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DISEÑO DE UNA PLANTA CON UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SEGUNDO ORDEN ORD EN Francisco Alberto Franco Escobar, Fredy Alberto Pérez Pérez, Saúl Adalberto Hernández Santiago y Kevin Geovanny Herrera Martínez (Autores del Documento)
I. OBJETIVOS E INTRODUCCIÓN A. Objetivo El objetivo principal de ésta actividad evaluada es el diseño de una planta con una función de transferencia de segundo orden de la forma:
II. MARCO TEÓRICO A. Información sobre los PID
Fig. 2 - Diagrama de bloques de una planta con un PID Fig. 1 - Forma de una función de transferencia de segundo orden
En este documento presentaremos la documentación que lo respalda y todo lo que el grupo consideró de importancia. La planta presentará las siguientes características: Tener un sobreimpulso (M p) menor al 25%, o sea que 0.4<ζ<0.8. Para el sistema descrito se mostrarán las gráficas (en Matlab) de respuesta en el tiempo para una entrada escalón unitario a lazo abierto y a lazo cerrado con realimentación unitaria. unitaria. En la planta observaremos que nos dará una ecuación de segundo orden debido al uso de componentes que almacenan energía. B. Introducción Hoy en día, en el campo de la ingeniería, se utiliza el control de los sistemas automáticos para regular y controlar los procesos de un sistema sistema o planta sistematizada. sistematizada. En el diseño que se pretende mostrar en este documento, tenemos una planta o proceso el cual tiene un tiempo de respuesta que queremos acortar, con la finalidad de hacer más eficiente todo el sistema que es lo que se busca hoy en día en todo tipo de industria, tratando de optimizador los recursos disponibles así mismo el tiempo. Instalaremos un control PD, el cual es controlador proporcional derivativo hecho con amplificadores operacionales. El PD va estar realimentado con una ganancia unitaria para mantener el control de la planta, manteniendo el mismo voltaje aplicado escalón, reduciremos el tiempo en que la planta alcanza su voltaje máximo. Aplicando los diferentes programas de simulación veremos la onda de salida que nos dará la función de transferencia a la cual le aplicaremos una entrada escalón unitario.
Un PID es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID P ID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado de oscilación del sistema. Para el correcto funcionamiento de un controlador PID que regule un proceso o sistema se necesita, al menos: 1. Un sensor, que determine el estado del sistema (termómetro, caudalímetro, manómetro, etc.). 2. Un controlador, que genere la señal que gobierna al actuador. 3. Un actuador, que modifique al sistema de manera controlada (resistencia eléctrica, motor, válvula, bomba, etc.).
2 El sensor proporciona una señal analógica o digital al controlador, la cual representa el punto actual en el que se encuentra el proceso o sistema. La señal puede representar ese valor en tensión eléctrica, intensidad de corriente eléctrica o frecuencia. En este último caso la señal es de corriente alterna, a diferencia de los dos anteriores, que también pueden ser con corriente continua. El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar. Esta señal recibe el nombre de punto de consigna (o punto de referencia), la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal que proporciona el sensor. Para hacer posible esta compatibilidad y que, a su vez, la señal pueda ser entendida por un humano, habrá que establecer algún tipo de interfaz (HMI-Human Machine Interface), son pantallas de gran valor visual y fácil manejo que se usan para hacer más intuitivo el control de un proceso. El controlador resta la señal de punto actual a la señal de punto de consigna, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado (consigna) y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada uno de los 3 componentes del controlador PID. Las 3 señales sumadas, componen la señal de salida que el controlador va a utilizar para gobernar al actuador. La señal resultante de la suma de estas tres se llama variable manipulada y no se aplica directamente sobre el actuador, sino que debe ser transformada para ser compatible con el actuador utilizado. Las tres componentes de un controlador PID son: parte Proporcional, acción Integral y acción Derivativa. El peso de la influencia que cada una de estas partes tiene en la suma final, viene dado por la constante proporcional, el tiempo integral y el tiempo derivativo, respectivamente. Se pretenderá lograr que el bucle de control corrija eficazmente y en el mínimo tiempo posible los efectos de las perturbaciones. Este va a agregar ceros o polos a la función de transferencia. En este trabajo vamos a hacer que el circuito responda más rápido a la entrada escalón unitario mediante el PD con un sobrepaso máximo menor de un 25%. 1)
La parte proporcional consiste en el producto entre la señal de error y la constante proporcional para lograr que el error en estado estacionario se aproxime a cero, pero en la mayoría de los casos, estos valores solo serán óptimos en una determinada porción del rango total de control, siendo distintos los valores óptimos para cada porción del rango. Sin embargo, existe también un valor límite en la constante proporcional a partir del cual, en algunos casos, el sistema alcanza valores superiores a los deseados. Este fenómeno se llama sobreoscilación y, por razones de seguridad, no debe sobrepasar el 30%, aunque es conveniente que la parte proporcional ni siquiera produzca sobreoscilación. Hay una relación lineal continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control (la válvula se mueve al mismo valor por unidad de desviación). La parte proporcional no considera el tiempo, por lo tanto, la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que tenga en cuenta la variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa. La fórmula del proporcional está dada por: Fig. 4 - Fórmula del Proporcional
El error, la banda proporcional y la posición inicial del elemento final de control se expresan en tanto por uno. Nos indicará la posición que pasará a ocupar el elemento final de control Ejemplo: Cambiar la posición de una válvula (elemento final de control) proporcionalmente a la desviación de la temperatura (variable) respecto al punto de consigna (valor deseado). 2)
Integral
Proporcional
Fig. 5 - Integral
Fig. 3 - Proporcional
El modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El errores integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período determinado; Luego
3 es multiplicado por una constante Ki. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario. El modo integral presenta un desfasamiento en la respuesta de 90º que sumados a los 180º de la retroalimentación (negativa) acercan al proceso a tener un retraso de 270º, luego entonces solo será necesario que el tiempo muerto contribuya con 90º de retardo para provocar la oscilación del proceso. La ganancia total del lazo de control debe ser menor a 1, y así inducir una atenuación en la salida del controlador para conducir el proceso a estabilidad del mismo. >>> Se caracteriza por el tiempo de acción integral en minutos por repetición. Es el tiempo en que delante una señal en escalón, el elemento final de control repite el mismo movimiento correspondiente a la acción proporcional. El control integral se utiliza para obviar el inconveniente del offset (desviación permanente de la variable con respecto al punto de consigna) de la banda proporcional. La fórmula del integral está dada por:
Fig. 6 - Fórmula del Integral
Ejemplo: Mover la válvula (elemento final de control) a una velocidad proporcional a la desviación respecto al punto de consigna (variable deseada). 3)
Derivativo
constante D y luego se suma a las señales anteriores (P+I). Es importante adaptar la respuesta de control a los cambios en el sistema ya que una mayor derivativa corresponde a un cambio más rápido y el controlador puede responder acordemente. La fórmula del derivativo está dada por:
Fig. 8 - Fórmula del Derivativo
El control derivativo se caracteriza por el tiempo de acción derivada en minutos de anticipo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada. Cuando el tiempo de acción derivada es grande, hay inestabilidad en el proceso. Cuando el tiempo de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al punto de consigna. Suele ser poco utilizada debido a la sensibilidad al ruido que manifiesta y a las complicaciones que ello conlleva. El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna la variable al punto de consigna con las mínimas oscilaciones Ejemplo: Corrige la posición de la válvula (elemento final de control) proporcionalmente a la velocidad de cambio de la variable controlada. La acción derivada puede ayudar a disminuir el rebasamiento de la variable durante el arranque del proceso. Puede emplearse en sistemas con tiempo de retardo considerables, porque permite una repercusión rápida de la variable después de presentarse una perturbación en el proceso.
Significado de las constantes P constante de proporcionalidad: se puede ajustar como el valor de la ganancia del controlador o el porcentaje de banda proporcional. Ejemplo: Cambia la posición de la válvula proporcionalmente a la desviación de la variable respecto al punto de consigna. La señal P mueve la válvula siguiendo fielmente los cambios de temperatura multiplicados por la ganancia. I constante de integración: indica la velocidad con la que se repite la acción proporcional. D constante de derivación: hace presente la respuesta de la acción proporcional duplicándola, sin esperar a que el error se duplique. El valor indicado por la constante de derivación es el lapso de tiempo durante el cual se manifestará la acción proporcional correspondiente a 2 veces el error y después desaparecerá. Ejemplo: Mueve la válvula a una velocidad proporcional a la desviación respecto al punto de consigna. La señal I va sumando las áreas diferentes entre la variable y el punto de consigna repitiendo la señal proporcional según el tiempo de acción derivada (minutos/repetición). Tanto la acción Integral como la acción Derivativa, afectan a la ganancia dinámica del proceso. La acción integral sirve para reducir el error estacionario, que existiría siempre si la constante Ki fuera nula. Ejemplo: Corrige la posición de la válvula proporcionalmente a la velocidad de cambio de la variable controlada. La señal d es la pendiente (tangente) por la curva descrita por la variable. 4)
Fig. 7 - Derivativo
La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral). El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna, o "Set Point". La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita que el error se incremente. Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una
4 La salida de estos tres términos, el proporcional, el integral, y el derivativo son sumados para calcular la salida del controlador PID. Definiendo y (t) como la salida del controlador, la forma final del algoritmo del PID es:
Fig. 9- Forma final del algoritmo del PID 5) Usos, Ejemplos Prácticos y Aplicaciones de los PID Por tener una exactitud mayor a los controladores proporcional, proporcional derivativo y proporcional integral se utiliza en aplicaciones más cruciales tales como control de presión, flujo, fuerza, velocidad, en muchas aplicaciones química, y otras variables. Además es utilizado en reguladores de velocidad de automóviles (control de crucero o cruise control), control de ozono residual en tanques de contacto.
Se desea controlar el caudal de un flujo de entrada en un reactor químico. En primer lugar se tiene que poner una válvula de control del caudal de dicho flujo, y un caudalímetro, con la finalidad de tener una medición constante del valor del caudal que circule. El controlador irá vigilando que el caudal que circule sea el establecido por nosotros; en el momento que detecte un error, mandará una señal a la válvula de control de modo que esta se abrirá o cerrará corrigiendo el error medido. Y tendremos de ese modo el flujo deseado y necesario. El PID es un cálculo matemático, lo que envía la información es el PLC. Se desea mantener la temperatura interna de un reactor químico en su valor de referencia. Se debe tener un dispositivo de control de la temperatura (puede ser un calentador, una resistencia eléctrica,...), y un sensor (termómetro). El P, PI o PID irá controlando la variable (en este caso la temperatura). En el instante que esta no sea la correcta avisará al dispositivo de control de manera que este actúe, corrigiendo el error. De todos modos, lo más correcto es poner un PID; si hay mucho ruido, un PI, pero un P no nos sirve mucho puesto que no llegaría a corregir hasta el valor exacto. Un ejemplo muy sencillo que ilustra la funcionalidad básica de un PID es cuando una persona entra a una ducha. Inicialmente abre la llave de agua caliente para aumentar la temperatura hasta un valor aceptable (también llamado "Setpoint"). El problema es que puede llegar el momento en que la temperatura del agua sobrepase este valor así que la persona tiene que abrir un poco la llave de agua fría para contrarrestar el calor y mantener el balance. El agua fría es ajustada hasta llegar a la temperatura deseada. En este caso, el humano es el que está ejerciendo el control sobre el lazo de control, y es el que toma las decisiones de abrir o cerrar alguna de las llaves; pero no sería ideal si en lugar de nosotros, fuera una máquina la que tomara las decisiones y mantuviera la temperatura que deseamos. Esta es la razón por la cual los lazos PID fueron inventados. Para simplificar las labores de los operadores y ejercer un mejor control sobre las operaciones. Algunas de las aplicaciones más comunes son:
- Lazos de Temperatura (Aire acondicionado, Calentadores, Refrigeradores, etc.) - Lazos de Nivel (Nivel en tanques de líquidos como agua, lácteos, mezclas, crudo, etc.) - Lazos de Presión (para mantener una presión predeterminada en tanques, tubos, recipientes, etc.) - Lazos de Flujo (mantienen la cantidad de flujo dentro de una línea o tubo).
B. Presentación del Problema 1)
Circuito RC (Planta)
Fig. 100 - Planta con función de transferencia de segundo orden 2)
Circuito PD (Control)
Fig. 11 - Circuito PD (Proporcional-Derivativo)
III. CÁLCULOS MATEMÁTICOS A. Obtención de la función general de transferencia de la planta 1)
Analizando las mallas del circuito de la planta
V =Ri + C1 ∫(i i) dt 0= C1 ∫(i i) dt+Ri + C1 ∫(i ) dt Vo = C1 ∫(i ) dt
Aplicamos la Transformada de Laplace a las 3 ecuaciones anteriores utilizando Matlab 2)
= + + =
5
de las ecuaciones (1) y (2) - Ecuación (1): Vis=R1I1Is2s+ IC11ss IC21ss - Pasando C s al lado izquierdo a sumar: 1 I s Vis+ C21s =R1I1s+ IC11ss - Sacando factor común I1s en lado derecho: Vis+ IC21ss =I1s R1+ IC11ss - Reducciones los términos sumandos en ambos lados: I1s 1+IC11ss R1= C1sViCs1s+I2s - Despejando I1s : C 1sViCs1s+I2s I1s = 1+IC1ss R1 1 - Simplificando la fracción: = + 3)
Despejando
= + ++
0= ICs ICs +RI + ICs II I I =Cs Cs +RI + Cs Cs = + + C1sV1+Cis1+IsR12s =I +RI + CCsIs C1sVis +I2s =1+C1sR1I +1+C1sR1RI + 1+C1sRC1sCsI I C1sVis =I2s + 1+C1sR1I + 1+C1sR1RI + 1+C1sRC1sCsI I C1sVis =I2s 1+1+CsR+1+C1sR1RCs+ 1+C1CsRs1Cs = + + - Ecuación (2): - Despejando
:
- Multiplicado
por cada término:
4)
B. Función de transferencia de la planta Al tener la función de transferencia y los valores de los componentes de la planta entonces podemos determinar el valor de los polos y ceros (Si es que los tiene). Para esto haremos uso Matlab y poder ver la gráfica de respuesta de la planta.
- Igualamos las ecuaciones (4) y (5), despejamos para crear la ecuación (6)
Fig. 12 - Valores iniciales de la planta
- Buscando despejar el término requerido: - Buscando dejar solo a
por factor común:
- Sacando factor común
:
- Despejando:
Igualamos las ecuaciones (3) y (6) con despejada para crear la ecuación (7) que es nuestra función de transferencia del sistema 5)
1)
Los valores iniciales de la planta son:
R1 = 100 kΩ R2 = 100 kΩ C1 = 10 uF C2 = 10 uF 2) La función de transferencia es:
VVois = sR1RC1C+sR11C1+R1C +RC+1
Sustituyendo los valores iniciales de la planta en la función de transferencia: 3)
VVois = s100k×100k×10u×10u+s100k×10u+100k×10u+100k×10u 1 +1
6
= ++
Ahora aplicamos Matlab con los datos obtenidos en la función de transferencia para ver la gráfica de respuesta ante una entrada escalón unitario mediante las líneas de instrucción siguientes: 4)
Encontrando la transformada de Laplace del proporcional: 1)
Po =Kp
Encontrando la transformada de Laplace del derivativo: 2)
Do =Ks
La función de transferencia del PD:
=+
3)
Por medio del siguiente diagrama de bloques:
Fig. 13 - Líneas de instrucción Matlab
Matlab nos muestra la siguiente gráfica como resultado: 5)
Fig. 15 - Diagrama de bloques del PD + Planta
Fig. 16 - Diagrama de bloques del PD + Planta
Multiplicamos la función de transferencia de la planta por la función de transferencia del PD con reducción de bloques 4)
= +++ +(+)
Ahora fijamos los valores de las resistencias y capacitores del PD para buscar kd y kp 5)
Fig. 14 - Respuesta de la función de transferencia de segundo orden sin el controlador PD
Como se puede observar el tiempo de estabilización (ts) es de 15 segundos aproximadamente, demasiado largo para nuestro gusto; así es que trataremos de acortar el tiempo de estabilización mediante el uso de un PD sin que el sobreimpulso sea mayor al 25% ya que es una condición para esta actividad.
C. Función de transferencia del PD + Planta Aquí en esta etapa colocamos el PD para agregar el tiempo de Control Proporcional-Derivativo de éste al sistema y así poder controlar el sobreimpulso máximo y el tiempo de estabilización (ts) del sistema y buscamos la función de transferencia siguiente:
YX
Fig. 17 - Ejemplo de PD aplicado a la planta
+ = + 6)
kkp =17 =299
Sustituimos valores y obtenemos
7 7)
8)
Sustituimos los valores de kp y kd en la función (9)
YX = s +3+kks+k p s+(1+k ) p YX = s +3+17s+1+299 17s+299 = + ++
Calculando el valor de ζ , el cual debe estar entre 0.8 y 0.4 para cumplir con planteamiento inicial 9)
− − Mp =e
Pero en este caso, sabemos según la gráfica, que el sobreimpulso es igual a 21% o 0.21 entonces sustituyendo para encontrar ζ:
− 0.21=e
Aplicamos Matlab nuevamente para ver la gráfica
ζ=0.4448
Vemos que se cumplen la condición se cumple.
Fig. 18 - Líneas de comandos en Matlab
D. Cambios en el diseño Tomando como planta al sistema anterior diseñe los controladores respectivos para obtener una respuesta a lazo cerrado con las siguientes características: T p = 1.5 s Ts = 3.2 s M p = 15% Obteniendo valores necesarios para aplicar nuevos controles a partir de los valore iniciales dados: 1)
Fig. 19 - Gráfica obtenida con control PD aplicado con Mp<25%
Como se puede observar el tiempo pico (tp) se logra en 0.15 segundos aproximadamente, el tiempo se ha reducido bastante pero más importante aún es que el sobreimpulso es de 21% de esta manera estamos cumpliendo con que el sobreimpulso no sea mayor al 25%, tal como se solicitó para esta actividad. Se puede observar que sin PD el sistema se tarda más de 10 segundos en estabilizarse pero luego de colocarle el PD se puede ver que el sistema se estabiliza en un tiempo de 0.5 segundos.
− − Mp =e − 0.=.15=e− tp = π⇒1. 5 = ω ==.1.5 ωn = −. ωn ==.√−.
Partiendo del hecho que la función de transferencia original es la ecuación (12) y que al buscar las variables requeridas para aplicar los cambios del diseño de la planta solicitados y sustituyéndolos en la forma canónica de la función de transferencia de segundo orden:
YX = s +2ζωωnns+ωn = s +3+kks+k p s+(1+k p) YX = s +20.51692.2.3877 3877s+2.3877
8
= +..+.
Obtener las gráficas de respuesta en el tiempo para el sistema a lazo cerrado con los controladores para una entrada escalón unitario (en Matlab). 2)
Fig. 20 - Líneas de comando de Matlab
M p = 15%
kkp =5.=5.77014. 011=4.701=1701
IV. CONCLUSIÓN Al concluir este trabajo de investigación hemos logrado los objetivos del trabajo. Cumpliendo así el objetivo principal que era acelerar la respuesta de la planta o proceso mediante la utilización de un PD con un sobreimpulso máximo menor a 25%. 1) Hicimos el planteamiento del problema el cual es que la planta responde en un tiempo muy elevado considerando que se trata de un sistema eléctrico, el sistema responde en un tiempo de 13.8 segundos, deseamos que la planta responda en un tiempo menor. 2) Obtenemos la función de transferencia de esta y probamos su respuesta en Matlab esta nos da una gráfica de respuesta que parece de primer orden. 3) Agregamos el PD con sus constantes de tiempo derivativo proporcional y luego reducimos el diagrama de bloque del sistema con retroalimentación unitaria para encontrar la función de transferencia del sistema con el PD más la planta. 4) Buscamos las variables kp y kd y la sustituimos en la función de transferencia. 5) Buscamos las variables kp y kd y las sustituimos en la función de transferencia del sistema para luego lograr que el sistema responda más rápido pero con un sobrepaso menor de un 15%. BIBLIOGRAFÍA 1) Ogata, Katsuhico, Edición: 4.ed.. Editorial: PrenticeHall. ISBN: 84-205-3678-4. Fecha: 2003. Páginas: 965.
Fig. 21 - Gráfica mostrando los valores de tp, Mp y ts solicitados
Obtener las gráficas de respuesta en el tiempo para el sistema a lazo cerrado con los controladores para una entrada escalón unitario (en Matlab).
Sustituimos valores de resistores y capacitores del PD con valores comerciales del mercado: 3)
ks+kpR=RRRRRRCRs+1 Cs+1 R R 5.701= 33k33k [15k12u +1] 5.5.7701≈5. 01= 711 15k15k Por lo tanto las variables que: T p = 1.5 s Ts = 3.2 s 4)
que satisfacen
