni de de n c o respect"Gl ala. nc ue ue n r : a lr lr .e .e de de dQ dQ f di;ll c te te .n .n tr tr o d e r < U 1i 1i g d e l a esta ultima un meCli& qu s e e nc media muestra, conslderal1se un medina l'epresentativa de 1 0 ' Sd Sd a to to s . . E s ta ta s m ® c l i d a S ' l 1 1 3 s permiten, e p r~ r~ se se n a t v id id a d e la I'I1&dia a d en en w s d e : 4 e ~ ¢r ¢r ib ib i r QQmp0rUlmiento de m u € a . v a d a a . r ep como car:j' car:j'et et€ri €ris1! s1!i~a i~ade toda toda el Gbnj Gbnjun unto to de
Ranga Tal ve
la rnedida cl~
Il'fCl'p01'Ccfona
ma mp se, defitlit defitlit paTaconstr'U!ir freeneaeias, 8s is p, p, .e .e F S i6 i6 l ) int€res1L):1te, medida d e ' d is n fc fc in in u ac ac io io n irir t n ed ed ia ia m a ce ce ·r ·r c d e la vati;abilidad q_ue,ienen los dato$ el1.tresi.
ae.fine como lamferenpia
dij-o
rnuestra, este es;
RaQgo
enrre lo
dacta,s1l1~YQr
mener en la rnus rnusst stra ra
t'tnp6ffi1nte AuuQ AuuQ1J 1J e] r K t ; 1 g o adicional p ro ro pe pe re re io io na na n a fc fc rm rm a c definiremos contlntraCi6n.
VaIianza.,
'n,
L..(Xj 2.
-1~-
clricha variahih€lacl, .l'll;'unas de
la
ma
mo
calculara
indica
In
L(;Ki -'i)€
ef donde, e p e se se n
e ccuu en en c
de
el m e w d e c la la se se s x j m i s m a slase,
La varianza present! ma mu a, 3 :1 :1 e l al n te te rp rp re re ta ta c o n p od od r e su su l a r u r a n c on on fu fu sa sa , o lv lv e d i h n p ro ro b m a d e u n d ad ad e o n d ic ic h m e d id id a ,c ,c o 10 resultado d e f n e .l.l a d es e s vi v i ac ac io io n e st st an an d a o s d a to to s
es la marca
la s ill. c la
- es es im im a ,
fi
la
e m ba b a rg rg o simplemente
10 Stl o rm rm a q u s e h a e nc nc on on t a d d e da extraen
b) Desv Desvia iaci ci6n 6n eSli eSliln lnda dar. r. e, d e fi fi n e 1 a d e sv sv ia ia c io io n
m i sm sm a m u e
c) Coeflci Coeflcient ent Ev
un mues ra
estandar
a,
Bs
a iz iz . u a a d
como
varianza
es
de v~ri v~riac aci6 i6b, b,
e l e ne ne r qu
e fe fe r
o s datos p a
d e e r h in in a
m a :g :g n u d d e h i v a a c o n
C.V.==
na mnes mnes ra
20 trabajadores
$ 24 24 0 ;0 ;0 0 0 , $ 25 25 5 ,0 , 0 0 0 , $ 25 25 5 ,0 ,0 0 0 ,$ ,$ 26 26 5 ,0 ,0 0 0 , $325,OOb, $ 33 3 3 0 . 0 0 0 , $ 34 3 4 0 ,0 ,0 0 0
$280,000,
lo siguienfes salaries mes $240,000, $ 2 8 0 , 0 0 0 , $ 29 29 0 ,0 ,0 0 0 . $ 30 3 0 0 ,0 ,0 0 0 , $ 30 3 0 5 ,0 ,0 0 Q ,
Calcular la media, mooiana,moda,. vari n d ar a r , e oe o e f c ie ie n d e variacion varian anz~ z~ desv desvia iaci cion on e s a nd censtruir u n a b d e d i b uc mi me at u c i6 i6 n d e e ccuu en en c a s r ep ep e os c l c u o s d e a s n te te d d a s o c i a d aa aa , l O U e p u d e d e ac d e o s a la la r Soluci6n: a) Medi Media. a.
{ ~ 2 40 40 0 0 0 ) + 2 2 5 50 50 0 0 ) 330000 3 4 0 0 0 0 } 120
00
00
270.500 -13-
00
0 50 50 0
32500Cl
b J M e d a na na . x."+x. )(=:2
Mo
;-'1
ee
255000
265000
260,,000
0 ,0 ,0 0
2:(XId) Va'..i Va'..ianz anza: a:
=1
1,155,000,000
20
33,985.29 (}Ceef (}Ceef elen elen
de vari variac acio ion: n:
me
C.V.=
s. it
0.1256
12 56%
5 6 %.
It)
Long Longit itud ud maxi maxima ma.: .: 1 0 0 , 0 0 0 1 5
20,000 5,000
lO,90Q
235,000
Limites 2350 235000 00 -144 -14400 00
:Ft,ooteras 450
'--244 '--244500 500
Ii 239500
i*
r.
0.400
Fi*
OAOO
249500 .0.500 2 64 64 5 0! 0 ! J. J. i
27450'0
0.600 279500
0.]00
289500
0.'050
15
0.750
1995()Q
..
309500
00 3 2 5 '0 '0 0
3145 314500 00 -324 -32450 50
33 000
32 500
33 5(
0..850
329500
0.100
32.9500
0.050
Total: -14-
20
950 20
1.000
i=
Media:
Moda: Primera
..
11
5,43Q~OOO 20
ma ca de €las €lase. e. Mo
271,500
239,500
°-8 10-8
Range
254,500
100,000
II
271,500)2 f; arianza:
_ , _ i = . : _ l - - - - ---- - " - - -
esta dar: dar: Desvlaeion esta
c.v.
0.123594
22,520,000,000
20
33,555 .9234
12.3594%
-15-
264,500
2.
CO JUNTOS
papel preponderante,
eori eori li la probabtlidad
po ib es re ul ados ados de unmismo experimento,
Aunque le corresponds de la eo
2 .1 .1 .
conju:ntQS algebra, s e e c: c: m s c i1 i1 er er oo oo nv nv en e n ie ie n er
h ac a c e u n r ep ep as a s e breve
algu alguno no oone ooneep epte te
g eb e b r y op o p e a c o ne n e s c o c on o n ju ju n o s
UEFINICtON:
C on on s d e
1co
nt
person onas as rnex rnexie iean anas as mayores d e a s pers
Todo Todo so pers person onas as Tode b. Tode
so mexi mexica cano nos, s,
as
Ejemplo2.
1oo
comu comu
pertenecen.al reino animal.
N o te te s
c am am '
q u p ue u e ddee nnss e
d en en a a r
a n m a le le s
r ac ac io io na na le le s
s er er e h um u m a n cs cs ,
l o c o nj nj un un to to s l lili @ d ia ia n te te I e r a m a y U ~ cu cu la la s -16-
SOIl:
DEFINICION: caractedsticas
2.
elemento
conjunte
Definamos
como como sigu sigue: e:
Po comp compre rens nsio ion: n:
La cual cualid idad ades es dese deseab ab1e 1e en un pers person ona} a}
Po exte extens nsio ion: n:
pres presen enci cia, a, inte inteli lige genc ncia ia capa capaci cida da de trab trabaj ajo, o, buen buenos os sent sentim imie ient ntos os gracia, caracter agra agra ab e, oc lida lida }.
5.
conjunto ce tr en el or ge
definir
Porertenslou: co ac tu
na nf nida nida
de elemen elementos tos
ns ra
ue tien tien
{(x, y) en ar
le
to xE
y2 co
nt 1c
di nt
I} le ra
uscu uscu as A.
-17-
Ejemp,lo6. Iosnumero ero e1 oonjunto oonjunto de Iosnum
Sea
exteaslon:
PO
10/4 10/4
reales 1/3,0,2
~1 se
a1
cara caract cter eris isti tica ca
rnat rnatem emat atic ic
era.
que lo dist distin inga ga completamente
ra c te te ri ri st st ic ic a s ue par s u s c a ra el conj conjun unto to universal.
co junt juntos os
xi te
lg no conjunto vacio
todos.
propio.
e1
DEFINICION: Se
elem elemen en os
odos odos os bjet bjet
ba
cons consid ider erac ac on
DEFI DEFI IC ON ningun un elem elemen ento to posee ning
Se
es
conj conjun unto to como como
{elL
E s o rm rm i relaciones la prin princi cipa pale le
prop propie ieda dade de
que
acostu tumb mbra ra deno denota ta Se acos
{}.
e la la c o ne ne s s ta ta b e ce ce r v in in cu cu lo lo s entre c on on j u n s . E s a s Alguna na de ella ellas, s, a s : i como operaciones entre conjuntes. Algu continua cion.
DEFINICION: Sean
YB se B. Esto es, {XEU
IXEA
-18-
xEB}
A= {x
Ixtiene 12 anos
{x
afios
Entonces,
ne
{x
mas}.
af os
DEFINICI6N: union de
es
B.
{x
ambos}
Sean Sean lo sigu siguie ient ntes es eonj eonjun unto tos: s: A={XE~
IX:$5}
3,
Entonees, {0
0}
.A
tanto de
Y4
Au
DEFINICION: Si
pertenecen st es
Ejem Ejempl pl 9. 91
91 ento entonc nces es -19-
lJr
A,
aplicadoncs En
al
Ou
gr
?b
Et caso de lo conJunto$ ex:c.epci6h.. c:Qh1prensi6'n. representasien .grafiea o{ i l f ' 1 s c () () nj n j 1 n to to s~ s~ e rm rm j t a en e n t c a c o cla~ad genera rali liza za ar representar O Im I m a g ra ra f m a s gene de Venn-Euler, be
e.
b e facilita la @Ga.siabes
la
aguenq~ e l e t l J e " h t o s
des'arr des'arroll ollaron arone{l e{lte te tipo tipo degrcif degrcific icos. os. se representa. a] cOfijuhto universal cIhedj:ant'e ea extension 1 " ' 0 1 ' comprensi6n,
iJl:apama
AqueHos.elementos Ma ,<:lgrupandentro curva dich dich
conJ conJun unta ta
pertenecena
Te
lo
5 ~ 6" 6 " 7 ;,;, 8
£)
elementos
queJian
rect1U1grtia
conjsntc
se
dicfiaaurla
Ej6mplol. Sean lo conjuntos:
1~ Z' 3 ,
Venn-Suter,
cantip:uacionse entre entre conjunt conjuntos. os. Figllera.
l.1
o au au j J n t(t( l e s la siguiente:
2 ~ 4 ~ 6,
Lar~prese.ntaci6n
diferentes <:)'pemGiortes
muestra
R ep e p ,n ,n eS eS tU tU l a d6 d6 n D ia ia g a m a la i nt nt er er se se cc c c io io l d e tlos
relaeiones
P;enn-Eu.1~r d e ( ;a ;a ) union d e . d e s canjtultos, elcont ntpl pl~m ~men entQ tQ d~ (0 elco conjunto. Uh
(b)
IJ
-2(1-
DEFINICIQN: n j lJlJ ! ltl t o . s .
t an an ,l,l bi bi ~ e le le m e rr rr t d e B , lisle hecho sinQ
C qn qn s d \
subco"jIjnnto de B,si t o< o< 1 o e le le m e n t
dice
S~ deuQta. GQlnQA
e~
B,
cB.
o s sigui€'l1tes cortj1.JJttos~ A.;=; {todas IaspetSQuas' casad casadas as {to:dos
hotflbr~CaS1ldQ 1ldQ 10$ hotflbr~CaS
DEFINICION:
do conjuntos. elementos. :Esto Sean
'1
c B
so tambien
Ejemplo.3.
Sean l()s l()sco conj njqn qnto to Z~
entonces
R.
iguales si.y A.
s o l o sf eoinsiden
;todos sus
DEFINICION: so
Se
mutua mutua:m :men ente te
AnB=0.
subconjuntos: lo prop propio io
los improp impropios ios
DEFINICION: propio
DEFINICION: imp.ropio
:8
<;;;;
Ejemplo 4. Considerelos
on un os
Se c,lJU1p,le c,lJU1p,leque
C{ §;;;
cJ3.
Figura 2.2. Representacion graf grafic ic de un subc subcon onju junt nt propw.
BcA ~22-
PROP PROPIE IEDA DADE DE
DE LO
CONJ CONJUN UNTO TO
q.
A. d.
By
Bee,
entonces Ace.
Esta Esta pr pied piedad ad se co oc como como pr pied piedad ad transitiva,
se en nc an en el te rema rema sigu sigu en e,
TEOREMA: By
siguie siguiente nte propie propiedad dades: es: Regl Reglas as
iden identi tida da
1.
Morgan
ACuB Prop Propie ieda dade de
asoe asoeia iatl tlva va
Bu C) 6. Prop Propie ieda dade de
dist distri ribu buti tiva va
Bu C)
B)
-23-
Cons Consid ider er un canj canj nt
ni ersa ersa qu cons consis iste te de la cnte cntero ro dell dell al if},
Desc Descri riba ba pa exte extens nsio io
lo si uien uiente te eonj eonjun un os
G.
b.
ACuB BC)c
d.
[A [An(BnC)]C n(BnC)]C
Selueien; Q..
An
c.
pues
8,9,10
h.
A C nB nB C )
= (A ( A C )C )C u B C )
,8 po
=AvB
eyes eyes de Deidorgan
.4 d.
[A
(B
C)
e.
[A
(B
C)
(A
(A
B)
c)
(A
(A eve c)
yaque
AcuB ACu
C)
1,.2 1,.2., .,5, 5,6, 6, 7, 8,9, 8,9,10 10
po prop propie ieda dade de
de dist distri ribu buti tivi vida da
DEFINICION:
el produeto
Si
AxB={(a,b)
aEAy
bEB}.
AxBxC=(AxB)xC=Ax(BxC),
DEFINICION: conj conjun unto to pote potenc ncia ia A.
Ejem EjempJ pJ 6.
{0,1 }D
,{
DEFINICION: conj conjun unto to fini finito to
finita).
,{
DEFINICION: elem elemen ento to
er
e5t01$
a,
ro
em
DEFINICI()N: elem elemen en os
estes
contar,
DEFIN1CJ6N: infini infinite te numera numerable ble
DEFINICION: numerable ble infinitt() no numera
-26-
numeros
3. EXPE EXPERI RIME MENT NTOS OS ALEA ALEAI: I:0R 0R10 10 diaria, circunsta stanci ncias. as. d e te te rr r r ai a i na na d o p e r las circun
mb rg
al
la aleatoriedad
no dete determ rmin inis ista ta dado dado qu much much sima sima mo
Ia probabili probabilidad, dad,
.1
ad
circ circ ns anci ancias as qu av
Espaei Muestral.Eve Muestral.Eventos. ntos.
ar en adelante,
ob erva ervabl bles es
es
Si
embargo"
mo
ro
mi
procedimiento podemos encontrar experimentos
ex:perimen.tos
d is is titi nt nt os os , a l r ep e p e titi rs rs e erpe erperi rime me
to alea aleato tori rios os
ri mo rl .per .per as el case er e l r es ,e los e xp x p eerr im im e n o s d e e rm rm i n s t a s es u l a d o que pres presen enta tara ra siem siempr pre, e, en e1ca e1caso so aleatoric para anal anal zarl zarl e.re e.requ quer er ra de asi, para PQSea, t am distin in os en circunstancias igua iguale les. s. Po ta am b i e n c a ra ra c te te ri ri st st ic ic a de producirresultados dist
frecueaeia resu result ltad ad
espe especi cifi fico co al repe repeti ti
el ex
bien bien 1a cert certid idum umbr br
modelos
gran importancia
ceur ceurre renc ncia ia de un resu resu tado tado espe especf cffi fico co de expe experi rime ment nt
Partiendo paso sera
.E
alea alea orio orio
de arro arroll llad ad
I""
DEFINICION: E1 conjunto Muestral se denota pa S.
je
dado.
Co El espaci espaci
muestr muestral al
tres personas.
Considere espaci espaci muestr muestral al
=-,{
(1,
ma a:£
c::;
N}
DEFINICION: Un even even
es cual cual uier uier
ubco ubco junt junt
de es acio acio mues muestr tr l.
Se
del alfabe alfabeto. to.
impo import rtan anci ci EVEN EVEN
ar
reci recibe be un ombr ombr
pr pio. pio.
lg no
el os os de fi im
co tinu tinuac aci6 i6n. n.
OS NOTA NOTABL BLES ES
al ad
un resu result ltad ad
osib osible le se
Even Evento to
excl excluy uyen ente te
mu
ex
ce
Ejemplo 3. Cens Censid ider erem emos os el sigu siguie ient nt
un
S' mp n t n id id o
esta
Ay By
espa espaci ci mues muestr tral al
B.
o n e ue u e n o s m u tu t u a me me n
e x u ye ye n e s
so ev ntos ntos mutu mutu m e n t e e xc xc lu lu y en en t e s
e ve ve n t o m p o s b l e Ay
3.2
no
excluyentes.
Definicion es
probabUidad.
rm
ac as ap icar icarla la adec adec adam adamen ente te sino sino tambien no perm permit itan an desa desarr rrol olla la una.te una.teor oria ia gene genera ral. l.
1) Interp Interpre reta tacion cionel el slca slca
ct
1co I(
#A #S
-29-
Ejemp.lo4.
pcsibles, -4 0,1, 0,1, 15,4 15,40, 0,50 50
-1
sabe saber: r:
100, 150, 150,30 300, 0,50 500, 0, 1000 1000
todo todo igua igualm lmen ente te prob probab able les, s, Dete Determ rmin ine: e: rt
a.
ab
b.
er
es
elevento de a ce ce r a r
en
ea
u n m a ne ne r
rt
..
po
P(B
es
en
C)
B)
PtC)
en ' U n . m im im e
d.
vo
2.
=:
negative. 10/12
#S
mi er
-e
A)
me
(A iim .----.-----
experimen mento. to. repeticiones del experi An
la impo imposi sibi bi idad idad
de
medi median ante teel el coci cocien en
real realiz izar ar un infi infini nida da
n(A) co
expe experi rime ment ntac ac ones ones se apro apro irna irna a. roba roba il da
utic uticie ient ntem emen ente te gran gran e.
decir,
n(A) gran gran
ea -30-
11
me-jar sera la aproxi aproximaci maci6n. 6n.
Se iene iene 20 oili oilind ndro ro de co cret cret cili cilind ndre re so igua iguale le resu result ltad ados os obse observ rvad ades es so lo sigu siguie ient ntes es
temp temper erat atur ura. a. Lo
Freenenctas
Limites
16 12
25 132 21
eventos: 20 kg/e kg/e !e
or
210 kg/cm sumo 00 kg em 10 sumo
Soluehin: PCA)
25 /200
0.125
PCB)
132/200
0.66
PCC)
3) Inte Interp rpre reta ta io
0.785
Subjetiva
na pr babi babili li ad la certeza
mu
mi
rr
gual gual
no nd ca
sde ProbabUidad De su cont contra ra om ni
AXIO AXIOMA MA
os umer umer
real reales es ..
DE PROB PROBAB ABIL ILID IDAD AD
Al
evento to mutu mutuam amen ente te exc1 exc1uy uyen ente tes, s, ento entonc nces es P( i~! A;) An so even
P(Ai) 1=
ya
ap icac icac 6n en casi casion ones es re tera tera
os ax omas omas de roba robabi bi idad idad
TEOREMAS: 1. P(0)
tambien 10
1B)
como srgue: Eventos cm /s crr/ crr/ls ls C=AuB
-32-
inclusive. nc usiv usiv
peA)
Prob Probab abil illd ldad ades es
de oc rren rrenci ci
peA) Dete Determ rmin inar ar
a)
b)
(A
.6
PCC)
0.7
prob probab abil ilid id de
B)
P(Ane)
e)
c)
d) e)
as sigu sigu ente ente
PCB)
(A
P(
Soluci6n a) (A
peA)
(A
peA)
P(An B)
B)-
..
.5
P( A)
P(
P ( A )
An
)-P(A
B)
B)
0,6
1- P(
c)
(A e)
1-
1-
0.4
P(Bu P(BuAC AC)= )=P( P(B) B)+P +P(A (AC) C)-P -P(B (BnA nA
.6
4-
(B
0.6
-33-
.5
4. el problematica informacion experimento, 10 ante ante esco escono noci cimi miea eato to to al de la itua ituaci cien en
de
la er cert certer eras as
nuestr tras as cone cone us ones ones sean sean manera qu nues
me la deci decisi sion ones es m a s e fi fi ci ci en en te te s
Par mi a,
ae
en
YD
probah ahil ilid idad ad de Ia prob
de ya ocurrio
peA
IB)= P(AnB)
P(B);t:O
.E roba robabi bili lida da
se calc calcul ul
como como P(8 IA)= P(AnB)
P(A)
P(A);t:O
BU
union,
-34-
TEOREMA:
(Reg (Regia ia de la muit muitip ipli lica cad6 d6n) n)
eventos, entonces.
SOh
P(AnB)=P(B)P(A
IB)
P(AnB)=P(A)P(B
IA)
tambien,
Ejemplo 1. dese calc calcul ular ar la sigu siguie ient ntes es prob probab abil ilid idad ades es se dese que sinn de qu sinn
sean.
de
defini defini alguno alguno
1pr
eventos.
Sean:
A:
los d o h i o s sean v a o n
de
de lo hijos se varo varon. n. consideramos
0.25
simples
P(B)
0.7 ..
e l n c is is o (Q),
p od od eem m o s e xp x p re re sa sa r (A
P(
_114 3/
que pasaal consideremos
la m)
que
los
eJemplo varon, entonces,
mas,
10
oonjunto:
Si calculamos ahorala da
1/3 [Exact [Exactamen amente te
qu ha iamo iamo
calc calcul ulad ad
probabilidad
mu
S,
habe camb cambio io algu alguno no no habe -.35,.
usan usan
adefi adefini nici cion on
mp Se la za
os da os ba ance ancead ados os
defi define ne
os even evento to
dado s3
Determiner: P(
B)
'I
{ ( i, i, j
1:;:;,
: : : ., : 1:;; B)
P(
36.
12..
II
(A Ic)=o
c)
.#
,d
P(C
e)
P(A)"'"112
-,
IA )=0
P(B)=l/6. g)
P(C)=1/6
DEFINICION:
d eecc i
in.depemUentes, ,. tambien la o eeuu r e nncc i n o o ccuu rr r r en en c i de
ocur ocurre renc ncia ia
mo
apr
otro,
IB)=P(A)
tambien,
En el
so inde indepe pend ndie ient ntes es a l g ua u a l que Bye,
sort
-36-
mientras
no
TEOREMA.: eventos
TEOREMA:
on even evento to
(For (Formu mu
ndep ndepen endi dien ente te si
de ro ab lida lida
s610 s610 si
eA
B)
A)
CB
otal otal
mues muestr tral al S, (A
2)
(A
11
LP(AnBJ i=l
eA
TEOREMA:
siguie ient nt resu result ltad ad .. el sigu
Bi) ;:::P(B P(Bj)
tTeore tTeorema made de Bayes) Bayes)
mues muestr tral al S, p(BI p(BIIA IA)= )=
nP BJ (A\B (A\B LP(B.k)P(AIB 'k=l
.Ejemplo 3.
remesa, By
el Si se
el cc on
a le le a o r a m en en t
un pa
d e a s a lm lm a c n ad ad a -37~
a.
l,Cual es la
mp
81 la parte endi endida da pa haya si
la probabilidad
ec
Defina Definamos mos los ssguie ssguiente ntesev sevent entcs: cs:
C: La ar
fu
se ecci eccion onad ad
producto s e e cccc io io n ad a d o e st st a d ef e f ec ec tu tu o so so .
De
b em em o
PCA) g.
..
0.
;P
peDe) P(D)
0.08.
-,
P(A)P(DI
0. (0.1 (0.1
pe
O.lO;P(D
PCB) eD
0. (0.0 (0.05) 5)
C)
C)
OJ (0.0 (0.0
p e A ) p{n
0.069
C)
B)
co er
0.
0. 0) 0.069
.289 .289
e1
on ndep ndepen endi dien ente te Lo regi regist stro ro mues muestr tran an qu co serv servad ad res, res, el 82 de lo li eral erales es a. votado?
b.
Si
VOtD
-38-
ec
Soluci6n:
Defi Defina namo mo
lo even evento to sigu siguie ient ntes es cc
B:.La. persona sele selecc ccio iona nada da al azar azares es liberal C:
pers person on
sele selecc ccio iona nada daal al azar azar es ndep ndepen endi di nte, nte, az
g.
el ci es
peD)
as
rb
A)P
(D
P(A)=O.30
0..J95
0...35
pe
nOC)= p e A ) P(DC IIA)
PCB(lD)
P C B ) P(D B)
0..10.5 0..41
=0..50.
P(C)
0.20.
nDC) PC
PC
Entonces, peD)
0..195
PC
0.
~)
0 . . .0 9
0..10.
0.,70.5
0..30.5.
-39-
nD)
PCB) peDCl
P(C) p(DI C)
P(C) p(De C)
0.0.9 0.10.
0..10.
5. VARIABLESALEATORIAS na proble problemas mas probab probabili ilista stas, s, i _ , Q u e es fa vari variab able le alea aleato tori ria? a? En el em ante anteri rior or se de crib cribie ie on lo re ulta ulta
ex erim erimen en (eve (eve tos) tos) en pa abra abras; s; cl rame rament nt es difi dificu cult ltab ab el anal analis isis is de algu alguno no pr blem blemas as Es mnch mnch ma faci faci de crib cribir ir ma ejar ejar ro le as cuan cuan se tili tiliza za mrme mrmero ro
5.1. 5.1. un ione ione de dens dens da
roba robabi bi id
de di tr bu i6 ca os di cr to
co ti uo
Tid nume numero ros, s, lo cual cuales es reci recibe bene ne nomb nombre re.d .d even evento to nume numeri rico cos. s. Po ejem ejempl plo, o, un medi medico co esta esta inte intere resa sado do
-,
DEFINICION:
Una variable alea alea or
(v.a. (v.a. es na func func on cu os al re
onmirn onmirner er .'
sual sualrn rnen en e, se de otan otan
la
aria aria le alea alea or as (v.a (v.a.) .) util utiliz izan an
re le
defi defini nida da en
g{
as ltim ltimas as etra etra mayu mayusc sc la
alfabeto.
valores af conj conjun unto to llar llarna nado do rang rang de 1avari 1avariab able le -40-
vari variab able le alea aleato tori ri (v.a. (v.a.
el
1la
ap
par. 1e 1p
Solucien:
(1,1) (2,4)
(2,1) f!
(2,5)
(2,6) (3,6)
1) (4,3)
(5,6) (6,1) (6,2) Ii)
(6,.,3) (6,4)
(6,.5)
(6,'6
La efin efinic icio io es la igui iguien en e:
da os Lo
osib osible le
al re
de
son entone entonees: es:
1e A={ X=2,X=4,X=6,X=8,X=10,X=12}
(X
2)
(X
4)
(X
P(A)=_l +2_+2_+2_+2_+~=!.
-41-
6)
8)
(X
10)
12
Solucion: C on o n s d e a nd nd o q u u n
mo
ot
transcurrir algun
RT={ tit> as aria ariabl bles es alea alea oria oria
b e cuanto tardara
que
iR
mi:x mi:xta ta .. Se estudiaran las discretas, continuas los e ja ja nd nd o a s m ix i x ta ta s o m o u n o m b n a o n
pued pueden en clas clasif if ears earsee ee
caracteristicas de las discre discretas tas c a so so s a n te te ri ri or or e . .
mpo
las c on on t u e
Continuas
re
a l a to to r
on nu
os oma
valores un on nt o n n uo uo .
variable
Vari Variab able le alea aleato tori rias as disc discre reta ta DEFINICION:. Un va ab
a l a to to r
U n a v e d e n id id a ge BU
di
va ab
di
si
a ng ng o
a le le a o r d is is c e te te , func funcio io .. ar
un on un
p ro ro ba ba b d a
di
d e c ad ad a u n
lo elementos
DEFINICION: u n o n d e probabilidad'
donde,
0 , 1 ]
f:
Tamb Tambie ie
)2 como:
Hama Hamada da func funci6 i6
E s m u y c om om u n flu estasn estasncta cta
masa masa de prob probab abil ilid idad ad
distri distribu buci6 ci6
no ac on se util utiliz iz la nota notaci cion on
de probab probabili ilida dad, d,
lhe para haeerenf haeerenfasis asis
~42-
la f u n ci ci o n p r op op o r ci ci o n
que e s u n
u nc n c i6 i6 n
probabilidad,
siguiente:
( x )=1
x=a
anteriores,
Co side sidere re
(2).
el lanz lanz mien mien
de un mo eda. eda. Se de ea obse observ rvar ar el umer umer
anza anzami mien en os ba ta qu
Soluclon: Sea la v.a. v.a. qu repr repres esen enta ta e l n u m er lanzamien ientos tos necesarios e r o de lanzam un ol
la
1, (l)=P
(X
)=
111
(2)
En gene genera ra , .
;x
)= caso caso
-43-
me
Verificando la propiedad (1)
'tix
Veri Verifi fica cand nd
la prop propie ieda da
(2)
Debe Debe curn curnpl plir irse se qu 1:/.<
es deci decir, r,
converge k=i
[1'[?:l,a*O.
_ a _ " - para
dive diverg rg para para
1-1'
-,
me
1,
_l
dond 0, de dond
0)
x=!
Por
ro
-1=
k=l
1se
de dich dich vari variab ab e, es deci deci el co junt junt de va ores ores qu 1a aria aria le alea alea or nota notaci cion on en anal analis isis is post poster erio iore res. s.
-44-
., ue
toma tomar; r; in em argo argo
Ejemplo4. Cons Consid ider eres es la v.a. v.a. probabilidad.
,2
Yq
x ( x )
sell sell un func funcio io ). Solucion: a.
Si
x ( x )
Ix
de dond donde, e,
po
(x
=-
10
b.
X=
11+/0 =-
11
-45-
tr la
de prob probab abil ilid idad ad
EJ mpl
en el agua agua pota potabl ble, e, se
mp
A,
50,
za
seleeciona
impureza ( na na tu tu ra ra lm lm e n te te , a lg lg u na na s tenian a m b a s impurezas), S i s e distribucion
Solucion. el cual se
el
entonces:
Total
Total
0.4
0.5
0.3
0..2
0.5
0.4
0.6
de deri deride de .2
(A
0.1
Per
fy
0.7
0.2
represent
-46-
0.1
/.1.
0.8 0.6
0.2
Si em argo argo en elpres elpresen ente te curs curs se pref prefer erir ir la repr repres esen en aci6 aci6 toma toma al re
untu untual ales es La repr repres esen en aci6 aci6
punt punt al para para hace hace enfa enfasi si en ue se
ue se ut liza lizara ra es en once onces: s:
0.6
o. 0.
1.5
0.
1c
"'_--b
I
L...------{3J------.
-47-
Soluclen: 0,1
S2
.S
funciona.
,:
'8 'u SI
)+( 82
)+( 8 1 8 2 83
83 0..1
)=0.019
)+(
0.
)= Fina Fina ment ment
dist distri ribu buci cion on es
fy
0.252
'y
Variab Variables les aleato aleatorta rtasco sconti ntinaa naa DEFINICION.:
as v.a. v.a. cont contin inua ua tamb tambie ie tien tienen en un func funcio io icha icha fu cion cion se defi defi co ti uaci uaci n.
qu prop propor orci cion on info inform rmac acio io sobr sobr la prob probab abil ilid idad ad
DEFINICION: Sea
como como un fu ci6n ci6n
co la sign signie ient ntes es prop propie ieda dade des: s: 1)
r,
'if
Rx
2) .3
( x
-48-
de as pr pied piedad ades es resultados:
b)
ad
en
108
sigu siguie ient ntes es
P(a::;X::;b)·=P(a
e. negative; debe debe dest destac acars ars
ap
ad
es
el
co tinu tinu tome tome exac exac arne arnent nt
un va or esce escero ro en
ca
calculo,
-2
babi idad idad de qu un v.a. v.a. es de tr Ia pr babi cier cierto to inte interv rval ale, e, se inte integr gr sobr sobr es inte interv rval ale; e; reco record rdan ando do la inte interp rpre reta taci cion on geom geomet etri ries es de la inte integr gral al ),
se pued pued
ar
eeir eeir qu lapr lapr babi babili li adco adco ncid ncid
la frec frecue uene neia ia re ativ ativ
co .e 'are 'area' a' aj
eurv eurval al
el caso
ell
discreto.
men at
)=
-49-
el valor ).
de
presenter
1me
ar
~Soluci6R: a)
(c
Y)dy
:::: :')
b)
.5
.0.5.
c)
d)
( O: O: :::: :;:; Y: Y: S: S: O. O. 5) 5) =
Y < : " 21 1 · ·
1 . ( 3 '2
y=
(y~~) n:~)
0 -
~'.8455.
mi
examen en obte obtene ne la el exam
mp ra funci6 i6 de dens densid idad ad de prob probah ahil ilid idad ad la func 61 en o t
ca
acci accion on el inte interr rrup upte ter. r. en
ru
a m bo b o s n ec ec e e n q u
temperatura
m a yo yo r de 60,°Fpara. que accienen.
Soluci6n
avar avar
ea
re
entonces:
para,
ro as
F u nc n c io io n d e D i s b u c o n c om om p o a m ie ie rn rn o
Hamada a cu cu m u a t v o de un vari variab ab aleatoria,
~51~
i=
el
DEFINICION: Si
es un v.a. v.a. ento entonc nces es su func funci6 i6 de dist distri rihu huei eion on
menores
se defi define ne como como un func funci6 i6
igua igua es qu el Fx(x)=P(X$x)
Fx:Rx-*[O,l]
i=-L'O
fx(t)dt
'.
ropi ropied edad ade. e.s, s, qu
v.a, educ educen en dire direct ctam amen en
de la ef nici nici n.
PROPIEDADES: 1)
-oo
( x ) ibn .Fx ( x ) x )
v.a,
=0
-..-00 af Si:
entonces es
-52-
ad por: por:
caso caso disc discre reto to
continuo. ( b
)=
- F
( a
para
x ( a )
para av.
Ej mp Sea
W1 v.a. v.a. ca
func funcio io
de prob probab abil ilid idad ad
0.2
fx(x)
en form form tabu tabula lar. r.
Solucien:
pr ba ilid ilidad ad
um nd
as ca illa illa
iz uier uier
-1 Fx(x)
1.5 0.8
0.2
-53-
discreta continua
.s
---0 ---0
.5
.4
_-
.f'
""'-ro- .2--0
·2
·5
-,
Ej mpJ
0.
EI tiempo aleatoria c o u n
u nc n c io io n de densidad dada por: O~y::S;l
) .
YF Solucion: a)
(y)=
+t
t=i'-«
O:£;y:£;L
Finalmente,
-.54-
y
y>l
es:
c)
)=-+-=
gasolina
un m e
1.
un vari variab able le alea aleato tori ri
O
en otro caso ).
cons constr trui ui su graf grafic ica. a.
-55-
(exp (expre resa sada da en
la ro ab lida lida
de ue ay bomb bombea ea
,0
Solucton: es:
15
2.5
-0.5 ·0.5
'2
Para Finalmente,
'O
2y_L_l
1~y<2
y~2 )-F
(Y>1.5)
-56-
ri nz
Func Funcio io
en rado radora ra de
omen omen os
Si bien bien el comp compor orta tami mien ento to prob probab abil ilis ista ta de la vari variab able le aleaterias queda completamen completamente te especifieado medi median ante te la func funcio ione ne de prob probab abil ilid idad ad de dens densid idad ad segu segu se eIeaso, eIeaso, en ocas ocasio ione ne es conv conven enie ient nt el aleatoria. La cara caract cter eris isti tica ca
umer umer ca
clas clasif if ca
en res: res:
Me idas idas de te de ci ce tral tral Medi Medida da de disp disper ersi sion on Para Parame me re form forma. a.
Valo Valo Espe Espera rado do de un
aria ariabl bl
le tori tori
veces.
un
v. 6) me
1..,
;'
Iri
prom promed edic ic porr porrif ifa. a.
co tinu tinu la efin efinic ic on es simi simila la -57-
DEFINICION:
Sea
X,
(.x).
E ( X ) es:
para
IXfx(x) )dx
situ situac aci6 i6
continua
repeticion.
simi simila la mediante fl
Ejem Ejempl pl
para
discreta
ye
comun
ocas ocasio ione nes, s, simp simple leme ment nt
12
,0
utili dad promedio
comp compaf af ia aseg asegur urad ad ra esti estima ma
por automovil
Solucion .a qu re re en
la tili tilida dad, d, ento ento ces: ces:
0.1
(x
E(X) Par
0.888
500 que, Unida Unidades des Monet Monetar arias ias
-58-
Ejemplo 13.
X, fami fami ia tili tiliza za na aspi aspira rado dora ra
uran urante te
O
(X)-12-~ Obtener e l n um um e r
rome rome io
1::;x<2
horas por
familia u ti ti lili z l a a s pi pi ra ra d or or a
Soluci6n.:
ana. opie opieda dade de
de va or espe espe ad
)=c.
E(cX)=cE(X) donde mas b.
E(aX+b)=aE(X)+b
X, entonces:
(x)
para para
Iag(X)fX(X)
(g
(x)
)=
disc discre reta ta
'tix
J~'"
(x
-59-
(x
dx
para para
cont contin inua ua
5)
Si, g) (x)
g2 (x)
on fu ci ne
(X)+g2
(x
x, entonces:
)=E
)+E
(x
de la inte integr gral al
dist distri ribu buci cion on de masa masa
co ocad ocadas as en os unta unta
(y
Ca elprop elprop6s 6sit it faci facili lita ta la defi defini nici ci omen omen os de un vari variab able le co cept cept
de ej x.
si lo hubi hubier era) a)
la cara caract cter er stic sticas as nume numeri rica cas, s, es nece nece ario ario intr intr duci duci el le tori toria. a.
aleatorta
nt Sea
el
como
-esi -esimo mo
Po la cara caract cter eris isti tica ca
Media
de oper operad ador orva valo lo
espe espera rado do es posi posibl bl obte obtene ne mome moment ntos os co resp respec ecto to
valo valo espe espera rado do
-60-
f.1.2
f.1.x
E ( X )
me
f.1.~
asi sucesi sucesivam vament ente. e.
moment ntos os Funclongeneradora de mome
aria aria le alea aleato tori rias as es co veni venien en util util zand zand
estu estudi diar ar un form form alte altern rn para para bten btener er lo mome mome tos. tos.
la efin efinic ic on resu result ltan an much much
lgun lgunas as
ma comp compli lica ca os
DEFINICION:
Sea
v. eO
fJ
funcion
) )
no cont contie ie
mu
m»
X.
La vari variab able le
); si em argo argo aq
pref prefer er ra la
mayuscula mome moment ntos os mues muestr tral ales es
se prefie prefiere re
sobre
de id
qu
tili tiliza za como como aria aria le alea alea or
en
la distribu distribuci6ne ci6nexpon xponencia encial. l. moment nt -esi -esimo mo mome
co re pect pect
orig origen en se deri deriva va
vece vece deri deriva va le en cero cero -61-
se
Ej
pl
Cons Consid ider eres es
Ia v.a, v.a,
co func funcio io
de prob probab abil ilid idad ad
10
~2
-4
20 0.16
ru aleatoria.
fu
en ad
me
Soluci.im:
(eox
)=I
fx
8x
(~)=e-49
(O.Ol)+e-
.3
't
+e
lOB
200
Por 10 que
0..01)-2 +10e108
V a lu lu an an d
e nc nc e o :
208
0.16 0. 16
)18=0
Por 10 Ej;emplo ci
r:
~e
16
X.
b) Util Utiliz izar ar Ia
X.
~62-
Solueion: ra l1x
per
que:
in egra egrand nd
po part partes es se ob iene iene
=.Um
(8
e-~.)x
oo
la-±)
b_,.oo
(8)
lm
b·_"
00·
ec
es
entonces
de dond donde, e,
Mx(8)=
2"
!!_I que "OMx
48
)3
dB
=8
)lx:;:;
M ed e d id id a d e tendencia central fa mediana.
Media La medi medi
valo valore re pera perado do
E n m u ch ch a
a p c ae ae io io ne ne s
qu tamb tamb enre enreei eibe be elnomb elnombre re de espe espera ranz nz mate matema mati tica ca sees sees ud
se o n d e
c om om o e
valo valo mas repr repres esen enta tati tive ve
una v.a,
ante antes. s.
deno denota ta pa
Moda E s a qu qu e valor para
al
b ab ab i
funcion
ad
ma
su valo valo maximo. Mediana
aq Matematicamente, (X::;
)= 0 . 5 .
Eje.mplo 15..
Se
densid idad ad u n o n de dens x>
-2;>;
e nnoo t me
an
ca
la moda moda
Solucion
""
,e -2
:x
es
0.
donde: e: 0..5; de dond .]',:r =:
x=
in 0 .
0 . 3 46 46 5
-64-
-. %='05
m a x m o , p o 1 0 qu q u e d e v an an d
La mo
g ua u a la la n
oe
pa
bten btener er el ma imo: imo:
No exis existe te solu soluci cion on
otro Iado, no se pued puedeco econs nsid ider erar ar
mbo
(0,
r :f:f J ) ,
ervale le ningunextremo de in erva 6n mo
Se
Como
uest uest
anterior, existi tir, r, media existe c uuaa nd hecho la media pueden no exis nd o contin in as no converge; la como elan elante teri rior or bien, v.a, cont a sa sa s como al va ab un 6n oma el ni mo va or
d.ispersion La me
ma
me el coeficiente de variacion.
estandar
ge
me
variable variable aleat aleatori ori ac
Rango Es la medi medida da de disp disper ersi sion on que as mi ar bl
c o m o la dife yo r v a o r difere renc ncia ia entr entree ee m a yo mi
me Rango
Mayo Mayo va or me meno norv rval alor or
Variancla L a v a ri ri an an e i
bien va ab
a le le a o r
pOI
0'1:
mo
,y
me
media,
Matenuuieamenie:
fx
I-tx
1.:(
fx
x-
Algu Alguno no auto autore re util utiliz izan an la trad traduc ucci cion on "var "varia ianz nza" a"
-65-
ar
pa
on nu
cuadrado
De la efin efinic ic on anan ananci ci como como
aria aria cia, cia,
tili tiliza za do as pr pied piedad ades es de
E [ ( X -
al
espe espera ra o, se ue
escr escrib ibir ir
,u~
fix )2
(x
es un cara caract cter eriz izac aci6 i6 pr porc porcio iona na toda toda
pued 10 qu se pued
escr escrib ibir ir )=
E ( X ) =).Lx
O"~
ma
Cara Caract cter eris isti tica ca
de la vari varian anci ci
1) (c)
;c
constante. cuad cuadra rado do de la cons consta tant nt ( X
la unid unidad ades es orig origin inal ales es
Ingar
po la vari varian anci ci de la v.a.
constante.
la desvia desviacio ciones nestan tandar dar
Desvla Desvlaclo clo estand estandar ar x.
Esto
s:
)=~
0"
Variaclen
_!!__!_ J.i.x
(J'~
Ejem Ejempl pl
16
O
en otto caso
Dete Determ rmin inar ar toda toda la cara caract cter eris isti tica ca
numericas de
Soluci6n:
Medi Medida da de tend tenden enci ci
cent centra ral: l:
Media: Moda:
Xmo=J
Mediana:
(X:S;.
x)
par 10 que
Medi Medida da de disp disper ersi sion on Range:
Rx=2-0
Desviacion media:
DM
(2 DMx=2
(x-I)
Variancia:
esviacion
Coef Coefic icie ient nt
\j0"
de vari variac acio ion: n:
_ax_ f.1x -67-
(2-x)dx
porsimetria:
6. FUNCIONES variable d e m a n
ARIA ARIABL BLES ES ALEA ALEATO TORI RIAS AS BIVA BIVARJ RJAD ADAS AS
DE
n d p en en d n t
m b a g o en m u c ha ha s o ca ca s o n e es neceserioestudiar
dos
soci social al ques ques variab able le varias vari
de nf uenc uenc a,
DEFINICIo,N:
,X
Si
el
variables aleaterias
conjuntas.
puede mi mo
me
continues.
6.1. 6.1. un uncl cl ne
dens densid idad ad
Vari Variab able le alea aleato tori rias as conj conjun unta ta
deprobabUidadconjuntas dise disere reta ta ..
mas
td
bl
las
ma
son v a a b
p ro ro ba ba b d a
on un
a l a to to r a s
on un as di cr as
define
omo
)=p(
J.
x]
x"
,x xr para para deno denota ta Ia se pref prefie iere re la notaci6n
.Ii.'Y'
si
ix
embargo, aqui
2:
)=p( X = x n Y = y -68-
)=p(
Ejemplo 1.
(2,2), 1),
( 3
) ,
) ,
1), (4
( 4
) ,
),
),
1)
Rx.
(6
),
),
),
El resu result lt ad de prim primer er lanz lanzam amie ient nto. o.
,. para
1136
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36 1136
1/36
1/36
1/36
1136
1/36
1136
1136
1/36
1/36 1/36
1/36 1/36
-69-
4,
(5,5),
(5,4),
6,
,.
1,
( 2
)"
(5,1),
XI
),
,3 ),
1,
6)
una U D c o n d e p ro r o ba ba b U d a
Gratica
c on o n jl j l un un t
A l g ua ua l u e a r la variabl varia bles es aleato aleatori rias a s unidi unidimensi mensional onales, es, cuya cuya altu altura ra repr repres esen enta ta la prob probab abil ilid idad ad tambien ec pued haee haeers rs parael ca solo pued
poco,
de os vari variab ab es
Caraeteristieas de la func funcle le de prnbabilidad conjunta discretas, Su tiene la sigui siguient entes es caracteristicas: 1) 2)
,Y )$1
O
'\I
,J ) E R x ; y
IIlxy(x,y)=l le
R» le
Ry .J
3)
:5:X$x/
:Y
$Y:5:y/
IX]'
-70'-
c om om u n e s d ib ib u ja ja r r ec ec ta ta s v er er t a le le s como
6.2. 6.2.
unci un cion ones es de de sida sida
yd prob probab ab lida lida
ar inal inales es
Au cuan cuando do do vari variab able le aleatorias sean sean vari variab ab es alea alea oria oria conj conjun un as en sfmism sfmism ca par e l a s e s u n v ar a r ia ia b le le al a l ea ea to to r a n p o e e u n c om om p o a m ie ie n escr escrit it rave rave na fu ci6n ci6n robs robsbi bi idad idad de la otra otra vari variab able les. s. comportarniento
Fune Funeie ie de prob probab abUi Uida da Sean
un de
probabilista
marg margin inal al
os vari variab able le alea aleato tori rias as coaj coajun un as di cret cretas as ca fune funeio io de roba robabi bili lida da
conjunta
fx.r(x, y), s e d eeff in in e n La func func on
roba roba il da
marg marg na de
(f ncio ncio
de roba roba il da
como: xy
(x,y)
't Rr
ad
func funci6 i6 de roba robabi bili lida da
de
como: (y)=
xy
(x.y)
'V Rx
Ci
br
La articulos Y.
ab
es
de
0..10 0..0.4
0..0.8
0.0.8
0..0.6
0..12
0..12
1n
b) Ob ne
as
o ba ba b
ad
0.20.
m a rg rg i a l ~71-
Solucion: , Y
a) =0 b)
(y 0.20
O..lD
0.20
.5
0.08
Ix
0.06
.12
'.12
0.20'
0.40
0.40
0.3
Vari Variab able le alea aleato tori rias as conj conjun unta ta cont contln lnua ua aria ariabl bles es alea aleato tori rias aseo eonj nj ntas ntas
so co tinu tinuas as
de ma er
nd vi ua cada cada
anterior.
DEFINlCI6N: Si
ensi ensida da 1)
2)
,X
l,
,X
ri
11
conj conjun unta ta se defi defi
fX,X2'''X.
Jj...
n)
x,
as igui iguien en es eara earact cter eris isti tica ca
"i
)~
(x.,
X 1 X 2 ..
ci
como como un func func 6nco 6nco
, .
z·,·;1,
al
(X ,X
x, dX
n. dx,
)dA
~72-
Sean X,
es ra
fx
b) c)
Solucion: a) Para
ar
ea
I:f xy(x,y) Por
dxdy
que
2]1.(11)
-=-+-.
y+L=k
b)
dy
) (
dy
OJ
1,
8
2
dy= -.Y+~' ",..
obtener
-73-
,+ ,6
16 16
16 16
--I":jO.375 1
Y=-x+l
P(X+Y~1)=.J.1J-X+l(X+Y)dydx=
..X
1) dx
x(-x
Funciou
dx=
+Xy.
fCI(-X
dx
dens de nsid idad ad marg margin inal al a s variables a le le a o r a s o n u n a s d i c re re ta ta s p a
A I g ua ua l funci6n
a s c on on t n u
amb
de ne
DEFINICHJN:
o n d o v a a b e s a le le a o r a s c oonn ju ju n a s c oonn t n ua ua s
entonces rg al
La como:
v ( x La como:
(funcion d e
ma
I,
)=i:oo
In
~74-
o ba ba b d a
de
ma
Pa
u nc n c io io n d e d is is t b uc u c io io n conjuntadiserete ados ados obte obtene ne as marginates,
estudi estudiada ada anteri anteriorment ormente, e, dellanzamieato
36
36 _.1_
_.1_ 36
as
36
_.1_ 36
36
...1_
36
36
36
36
36
36
36
36 36
g6 36
'6
36
2_
_.1_
36 _.1_ 36
I)
36 ..L
13
36
36
36
36
Ej;emplo
Sean
.2
ro
a m ez ez c roba robabi bili lida da
as
usa c om o m o n se s e c c id id a S u po po ng ng a s conj conj nt repr repres esen enta tada da po
::;'4' b)
as
s~). -75-
mu que
tien tienen en un dens densid idad ad
Soluci6n:
-- -'-----'-,
Ej mpl
6. ad x,::;
xy
..
y)
xy
;en tr ca
91. (X
Y)
(y).
ar -76-
So.lucion:
-a':J
por
f"aJ
ixr(x,y)dxdy=l,
-co
que:
de dond donde: e:
2!_(a
(X
!_(.3a
2Jl(
1'0
x3+gXJ/
-77-
8), ;:
dxdy+
a=~,
+gXl
dx
bien bien util utiliz izan ando do el comp comple leme ment nto: o:
P(X
(X~Y Co
Y)
11
=1-.
31
==
r.., (y
Para Para la marg margin inal al
(x,y)
..
dy
y)
x:
fx(X)
y)
l(3.
13
-.
-+-y-
16
en otro otro ca
-78-
x/
dx dy
6..2. Fund6n
distrib ibut utio io ie distr
cooj coojunt unt
aleaterias,
DEFINICION: o n d e v a a b e s a le le a o r a s c oonn ju ju n a s s e d e n e
XI
(x,y)
como:
Fxy(X,Y)=p( variables a le le a to to ri ri a
son
c en e n ju ju n ta ta s d is is cr cr e a s
cont contin inua uas, s, ento entonc nces es
para paravv vv.aa .aa ..di ..disc scret retas as
I' (x,y) u~ .... ....
V::;=-DQ
para v.v.a. v.v.a. ..cont ..continu inues. es.
Fxy (x,y)
tiea tiea la sigu siguie ient ntes es prop propie ieda dade des: s:
no decreci decrecient ent 2) Fxy(-oo,Y)=O XI'
(x,-oo) 00, 00)
3)
I'
FxI'
( 0 0 , Y)
(x,
(y)
Fx(x)
ccntinuas, si
iene iene deri deriva va as parc parcia iale le de orde orde su erio erio ados ados
I'
x,
)=
-79-
2pXy(x,y)
Inde Indepe pend nden enci ci
de vari variab able le aleatoriasconj antas
es cono conoci cimi mien en
(0
nfor nforma maci cion on
eomp eompor or am ento ento pr babi babi ista ista
obre obre el
at
otra vari variab able le ..Est ..Est la otra
solo
dependientes,
TEOREMA:
so vari variab able le a le dice qu so inde indepe pend ndie ient ntes es le at a t or or ia ia s c oonn ju ju m a s , se dice
y) ar
od
(Y)
y.
-,
Ejemple 7. eter etermi mina na
5 6 1 0 si
la
v.aa v.aa co ju ta
~x(x+ y)
OS;x OS;xs; s;l; l;
OS;yS;x
!xr(x,y)
en tr caso caso son indepe independi ndient entes es
no.
Solution;
er
no de en obte obtene ners rs prim primer er
de dond donde: e: x(x)=
OS
;e
-80-
la marg margin inal ales es
y:
-x(x
y)dx
y3
f(Y)~-::-
20
--+-y-~
de dond donde: e: 20y)
~+~y-~~.
ot
as
ypuesto que: 32
x) fy conc conclu luye ye ue as vari variab able le
Caractertsncasnumericas
16
80
so in epen ependi dien ente te
X"y
Xy.{x,y)
(son (son epen ependi dien ente te ),
variabl variables. es. aleator aleatorias ias conjunta conjunta
comp compor orta tami mien ento to prob probab abil ilis ista ta conj conjun unto to
6.4. Aplicaciones funciones d e v a r a b le l e s aleatorias conjuntas
Valor esperado DEFINICION:
Si
de dens densid idad ad
conjunta
(x, y)
va ores orespe pera ra
de
es na func funci6 i6 dich dichas as ar able able
(x.y)
alea alea oria oria
(x, y) g(x,Y)fxy(x,y) VR
as
ItR~ ItR~
I:
J:g(x,y)
en otto otto caso caso
-81-
Ento Ento ce
el
al o esperado Propledades d e v al a)
E(c)=c
b)
E(X+Y)=E(X)+E(Y) so vari variab able le alea aleato tori rias as inde indepe pend ndie ient ntes es ento entonc nces es
EjemploS.
ei
p ro ro e
pa
ab ar un
us an
mu en
i nd nd u st st ri ri a e 1 p ro ro d uc uc t
u im im i
irnpur urez ez tipo tipo la irnp
..
ra
medi median ante te la func funcio io
densidad
entre todas la impu impure reza za
el
probab probabili ilidad dad siguie siguiente nte O'
E nc n c oonn t a r e l valoresperado
r es es u l a n t c o nt nt ie ie n e
O ' --2-
la p ro ro po p o re re io io n d e m p u re re za za s
p o 1.
Soludlm:
Pu
qu
mp
Yl
tipo mp
al Le
al
za
mu
Es
mu
mu
mp
mo be bt
)dYt ..
-82~
).
Covariancia
covarian).
DEFINICION: son Cov(X
,Y
como:
mediante:
TEOREMA:
so do vari variab able le
juntas as inde indepe pend ndie ient ntes es ento entonc nces es aleatorias co junt Cov(X
Pa rela relaci cion on entr entr
cal
DEFINICION: coef coefic ic en
corr correl elac aci6 i6n, n, de otad otad
or pes: aXY
r(
-83-
refe referi ri
El oe
nt
d e c or an t d a o r re re la la c o n e s u n c an
a d m e n s o na na l
variab variables les aleato aleatoria rias, s,
ne
icie icie Si X,
ti so
mi
ig
d e pe pe nd n d ie ie n e s vv.aa, n de
1]. i.
e n o nc nc e
psI 3)
para
dens densida ida
constantes.
conj conjun unta ta 4xy e-
+y
fX'(X'Y)={
en o t
-,
c as as o
Determinar:
in le
Solucion:
; e o tr tr o a so so . De ma
ga O:
; e o tr tr o a s fxy(x,y)
fx(x)
frey)'
n to to n
p=O.
-84-
as va
bl
a l a to to r a s
o n n d p en en d n t
7. DlST DlSTRl RlBU BUCI CION ONES ES ESPE ESPECI CIAL ALKS KS
ar ta to difieren de apli aplica caci cion on
suposiciones mode modelo lo
ma er atio atioos os esen esenci cial alme ment nt sus interp interpret retaci acione ones, s,
ap icac icacio ion, n,
distribucrones,
mbi de arro arroll llad ados os
estu estu iado iado inde indepe pend ndie ient ntem emen ente te de fa ap icac icacio io
es ec fica fica qu se le
seleceiona
cont cont nua. nua. Resu Result lt
que
e.
manera
logi logico co ento ento ces, ces, espe espera ra
decir,
probabilistas
mp
comu comune ne se clas clasif ifiq iqpe pe
.s
COIDO,
disc discre reto to
ycou ycouti tinu nuos os
mi
ma
conocidas,
af
cu rm aleatoria
MODE MODE OS PROB PROBAB ABIL ILIS ISTA TA
PARA PARA VARI VARI BLES BLES ALEA ALEATO TORl RlAS AS DISC DISCRE RETA TAS. S.
Bernoulli mas
resu result ltad ados os posi posibl bles es -sat -satis isfa fact ctor orio io
q u ~ n g en e n e a l p ue ue ddee ddee nnoo m in in a s e
exito e)
fracaso (1
h i d o a so so c a da da ,
un prob probab abil ilid idad ad de ocur ocurre reno noia ia y q 1 ~ P respectivamente, norn nornbr br de e x p e r i m e m o e n 8 ay a y o d e B er er n o u l Si
Bernoulli,
resultadc sea; un fraeaso, es deci decir, r,
..., ...,p, p,
P(X=O)=l~p
(X
re
cu
-85-
p.
ad
n o de ellos,
as
a.. =O
fx ('x)=
en como tini tinioo oo param paramet etro ro exito), como
de Berno.ulli.
se co oc
como como
is ri ucU) ucU)
funcum
ue Var( Var(X) X) (1 eal+(l~). H)
.T
poco
7.
sofisticados,
modelos
ar
8M
presen enta tare remo mo c o m o lo qu pres
adelante.
sldbn sldbnci6 ci6 Binom Binom'ia 'iat. t.
Un me n d p en en d n t
nt
ensaye
sucesrcn
mi ma
Bernoulli,
todos
como son: son: resultan de interes, como
i. C u Bernoulli
bs
et
el
.f
e ppee t c io io ne ne s
n de d e ppee nndd ie ie n e s
de un
me
eXIlio lOIS
exitos?
Dist Distri ribuc buclO lO ndep ndepen endi dien ente te demas.
binom binomia ia
numero de exitos
ep de Bernoulli,
la
v,
sola solame ment nt
lo ente entero ro posi positi tive ve
entr entr un
n, inclusive,
-86-
Peru 1a regu regu ta concreta, prob probab abil ilid idad ad de qu Ia v. En
cualquiera, perofijo. ndep ndepen endi dien ente tes, s, la forma
ensa ensayo yo de Bern Bern ul
nosdaremos
cnenta de que ex isten
urreglos SU1;na COl1
((
(n"x).
Por
vari variab able le alea aleato tori ri es
,n (x (x)
cono conoci cida da como como Distribu:cioil
Bi mi
parametros '-
ra
ri
mp
en
,.
'.
as
cual cual se de ot como;
Bi (.n, (.n, np
Var(X)
np(I-p)
ot mi De ermi ermine ne si vuel vuel si prob proble lema mas. s.
bimoto to tien tien no bimo
Solucion:
v, o rm rm a tanto,
Bin(n, p)
-87-
la pr babi babili li ad
bimoto tor, r, el avian es bimo segu seguro ro es P'(X'< 1).. l)~
Caso
(~}o
(1-p)o-1) ~O.84
l_p)o-Ol
0..4.
1a
2)
0)
1)
'X
2)
pI (l_p)t
p' (l_p (l_p/4 /4-0 -0
. ( 2:p2
(l_p)(4-2)
0.8208. Por ar el te rame ramete ter, r, aunq aunque ue Ia ifer iferen enci ci
es bast bastan ante te eque equefi fia, a,
Poisson Poisson co ti uo de mane manera ra qu se re ne
10
la si uien uiente te cara caract cter eris isti tica ca
1. E:stacionalidad:
pequefia t,
con
constante. ocurra
3. Independenda.:: ocurrenciaen n t v a o s a n
Ex
e n m u ch ch o
un
un inte interv rval al
uy pequefio de
o re re s n i pesteriores,
e jjee m p o s de p ro ro ccee so so s d e Poisson.eotao
v.a,
son:
t.
v...
..
discreta,
-88-
(AtY
-At
0,1,2 0,1,2
fx (x)== en otro otro ca
av
iguales
razon
pon
Solution:
3, 10
Poisson
btie btie
(At) como como igue igue 0)
,e inom inom al si
istr istr uc 6n
ulta na ue Poisson re ulta
apro apro ir acio acio
0.05.
MODE MODELO LO
PR BABI BABILI LIST STAS ASPA PARA RA
ARIA ARIABL BL
Dist Distri ribu buci cion on Ex Expo pone nenc ncia ia Poisson,
vari variab able le
es la dist distri ribu buci cion on expo expone nenc ncia ial. l. -89-
ALEA ALEATO TORI RI
CO TINU TINUAS AS
al
1t Poisson.
rea positi positivo, vo,
como:
en otro otro ca
Cono Conoci cida da como como Dist Distri ribu buci cien en
Exponencial ).
istr istr buci buci
ue
calc calc la que, que, E(T)': E(T)'::::1 :::1
Ejemplo 3:
fabr fabr caci caci
ci rt
comp compon onen en e. 1p
mp eand eand
el proceso
300-
comp comp nent nent
dura dura
el disefi disefiado ador? r?
Solueion: Sean la v.
1p
;::: 400, 00 Po 10 tanto, E(C
C[P(TA;:::400)] Ce-
(C+R (C+R)[ )[ P(
(C
B< -90-
400)]
C ; [P [P (T (T B
<400)]
00
mp
[(R
7.5
C)(
e·
DistribucioD. Normal
L a d is is tr tr ib ib u c io io n normal de da simple
mp DI
mp
mp L a na na tu tu ra ra l z a l a i nd nd u st st ri ri a form form acam acampa pana nada da
q u o cu cu r gr
estadisticaes distribucion mu invest stig igac acio io .. la inve expresion la Gaussiana dada dada or
al
analitica
12 -,
mo mo
Gaussiana se adapte
Para qu parametres:
Uz
la grafica en
poblaeion,
parame me re b: para
de cO.n cO.ntr tra, a,cc cci6 i6
dUatacioo.
normaltzaclen
me
mi
area b a
De ma
I(x) en dond dond
clar es clar l·
ce
bl
=cr.
mb
un ar a.
(x_a)l
la
ue
-¥~r
r'...
ac
u rv rv a
bl
-91-
dond donde, e,
b)2i Par 10
SI
nc
mo di
co
00
Distribucion. respecto ot mo:
bu on
varianza
"l
X~N(jJ,(i)
Dtst Dtstrf rfbu buel elen en no norm rmal al esta estand ndar ar mi
Di
bu
No ma
Es
bu
ma
me
son
.2 a.
valores
Zl
Z2.
tendria 10 siguiente:
tabulados, tanto para la Usa,
6n
m o para €larea Dich tabl tabl necesarios, Dich
continua-cion.
Ejemplo4.
E n eu eu en e n tr tr e 0' L2
p ro ro b ab ab i d a
distri ribu buci ci6n 6n norm normal al esta esta da tome v.a, ca dist
Selucian:
1.28)
P( -92-
el renglon correspondiente
1c
el
1.2 0.8997.
De dond donde, e,
0.87
1.28)
0.0919.
stri stri uc 6n no es es an ar se requ requie iere re hace hace un es an ar zaci zaci pero pero logr logram amos os recorrerla
Si ampliamos ro ab lida lida es
esea esea as como como se mo tr
como como igue igue
quede cent centra rada da en
origen,
la
en el ejem ejem lo ante anteri rior or
estandarfzacieu, Z=X-j..I
~N(O,l)
CJ
ue igni ignifi fica ca
En dond dond Ej mp
ZI
XI
e:
-11 CJ
,Y
Ii
Z2=
CJ
5.
la long longit itud ud "ver "verda dade dera ra pies, vari varian anza za 0.00 0.00"0 "0 (ambas entr entr 8.99 8.99 9.02 9.02 pies pies Solucicn
8.99::; X::; 9.02)
X::;
X::; 8.99)
p( 0.84 0.8413 13
..30 3 0 85= 0.5328
-93-
TEOREMA: Si X I , X 2 , me
Tamb Tambie ie
aria ariabl bles es aleatorias independientes,
.X so
varianza
].ij
ma
,... ,...
como como
iene iene is ribu ribuci cion on norm normal al ca me ia
Yvarianza ;=
';=0
Demostraeien:
as ciad ciad
en at un di trib tribuc ucio io
en
Xi'S,
iden identi tifi fica carl rl
co la func funcio iong ngen ener erat atri ri
orma orma
ma
v.a,
media
v a r ia ia n z a d e sc sc ri ri ta ta s ,
re
ma REMA REMA
en al
mo
ci
..
LiMITE C'ENTRAL (ya sea II
disereta
varianza
0'2.
i=
ar
m 2 es deei deeir, r, -11ft
.:
iene iene apro apro imad imadam amen ente te st re ul ad
..:.:i~:.:_I_--=-_
aJ;;
na is ribu ribuci cion on norm normal ales esta tand ndar ar
penn penn te apro aproxi xima ma
cuan cuan
iend iend
nf ni e.
adec adecua uada dame ment nte, e, dist distri ribu buci cion ones es tant tant di cret cretas as como como cont contin in as
..:94-
