EJERCICIOS CAPÍTULO 2 Trabajo en el curso de Estadística Compleja Leonardo Fabio Galeano Romero (Código: 82393214) Tutor: Armando Ortiz
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD CEAD ARBELAEZ ZONA CENTRO BOGOTÁ CUNDINAMARCA ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES, ARTES Y HUMANIDADES PROGRAMA DE PSICOLOGÍA FUSAGASUGÁ, SEPTIEMBRE DE 2011 1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina? Número de rutas para llegar a la autopista: N1 ═ 3 Número de rutas para llegar al centro de la ciudad: N2 ═ 3 Número de rutas para llegar al parqueadero: N3 ═ 4 Aplicando el principio de la multiplicación tenemos: N1 X N2 x N3═ (3) (3) (4) ═36 Por lo tanto se pueden realizar 36 rutas distintas para llegar de la casa al parqueadero. 2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre? Tipos de sopa: N1 ═ 3 Tipos de carne: N2 ═ 4 Tipos de bebida: N3 ═ 4 Tipos de postre: N4 ═ 2 Aplicando el principio de la multiplicación tenemos:
N1 X N2 x N3 x N4 ═ (3) (4) (4) (2) ═96 Un comensal puede elegir su menú de 96 maneras diferentes. 3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le queda a ese jugador? 7! ═ 7X6X5X4X3X2X1═ 5.040 Que es lo mismo que: Siete permutado siete, es decir: 7P7 ═ 7! (7-7) ═ 7! 0! ═ 7! 1 ═ 7!═ 5.040 Por lo tanto el jugador le queda la libertad de realizar 5.040 jugadas diferentes. 4.- ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S= {a, b, c, d}? Describa cada una de las permutaciones posibles. nPr ═ n! (n-r)! ═ 4! (4-4)! ═ 4! 0! ═ 4! 1 ═ 4!═ 4x3x2x1═ 24 permutaciones Las 24 permutaciones son: 5 ═ a, b, c, d abcabdacdbcd acbadbadcbdc bacbadcadcbd bcabdacdacdb cabdabdacdcb cbadbadcadbc 5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD? En este caso encontramos que hay varios elementos que se repiten, entonces utilizamos la definición de: Permutaciones con repetición: La p se repite 1 vez -- N1 ═ 1 La r se repite 1 vez -- N2 ═ 1 La o se repite 1 vez -- N3 ═ 1 La b se repite 2 veces -- N4 ═ 2
La a se repite 2 veces -- N5 ═ 2 La i se repite 2 veces -- N6 ═ 2 La l se repite 1 vez -- N7 ═ 1 La d se repite 2 veces -- N8 ═ 2 Total: n ═ 12 Por lo tanto:
n! n1.n2!…n1! ═ 12! 1! 1!1!2!2!2!1!2! ═ 12! 1.1.1.(2x1)(2x1)(2x1)1(2x1) ═ 12! 2x2x2x2 ═ 12! 16 ═12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x116 ═47900160016 ═ 29, 937,600 permutaciones. Se puede realizar 29, 937,600 permutaciones distintas con la palabra probabilidad. 6.- Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva: ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos? 6P3 ═ 6! (6-3)! ═ 6! 3! ═ 6x5x4x3! 3! ═ 120 números ¿Cuántos de estos son menores de 400? 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 2 5 4 entonces 2x5x4 ═ 40 números Explicación: Para que el número sea menor a 400 debe empezar por 2 ó 3, es decir se tienen dos posibilidades. Para la primera cifra, como en la primera cifra ya se coloca un número y no hay repetición, entonces solo quedan 5 números para el segundo digito. Por último solo quedarían 4 números para ocupar la última cifra. ¿Cuántos son pares? 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 2 entonces 4x5x2 ═ 40 números ¿Cuántos son impares? 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 4 entonces 4X5X4 ═ 80 números
¿Cuántos son múltiplos de cinco? 1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 1 entonces 4X5X1 ═ 20 números 7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, ¿cuál es el número de diseños diferentes posible? nPr ═ Vrn ═ n! (n-r)! 8P4 ═ Vrn ═ 8! (8-4)! ═ 8! 4! ═ 8x7x6x5x4!4! ═ 1680 diseños El número de diseños diferentes posibles es 1.680 8.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad? Si por ejemplo se elige piña y salchicha, es lo mismo que elegir salchicha y piña. Pero si se elige salchicha y peperoni, no es lo mismo que salchicha y jamón. En este caso se tienen elementos, (ingredientes), para ordenar una pizza con uno ó más de estos ingredientes, por lo tanto utilizamos combinatorias. ( nr ) ═ n! (n-r)r! ( 91 ) ═ 9! 1!( 9-1)! ═ 9! 8! ═ 9 ( 92 ) ═ 9! 2!( 9-2)! ═ 9! 2!7! ═ 36 ( 93 ) ═ 9! 3!( 9-3)! ═ 9! 3!6! ═ 84 ( 94 ) ═ 9! 4!( 9-4)! ═ 9! 4!5! ═ 126 ( 95 ) ═ 9! 5!( 9-5)! ═ 9! 5!4! ═ 126 ( 96 ) ═ 9! 6!( 9-6)! ═ 9! 6!3! ═ 84 ( 97 ) ═ 9! 7!( 9-7)! ═ 9! 7!2! ═ 36 ( 98 ) ═ 9! 8!( 9-8)! ═ 9! 8!1! ═ 9 ( 99) ═ 9! 9!( 9-9)! ═ 9! 9!0! ═ 1
Entonces: ( 91)+ ( 92)+ ( 93)+ ( 94)+ ( 95)+ ( 96)+ ( 97)+ ( 98)+ ( 99) ═ 9+36+84+126+126+84+36+9+1 ═ 511 Las variedades distintas de pizza es la suma de todas las combinaciones posibles. Por lo tanto es cierto lo que anuncia la publicidad, porque evidentemente si son mas de 500 variedades distintas de pizza. 9.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿En cuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si: ¿Es importante el orden de las visitas? nPr ═ n! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4 10P4 ═ 10! (10-4)! ═ 10! 6! ═ 3628800720 ═ 5040 formas ¿No importa el orden de las visitas? ( nr ) ═ n! r! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4 ( 104 ) ═ 10! 4!10-4)! ═ 10! 4!6! ═ 210 formas 10.- El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO? Número de elementos del espacio muestral n(5) ═ 45 ( 456 ) ═ 45! 6!(45-6)! ═ 45! 6!39! ═ 8,145060 boletos Se necesitarían 8,145060 boletos para asegurar el boleto ganador. Para 3 aciertos:
( 453 ) ═ 45! 3!(45-3)! ═ 45! 3!42! ═ 14.190 boletos Para 4 aciertos: ( 454 ) ═ 45! 4!(45-4)! ═ 45! 4!41! ═ 148.995 boletos Para 5 aciertos: ( 455 ) ═ 45! 5!(45-5)! ═ 45! 5!40! ═ 1.221.759 boletos 11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila? 5! ═ 5x4x3x2x1 ═ 120 formas o maneras Es decir: El primer lugar se puede ocupar de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto de 2 y el quinto de solo una. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres también? Supongamos que primero s acomodan las mujeres: Habrían 2x1 formas de acomodarse. Los hombres tendrían 3x2x1 formas de sentarse, es decir seis formas. Entonces combinando los resultados de mujeres y hombres tenemos: MUJERES HOMBRES (2X1) X (3X2X1) 2 X 6 ═ 12 maneras de sentarsen ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas? Si tenemos encuenta las mujeres como un solo caso entonces el total de personas a acomodar esta dado por: 4x3x2x1 ═ 24 formas ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una mesa redonda? Permutaciones circulares 5P5 ═ (5-1)! ═ 4! ═ 4x3x2x1 ═ 24 formas. 12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color?
Para que todas sean del mismo color entonces puede ser que, las tres sean rojas, olas tres blancas o las tres azules. 1. B B B 2. R R R 3. A A A Habría 3 maneras de sacar las 3 bolitas de modo que todas sean del mismo color. 13.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? Corresponde a variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir; 315 ═ 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 ═ 14.348.907 formas. 14.- ¿Cuántas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que éstas constan de tres letras del alfabeto y tres dígitos. Tome 26 letras del alfabeto. Primer caso: se pueden repetir dígitos y letras: Para la primera letra se tienen 26 posibilidades. Para la segunda letra se tienen 26 posibilidades. Para la tercera letra se tienen 26 posibilidades. Para la primera cifra se tienen 10 opciones, para la segunda 10 y para la tercera también. Aquí suponemos que la placa puede empezar por cero. Entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos: 1ra. letra | 2da. letra | 3. letra | 1er.número | 2do.número | Última cifra | 26 26 26 10 10 10 26x26x26x10x10x10 ═ 11232000 placas. Una placa podría ser: ABC 234; OTRA BKL 043. 15.- ¿Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recién egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa? El objetivo es seleccionar tres candidatos de un total de 8 egresados de un total de ocho egresados. Por lo tanto no importa el orden de selección.
Por ejemplo, (Pedro, Carlos y Beto) ═ (Beto, Pedro y Carlos), es decir que el problema se resuelve por medio de combinatoria. ( nr ) ═ n! r!(n-r)! ( 83 ) ═ 8! 3!(8-3)! ═ 8! 3!5! ═ 8x7x6x53x2x1.5! ═ 56 Hay 56 formas de seleccionar los 3 candidatos de los 8 egresados. 16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7 horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b) Si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna. Corresponde a combinaciones de 7 reglas tomadas. a) si actualmente las viola todas. De 5 en 5 ( 75 ) ═ 7! 5!(7-5)! ═ 7! 5!2! ═ 7x6x5! 5!.2x1 ═ 422 ═ 21 Si actualmente las viola todas, las puede adoptar de 21 formas. b) Si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna. Corresponde a combinaciones de (7-2). Reglas tomadas de 3 en 3. ( 53 ) ═ 5! 3!(5-3)! ═ 5! 3!2! ═ 10 formas 17.- Un Testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó le indica al policía que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dígitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero esta seguro que los tres números eran diferentes, encuentre el numero máximo de registros que debe verificar la policía. Principio de multiplicación 5||| PLACAS: RHL 9 8 9x8 ═ 72 registros. Es decir para el segundo dígito tenemos 9 opciones y para el tercero 8, ya que no hay
repetición. 18.- Seis alumnos de último año de bachillerato participan en un concurso de ensayo literario. No puede haber empates. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles? ¿Cuántos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber? ¿Cuantos resultados diferentes son posibles? Como no pueden haber empates, entonces tendríamos del primer (1) puesto hasta el sexto (6). Entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos: 6! ═ 6x5x4x3x2x1 ═ 720 resultados diferentes 6P3 ═ 6! (6-3)! ═ 6! 3! ═ 6x5x4x3! 3! ═ 120 grupos. 19.- Un psicólogo tiene 14 pacientes entre los cuales debe seleccionar nueve para un experimento en grupo. ¿Cuántos grupos de nueve se puede hacer? No importa el orden de selección No hay repetición de pacientes. Entonces utilizamos combinatorias: ( nr ) ═ n! r!(n-r)! ═ n ═ 14 ; r ═ 9 ( 149 ) ═ 14! 9!(14-9)! ═ 14! 9!5! ═ 2002 Se pueden hacer 2002 grupos de nueve.
