Texto del Estudiante
Jóvenes Jóven es Estudiantes:
El Estado de Honduras, a través de la Secretaría de Educación, les ofrece este Texto de Matemáticas, con el propósito de estimularles com peten cias y habilidades para utiliz utilizar ar y relacionar los los nú meros, me ros, sus operaciones básicas, símbolos y forma de razonamiento; con la intención de mejorar el rendimiento académico en séptimo, octavo y noveno grados. Con estos textos, presentamos los contenidos del DCNEB de forma accesible y amena, permitiéndole apreciar la Matemática como quehacer humano y como medio para desenvolverse en la vida cotidiana y profesional profesional.. Con la resolución resolución de los problemas que se le plantea plantean, n, podrá dom inar operaciones básicas, comprender y aplicar conceptos, recolectar y organizar información; valorando los recursos del entorno como apoyo a la construcción de sus conocimientos. Aprender es un proceso en el cual los educandos construyen significados sobre los diversos contenidos, también es relacionar lo que cada uno sabe con lo nuevo que presentamos en este libro, los motivamos a mostrar su entusiasmo, interés y actitudes en la tarea de aprender matemáticas. En la búsqueda del camino hacia una Nueva Honduras, el recurso humano es la Nación, es el único capaz de generar riqueza a través de la aplicación de sus conocimientos, capacidades y acción, lo que obliga a la Secretaría de Educación, que mejore en cada generación y para ello, es imprescindible avanzar en la meta de elevar la escolaridad promedio a nueve años apoyada con recursos textuales físicos y virtuales; culminar sus estudios de Educación Media con las competencias requeridas para continuar estudios superiores e incorporarse al mercado laboral.
CUAD CU ADERN ERNO O DE TRAB TRABAJ AJO' O'
Grado
Unidad Unidad 1: Lección 1: Lección Lección 2 Lección 3 Lección 4: Lección 5: Lección Lección 6 V
Polin Polinom omio ioss Potenciación....................................................................................... Potenciación................................................. ...................................... Polinomios. Polinomios......... .............. .............. ................ ............... ............. ............. .............. ............. ............. ............... ................ ............ .... Productos notables ....................................................... ....................................................................... ................ Factor Fac torizac ización ión de polinomios....................................................... polinomios....................................................... División de polinomios.................................................... polinomios................................................................... ............... Aplicac Aplicación ión de la fact fa cto o riza ri zaci ció ó n .................................................. ............................................................................................................. ......................................... .......................................................................... ...... on ....................................................... ................................................................................................................. ..........................................................
Unidad Unidad 2: Lección 1: Lección 2: Lección 3: Lección Lección 4:
2-41 2- 5 6-18 19 - 25 26 - 33 34 - 36 36 37 38 - 40 41
Números Números reale re aless 42 - 63 Números reales.................................................... reales................................................................................. ............................. 42 - 49 Operaciones con raíces cuadradas......................................... 50 - 57 Raíz cúbica........................... cúbi ca.......................................................................................... ............................................................... 58 Inte In terv rval alos os en la rect re ctaa numérica........ numérica.............. .............. ............... ............. ............. ............ ..... 59 ................................................................................................................... ............................................... .................................................................... 60 - 61 ................................................................................................................. ................................................... .............................................................. 62 - 63
Unida Unidad d 3: Expresion Expr esiones es racionales algebraicas Lección Lección 1: Expresion Expr esiones es racionales algebraicas;........ algebraicas ;................ ................ ............... ............. .......... Lección 2: Multiplicación y división de ERAs ............................................ Lección 3: Adición Adición y sustracción sustrac ción de E R A s .............. ..................... .............. .............. .............. ............. ........ Lección 4: Despeje Desp eje de variable varia bless en fórm fó rmula ulas..................... s........................................... ...................... ................................................................................................................... ..................................................................................................................
64 6466 68 72 -
Unidad Unidad 4 Lecció Lecciónn 1: Lección 2: Lección 3: Lección 4:
76 - 99 76 - 78 79 - 83 84 - 89 90 - 95 96 - 97 98 - 99
Triángulos Trián gulos La suma suma de los ángulos ángulos de un polígono polígono... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ... Congrue Congruencia ncia de trián tri ángu gulo los................... s........................................................... ........................................ Triángulo isósceles isósce les y rectáng rec tángulo...... ulo............................................. ....................................... Puntos Pun tos notables del del trián tri ángu gulo. lo.................................................... ................................................... ................................................................................................................... ..................................................... .............................................................. .................................................................................................................. ............................................................. .....................................................
75 65 67 71 73 74 75
Unidad 5: Cuadriláteros
Lección 1: Cuadriláteros ................................................... Unidad 6: Semejanza Semejan za de triángul triángulos os
Lección 1: Semejanza de triángulos .............................................
Unidad 7: Teorema de Pitágoras Lección 1: Teorema de Pitágoras .............................................
Unidad 8: Tanto por ciento
Lección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1 ................................................................................................
Unidad 9: Organización y presentación de datos
Lección 1: Organización y presentación de datos Lección Lección 2 Extra Ex tracc cción ión de la información ................. :
.............................................................................. ...............................................................................
100 -113 100 -109 110 - 111 111 112-113 114-133 114 -130 131 -132 133 133 134 -143 134 -141 142 142 143 144 -147 144 -145 146 147 147 148 -161 148 -152 153 -157 158 -159 160-161
á É
Polinomios
@ Lección 1: Potenciaci Potenciación ón Sección 1: Propiedades Propied ades de ios ios exponentes exponentes
A
Encuentre el número en la casilla. (1) 23x 24= 2 °
(2 )2 5- 2 3= 2D
(3) (23)4= 2 °
\ / ( 1 ) 23x 24= (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 3 veces 2
4 veces 2
7 veces 2
5 veces 2
(2) 25+ 23= 23 = í x ¿ x ¿ x 2 x 2 = 2 x 2 = 22 X¿ x i 3 veces 2
2 v ec e s 2
4 vece vecess ( 2x 2x 2)
(3) (23)4 (23)4= = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)= 212 3 veces vec es 2
3 veces vece s 2
3 veces vec es 2
3 veces vec es 2
Propiedades de los exponentes Para un número negativo o positivo “a y dos números naturales m y n se tiene que: (2) am+ a= a " ; m > n y a ¿ 0
1
(3) («")"= fl"-
Calcu Cal cule le aplicando aplicando las las propiedades de los exponentes. (1) (1.2)4x (1.2)2
(2) [(3. [(3.14 14)7 )7]4
(4) (-1 ( -1.8) .8)222+ (-1. (-1.8) 8)11
(5) ((-5.1 )4)4
(7) (205)4
w f |)* + (- | (11) (4.2 (4 .2)1 )15 -i- (4.2)1
(3) 85x 82
fM fr (9) (-0.1 )3x (-0.1 )3
(12)
7 4
B
Supongamos que la propiedad a + a = a"' a"' es válida aún cuando m=nOm
1 Encuentre el número en la casilla. (1)
23+ 23 + 23= 23 = 2 D
(2) 23+ 27= 27 = 2 D
/ (1) 23+ 23= 23' 23' 3= 2o
(2) 23+ 27= 23' 23' 7= 24
2 Calcule el valor de (1 )y (2) del inciso anterior.
/
H
V 0 3
,
.
()
¿x¿x¿
/n, 0 3
.
07
¿
¿ Y L Í x l
_
_
/ x ^ x2 fx 2 x2 x 2x 2
1
2|4
Del ejemplo anterior se concluye lo siguiente:
Para un número “a diferente de de 0 y un un número número natural natural V se tiene que: (4)o=1
Con esta definición se extienden las propiedades anteriores de los exponentes para cualquier número entero myn. 1
Calcule aplicando las propiedades de los exponentes. (1) (-0.3)°
(2) r
(3) 0.4'1
(5)10°
(6) (-4r
(7 )1 .4 °
(10) (-11) (-11) 2
(11)(-3)5
<«»(-!)• 3
(ir (8) (-0.6)-3 (12) (-25)°
Calcule Cal cule y compare los valores valo res de ambas amb as expresi expr esione oness en cada grup grupo o para comprobar que las propiedades de los exponentes son válidas. (1) 3'5x 32; 3'5t2
(2) 24+ 2'3; 27
(3) (2'3)'2; 26
+ 4$
0 Sección 2: Notación científic científica a
C
Juan midió el peso de una piedra. La aguja indicó un punto cerca de 14 kg 400 g. Es decir, que la piedra pesa un poco más de 14 kg 350 g y menos de 14 kg 450 g. Si Juan representa el peso de la piedra con 14 kg 400 g no se sabe con qué exactitud lo midió, es decir, no se puede saber si el peso queda entre 14 kg 350 g y 14 kg 450 g o entre 14 kg 395 g y 14 kg 405 g,'etc. ¿De qué manera puede Juan representar el peso con una escala de exactitud? 14.4 kg. Si se quiere representar el peso con la unidad de medida g se hace lo siguiente: 14 kg 400 g = 14400 g = 1.44 x 10000 g = 1.44 x 104g A este tipo de notación (1.44 x 104) se le llama notación científica.
Un número está escrito en notación científica si tiene la forma a x 10" dond dondee 1 < a < 10 y n es un número entero.
La notac notació iónn 1 < a < 10 significa que a puede puede tomar tomar el el valor de 1 o valores entre 1 y 10 sin incluir el 10. 4 A las cifras que aparecen en la expresión del número a se les llama cifras significativas. En la expresión 1.44 x 104el número de cifras significativas es 3. Las cifras significativas indican la exactitud de la escala de medición. Ejemplo Si una distancia es de 3.2 x 104m (con 2 cifras significativas) significa que esta distancia mide entre 3.15 x 104y 3.25 x 104(es decir entre 31500 m y 32500 m). Si la distancia es de 3.20 x 104m (con 3 cifras significativas) la medida está entre 3.195 x 104m (31950 m) y 3.205 x 104m (32050 m). Si fuera de 3.200 x 104m (4 cifras significativas) estaría entre 3.1995 x 104m (31995 m) y 3.2005 x 104m (32005 m). Esta última medición es más exacta ya que tiene más cifras significativas.
Para escribir un número en notación científica, éste se multiplica y divide por una misma potencia de base 10 de modo que la primera cifra sea entera y las demás sean decimales. Ejemplo (1) 53671 escrito en notación científica es 5.3671 x 104pues 53671 =
x 104= 104= [53671 [53671 - 104] x 104= 104 = [53671 + 10000] 10000] x 104
= 5.3671 x 104 (2) 0.00034 escrito en notación científica es 3.4 x 104 pues 1 _ (0.00034 (0.0003 4 x 104 104) _ 0.00034 x 10000 10000 _ ,4 0.00034 -|q4 ^q4 —3.4 x ^q4 - 3.4 x 10 <4 Si el exponente es un número entero negativo entonces la cantidad es menor que 1. En la expresión 3.4 x 10-4, el exponente -4 indica que la ^ cantidad e s menor que uno, uno, es decir, 0.00034 0.00 034 < 1. ^ i
Escriba Escr iba las siguientes cantidades en notaci notación ón científica. La cantidad cantidad de las cifras significativas está dada entre corchetes. (1) 5869713600 millas (año luz) [8] (2) 2000000000000 (dos billones) [1] (3) 0.000001 metros (tamaño aproximado del del VIH) [1] [1] (4) 59000000 libros (libros de la biblioteca del congreso de USA) [4] (5) 0.0000001 metros (un nanómetro) [2]
5^ Para las siguientes expresiones expresione s en notació notaciónn científica diga diga el el núme número ro de cifras significativas y además determine los valores entre los que estas medidas se encuentran de acuerdo al número de cifras significativas. (1) 3.28 3.2 8 x 103 103¿
(2) 1.04 x 105km
(3) 5 .00 .0 0 8 x 102cm 02cm
(4) 9.132 x 103km2 03km2
2 Para convertir una cantidad de notación científica a notación ordinaria se multiplica el número a por una potencia de base 10. Ejemplo (1) 4.3x 104= 4.3x 10000 = 43000 (2) 4 . 3 x 1 0 * = 4 3 x ^ = ^ = 0 . 0 0 0 4 3 6 * Escriba en nota notaci ción ón ordin ordinar aria ia las siguien siguientes tes cantid cantidades ades.. (1) 1. 8 4x 103
(2) 3.014 x 102
(3) 9.9 x 105
0 Lección 2: Polinomios Sección Monomios y polinomios polino mios
A
En séptimo grado estudiamos expresiones algebraicas como las siguientes: 5, a, tó, ¿>2, 5a, 4a¿>2 ¿>2, 5a + 462, 5a - 462 A las expresiones 5, a, ab, ab, ¿>2, 5a y 4a¿ 4a ¿2se les les llllama ama monomi monomios. os. Un monomio puede ser un número (5), una variable (a), un producto de variables (ab, b2) o un un producto producto de de un número número por una una o más varia var iabl bles es (5a y 4a¿2 4a ¿2).). A todas las expresiones algebraicas (incluyendo los monomios) se les llama polinomios.
Un polinomio es un monomio o una suma de dos o más monomios. Los exponentes en un polinomio deben ser números naturales o cero.
Se le llama término a cada monomio que forma parte de un polinomio. Ejemplo (1)En 5a + A + Ab2 b2 los términos son: 5a; Ab Ab2 (2) En E n 5a - 4¿> 4¿>2 los términos son: 5a; -Ab2 Como 5a - Ab Ab2 = 5a + (-Ab2) los términos son: 5a; -Ab2.
1
^ 4
¿Cuántos términos tienen los siguientes polinomios? a) 8x2- 3x
/ a) 2
b) 5a + A + Abb2- 3c
c) 21
b) 3
c) 1
Un polinomio que tiene 2 términos es un binomio. Un polinomio que tiene 3 términos es un trinomio. Un polinomio constante es el que tiene un monomio con sólo un número. Ejemplo 8x2-3 8x2- 3 x es un binom binomio io porque porque tiene 2 términos: 8x2; 8x2; -3x. -3x. 5a + 4¿>2-3 2- 3 c es un trinom trinomio porque tiene tiene 3 términos: términos: 5a; Ab Ab2\ -3c.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que lo forman. El grado de un monomio constante es cero. No se define el grado a la constante 0 (cero). Ejemplo ono mio Gra monomio 5 x2y tiene dos variables. La variable x tiene Monomio onom io Grado G rad raddo o El monomio el 2 como exponente (2 veces x como factor) y la variable 3 0 y el 1 (1 vez y vez y como como factor). El grado del monomio 5x2y 3x 1 y e es 3 ya que es la suma de los exponentes de las 3x2 3x2 2 variables variab les (2 + 1 = 3). 5 x2y 3 5 x2y3z 6 El grado del monomio 5 x y z es 6 ya que 2 + 3 + 1 = 6. •p ¿Cuá ¿C uáll es el grado grado de los siguientes monomios? monomios? (1)5 x (1)5 xyy z
( 2 )8
(3) 10mn
( 4) 20m 20 mn
(5) 15a3
(6 ) 7b'c
El grado de un polinomio es el valor máximo de los grados de sus términos.
Ejemplo Polinomio 5a - 4b2 3x2- 4 / 3 -2x + 4x 5 xy + xy + 4 y x + x + 2x3
;
Grado 2 2 5 4
¿Cuá ¿C uáll es el grado grado de los siguientes polinomios? polinomios? (1) 3a + 4b2
(2) - x +'4 y + z
i 4) 20xy 20xy22+ 5xv - 6x2 6x2_y
(5) (5 ) 3x43x4 - 4xy3 4xy3+ + 5 x y - 5 xy + 15)’’
(3) (3 ) 3x53x5- 2x3 2x3 + 10x
Al polinomio polinomio de grado 1 se le llama polinomio polinomio de de primer grado o polinomio polinomio lineal y al de grado 2 polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.
2
¿Qué característica presentan los siguientes polinomios de acuerdo al grado? (1) - 3x3+ 3x3 + 4x24x2 - 2x - 1; 4 y - 3/ + 57-23 (2) 7 + 3x - 2x2 + 8x3 8x3;; 3 y - 4y3 4y3+ + 5 y
J f Los (1) están ordenados en forma descendente de acuerdo al grado y los (2) en * forma forma ascendente. Por lo general, cuando se opera con polinomios, éstos se presentan colocando los términos en orden descendente o ascendente de sus grados y completándolos con ceros si hacen falta. Si un polinomio está ordenado en forma descendente de acuerdo a su grado se dice que está en su forma canónica. Ejemplo -5x2+ 3x + 2 ... Ordenado en forma descendente (Forma canónica) 2 + 3x - 5x2 5x2 . . . Orden Ordenad ado o en en form formaa ascendente ascendente La forma canónica de 3x3+ 2x 3x3+ 2x55+ 2 - x - x es es 2x5+ 3x3- x 3x3- x + +2 3^ Escr Es crib ibaa la forma canónica canóni ca de los siguientes siguie ntes polinom polinomios. ios. (1) -5x2 + 6x4 - 11x3 + 1
(2) 3 + 5x5 + 5x3
(3) 3 a -3 - 3 a + 3 - l a - 4a3
(4) x + 5x2 - 10x4 + 15x6 - 20x3
(5) 8x2 + 9x3 - 2 + x - 16x4
(6) 1 + 7x2 - 5x5+ 3x3+ 4x
4 ^ Ordene los polinom polinomios ios del del ejercicio 3'' en forma forma ascende asce ndente. nte.
Cuando un polinomio tiene más de una variable, sus términos se pueden ordenar de dos maneras: (1) Según el grado de sus términos. (2) Según el grado de una variable fijada de antemano. Ejemplo 3x2 3x2/ - 4x3+ 5xy - 6 ................... Manera (1) -4x3+ 3x2y + 5xy - 6 ....... ... ........ ........ ....... ... Man anera era (2) con con respecto respecto a x y 3 x y + 5xy - 4x3- 6 ................... Manera (2) con respecto aa y 5V’ Ordene los siguientes siguiente s polinom polinomios ios de la manera manera (2) con respecto respect o a cada cad a una de las variables. (1) 3xy3- 2 - 5xj' + 2x^
(2) 5 mn + 5mz - 5m2n + 3z2
(3) 3 xy + xy + x y 2- 5 + x3- y x3- y
# Sección 2: Adición y sustracción sustracción de d e polinomios
Términos semejantes son aquellos términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. En un polinomio se reducen los términos semejantes por la propiedad distributiva. Ejemplo * 1 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a
(2) 5 b2- %2 = (5 - 9 )b2 )b2 = - Ab2 Ab2
í
Calcule (3a + Ab) + (5a - 2b).
J
(3a + Ab) + (5a - 2b) = 3a + Ab + 5a 5a - 2 b = 3a + 5a + Ab - 2b = (3 + 5)a 5) a + (4 - 2)6
........ Eliminando Eliminando paréntesis paréntes is ........ .... .... Propiedad Propiedad conmutativa conmutativa ........Propiedad ........Propiedad distributiva
= 8a + 2b
En la adición de polinomios se eliminan los paréntesis y se suman los términos términos semejantes. semejante s. "ambién se puede hacer el cálculo en forma vertical :c ocando los términos semejantes en columna. IC
3a + Ab 5a - 2b 8a + 2b
Calcule (3a + Ab) - (5a - 2b). Ab) - (5a - 2b) = 3a + Ab - 5a + 2b ......... Eliminando 3a + Ab) Eliminando paréntesis parént esis = 3a - 5a + Ab + 2b ......... Propiedad conmutativa = (3 - 5)a + (4 + 2 )b ......... Propiedad distributiva = -2a + 6 b
En la sustracción de polinomios se cambian los signos de cada término del polinomio sustraendo y se suman los términos semejantes. gual que en la adición se pueden restar los polinomios 3a + Ab en forma vertical. -~5 a + 2b $
Calcule. 1) (-3a + 5b) + (10a (10a -146 -1 46 ) 3) (5x4 + 3x2+ 4) + {-2 x+ x2- x + 2) 5) (20.t2- 5x - 9) + {2x - 25x 25 x + 15) (7) (x + / + z2) + (2 (2 x2z2) x2 - y 2 + z2)
-2a + 6 b
(2) (2) {3x2- 2x + 4) - [x2- x + 1) (4) (3/ + 2x3+ 2x3+ x ) - ( - x 2+ 2 x -5 ) (6) (-15x3 (-1 5x3+ + 42x2 42 x2)) - (-25x (-2 5x + 12x2) 12x2) (8) ( 5 / - 7xy + 4) - (8x +Axy-9)
j Sección 3: Multiplicación y división de un polinomio por un número
D
Calcule Calc ule -3(2a - 46 +5).
J -3(2a -3(2a - 46 + 5) = (-3) x 2a 2a + (-3) x (-46) + (-3) x 5 ▼ = -6a + 126 - 1 5 En este caso se aplica la propiedad distributiva. 7 } Calc Calcul ule. e.
E
(1)4(7j (1) 4(7j c-2x2 c-2x 2)
{2)5(Apq-3p + 2q)
(3) -|| i0 .v i -6a'M ., + 2)
(4) 0.2( 0. 2(20 20// + 30 i - 5)
(5) 8 ( | y
(6) - 1 .2 . 2 ( 2 / - 4 / + 7)
- 3, - 1 )
Calcule (3a +46 - 5) +6. ^ (3a + 46 - 5) -í- 6 = (3a + 46 - 5) x -i-
........ Convirtiendo a multiplicación
= 3flX-^- + 46x-g--5x-^ -- - 21 a + 3 6 - £6 Otra manera es convertirlo a la forma de fracción como se muestra a continuación. (3a + 46 - 5) 6 = 3 f l +^ ~ 5 _ _3a_ _46_ _5_
6
’
_ o_ ‘ 2 - J 2-
6 6 a .26 .26 5, + 3*6 a + 3 6 - A6 +
‘
Al convertir la división a la forma de fracción hay que tener mucho cuidado en la simplificación. El siguiente error es muy común. 1
2
Za + 4-6 - 5 _ a + 2 b _ 5 ® i
La expresión a + 26 - 5 es una respuesta equivocada.
Calcule.
(1) (8xy -10x + 20/) + 4 (2) (30x2+ 15x + 10) + 5 (3) (3) (16 (16./v ./v - 1 2 x / + 8x2/ ) + 6 (4) (49m4+ 21m2- 56) + 7 (5) (100¡ (100¡y2- 50y + 25) - 10 (6 )
(18¿3- 6 ¿ j2 + 46 -10) - 8
(7) (44«2+ 55m - 66 / j j>)
11
(8) (8) (2 (28x 8x2+ 2+ 10xy 10xy - 1 4 / ) + 4 9) (36 (36px px22- 1 8 /x + 9 px - 3) 36 (10) (48x4+ 24x2- 54) + 72 Calcule 2(-8a + 6 + 3) - 3(2a - 4 b + 5). : -&J + b + 3) - 3(2a - Ab Ab + 5) = 2 x ((-8a) + 2 x 6 + 2 x 3 + (-3 (-3) x 2a + (-3 (-3) x (-4 (-46) + (-3) x 5 = -16a + 26 + 6 - 6a + 126 -15 = -22a + 146-9 lócule. - - : + 1) 1) + 2(x - 4) 1 5 jtz jt z + 2x} 2x}’’ - 3 / ) - 3(-2 3(-2x2+ x2+ Axy Axy - 5 /) I- ’ : + 3r -1 ) + 3(4x 3(4x22- 6x + 3) - : -Z -Zr:+ r:+ 5q2- 7 ) + 10(2p2- Aq Aq + 6)
Sección 4: Multiplicación y división de monomios
G
Encuentre Encuentr e el área de un rectángu rectángulo lo cuyo largo es 3a cm y el ancho es 2b cm. cm.
V
Area = largo x ancho
^ a
(3a) x (2b) = (3 x a) x (2 x 6) = (3 x 2) x (a x b ) ' .............. Propiedad asociativa y conmutativa
= 6ab Para multiplicar dos o más monomios se multiplican los coeficientes y las variables. 10
Calcule.
(1)(-8x)x(-ty)
(2) (Axy) x (-5 z )
(4) (lab) x (3c)
(5) (0.5jc2) x (-6 y )
(3) (-Imn) x (8/>V) ( 6 ) t f m) x ( I " )
1 (-2 x y ) x (-3 x y ) = (-2) x (-3) x (x2y x x y ) c 2 +3 +3 2+ 2+ 2 y =_ 6x
= 6x 6x5/ Al multiplicar monomios que tienen alguna variable en común se utiliza la propiedad de la potenciación que trata del producto de potencias de igual base y distinto exponente donde se copian las variables y se suman los exponentes. Calcule. (1)(5 x !>) x (7i j .)
(2)(5> y)x(-2/y) y)x(-2 /y)
(3) (3) (-| (-| !)x(l2 !)x(l2 a !)
(4) (-0.5OÍ) x (4oV)
(5 )( - |m V ) x ( - |m V )
(6) (2.1a) x (1.204’)
Ejemplo ( 1)
(-2a)2= (-2a) x (-2a) = (-2) X (-2) x a X a = 4a2
(2) -(2a)2= -(2a) X (2a) = -2x2 x ax a = -4a2
Calcule.
(1)(-3¿)2
(2) -(8m -(8mj
(4) (-4a2 (-4a2)2 )2
(5)-^d
(6)-(2.3k f
H
Calcule 6ab + 2a 2a.
/
Hay dos maneras de calcularlo. (1) Convertir la división en una multiplicación.
(2) Expresar el cociente como fracción. 3
6ab + 2a = 6ab x J 3
6a6 + 2a = - ^
2a
V
tídb
= 36
=_2T 1
= 3b ll* Calcule. (1) 10 xy + 5bty
(2) (2) -2 0 / + 5x
(4)
(5) 32mn +
25«62+ 5a6 5a622
(3) 21/?^r + Ip r 2 2
(6) 1OOxVz + 25x>’
1 Ejemplo
6a6 * y a = 6a6 * ^ = £Íéí6 x =3x3x6
= 96 Calcule. 5 . 10
11 2 . 22 2 g-X^+^g*^ -
(2) -1 /p + -|x/? -|x/?
/ Q\ Q\ 2 2 2 (o)yW n o-.^4 m no
(5) yfl6c2+
14 IC\ 7 2 2 2 . (6)-yx^z ^ 27XFZ
c2
aerólo - G ~af?e xir 26 'tf 'tf -■(1 1 i - ™ b x 26 3a) - —
(2) 6a6 + 26 x 3a = ^ x 3a
= -2 x 2 x 6 x 6
_ éab'x 3a éab'x 3a
= -462
= 9a2
Cacje * —
X 4<3C x c
<í- 7wi x 3m2p + 21 np
' i s : - 186 186 + 12a262 m 3 1 4 1
(2) 8a6 + 66 x 4a 4acc
(3) 12a26 + 8a + -|-a6
(5) (5) 2ad x 36 x 4c
(6) 88a6 a6 - 18 1866 x 12a262 / n\ 3 , 2 . 4 1 (9) (9) y a6 - g a6 a6 X"g"ac
io\ io (8) j (8)\ j3a X j b4 c,2x - Q 1a c
Secció cción n 5: Multiplicación y división división de un polinomio polinom io po r un monomio monomio
I
Encuentr Encue ntree el área áre a de un rectángulo cuyo largo es 3a cm y el ancho es b + 2c cm. cm. Área = largo x ancho = 3a(b + 2c) = 3a x b + 3a x 2c = 3ab + 6ac
ab
ab
ab
ac ac
ac ac
ac ac
Para multiplicar un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio con todos y cada uno de los términos del polinomio. a(b + c) = ab + ac
1
(a + b)c = ac + be
Ejemplo (1) 3y(2z 3y(2z - 5) = 3y x y x 2z - 3y x 3y x 5 = §yz -1 §yz -155 y (2) (a - 2b + 4) x (-5c) = a x (-5c) - 2 - 2bb x (-5c) + 4 x (-5c) = -5ac + 106c - 20c -i-i- x x x (2t3 (2 t3/ ) + 4 -xy -xy x (2vY) -1 x (2vY) 4 52 , 4 5 r¡ 32 " y x y + x j - ¿xy
\ /
Calcule. (1)3»(-|»+|/>
(2) 2r(x2+ 2ty + y2 + y2))
(3) A (3) Am mn(2m (2m2- Amn + 2n )
(4) ■!«(%>-9?+ 12)
(6) (16
8/ ) (
)
Ejemplo 2a(a 2a(a - 36) - b(3a - b) = 2a - Qab - 3ab + b2 = 2a-9ab + b2 ............. Se reducen los términos semejantes -6a -6ab y -3a -3ab Calcule. (1) (1) 5x(x +y )- y ( 2x . 3y 3y)
(2) {-y){3x - 2y) + x(5x - y)
(3) 2x(5x -y) + 3y[-2x + 3y[-2x + 3y)
(A) 7x(x - y) + 2 x(y x(y - x)
(5) (5) Z x 2(5 x - 6) + 3x(x2- x)
(6) -4ab(6a - 8) + 36(-5a - a3)
( 7 ) 1 4 fo + 4 > - ) + 1 2 v ( | i- ly
(8)- |y(4 x+ -|> '}-|x(9 x + 6y)
0Cómo puede realizarse la división de un polinomio entre un monomio? Convirtiendo la división en una multiplicación. Ejemplo (2) (2) (3a2- a6) + y = (3a¿ - a6) x
1) (6a (6ab - 4a) + 2a 2a = (6a (6ab - 4a) x ^ = 6a6 x
1
1
-- 4a x ¿a 2a
= 3a2x^-x^a - a b x ~a
_ /6 /6Í 6 . U
_ 3a2x 3 _ a6 x 3 a " a
= 36-2
= 9a - 36
En (1) se puede usar la forma de fracción como se da a continuación: (6a6 - 4a) + 2a = 6a¿2' 4fl 6a6 4a 2a " 2a = 36-2 Calcule. i 1) (12m2« - 8wn2 8wn2)) + Am Amn
(2) (60 )p )pq - 30q 30qt) + (-5g)
3) (48x5/ - 2A 2Ax3y) * 8x3 8x3y
(4) (108a262+ 36a26) + 18a6 (6) (162vz2- 108/z) + 21 + 21 yz
0 Sección 6: Multiplicación de polinomios
K
Encuentre el área de un rectángulo cuyo largo es (a + 6) cm y el ancho es (c + d) cm. cm.
ac
be
ad
bd
Área = largo x ancho = (a + b)(c + d) = {a + b ) M ................ '..... - aM + bM
Se representa el valor c + d con con M, es decir, c + d = M, para que se convierta en un producto de un polinomio por un monomio
= a(c + d) + b(c + d) .... Se sustituye M por c + d = ac + ad + be
+ bd
(a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd
W
f
Q
© ®
©
A la expresión ac + ad + bc + bd se le llama desarrollo de (a + b)(c + d). Al producto de polinomios y/o monomios expresado en la forma de polinomio se le llama desarrollo. 1 Ejemplo (a + 2) (3b - 4) = a x 36 - a x 4 + 2 x 3b - 2 x 4
(a +
2) (34 - 4)
= 3ab - 4a + 66 - 8
El des esaarro rrollo llo de ( a + 2) (36(3 6-4) 4) es 3a63a 6-4a 4a + 6 6 - 8. Desarrolle. (1) (3x -1) (2y + 3)
(2) (-5x2 + 3) (7 / - 5)
(3)(4-2x)(7
(4) (6m (6m + 5) (4/i -1)
-y)
(5) (10& ( 10&4- 1 ) (10m (10m2-1 2- 1 )
(6) (9« - 4) (2/h + 1)
(7) (1 2x -7 )( y- 1)
(8)(|j+|)(6,-18)
(9) (9) [ 3 -1 -1 )(2/ + 2)
Ejemplo (a + 2) (3a - 4) = 3a2 - 4a + 6a - 8
i
= 3a2 + 2a - 8 ...... Reduciendo los términos semejantes
Desarrolle. 1) (2x -1) (3x + 2)
(2) (5/n2+ 3) (m2-1 )
3) ( 1 0 / - 4 ) ( 1 0 / - 4 )
(4) (7x - 5) (3x + 2) 2)
5) (y x +
(6) (Zr4+ 1) (-3x4+ 1)
(4x
- 6)
7) (2a + 3) (3a + 4)
(8) (8) ( 5 a - 1) (a + 8)
9) (106 - 3) (6+12)
(10) (8c5+1) (2c5-11)
2 Ejemplo (2a
- 3) (a (a - 46 + 5) = 2a(a - 46 + 5) - 3(a -4 6 + 5) = 2a2- 8a6 + 10a - 3a + 126 -15
/
= 2a2- 8a6 + 7a +126 -15
A
Reduciendo los términos términos semejantes
Desarrolle. 1) (-5x + 3) (8x + 3v - 8)
(2) (7a + 6) (7a - 66 - 5)
>3) (-2a2-5) (-7a2+ 963+1)
(4) (2x + 3) (-5x + 3j + 3)
(5) (-2x3- 5) ( 9 * + 9 / - 6 )
(6) (-2m4 + 7) (8m4+ 9n - 8)
Se puede calcular la multiplicación de polinomios en forma vertical.
- Eemplo x2- 4x + 5 2x - 3 2v3- 8x2+ 10x - 3x2+ 12x -15 2 x - 11x + 22x -15
Los términos semejantes se deben colocar en columna para facilitar su reducción.
DT Desarrolle Desarroll e en forma vertical. verti cal. (1)(5x + 9) (7x-1)
(2) (4a - 6) (5a + 9)
3) (7c -7) (6c-8)
(4) (-5x + 4) (6x + 4)
5) (Ay - 8) (3j; + 4)
(6) (2x - 4) (7x2+ x - 2)
Sección 7: Valor numérico de un polinomio
L
¿Cuá ¿C uáll eess el el valor numérico del del polino polinom mio 3a(2a - 46 + 1) - 56(a + 36-2) si a = 3 y b = -2? \ J j Primero j Primero se desarrolla el polinomio. 3a(2a - Ab 1562 + 106 Ab + 1) - 5 b(a b(a + 3 6 - 2 ) = 6a2- 12a6 + 3a - 5a6 - 1562+ = 6o2 6o2-- 17a6 - 1562 + 3a +106
Una vez desarrollado se sustituye 3 y -2 en a y 6 respectivamente y se opera: 6a2-1 lab 10(-2) la b - 1562+ 3a + 106 = 6(3)2- 1 7(3)(-2) - 1 5(-2)2+ 3(3) + 10(-2) = 54 + 102-60 + 9-20 = 85
R: El valor numérico de 3a(2a - 46 + 1) - 56(a + 3 6 - 2 ) cuando a = 3 y 6 = -2 es 85.
El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones indicadas.
Si el polinomio no está desarrollado debe desarrollarse para después sustituir en él los valores de las variables y operar. Encuentre el valor numérico. (1) (-5x + 3) (8x + 3y - 8 ); si x si x = = 1, y = -2 (2) (5x + (5x + 9) (7x -1); (7x -1); si x si x = = A (3) (a + b)(c-d)\ si a = 2, 6 = 3, c = 4, d = d = 7 y + 3); 3) ; si x si x = y , y = y = 1 (4) (3x -1) (2 y + (5) (3/w - n) (2m-p)\ s\m = 2 , n = '\,p '\ ,p = 3 (6) 3a 3a22 + 2a - 8 ; si a = - 2
(7) 2x3(7) 2x3- 11x2+ 22x -15; -1 5; s i x = 2 (8) y « +^ P ' 4; s i n = 12,/? = 30 63;; si a = 4, 6 = - 2 (9) a + 3a b + 3a62 + 63
4
Lección 3: Productos notables
4 Sec Sección 1: Productos d e la forma ( x + a ) ( x +b) A
Encuentre Encuent re el número número que va en la casill cas illa. a.
) +
D
(1 {x 2) (x + 3) = x + Q k +
/
(1) (x + 2) (x + 3) = x + 3x + 2x + 6
(2) (x + 2) (x - 3) = x2+ G * +
D
(2) (x + 2) 2 ) (x - 3) = x - 3x + 2x - 6
= x2+ 5x + 6
= x - 1x - 6
(x + 2) (x + 3) = x2+ [5]x + [6]
(x
+ 2) 2 ) (x - 3) = x + G x + @
Al multiplicar polinomios de la forma (x + a) {x + b) se obtendrá: (x + a) (x + b) = x2+ bx + ax + ab = x + (a + b)x
(
2
ax
bx
ab
X
+ ab
Fórmula I: (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab
1 Ejemplo (x + 4 ) (x + 7) = x2 + (4 + 7)x + 4 x 7
a
=4 y 6=7
= x2+ 11x + 28
sumar (x + 4) (x + 7) = x2 + 11x + 28
Multiplicar
2 Ejemplo (x + 4) (x - 7) = (x + 4 ) {x + (- 7)} = x2+ {4 + (-7)}x + 4 x (-7)
a =4
y b = -7
= x2- 3x - 28
1
Desarrolle Desarrolle los los siguient siguientes es prod produc uctos tos aplica aplicando ndo la fórm fórmul ulaa I. (1) (x + 2) (x + 5)
(2) (x - 3) (I + 6)
(3) (x + 10) (x -12)
(5) (*-5) (* + ■§) (7) (x -1) (x + 1) (10) (x - 3) (x + 8)
(8)(x-4)(r-2)
(9) C* - 5) C» + 3)
(11) (x -10) (x -1)
( 1 2 )1 )1 * 4 ) ( j - l
Sección 2: Productos Productos de la forma (x +a ) 2 y y (x - a ) 1
Desarrolle los siguientes productos aprovechando la fórmula I. ( 1) ( x + «)2
(2 ) ( x - a f
(1) (x + a f = (x + a)(x a) (x + a) = x + (a + a)x + a x a = x + 2ax + a
X
2
a x
a x
a
2
(2) (x - a f = (x - a)(x - a) = x + {(-a) + (-a)}x + (-a) x (-a)
= x - 2ax + x + a
1
(x - a f
(x - a f
x - a \
X
!i a 2
X r
J
O /
X
~~ x - a -
a2 -x - a
x
'
El área de rectángulo es a x
oL
VI
a>
El área del rectángulo es ax
En la gráfica anterior tratamos de visualizar el producto (x - a f . 1. Para encontrar el área de (x - a f separamos los dos rectángulos de área ax (el largo es x y el ancho es a). a2,, por lo que al 2. Ambos rectángulos se traslapan en un cuadrado de área a2 separar los dos rectángulos estamos quitando dos veces el área a2 a2, uno de estos 3. Como los rectángulos se traslapan en el cuadrado de área a2, dos cuadrados se quita con uno de los rectángulos pero el otro cuadrado debe quitarse del cuadrado de área (x - a f que es el que queda. 4. Como lo que se anda buscando es (x - a f y está incompleto, para completarlo debe sumarse nuevamente el cuadrado de área a2 que es el que se le ha quitado. (x-^af^jc2-
2ax + a2
Fórmula II:
(x + a f = x + 2 ax + a
Fórmula III:
(x - a f = x2 x 2 -
2 ax + a2
Ejemplo Multiplicar por dos (Doblar)
(x + (x + 3)2= x 3)2= x + 2 x 3 x x x x + + 32 = x + 6x + 9
(x + 3)2= x 3)2= x + 6x + 9 Elevar al cuadrado (Cuadrar)
2 Ejemplo (x - 3)2= x2- 2 x 3 x x + 32 = x2 - 6x
+9
3 Ejemplo . x!
3 J 16
- 2 x
A las expresiones de la forma (x + a)2se )2 se le llama el cuadrado de la suma de un binomio. Ejemplo: (x + 4)2; (y + (y + 5)2. A las expresiones de la forma (x - a)2se a)2se le llama el cuadrado de la diferencia de un binomio. Ejemplo: (x - 4)2; (y - 5)2.
2 Desarrolle aplicando las fórmulas II y III según corresponda. (1)(x + 5)2
(4) (x - 8)2
(5)
(x * Tf
(6) ( I -3 f
(7) (x - 4)2
(8)
(x - 5 f
(9)(x-9f
+
( 1 2) 2) ( I + { f
(10)(x-6)2
(13) (x-1)2
(11
|)
r-
j Sección 3: Productos de la forma (x +a) (x - a)
C
En el siguiente rectángulo calcule el producto (x
+a) (x - a).
El área del rectángulo azul es (x + a) [x -a ), * el del rectángulo verde es a(x +a) y el del rectángulo total es x{x + a). a).
J t
( x
x x -
De lo anterior se deduce que \
(x + a)(x -a) + a(x
A
+ a
+ a) = x(x + a)
[x + a)(x - a) = x(x + a) - a[x + a)
+ ctx - ax - a
=x _
.... Despejando para (x + a)(x - a)
2
2
- x - a
En conclusión: (x + a){x - a ) = x2- a. Este producto también puede encontrarse utilizando la fórmula I.
(x + a)(x - a) = (x + a){x + (-a)} ................... a - a y b = -a = x + {a + (-a)}x + a x (-a) = x + Ox - a _
2
2
- x -a
Fórmula IV: (x + a) (x - a) = x - a
1
Ejemplo
(1 )(I + 3 ) C r - 3 ) = J ! - 3 2 = x2- 9
(2>(x + Í ) ( ' - i H - ( í F
= x2-- ^ x 25
Desarrolle. ( 1) ( jc j c - 1) ( x
+ 1)
(2) {x + {x + 7) (je - 7)
(4) (x + 6) (x - 6)
(5) (* + 8) (x - 8)
(6) (* - 2) (x + 2)
(7) [x + 4) (x - 4)
( 8 ) ( r - 5 ) ( i + 5)
(9) ( x - 14) (x + 14)
( 3 ) ( i - 9 ) ( j + 9)
( i o ) U } ) t - | )
(ii)(x + |)L -|)
<1 2 >(i + t ) I1 " ? )
(1 3 )(^ l) (-{ )
<1 4 > ( * + Í ) ( - ‘ i )
<16)( x +
t
) ( - 7 )
ión 4: Productos de la forma form a (a ( a x +b) (ex +d) # Sección
Desarrolle el producto (ax + b) (ex + d) y coloque los términos en orden descendente con respecto a x. j
(ax
+ b) (ex + d) - ax x ex + ax x d + b x ex + b X d = acx + adx + bcx + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd
Producto Producto
Suma de productos
Fórmula V:
(ax
+ b) (ex + d) = acx1 + (ad + be)x + bd
Ejemplo Producto
Producto
(2x v
3) (5jc + 7) = (2 x 5)x2+ { 2 x 7 + (-3) x 5}x + (-3) x 7 ^
^ S u m a d e pr oduct o^
-----------
^
^
= 10x2+ {14 - 15}x - 21 = 10x2- x - 21
-
Desarrolle. (1)(2 x-1 )(3x + 2)
(2) (4x + 1) (5x - 6)
(3) (5x - 4) (3x - 4)
(4) (6x - 5) (5x - 6)
(5) (9x - 2) (11x + 3)
(6) (7x - 4) (4x + 1)
(7) (8x + 5) (2x - 7)
(8) (5x + 9) (-2x + 3)
(9)( 2
3 J\4
12
(10)Í-| (10)Í -|II -8)Í -8)Í12I + | )
0 Sección 5: Aplicación de las fórmulas de los productos notables E
Aplique Aplique la fórmula fórmula IV para desarrollar el producto (2x + 3y) (2x - 3y). ^
(2x + 3 y) (2x - 3};) = [a + b) [a - b) ............................. a = 2x y b = 3y
= a -b2 = (2xf - (3 y)2 y) 2 = 4x2- 9 /
Las fórmulas anteriores se pueden aplicar para desarrollar los productos de polinomios con términos más complicados. Por eso es importante conocer las fórmulas para compararlas con el producto a desarrollar. 1
Ejemplo [2x
- 3 y f = ( 2 x f - 2(2x)(3 y) + (3j>)2 ............................ Aplicando la fórmula III = 4x2- 12xy + 9y2
■¡r< Desarr Des arroll ollee aplican aplicando do las la s fórmulas fórmulas de de los productos notables. notables. (1) (3x + y ) (3x + 2 y) y )
(2) (5x + 2 y) 2
(3) (7x - 4 y f
(4) (6x - y) (6x + y)
(5) (5x - 2 y ) (8x + 3 y)
(6) (4 x y - 2x) (4 x y + 2x) (8 )( ) ( x 2y - x y 2)2
(7) (7) (3ab2 (3ab2 + 2 y f
(9) (4abe + 2d){4abc - 2d)
F
(10) (5x + 2 y) (6x + 3 y)
1) (x -1 - 1 ). Calcule (2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (x -1) = 2x2+ (2 x 4 - 3 x 1)x -12 - 2(x2-1)... F. V y IV
= 2x2+ 5x -12 - 2x2+2 = 5x -10 6
Calcule.
(1) 2(x - 2)2+ (x + 2)2 (3) 4(2x -1) (2x + 1) - (3x + 1) (3x + 2)
(2) ( 2 x - 1) (2x + 3) - ( 2 x - 1) (2x + 1) (4) (5x - 2) (5x + 3) - (6x + 5)2
Vamos aplicar las fórmulas aprendidas al cálculo de los números. Ejemplo 952 = (100 ( 100 - 5)2 = 1002- 2 x 100 x 5 + 52 = 10000- 1000 + 25 = 9025
Ejemplo 31 x29 = (30 + 1) (30- 1) = 302- 12 = 900-1 = 899
Ejemplo 20.22= (20 + 0.2)2 = 202+ 2 x 20 x 0.2 + 0.22 = 400 + 8 + 0.04 = 408.04
Ejemplo 18x44 = (20-2) (40 + 4) = 2 0 x4 x4 0 + ( 2 0 x 4 - 2 x 4 0 ) - 2 x 4 = 800 + 0 - 8 = 800-8 = 792 Calcule. (1) 10.12
(2) 112
(3 )6 x14
(4) 192
(5) (5) 18x 14
(6 )1 7x 23
(7 )3 5x 25
(8) (8) 9902
é Lección 4: Factorización de polinomios é Sección 1: Factorización
A
Forme un rectángulo colocando los 8 rectángulos siguientes.
¿Cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo formado? Exprese su área. El largo mide jc jc + 3 X
+1
El ancho mide x + x + 1 El área es (x + 3) (x + 1) -x + 3-
^
El área del cuadrado grande es x x x = x2, x2, el de cada uno de los rectángulos es x x 1 = x y el de cada uno de los 3 cuadrados 4 pequeños es 1 x 1 = 1 . De la suma de todas estas áreas se forma el polin olino omio x2+ 4x + 3.
La suma de las áreas de los 8 rectángulos es igual al área del redángulo formado por estos 8 rectángulos. Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x + (x + 3) (x + 1). Ésta es una expresión obtenida cambiando los lados de la expresión del desarrollo (x + 3)(x + 1) = x2+ 4x + 3.
Esta igualdad representa al polinomio x2 + 4x + 3 como el producto de (x + 3) y (x + 1). A (x + 3) y (x + 1) se les llama factores de x2 + 4x + 3 . Ejemplo: (1) En 3xy; 3, x e y son factores. (2) Como x2 + x = x(x + x(x + 1); entonces x entonces x yy x + x + 1 son factores de x2 + x. Factorizar es descomponer un polinomio como el producto de sus factores.
2
Factorización í *
x + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ^__________________ j
Desarrollo
Sección 2: Factorización por factor Común
Cuando todos los términos de un polinomio :-enen un factor común, se les saca este ;actor común y se factoriza el polinomio aplicando la propiedad distributiva. A( x + y) y ) y De la gráfica anterior se sabe que Ax + Ay = A(x 51factor común es A ya que A es factor tanto de Ax como de Ay. Ay.
Ejemplo 1Oax + 5ay = 5a(2x + y) ..........
5 y a son los factores comunes
¡_os términos que van en el paréntesis se encuentran dividiendo cada 5 a =y . -.érmino entre el factor común, es decir, 10ax + 5a = 2x; 5 ay + 5a Para factorizar hay que sacar todos los factores comunes de una sola" 5( 2 ax + ay) Ó10ax + 5ay = a(10x + 5 y) no están vez. 10 ax + 5ay = 5(2 completame completamente nte factorizados. 4 B v Factorice. (1) 8xy + 12xz
(2 ) x 2y - x y
(3) b m n + 15 m2n
(4)12a6c - 30ac
(5) 24 ab2c + 21 ab
(6) Amn - 10 mp + 16 mp2
(7) 9xv’+ 15xV
(8) 8 m2p - 12 mp2 + 28 mp
(9) 18a b + 3a2¿2- 42a¿3
2 Ejemplo 10ac - 2 ad + 5 be - bd = (10ac - 2 ad) + (5be - bd) = 2a(5c
- d) + b(5c - d)
....
= (2a + b) (5c - d) .............
(1) (2 )
(3)
El procedimiento para factorizar polinomios como el anterior es: (1) agrupar los términos que tengan un factor común (2) factorizar esas agrupaciones y (3) aplicar la propiedad distributiva. Note que en (2) el factor común es 5c - d. I
Factorice. (1) 3ac - 26c + 3ad - 2bd
(2) 2xw - xz - 2wy 2 wy + yz
(3) 3a6 + a - Qbd - 2d
(4) 2ac 2ac + 6 be + 5a + 156
(5) 15xy - 3x + 10 y - 2
(6) 4 ad - Aab -cd + be
9
C
Secci eccióón 3: Factoriz Fac torizació aciónn po p o r tan t anteo teo Vamos a usar la fórmula I de la lección 3 en dirección inversa.
x
+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
1 Ejemplo Factorice x2+ 5x + 6. Si x + 5x + 6 es factorizable, el producto tendrá la forma (x + a) {x + b). Como (x + a) (x + b) - x + (a + b)x + ab, entonces x + 5x + 6 = x + (a + b)x + ab, por tanto, al igualar los coeficientes lineales y los constantes nos queda que a + b = 5 y a b - 6 (es decir, necesitamos encontrar dos números cuya suma sea 5 y al mismo tiempo que el producto sea 6). El producto es 6 1y6 2y3 -1 y -6 -2 y -3
¿La suma es 5? No (1 + 6 = 7) S í (2 + 3 = 5) (-1 + (-6) = -7) No (-1 No (-2 + (-3) = -5)
De la tabla de la izquierda, se sabe que los dos números cuyo producto es 6 y la suma es 5 son 2 y 3.
Por tanto x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
¿5?
No se distingue (x + 2)(x + 3) de (x + 3)(x + 2) por lo que4^ . x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ó x + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). .
A este tipo de factorización se le llama factorización por tanteo. Para que un polinomio se pueda factorizar con este tipo de tanteo, éste debe cumplir cumplir dos condiciones: condicion es: ( 1) el coeficiente del término término cuadrático cuadráti co igual igual a 1 y (2) la existencia de dos números que multiplicados sean igual al término constante y sumados sean igual al coeficiente del término lineal. Factorice. (1)x2+ 11x + 24
(2) x2+ 10x + 9
(3)x2+ 16x + 48
(4) x2+ 7x + 6
(5)x2+ 8x + 12
(6)x +17x + 72
El producto es 6
-actorice x2- 5x + 6 xmpletando la tabla :e la derecha.
El producto es 6
V
1y 6 2y3 -1 y -6 -2 y -3
¿La ¿La su suma es -5?
¿La suma es -5? No (1 + 6 = 7) No (2 + 3 = 5) No (-1 + (-6) = -7) Sí (-2 + (-3) = -5)
3 or tanto x2 tanto x2-- 5x + 6 = (x (x - 2)(x 2)(x - 3).
=actorice. (1)x2- 11x + 18
(2) x2 - 12x + 35
(3 )x 2 -
(4) (4) x2- 1 3x + 40
(5)x2- 17x + 70
(6) x2 -
(7)x2 - 22x + 120
( 8 )x 2 - 15x + 50
(9) x2 x2 -
(11) x2 - 10x + 21
( 12 ) x2 -
10) x2- 16x + 48 1 * •
El producto es -6
-actorice x2- 5x - 6 completando la tabla :e la derecha. derecha.
El producto es -6 -1 y 6 -2 y 3 1 y -6 2 y -3
Por tanto x2- 5x - 6 =
¿La suma es -5?
¿La suma es -5? (-1 + 6 = 5) No (-1 No (-2 + 3 = 1) S í (1 + (-6) = -5) No (2 + (-3) = -1)
■6)(x + 1).
-actorice. ( 1 ) x2 - 7 x - 18
( 2 ) x2 - 5 x - 14
(3) x2- 3x - 28
(4) x2- 3x - 54
(5)x2- 3x 3x -1 8
(6)x2- 4x - 21
(7) x2- 3x -10
(8) x2- 3x - 4
( 9 ) x2-4 2- 4 x - 12
(11) (11)x2-x x2-x -1 2
(12)x-2x-48
(10 10))x2-x - 2
$ Sección 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto
D
Vamos a usar las fórmulas II y III de la lección 3 en dirección inversa. x2+ 2 ax + a = (x + a f
x - 2 ax
+ a = (x - a f
En ambas fórmulas el término lineal (±2a (±2ax) es el doble de los productos de las raíces cuadradas de los otros dos términos (x2; a que siempre son positivos) diferenciándose únicamente por el signo. Esas raíces son los términos del binomio de la derecha. Equivalentemente, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal del lado izquierdo es igual igual a la constan con stante. te. 1
^ x2+ x2 + 2ax +
=
(x - a f
Cuadr Cuadrado ado
Ejemplo
Mitad
Factorice x2- 6x + 9. x - 6x + 9 = (x - 3) 3)
Raíces x cuadradas
^
x - 6x + 9^= ( x - 3)
3
Cuadrado
A este tipo de factorización se le llama factorización por trinomio cuadrado perfecto. 67 Factorice. (1)x2-8 (1)x2-8 x + 1 6 (4) x2- 2x + 1 (7)x (7 )x22 + 18 18xx + 81
(2)x2-4x (2)x2-4x + 4 ( 5 ) x - 2 2 x + 121 (8)x2 (8) x2 + 10 10xx + 25
(3 ) x2 - 1 6 x + 64 (6 )x + 1 2 x + 36 (9)x (9 )x22-11 4 x + 49
Ejemplo Factorice 9x2- 30x + 25. 9x2- 30x + 25 = (3x)2- 2 x 5 x (3x) + 52 = (3x - 5)2
Note que: V 9 ? = 3x; V25 = 5; 2 ( 3 x )(5 ) = 30 x
Factorice. (1) 16x 16x22 + 24x + 9
(2) 81x2 + 90x + 25
(3) 144x2- 264x -
Secc/ón 5; Factorización por diferencia de cuadrados
Z
/amos a usar la fórmula IV de la lección 3 en dirección inversa. x2 - a = (x + a) (x - a)
!
1 Ejemplo - 4 = x - 22 ............... = (x + 2Xx-2)
Expresando 4 como la potencia 22
A este tipo de factorización se le llama diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas. 1
Factorice.
(1)x2- 14 1444
(2)x (2 )x22- 10 1000
(3) (3) x - 324
(4) (4) x - 289
(5) x - 81
( 6) x- 25 6
x2- 400 (7) (7) x2-
(8)x (8 )x22- 19 1966
(9)x (9 )x22- 16 1699
(10) (10) x2- 121
(11 (11) x2- 361
(12) (12) x - 22 2255
2 Ejemplo 4x2- 9 / = (2xf-(3yf = (2x + 3y)(2x - 3y) ^
4 x = 2 x 2 x x x x = ( 2 x ) x ( 2 x ) = (2x)2 ^ 9 / = 3 x 3 x j ; x j = ( 3 j) j ) x (3y) = (3y)2 ^
Factorice.
(1) 121m2- 81«2
Ay (2) 100x2 - Ay
(3) 196í2- 400?2
(4) 9x2 - 256z2
(5) 4 b2- 1 6 9 c2
(6) 324m2- 14 144«2
(7) 1 6 / - 25x2
(8) 49z2 - 81 w2
(9) 49c2- 10 1000d 2
(11) 36x2y 2- 16a2
(12) 6 4 x V - 1 4 4 /6 2
(10) 64a2c2- 25 b2
@ Sección 6: Factorización p or tanteo tanteo con coeficiente coeficiente principa! principa! distint distinto o de de uno
Vamos a usar la fórmula V de la lección 3 en dirección inversa.
acx2 + (ad + bc)x + bd= (ax + b) (ex
+ d)
1 Ejemplo Factorice 2x Factorice 2x22- x - 3. Si 2x2Si 2x2- x - 3 es factorizable se da que2x2que2 x2- x - 3 = {ax {ax + + b) {ex + d)y 2x2- x x - 3 = acx2+ (ad + bc)x + bc)x + bd. De esto se deduce que ac = 2 ,b , b d = -3 y ad + ad + be = -1. Para este caso los valores ú e a , b , c y d se se encuentran siguiendo los pasos: (1) Encontrar a y c (números naturales) tal que a c - 2 (2) Encontrar b y d (números enteros) tal que bd = bd = -3 (3) Con las parejas de (1) y (2) encontrar a , b , c y d tal tal que ad + bc = -1 Los 4 números a probar se colocan así: --------- ^ _ 2
X ►3 2
as
^ b ------►be c ^ ^ d ------>a - ----- >ad d
ac
bd
ad + be
1 .............. Como no es igual a -1 hay que probar con otra combinación. , 1 ------ ► 2 . ■>-3 -3 - i ) .............. Es igual a -1 como se quería, por tanto a = 1,6 = 1, c = 2 y d = -Z. -3
U X 2
Luego la factorización es 2x2- x - 3 = (x + 1 )(2x - 3). 10
Factorice. (1)6 x2 + 7x -
5
(2) 10 10x2 x2+ + 3x - 1 (5) 12x2- 19x + 4 (8) (8) 7x2 + 9x + 2
(4 )2 x + x -3 (7) (7) 8x 8x22- 26 26xx + 15
(3)1 (3 )15x 5x 2 + 8x + 1 (6)2x2 (6)2x2-- 3 x -Z (9 )9 x + 3 x -2
2 Ejemplo Factorice 2 x - x y - 3 y . 2x2-xy - 3 y
11
Factorice.
= (x + y ) (2x - 3y).
2 "jj
y ---- ► 2 y _g ____ ^
^
¿ Sección 7: Factori Factorizaci zación ón de un polino polinomio mio vari varias as vec veces es
G
Vamos a utilizar el proceso de factorización varias veces en un polinomio. Ejemplo Factorice 6a 6ax +10 +1 0 axax - 4a. 6ax2 ax2 + 10ax ■4a = 2a(3x2+ 5x - 2) ........... Factor común = 2a(3x -1 2a(3x -1 )(x + 2) .......... Fórmula V Ejemplo Factorice 4x2+ 4x2+ 12xy + 9y2- 49. 4.x2+ 1 2xy + 2xy + 9 / - 49 = (4x2+1 (4x 2+1 2xy + 2xy + 9/) - 49 Agrupación = (2x + 3 y)2 y)2 - 49 .....................Trinomio .....................Trinomio cuadrado perfecto = (2x + 3y + 7) (2x + (2x + 3y - 7).. Diferencia de cuadrados ......
r actorice comple completamen tamente. te.
h
(1) ax2+ x2+ bx2- a-b
(2) 42x2+ 7x - 7
(3) 18x3- 8xy2
(4) 20x3v + 60 x y + 45xv'3
(5) x - 81
(6) 15x3- 35x>; -15 xy
(7) x4- 2r2- 8
(8) m2 + 2mn 2mn + n - p 2
(9) 1 - x2x2 - 9y2- 6 xy
(10) (10 ) (x2 (x2 + 2x + 1) - 81 81
11) 5xy - 125x
Ab2-pp 2- 'l 2ab 2ab - 25r 25 r - 10pr (12) 9a2 + Ab2-
, amos aplicar la factorización al cálculo de números. números. Calcule 632- 622. ^ 53^ - 622= 622 = (63 + 62) (63 - 62) = 125x1 = 125 lalcule usando la factorización.
[
‘ -72+ -72 + 5(7) 5(7) + 6
(2) 3 x 4 + 3 x 7
(3) 4472- 4532
4 ) 122122- 5(12) + 6
(5) 132132- (2 x 3) x 13 + 9
(6) 782- 822
(7) 9 x 5252- 2 x (3 x 5) + 25
(8) (8 ) 72+ 72 + (3 + 13) x 7 + 3 x 13 13
(9) 822- 782
■é Lección 5: División de polinomios ^
La multiplicación 3 x 2 = 6 con números En el mismo sentido la multiplicación (x equivale a la división (x2 + 5x + 6) + {x + x + 5x + 6, divisor a x + 2 y cociente a
naturales equivale a la división 6 + 2 = 3. + 3) {x + 2 ) = x + 5x + 6 de polinomios 2) = x + 3. Se le llama dividendo a jc + 3.
Vamos a encontrar la forma de calcular el cociente.
1
Ejemplo Calcule (3x3 + 5x2 - jc jc + 2) + (x + 2) Como los grados del dividendo y del divisor son 3 y 1 respectivamente, el del cociente debe ser 2, es decir, que el cociente tiene la forma ax2 + bx + c. Esto significa que la división equivale a la multiplicación. (x + 2 ) (ax2 + bx + c) =
3x3 + 5x2- x + 2
ax3 + (2a + b)x2 + (2b + c)x + 2c =
3x3 + 5x2 - x + 2
Al igualar los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos: a= 3
2a + b = 5
2 b + c = -1
2(3) + 6 = 5
2(-1) + c = -1
6 +6=5
2c = 2
c= 1 -2 + c = -1
6 = -1
Al sustituir a = 3, b = -1 y c = 1 en ax2+ bx + c queda 3x2- x + 1.
c=1
De esto se deduce que (3x3 + 5x2 - x + 2) + (x + 2) = 3x2- x + 1. Para facilitar el cálculo se utiliza la siguiente forma vertical.
3x -x + 1 x + 2 3x3+ 5x2- x + 2 3x3+ 6x2 -x2- x + 2 -x - 2x
x +2 x +2
O
a
(1) Calcular ( 3 x ) + x = 3x y colocarlo arriba de 5 x . (Es el cálculo del cociente entre los términos de mayor grado del dividendo y del divisor) (2) Calcular (x + 2) x (3v2) = 3x3+ 6x2y colocarlo debajo del dividendo. (Es el cálculo del producto del cociente anterior por el divisor) (3) Restar este producto (3x3 + 6.t2) del dividendo. (Es restar el producto anterior del dividendo) (4) Repetir los pasos (1) a (3) con los dividendos parciales hasta bajar el último término del divider
Calcule. (1) (2v4+ 5x3+ 4x2 - x - 1) + (2x + 1)
(2) ( 2 x + 5 x - 3 ) * ( x + 3) (4) (3x3+ 5x2+ 3x + 1) + (x + 1)
3 ) (.v3+ x + x - 3) + (x - 1) (5) (9x3+ 3x2+ 4x + 4) + (3x + 2)
(6) (28x2+ 3x -1) + (4x + 1)
*7) (-5x2+ 7x + 6) + (- x + 2)
(8) (2x3-5x2+12x-5) + (x-2x + 5) (10) (5x3- 13x2+ 4x + 4) + (5x + 2)
9) (9x2 + 12x + 4) + (3x + 2)
En ciertos casos, si el dividendo no está completo, es aconsejable completarlo zara evitar errores en el cálculo.
2 E.emplo Calcule ((-1 +x + x 3) + ( x - 1). Al polinomio polinomio -1 -1 + x3le x3 le falta el término cuadrát cuadrático ico y el lineal por por lo que hay ha y que completarlo y ordenarlo en forma descendente como x3+ 0x2+ 0x - 1. Luego se procede a realizar el cálculo. X +X+ 1 Ox2 + Ox Ox - 1 x - 1 x3 + Ox 3
2
x - X x2 +
Ox Ox - 1
X
- 1
x- 1
~Ó El cociente es x2+ x + 1 y el residuo es 0. r
Calcule. (I) (6x4- 9x3- 4x + 6) * (2x - 3)
(2)( x4 - 1 ) + (x - 1 )
(3) (x3+ 1) + (x+ 1)
(4) (2x5 + x + 2 x2 + 1 ) - ( x3 + 1 )
(5) (x5(x5- 1) 1) + ( x - 1)
(6) (x3- 8) -í- (x - 2)
(7) ( - x 44- x 2 + 2 ) - ( x + 1 )
(8) (x5 (x5 - 3x3 3x3 - 2x2 2x2-- 1 8x - 6) + (x2 (x2 + 3)
(9) (x5+ 2x + x2+ x + 1) * (x2+ 1) (II) x - 3x5+ 2x4- x3- 6x2+ 3x * (x2- 3)
(10) (1 0) (x5(x5 - 6x4 - x2 + 6x) -5 -5- (x - 6)
3 Ejemplo Calc Ca lcul ulee (- x2 + 6x3+ 6x3 + 7 - 5x) + (-1 (-1 + 2x). 2x).
'xj Para comenzar hay que ordenar en forma descendente los polinomios dados.
3x2+ x - 2 2x
- 1 6x3 - x - 5x + 7 6x3- 3x2 2x2-
5x + 7
2x2- x
- 4x + 7 - 4x + 2
Como el grado del polinomio 5 es 0, ya no se puede seguir dividiendo y 5 se convierte en el residuo. Esta división equivale a 6x3- x2 x2- 5x + 7 = (3x2+ (3x2+ x - 2) (2x - 1 ) + 5
La relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo es: Dividendo = (divisor) x (cociente) + (residuo) El proceso de dividir polinomios termina cuando el grado del polinomio residuo es menor que el grado del polinomio divisor. Calcule. (1) (6x2 (6x2 - x - 3) + (3x + 1)
(2) (7x2 (7x2 + 3x - 1 ) + (x + 4)
(3) (x4- 2x3 + 6x - 2x + 5) + (x2 (x2 + 3)
(4) (3x3(3x3 - 2x2 2x2-- x + 3) + (x - 2)
(5) (3x3+ 4x2+ 2x + 6) * (x2 (x2 + x + 1)
(6) (3x2 (3x2 - 2x + 5) * (x - 2)
(7) x + 3x3 3x3+ + x2 + 1) + (x2 (x2 + 1)
(8) (x2 (x2 + x + 1) + (x + 1)
(9) (2x2 + 5x + 5) + (2y - 1 )
(10) (5x (5x3 - 13 13x2 x2+ + 4x - 1 ) + (x2 - 3x 3x))
(11) (a3- a + 3a + 2) + (a2 (a2 - a + 1)
(12) (a2+ 7a+ 10) + (a + 6)
(13) (a3 + 4a2 - 5a + 8) + (a2+ 2a + 1)
(14) (a2 - 5a + 7) + [a - 4)
Lección 6: Aplicación de la factorización Demuestre que la suma de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 3. Siga Sig a los pasos pas os dados a continuación.
[1] Representando el primer número con en términos del primero.
n,
exprese el segundo y el tercero
[2] Demuestre que la suma es múltiplo de 3.
*1] Si n es el primer número, el segundo es n + 1 y el el tercero tercero es n + 2. [2] La suma es n + [n + 1) + (n + 2) = 3« + 3 = 3(« + 1).
En 3(n + 1) si n es un número natural entonces n + 1 también es un número natural. 3(« + 1) es múltiplo de 3 porque todo número natural multiplicado por 3 es un múltiplo de 3.
Demuestre que: C i La diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual a la suma de estos dos números. I La suma del del prod produc ucto to de dos número númeross pares consecutivos consecutiv os y 1 es el cuadrado de un número impar. 3 El producto producto de dos dos números naturales natura les consecu con secutivo tivoss es un número número par par.. - Si se resta 1 del del cuadrado de un un número número impar se obtiene un un múlti múltiplo plo de 8 . 5 La suma de 2 números impares es par. par.
Ejercicios Aplique las propiedades de los exponentes para calcular lo siguiente. (1) 27x 2 3 (2) (-3)'5+ (-3)" (3) (-3. -3.4)3x (*3.4)'9 (4) (4‘10)10 Escriba en notación científica los siguientes números. (1) 3658764 3658764 (2)682 (2) 682954 954 (3)0.000 (3)0 .000054 05466
(4)0.000000 (4)0.000000000000 00000012 12
Escriba en notación ordinaria las siguientes notaciones científicas. ( 1 ) 5 . 2 4 3 x 104 (2) 1 . 0 0 4 x 10'10 (3) 8 . 2 0 3 x 106 (4) 9.50 x 10'2 (5) 4.298 x 103 (6) 5.558 x 10'5 Escriba 5 ejemplos de monomio, binomio, trinomio y polinomio (de 4 ó más términos). ¿Cuál es el grado en los siguientes polinomios? (1 ) 5x2y + 6 xy (2) x -1Ox4 + 5x2 - 7
(3) x - 3x2y - 3 xy - y
Identifiqu Identifiquee los términos términos de de los polinom polinomios ios de de | j | .
Ordene los siguientes polinomios en forma ascendente y descendente con respeca a cada una de las variables. /a\
, 2 3 4
4 2 3 , c
( I ) xyz + x y z - x y z
+5
5 ,6 2 , / 3, 2 7, 4 4 . 2, 3 3 4, : ' ( 2 ) a b c - a b c + a b c + a b c - a b e
Calcule. (1) (3 a+ 2b - c) + ( 2 a + 3 b+ c) (3) (x2 + 3x) + (-2x -2 x + 2jc2 jc2)
(2) (4.x (4.x22 - 4 xy + 2y2) 2y2) + (-4xy+ 5x2-(4) (4 ) (a3+ 2a) + (-a2 + 4) 4)
(5) [a + b) c
(7) 3 xy
(x3(x3 - Ax2 +
(6) (3a3- a2) (-2x)
6x)
(9) (4b* - m s - 564) + 2b 3
(8) (a3- a2b) * a2 (10) 4 [a + 3) + 5 [a + 2)
( I I ) 6 ( a 2+ 4 )- 3 (o! + 1) + 5{a2+ 2)
(1 2 )|< i! * |
(13) (x2- y - 3 xy) - ( -5x 5x22- / + 6 xy) xy) (14) (5x3- 9y3+ 6 x y - 8x }2) }2) - (14 xy - 2 \ x y + 5 y - 18)
6
6)
16)14i 16)14iV V +( - V )
{ n ) l ± bK l . b\ + í b
.2
3 / 3
(19) (- 7 * -3 ) (-11 + 2 x )
+
20) (x: (x: + r + 1 ) ( j * . x - 1 )
(21) (21) (a! + 2a’ 2a’ - a) (a‘ ■2a + 5)
22) (x4-x2 - 2 x - 1) +(x + (x + x + 1)
(23) (23 ) (2x3(2x3 - 4 x - 2) - (2x + 2)
-alie el valor numérico de las siguientes expresiones si a = 2, b = 1 y c = 3. 1) a2 - 2 ró + ¿>2
(2) 3 a - 4a2¿?+ 3 ab2 - 63
3) a
(4) abe + a2b2c2 - a3b3c3
- 3a + 2ac - 3bc
Desarrolle aplicando las fórmulas de los productos notables. (1) (x + 3 )2
(2) (7m (7m + 11)2
(3) (1 + 3a2)2
(4) (4) (1 - 8x) ( 1 + 8x)
(5) (5) (3 +x) (3 - x)
(6) (6 ) (x2+ (x2 + 3) (x2(x2 - 3)
(7) (x - 11) 11 ) (x + 10)
(8) (8 ) (x2+ (x2 + 7) (x2+ (x2 + 3)
(9) (x + 8) (x - 1 )
10) (x - 1)2
(11) ( 2x- 5)2
(12) ( x - 1 0 )2
13) 13) ( 2 x - 1) (3x + 2)
(14) (5x+ (5 x+ 1) ( 4 x - 1)
(15) (x + 3) (2x + 4)
r actoric actorice. e. (1) 3x3- x 2
(2) a3+ a2- a7
.4) a(x + 1) + b (x + 1)
(5) 4x3-1 4x3- 1 2 xy xy - x2+ 3 y
(6) (6 ) 4x3-1 4x3 -1 - x2+ x2 + 4x
(7) x2- 2x + 1
(8) 49x2- 14x + 1
(9) 9x2 + 3 0 ^ + 25 y
10) 10) 25x2/ - 49
( 11) 11 ) 4x2- 9
(3)5x2+ 15x3
( 12) 12 ) 4x2- 9/
( 13) 13 ) x2+ x2 + 7x + 10
(14) x2x2 - 6x - 40
( 1 5) x 2- 2x - 168 16 8
(16) 20x2+ x -1
(17) 12x212x2- 7x - 12
(18) 15x215x2-xy xy - 2y
lemuestre que la diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual al doble del mayor menos 1.
j^ ¡| La siguie siguiente nte gráfica gráfica muestra muestra la explicación explicación desde el punto de vista geom geométr étrico ico ae ae producto notable [x + a) {x - a) = x - a . ¿Cómo la explica?
x - a
' x - a
Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones. (1) a'1 a'166' V 1
......
(2) abA + ca"1
................ Cuando a = 4, b - 3 y c = 5
(3) a *
................ Cuando a = 4, 6 = 3 y c = 5
+c * a
(4) a ' -í- ¿>'1+ c' c'1
......... Cuando a = 2, b =3 =3 y c - 4
.................Cuando ................. Cuando a = 2, 6 = 3 y c = 4
a'1+ 6'1+ 6'1+ c 1 = t k para Verifique que a'1
a
= 2, b = 3 y c = 4.
La distancia de un año luz está dada por 9467280000000 km. Escriba esta cantica en notación científica. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año.
<1) |
(2) 5'1-6'1
5'1+ 6'1
(3) (3) 3 ¿ - 3
(4) (4 ) 4 + 4
(5) (5 ) 22+ 22 + 2 + 2 -
Evaluación ¿Por qué a * 0 en a * d 7 Cuántas veces se toma el 8 como factor al calcular lo siguiente: (1) 8 14 + 8 10
(2) (82)6
(3) 84 x 85
Muestr estree que ("f-) (" f-) 2^ -^ ) 2 ¿Cuál ¿Cuá l medida medida es más exacta exac ta 3 * 101 ó 3.00 3. 00 * 102 102? Escriba 51200000 en notación científica con: 1) 3 cifras significativas (2) 4 cifras significativas 3) 6 cifras significativas (4) 7 cifras significativas 0Por qué razón no se considera 3x23x2 - 5x + 3x1- 5x'2como un polinomio? Dé un ejemplo de un polinomio de dos variables y de grado 5. Calcule (x5+ 12x2- 5x) + (x2 - 2x + 5) y verifique el resultado empleando el valor numérico con x = 5 Calcule y verifique el resultado empleando el el valor numérico con con la x dada. (1 ) (5x4 + 3x2 + 4) - (-2x4 + x2 - x + 2) ......... 2) (3a + 4b - 12) 6 3) 4(x + 1) + 2(x - 4)
Con x = 2 ................................... Con a = 4 y b = 9 ................................... Con x = 6
^Cuál es la diferencia entre el desarrollo de (x + a)2y a)2y (x - a)2? _Cuál es la característica especial del desarrollo de (x + a)2? =actorice en 5 factores x factores x - xy. x y. Compruebe usando la división divisi ón que 5x - 2 es factor factor de 20x2+ 20x2+ 7x - 6 . Xuál es el otro factor? „Cuáles son los 4 factores 2x - 32? Desarrolle. 1) (x + 4) (x + 6)
(2) (4x - 9) (2x - 3)
3 )( ) ( jj - 9) 9) ! -actorice. 1) x2+ x2 + 2x - 63
(4 ) ( * - { ) ( I + Í ) (2) 16x4 16x4/ - 2 0 xy
4) 49x2- 70x^ + 25 y
(5) (5) 100x2 100x2/ -1
(3) 10x2- 17x + 3 (6) (6) x2y2y2 - ±
Núme Número ross rea reales les Lección 1: Números reales ® Secc Secció iónn 1: Raíz Ra íz c u a d rad ra d a En quinto grado aprendimos los conceptos de potencia y raíz cuadrada. Encuentre los valores de las siguientes expresiones. (1)32
(2) (-3)2
(3) V9
(4) 1.22
(5) (-1-2)
(6) ^144
(8 ) \ - f
(1) 32= 3 x 3 = 9
(2) (2) (-3) = (-3) x (-3) = 9
(3) V9 = 3
(4) 1.22= 12x1.2 = 1.44 ÍJLV 2 2 A (7) \3 / = 3 x 3 = 9
(5) (-1.2 (- 1.2)2= )2= (-1.2) (-1. 2) x (-1.2) (-1. 2) = 1.44
(6) (6 ) ^144 ^1 44 = 1.2 lt 2 (9)
Cuando la variable “a” representa ” representa un número que que no es negativ negativo, o, se le llama llama raíz cuadrada cuadrada de a al número b que satisface b2= a.
__ al
cuadrado ___ U L ________________ __ ^ la raíz cuadrada
3 es raíz cuadrada de 9 porque 32= 3 x 3 = 9. Esto es V9 = 3 porque 32= 9. -3 es raíz raíz cuadrad cuadradaa de 9 porque porque (-3)2= (-3)2= (-3) x (-3) =9. Esto Esto es ^' 9 = -3 porque porque (-3f (-3f = = El 9 tiene dos raíces cuadradas: 3 y -3. 1
Observe A y determine: (1) ¿Cuáles son las raíces cuadradas de 1.44? (2) ¿Cuáles ¿Cuá les son son las raíces cuadradas cuadradas de de A ? (1) Son 1.2 1.2 y -1.2 -1.2
V l 4 4 = 1.2 porqu orquee 1.22= 1 . 2 x 1 . 2 = 1.44 Vl44 = -1.2 porque (-1.2)2= (-1.2) x (-1.2) = 1.44
(2) Son -2 y __2
5
2
P
(2 ]2
2
2
4
[1] A un número positivo a corresponden dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa, ambas con el mismo valor absoluto. Se representa la raíz positiva con Va y la negativa con - Va. Para expresar las dos al mismo tiempo se usa ± Va . Ejemplo: Las raíces cuadradas de 7 son ±V7 [2] Al cero corresponde una raíz cuadrada, es decir, Vo = 0.
Va = 6 sí y sólo sí 62= íz; a > 0. Al número a se le llama radicando y al número
b
raíz cuadrada de a.
Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números. *116
(2 )2 5
(3)0.0 (3)0.011
(4)8 (4)811
5164
(6 ){
(7)0.04
( 8 ) f
E>órese las raíc r aíces es cuadrad cua dradas as de los siguientes números números con con el signo signo V- . 1)3 1) 3
(2)5
(3)7
(4) 0.3
5 19
(6 ) 1 0
(7)14
(8) 1.8
5 1.5
m
i
(11)17
02) |
E.emplo *
n25 j2=
■3>H=
ü
L C C L M O I I M O
C M
L 3 7 "
11
C C M O I I í
I I O
I I
a l “ ~
> x c
Encuentre Encuentre el valor valor de los siguientes números. * VToo
- If íí
(2) -V64
(6)(-V4l)2
(3) (V is) '
<8> ( ü )
E~ esta unidad no se considera la raíz cuadrada de un número negativo.
B
Encuentre la raíz cuadrada de 2025. Aplicaremos el siguiente método. ( 1)
V20725
Dividir el número dado en grupos de dos cifras comenzando por la derecha. El primer grupo de la izquierda puede tener una cifra, los demás siempre tendrán dos.
(2)
V 20'25 20'2 5 4 _ ....................
Calcular la raíz cuadrada entera del primer grupo de la izquierda (20) que es 4.
(3)
V 20'25 20'2 5 4 _ ....... ... ........ ....... ....... ....... ... Rest Re star ar del del primer primer grupo grupo el cuadrado de la -16 -16 raíz hallada anteriormente (42= 16) y bajar 425 el siguiente grupo.
(4)
V 20'25 20'2 5 4 _ .................... Calcular el doble de la raíz hallada que es -16 -16 8 4 x 2 = 8 y se sepa para rarr las unidades unidad es en el 425 radicando.
(5)
V 20'25 20'2 5 45__________ 425 =16. 85 x 5 = 425 42,5 -425 0
Estimar la siguiente cifra de la raíz cuadrada dividiendo el grupo del radicando radicando entre el doble doble de la raíz cuadrada (42 * 8 = 5 residuo 2). Se prueba esta cifra (5) restando del radicando el producto 85 x 5 = 425. Si la resta es posible, la cifra encontrada es parte de la raíz cuadrada, sino hay que disminuir disminuir en 1 la cifra cifra estimada hasta encontrar encontrar la cifra adecuada.
R: V2Ó25 = 45 Si en el radicando hubieran más grupos de dos cifras, se baja el siguiente grupo se repiten los pasos (4) y (5) hasta bajar el último grupo de cifras. Si el cociente en el paso (5) es mayor que 9 se prueba con 9. 4
Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números. (1) 324
(2) 676
(3) 2601 2601
(4) 5184
4 Sección 2: Relación de orden con raíces cuadradas
Encuentre el área áre a de los cuadrados cuadr ados (a) y (b) cuyos ados miden V2 cm y V3 cm respectivamente. y
E área de (a): a): lado x lado = V2 x V2 = (V2) (V2) = 2 El área área de (b): (b): lado x lado = V3 x V3 = (V3 ) = 3
2
(a) -----
R :2 cm 2
(b)
^ V3
R: 3 cm2
^Cuál uál es mayor mayor V2c V2 c m ó V3 V 3 c m?
L # Com Como el cuadrado (b) tiene más área áre a que el cuadrado (a), la medida medida del del ado ado de (b) es mayor mayor que el de (a), por tanto, V3 > V2.
Cuanto mayor es el área de un cuadrado, mayor es la medida de sus lados. Por tanto, cuanto mayor es un número, mayor es su raíz cuadrada positiva.
Si a < b entonce ent oncess Va < V¿, V¿ , donde a, b, Va y V¿> son positivos. Eemplo:
I
.n a dem demostra ostraci ción ón que que V ¿ > V á es la sigui siguien ente: te: Sea b > a > 0 ->¿>+ V a j |V | V é - Vaj Va j = |V¿J |V¿ J - | V a | 2 ............... Fórmula IV = b- a Com Como V¿ + Va > 0 y V¿ - Va > 0 entonce ent oncess (V¿ + V a j (V¿ (V¿ - Va j > 0 :or lo tanto b - a > 0 lo que implica que V¿ > Va. Va.
3
Compare 5 y V26. = 25;
= 26 como 25 < 26 se tiene tiene que V25 V25 < V26
: sea que 5 < V26. Compare. ft) ^4 VTT _ _
(2)7 _V5 Ó
(3) ^ _ V 1 Í
(4) V25/T ___5 ___5
(5)6.
Ii3
fe Sección 3: Valor de la raíz cuadrada de un número
D
Muestre lo siguiente (Puede usar calculadora). (1) 1 < V2 < 2 ( 2)1. 2) 1.44 < V2 <1.5 <1. 5 (3) 1.41 < V2 < 1.42 1.42
(4) 1.414 1.414 < V 2 < 1.415 1.415
' ( 1) 12= 1, ( V 2 ) =2, 22= 4 como como 1 < 2 < 4 entonces 1 < V2 <2 (2) 1.42= 1.42= 1.96, .96, ( V 2 ) = 2 , 1.52= 2.25 como 1.96 1.96 < 2 < 2.25 2. 25 entonce entoncess 1.4 < V2 < 1.5 (3) 1. 1. 412= 1.98 1. 9881 81,, | V2j V2 j = 2, 1.422= 2.0164 como 1.9881 < 2 < 2.01 2. 0164 64 ento entonce ncess 1.41 < V2 < 1.42 1.42 (4) (4 ) 1.4142= 1.4142 = 1.999396, 1.999396, V2J = 2, 1.4152= 1.4152 = 2.002225 2.002225 como como 1.9993 1.999396 96 < 2 < 2.002 2.00222 2255 entonces entonces 1.414 1.414 < V2 < 1.415 1.415 Del cálculo anterior sabemos sabe mos que V2 = 1.41 es e s un valor exacto exact o hasta las centésimas.
El límite donde se encuentran es V2.
Las raíces cuadradas se ubican en la recta numérica.
6
Encuentre Encuent re el el valor de V3 exacto hasta las centésima centé simass de la misma misma manera manera que que T S Puede usar calculadora.
' f ? Los Los números ros Vl4 , -VTo, -iQA y
a qué puntos puntos corresponden corresponden en la recta
Sección 4: Números irracionales
-ay varias maneras para calcular el valor de la raíz cuadrada de un número hasta =posición que se quiera.
izando el procedimiento visto en B, una calculadora o una computadora rodemos obtener los valores de un número con la cantidad de cifras que leseamos. Los valores de V2, V3 y V5 con 32 cifras significativas son: V2 = 1.41421356237309504880168872420 1.4142135623730950488016887242097 97 ... V3 = 1.7320508075688772935274463415059 1.7320508075688772935274463415059 ... V5 = 2.23606797 2.236 06797749978 74997896964 969640917366 091736687313 87313 .. . Se podrán expresar los valores anteriores como fracciones?, ¿por qué? Estos valores no se pueden expresar con fracciones porque no tienen en su : a l e decimal decimal un períod período o de cifras que se repita repita en forma forma constante. E; número V2 no se puede expresar como fracción. siguiente demostración prueba que V2 no es una fracción. 5 Si suponemos que que V2 es una fracción entonces V2 =— , donde donde a y b son son números naturales cuyo MCD es 1. l2 : Si eleva e levamos mos al cuadrado ambos miembros se obtiene 2 = -^ de lo lo cual Cl se deduce que 2a = b2 ... (1) : Ahora el miembro del lado izquierdo de (1) eess un número número par, por lo tanto, el número b debe ser un número par, o sea que b = 2c ... (2) donde c es un número natural. 4c 2 de lo cual se deduce que : Si sustituimos sustituimos (2) en (1), tenemos que 2a2= 4c2 a2 = 2 c . Por la misma razón de (c), a debe ser un número par.
r De (c) sabemos sabemo s que b es un número par y de (d) sabemos que a es un número par. Si los números b y a son pares entonces el MCD no es 1, lo cual es contradictorio ya que en (a) se dijo que a y b son números naturales cuyo MCD es 1. _= contradicción contradicción anterior viene vien e porque porque hemos supuesto que V2 se podía expres exp resar ar :cno fracción. Por lo tanto, V2 no es una fracción.
En séptimo grado llamamos números racionales a los números que se pueden expresar com como fracciones. fracciones. Por eje ejem mplo: plo: 2 = y , -5 = - y , 0.5 = -j< -2.4 = -0.35 = - ^ , etc.
A los números como como V2, V3 y V5 que no pueden expr ex pres esar arse se como número númeross racionales se les llama números irracionales.
Los números positivos y negativos que no se pueden expresar como números racionales son números irracionales. El conjunto de los números irracionales se representa con la letra I.
3 ¿El número n es racional o irracional? \ j j En quinto grado se estudió el número n estableciendo la razón entre la circunferencia y su diámetro, es decir, n = C + C + D. Se dijo que n tenía el valor aproximado de 3.14, pero en realidad el verdadero valor de n es 3.14151926535897932384626433832795.... (exacto hasta treinta y una cifras decimales). El numero n no se puede escribir como una fracción, por por lo tanto el número rt es un número número irrac irracional ional.. 8'^ 8'^ Diga Diga cuáles cuá les de los los siguientes números números son son racionales raci onales y cuáles cuále s son son irracionale ir racionales. s. (1) (1) V ÍT
(2 ) 8
(3)^4,
(4)-25
(6)4 (6 )4® ®
(7)3 (7 )3.. 14
(8)V5 (8 )V500
(9) V2571
(5) (5) J f (10) (10) 3.14159.
4 ¿Un número irracional puede ser un número racional? No, porque los números irracionales no se pueden escribir como fracciones y ^ una característica característi ca de los los números números racionales es que se puede puedenn escribir com como fracciones, por lo tanto los números irracionales no son números racionales. Esta relación también es cierta a la inversa, es decir, los números racionales no
4 Sección 5: Números reales 12 8 A los números números racionales (2, -5, -5, 0.5, - - y , -0.35, etc.) y los números números irracionales irracionales (V2, (V2, V3, V3, V5, V5, V l 2 , n, etc.) se les llama números reales.
El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales y los irracionales. El conjunto de los números reales se representa con la letra R y corresponde a todos los puntos de la recta numérica. En relación a la respuesta E4 se deduce que el conjunto de los números racionales (Q) es distinto de los los irracionales irracion ales (I), ( I), es decir, Q * I.I . Pero se sabe s abe que la unió uniónn de de los números racionales con los irracionales forman los números reales (R), es decir, Q u I = R. Además, Adem ás, en séptimo séptimo grad grado o aprendimos aprendimos que N c Z c Q. Estas relaciones entre estos conjuntos de números se aprecian mejor en el siguiente diagrama de Venn.
A os números irracionales irracio nales también se les puede definir definir como como aquellos números :uya expresión decimal no es periódica, es decir, no hay grupos de cifras que se •“ pitan pitan indefinidamente y en ese es e mismo mismo orden. Eemplo ( 1 ) j i e I,I , pues n = 3.1415192653589793238462643383 3.14151926535897932 384626433832795 2795 ... . . y no hay un grup grupo o de cifras que se repita. 1 -y- £ I, pues - y = 3.285714 3.28 57142857 2857142857 1428571428571 1428571... ... y hay un grup grupo o de cifras (285714) que se repite. _os números ti y 23 son reales (ti e R, 23 e R). 7 7 1 cuál conjunto de números (N, Z, Q, I ó R) pertenecen los siguientes números? •
10
5) 0.4166666...
<2 > t
(6) 2.2360679774...
(3)V8
(4)-f
(7) -20
( 8)3 8) 3 42
&
Lección 2: Operaciones con raíces cuadradas
% Sec Secci ción ón i: Multi M ultiplic plicació aciónn y división de raíces cuadradas El signo de multiplicación entre las raíces cuadradas se abrevia. Ejem emp plo: V 2x V3 = V2 V3; V3;
A
V 2 xV 3 xV 5 = V 2 V 3 V 5 ;
5 x V 7 = 5V7
Comp Compar aree V2 V3 y V 6 .
/ ( V 2 V 3 ) ’ = (V 2 V 3 ) x (V 2 V 3 )
(V6)2= (V6)2 = 6
= (V2V 2)x(V3V 3) = (V2)! x (V3)!
=2x3 =6 Ambos números (2 y 3) son positivos y al elevar al cuadrado la raíz cuadrada de cada cada uno de ellos se s e obtiene el el mismo número. Por P or lo tanto, tanto, V2 V3 =i = i 2 x 3 = V6 S ifl> if l> 0 y 6 > 0 se da que VaV6 = Vo6. Vo6.
1
Ejemplo Ejemplo
V Í2 V3 =V12 x 3 = V36 =6
O Calc alcule ule. (1)V3 (1) V3V V5
B
(2)V2 (2)V 2 V8
(3) (3) V18V2
(4) (4) VlO V3
Compare ~ y í f . V3
_(V2)2 |£\2- V2 V2 V2 V2 _( I v a ) " V3 X V3
V3V3 " ( V 3 ) 2
_2 3 V2 De lo anterio anteriorr se concluye concluye que que -7= -7= = ^ .
Si a > 0 y b > 0 se da que ^
¡I IV w s)
(5)V7>5 (5)V7 >5
Exprese 2V3 y ~ en la forma Va.
i
ÍV 3 2V3 =V ÍV3
V3=V| 2 V4
.... 2=V4
=V4 x 3
.... 2 = V i
=V Í2 Exprese los siguientes números en la forma Va.
(1) 5 V2
(2) ®
4 2
(6)á
,5)i
(10) -M 3
9) 7V2
(3)Ü 3 (7) 2VÍ0
(4) 3V6
(11) Vl5 5
(12) 5 Vl5
(8)^ 6
A veces se efectúa la transformación en la dirección inversa de modo que se deja r número número dentro del signo V”~al V”~al mínimo mínimo posible. A este est e proceso proceso se se le llama 5 ^plificación.
Simplificar un radicando es dejarlo en su mínima expresión. 7.V7
E emplo VÍ8 = V9 x 2
9"V9 = V7
= V9 V2 = 3V2
' 3
Si a > 0 y b > 0 se da da que V¿?6 = a J b
y J j \
E--:rese los siguientes números en la forma a J b o^j-. *
>12 >1 2
(2) V27
= >245
(6 )
—— — — — — —
(10)
>81
V2 V9 V io
Vióó
(3) V48
(4) (4) V50
(7) í V l6
(8)
V7 V25
(72; V 7000
Cuando el número dentro del signo V~es muy grande se utiliza la descomposición de éste en factores primos. primos. La forma forma de [B] de de la lección lección 1 la emplearemos únicamente para raíces cuadradas exactas.
2
Ejemplo
504
_______
V 5 0 4 = V 2 3 x 3 2 x 7 =V22x 3 2 x 2 x 7 = 2 x 3 xV2 x 7 = 6 V Í4
2
252 2 12 6 2
63 3^21
3
7
Exprese los siguientes números en la forma a-íb.
❖
( 1 ) V2 4 2 0
(2) V 2 2 0 5
(3)V 243
(4) V i 3 5 0
( 5 ) V1 1 2
(6) V 7 0 4
(7)Vi 331
( 8 ) V5 8 8
(9 ) V 7 2 0
(10) Vi 89
( 11 ) V 1 0 0 8
(12) V2800
Ejemplo 8V6 = 2 x 8 x V 3 x V 6 2 V 3 X 8V6
ó
= 16VÍ8 = 1 6 x 3 V 2 = 48V2
2 V 3 x 8V6 = = = =
2V 3 x 8 V 2 V 3 2 x 8 x (V( V 3 ) 2 x V 2 2 x 8 x 3 xV2 48V2
Calcule.
•
( 1)1 ) 2 V 5 x 3 V Í 5
( 2 ) 4 V6 x 5 VTo
(3)3V2x4V6
( 4 ) 7 ^ 3 x 3 V 2 T
(5) 5 V 7 x 3 V 2 1
(6) 3 / 3 x 5 V 5
¿De qué forma se puede eliminar el
.
V - del denominador en ^ y V 2 ? V3 5V 3
vi'Multiplicando por V3 tanto el numerador como el denominador porq porque ue V3 x V 3 =3. =3 .
1
Ejemplo = V3
. . . Multiplicand Multiplicando o por por V3 V 3V3 tanto el numerador como como el denominad denominador or
^ ^ ¡ f = 5V3V3 V6
El convertir convertir expresiones expresio nes que llevan el el signo yy - en el el denominad denominador or en la forma cuyo denominador no contiene el signo se le denomina racionalización.
Racionalice. l
(2) - p V3
i
C O
2V2 2V2
i5)4
a , 3V5
(3,t
(11)i
4^6 <10) 4^6
(4) J
W 8V3 (12) ^ V2
2 Ejemplo 8V6 8V6 lH "8^6 _1|T 412
_ 1 Vi" " 4 X V2
= ± X JL 4 X^
= t1 X 7 X17 V2 4 V2 V2 _ 1 V2 4 X 2 ............
Racionalizando
8 Calcule (racionalice la expresión cuando sea necesario). 1) 3 V Í5 + 9^3 9^3
(2) 12VÍ2 12 VÍ2 + 16VÍ 16 VÍ88
(3) 8V2 - 10V6 10V6
i.4 i.4) 6^6 6^6 - 4 V Í5
(5) 4VlÓ + 8 VÍ5 VÍ 5
(6) 10^ 10^5 - 2VÍ0 2V Í0
y Sección 2: Adición y sustracción de raíces cuadradas
E 1 Compare Compare (1) 5a + 2a 2a con 5^3 +2V3 y (2) 2 (2) 2aa - 6a con 2^3 - 6^3. ¿En qué se parecen?, ¿cuál es la diferencia? v i En (1 )y (2) ambas expresiones expresiones tien tienen en los los mism mismos os signo signoss y coe coeficie ficiente ntes. s. * La diferencia es que la primera primera tiene la a como variable y la segunda tiene V3
Alas expresiones que contienen raíces cuadradas del mismo número se les denomina radicales semejantes. Ejemplo: Ejemplo: Las La s expresiones 5^3, 5^3 , 2^3 2^ 3 y -6 V3 son son radicales semejantes porque todas tienen en común a V3.
2 Calcule: (1)5^3 +2 V3
y
(2) 2 V3 - 6 V3
^ (1 )5 V 3 + 2^3 2^3 = (5 + 2)V3 2)V3 = 7^3 7^ 3
(2)2 V 3 -6 V 3 = (2-6 )V3 = -4 V 3
Una expresión que contiene radicales semejantes puede simplificarse sumando los coeficientes y copiando el radical semejante. 5V3 = V5r x 3 = V75; V75; 2V3 = V2r x 3 = V l2 ; 7^3 = V f x 3 = VÍ47 * De lo cual sabemos sabe mos que difiere 5^3 5^ 3 + 2 ^ 3 de V75 V7 5 + 12
3 Ejemp Ejemplo lo
7V2 - 5 V3
-4
+2V3 2V3 =7V2 7V2 +(- 5 +2)V3 = 7 V2 - 3V3
9
Calcule. (1) (1) 5V5 - 3V5 + 2V5
(2) (2) V2 - 6V3 + 4V2 4V2 + 9V3
(3) 7VÍÓ 7VÍ Ó + 4 V 7 - 10V7 10 V7 - 3VÍ0 3V Í0
(4) 15V3 15V3 - 20V3 + 4VT7
(5) (5) - 3V2 - 4V3 + V2 + 7V3
(6) 8V6 + 7V6 - 4V6 - 1 5V6
4 Ejemplo Vl2 +V27 =2 V 3 +3 V3
............ Sim Simplific plificando ando cada raíz cuadrada
= 5V3 1(P Calcule. (1) (1) V20Ó V20Ó + V98
(2) (2) V75 V7 5 - V Í9 2 Í5
ÍÍ
(3) V32Ó V32Ó - V8Ó V8Ó Ó
Calcu alcule le 5VÍ8 - - | r .
V2
:> 1818 --p- = 5V 9 x2 -- p ^ V2 V2V2
........ Simplificando y racionalizando
=5x3 V 2--^_ 2 = 15V2-3V2 = 12V2
Cuando la expresión tiene el el signo V e n el denominador denominador debe racionalizars racional izarse. e.
Calcule. 2 V3 8 V5
(2)V96+^ V2
(3)?|.V96Ó
(4)^-5V2
(6)V54+|
{7)W M
® 2m *Wo
Calcule V3(2V3-V6). V3(2 V3(2V3 V3 - V6) = V3 x 2Va - ^ x V 6 ' = 2 ^ 3 x 3 - VÍ8
ó
=2 x 3 - V ? x 2 = 6 - 3V2 3V2
V3(2a /3-V /3 -V6) 6) = V 3 x 2V3-V3 x V6 = 2 x(V3 (V3)2)2- V3V2~x3 = 2x 2 x 3 -V - V 2( 2 ( V 3) 3) 2 = 6 - 3V2 3V2
Cuando hay un paréntesis en una expresión con raíces, éste se puede eliminar usando la propiedad distributiva como en el caso del cálculo de polinomios.
Salcule. (1 4V2 (V3(V 3-V5 V5))
(2) 7V3(2V3 7V3(2V3 + 4V6) 4V6)
(3) (Vl8 (V l8 +V2) x5V2 x5 V2
H
Calcule (5V3 - 2)(2V3 + 3).
J j *
(5^3 - 2)(2V3 + 3) = 10 (V3)2+ (15 -4)V3 - 6 = 1 0 x 3 + 11V3 - 6 = 30 + 11V3-6 = 24 + 11^3 En este ejemplo se empleó (ax + b){cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd donde a - 5, b = -2, c = 2, d = 3 y x =V3, que corresponde al producto notable: fórmula V.
Al realizar cálculos con raíces cuadradas es útil emplear las fórmulas de los productos notables.
13? Calcule. (1) (5V2 - 1)(3V2 + 1)
(2) (-3V (- 3V33 + 5)(V3 + 4)
(3) (V5 -1 )(2V5 + 4)
(4) (8V6 + 3)(5V6 - 1 )
(5) (2VÍ (2 VÍ55 -1 )(-3V )(- 3Vl5 l5 + 10)
(6) (IOVÍO (IOV ÍO + 1)(2ViÓ - 7)
1 Ejemplo (1) (V5 - 3)2= (\Í5)2- 2 x 3 xV5 + 32 = 5 - 6V5 + 9 = 14-6^5
.......
{x +a)2= x2+ 2ax +a2
(2) (5V3 (5V3 - V2)(2V3 + 3V2) = 1O ^ ) 2+ 15 V M - 2V2V 2V2V33 - 3(V2)2 = 1 0 x 3 + 15V6 15V6 - 2V6 - 3 x 2 = 30 + 13V6-6 = 24 + 13V6 (3) (5V3 - V2)(5V3 + V2) = (5V3)2- (V2)2 ........ =25x 3-2 = 75-2 = 73 Calcule.
[x + a)(x - a) = x2- a
(1) (2V2 + 3)2
(2) (5V3 - V5)(V3 + V5)
(3) (2V3 + 4)(2V3 - -
(4)( (4)(-V -V66
(5) (9V2
( 6 ) ( V5
3)2
V7)(V2
3V7)
5)(V )(V5 5)
En lo que sigue de esta lección se utilizará el procedimiento anterior del ejemplo (3) para racionalizar las expresiones cuyo denominador es una suma o una resta de raíces cuadradas. E! conjugado de una expresión de dos términos se obtiene cambiando el signo a uno de los términos.
El conjugado de 4 a + El conjugado áe
4a
es
4a
- 4b
o -
- 4b es
4a
+ 4b
o
4b
4a
-4 a
+ 4b.
- 4b.
Encuentre el conjugado de las siguientes expresiones. ( 1) 3 + V3
(2)-3+43
(3)42+43
(4) V2 + 3^3
(5) (5) 1 - 4V3
(6) (6) 2V5 + 3
(7) (7) 2V7 - V3
(8) (8 ) - 4 1 -V3
Racionalice
2
.
1 + 42
2
—
1+
f
2(1
-42)
= ---- \=— 2 - 2^2 = —— = 1 - (42)
........Multiplicando por el conjugado de, de, denominad denominador or ................Apl ................Aplic ican and do la fórm fórmuula IV
= 2 -2 4 2
1-2 =
2-242 -1
= 242 - 2
..... ........ ...... ...... ......... Dividie Dividiend ndo o entre entre -1
Para racionalizar este tipo de expresiones se multiplican y dividen ambos términos por el conjugado del denominador.
Racionalice. 1)5Wf
: V3+1
s,vTT
<2)VfW \
l(»
242
(6)^ f
<3>V l +3
<4> -3V -3 V^“2
m
/ cnV2 cn V2 + 1
4
<7)2¥T3
(8,^ T
d Lección 3: Raíz cúbica En séptimo grado se estudió la raíz cúbica de un número positivo o negativo, sin embargo no se enseñó el algoritmo para el cálculo ya que es complejo. Aquí se aplicará el método de ensayo y error (estimación) para calcular las raíces cúbicas La raíz cúbica de un número dado es un número cuya potencia cúbica es igual al número dado. 4 a - b sí y sólo sí b3 = a, donde a es un número real. Ejemplo: Ejempl o: Como 23= 23 = 8 entonces enton ces 2 es la raíz ra íz cúbica cúbic a de 8, es decir, V8 = 2 Como (-2)3 (-2)3= = -8 entonce ent oncess -2 es la raíz ra íz cúbi cúbica ca de -8, es decir, V^8 = -2. -2. Todo número real a tiene una y sólo una raíz cúbica en los números reales Como la operación de tomar la potencia cúbica no cambia el signo del número, el signo de la raíz cúbica de un número y el de éste coinciden.
A
Calcule las siguientes raíces cúbicas estimando la respuesta. (1) (1) V729 V7 29
(2) (2) VÍZ1 VÍ Z167 67
(1) Probemos inicialmente con -8. (-8)3= (-8) x (-8) x (-8) = -512, como -512 * -729 * -729 la respuesta no es -8, probemos con -9. (-9)3= (-9) x (-9) x (-9) = -729 y como -729 = -729, la raíz buscada es -9. R: V 729 72 9 = -9 (2) Probemos con 2, 3 y 2.3. 23= 2 x 2 x 2 = 8; com como 8 < 12.16 12.1677 se descarta descarta el 2. 33= 33= 3 x 3 x 3 = 27; como 27 > 12.167 12.167 se descar descarta ta el 3. 3. 2.33 2.33= = 2.3 x 2.3 2.3 x 2.3 2.3 = 12.167; como como 12.167 = 12.167 la raíz buscada es e s 2.3 R: VT2/Í67 = 2.3 Si un núme número ro tiene 3 cifras cifr as decimales decimal es entonces la raíz cúbica ^ . d e ese número tie tiene 1 cifr cifraa deci decim mal. al. . > M 1
Encuentre Encu entre el valor de las siguientes raíc ra íces es cúbicas. cúbica s. (1) V216 V2 16
(2) 3a^ 216
(3) V-13 -1331
(4)V2197
( 5 ) V 9 ll
* Lección Lección 4: Intervalos en la recta recta numéric numérica a En la sección secci ón 3 de la lección 1 hemos visto que el el conjunto conjunto de de los números reales real es se corresponde con todos los puntos de la recta numérica. Ahora vamos a definir - tipos de secciones o partes de la recta numérica. En lo que sigue las variables a y b representan números reales que satisfacen a relación a < b . Qj El segmento desde el punto a hasta el punto b se escribe como: (a) {xlx
g
R, a < x < b}
(b) (b) [a, [a, b]
............
Notación conjuntista
............
Notación de intervalo
(c)
Forma gráfica
a b -3 notación (a) significa “El conjunto de los elementos x elementos x que que pertenecen a los ■jm jmer eros os reales rea les que son mayore ma yoress o iguales igua les que a y menores o iguales que b”. b”. 3 El conjunto conjunto que se obtiene quitando quitando el punto punto a en el segmento del inciso!! se escribe como: {xlx g
R, a < x < b}, ]a, b] o (a, b]
y
* u ^ w ^ x x x w w w x x x x x x xx x x x x x b- » a
b
9 El conjunto que se obtiene quitand quitando o el pun punto to b en el segmento del incisoü [Xl x G
3
R, a < X < b), b), [a, [a, b[ O [a, b),
y
* * nnnKnnxnjuuuuuuuuuuuuuIffiCD * nnnKnnxnjuuuuuuuuuuuuuIffiCD >
El conjunto que se obtiene quitando los puntos a y b en el segmento del inci inciso so Q . {xlx G R , a < x < b},
]a, ]a, b[ O {a, b), y
* ^
y
A os 4 conjuntos anteriores se les conoce como intervalos y se clasifican en:
|
Inter Interva valo lo cerrado cerrado (incluye (incluye los los extremos extremos a y b).
■ y
El Intervalos semiabiertos (no incluyen uno de los extremos).
3 Intervalo abierto (no incluye los extremos a y b). Escriba los intervalos dados en las otras dos formas. h2, 5] 3) {%
g
(2 ) «
R, -V3 < x < x <
(4) - 1 , 1
8 (5) {xlx
g
R,
-7 1 < x
<
7 1}
m i Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números. (1)0.09 (2)0.16 (3)0.49 (4)0.81
(6) 144
( 7 )f
(8)?
(5) 169
(9)M v 1 81
Exprese las raíces cuadradas de los siguientes números con el signo - f . (4)0.11 (2 )1 5 (3 ) 1 9 (5) 15
( 1)
Encuentre la raíz cuadrada de los siguientes números empleando el algoritmo de E (1)15625 (2)3136 (3)6724 (4)8649 (5)41616
i l
Compare. ( 1)
7 3 4 __ 1.8
(4) V20
_ _
4.5
(2) 2.23 _ V 5
(3) 3.16
(5) V72
(6) V"50 7.07
_ _
8.3
_ _
VTO VT O
_ _
j | j | Aproxim Aproximee la raíz cuadrada cuadrada de los siguientes siguientes número númeross empleand empleando o el métod étodo o exp explic en D con un valor exacto hasta las milésimas.
(1)10
(4 )7
(3)8
(2)15
(5 )6
¿A cuáles de los siguientes conjuntos N, Z, Q, I o R pertenecen los siguientes núme (1) 71
+3
(3)-- i
<2>T
(5) (5) V5-V2 V5-V 2
(4)-21
f ¡ | Calcule y expréselo expréselo en form formaa sim simplif plifica icada. da.
| j
(1)V8V6
(2)V7 21
(3) (V2 Vío):
(4)V52 V26
(5 )fí V2T
■
Exprese en la forma Va. (1)5VÍÓ
(2) 8V3
(3) 12V2
(5) VÍ0 2
(6) ^Í2 7
(4)V8 3 Sim imp plif lifiqu ique (forma a^lb). (1)V (1 )V75 75
(2) V64Ó 64Ó
(3) VÍ76
w
(4)V540
Racionalice. «i)4= 2V7
(2 ) f V7
(6)
(7 )
V5 + 1
1
3-V5
( 3)
VL 5V6
(4 )
(8) (8 ) V5 1 +V5
(9 )
(5)
V5
( 10 )
2V3-1
V5 Vil
5 - 2 V 3
Calcule. (1) V24Ó + VÍ35 - V54Ó
(2) V504-V224-V56
i3)VÍ2 + V243-V75
(4) Vl50 - V294
(5) V97 - VÍ62 + V8
(6) V48 + “
(7) Vv/5
(8) V243 + ~^=
- ~
2V6
y f
(9) V5(3V5 + 3)
(10) 5V3(2V2 - V3)
11)4V2(V3 + V5)
(12)(V2 + 5V3)(2V2-V3)
i 13) (V5 + 2V7)(2V5 - 2V7)
(14) (5VlO + 4)2
E'cuentre la raíz cúbica de los siguientes números mediante el método de ensayo y error. 1)64
(2)2744
(3)21.952
(4)5832
(5)0.343
Escriba los intervalos dados en las otras dos formas.
(1 ) « -
(2) {x/x e R, - n < x < 2n)
-1
P) ]V7, 6[
Clasifique los intervalos de
-2 ^Í2< 2
Evaluación ¿Po ¿P o r qué V^4 V^4 no existe exi ste en los números reale rea les? s?
^
Comp Comprue ruebe be VF=|¿ F=|¿> >| asignand asignando o valores a b y desarrollando las operaciones necesarias.
Calcule.
(1) V10816
(2)V104976
(3) V624Í
(4) V4356
í
¿Qué significa ±V5?
é
¿Será cierto que (Va)2
= V<7 para cualquier valor de a l
Ordene de mayor a menor.
V8, -V2, -2, 8, J I , - 1 , - J I , - 0,-1,3,-3 Aproxime a 2 cifras decimales.
£
(1) (1) V Í5
(2) (2) VÍ8
(3)V3Ó
(4) VIO
Un terreno terreno mide ide 576 m2de área. Si es de form formaa cuadrada ¿cuántos metr metros os mide cada lado? Dé un contraejemplo para mostrar la falsedad de las proposiciones siguientes. (1)QcN (2 ) Z ( z N (3) Todo número real es natural (4) Todo número irracional es racional
Calcule. (1) V48 V48 V l2
(2) V27 VT2
(3)V7V63
(4)
V2 (6) V5 V320
5) V1587 V3
Escriba el conjugado de las siguientes expresiones. 1 ) 1 -V2 -V 2
(2) V3 - V6
(3) V6 + 3
Racionalice.
1) _5_ V8
(3) _ 1 -
(2 ) ^ VÍ5 VÍ 5
(4 ) V8-2 V6 + 3
Calcule. 1 i >'63 + V448 V448 + V343
(2) (2 ) V99 - V275 +V7Ó4
3 )7^ )7 ^ 4 5 - -pr^ -pr^ VÍ5 5 1(5VÍ (5 VÍ00 - 4V2) x 3VT0
(4) V208 + -p= -p=T VÍ3 (6) (8V2 + 3)(2V2 - 1 )
—. (3V5 -1 )2
( 8 )( 6 V 2 + 3 ) ( 6 ^ - 3 )
5 el volumen de un un cubo cubo es 68.921 68. 921 cm3¿cu cm3 ¿cuánt ántos os cm mide mide cada cad a arista ari sta??
zí:riba los intervalos dados en las otras dos formas, f l f / r e R , -4^- < x < 5}
(2) ]3.2,V3]
2-V 8
Si se divide (6x3+ lx + Ax + Ax + 10) entre (3x + 5) de la manera explicada en la . unidad 1el resultado es 6x3+ 6x3+ l x + Ax Ax + + 10 = (3x + 5) (2x2- x + 3) - 5. Se le llamó cociente al polinomio 2x2- x + 3 aun cuando el residuo no era cero. Esta Es ta situación situación es semejant seme jantee a la división 7 + 3 donde donde 7 = 3 x 2 + 1 cuyo valor de cociente se expresa con la fracción -Z_. De la misma manera vamos usar en esta unidad unidad la forma de fracción fracción 6x3+ 6x3 + l x + Ax Ax + + 10 para la división división de polinomios. 3x + 5 A esta expresión se le llama expresión racional algebraica. Una expresión racional algebraica (ERA) es aquella expresión en forma Cr, fracción cuyo numerador y denominador son polinomios. En lo que sigue hasta la lección 3 se estudiarán sólo ERAs con una variable. Como en el caso de las fracciones, por lo general se representa una ERA en su mínima mínima expresión.
A
Repre Re presen sente te en su mínima mínima expresión expresió n (simplificar) (simplifi car) *3* 3- 3 - 2x . X - X
Como en el caso de las fracciones vamos a factorizar los dos polinomios para encontrar los factores comunes y dividirlos entre ellos.
x(x2.- x - 2) .................. Factor común ¿ f ' 2* _ x(x2.x -x
x(x x(x - 1 )
_ x(x+ 1)(x-2) ......... x(x + 1)(x -1)
= x ~2 X -1
Fórmulas de factorización factorización
........ .... ........ ........ ........ ........ ....... ... Dividir Dividir entre todos todos los factores factor es comu comune ness
R: La mínima expresión de x3 x 3-xx 2-2 2- 2 x es x3- x
. x -1
El procedimiento para simplificar una ERA es: 1. Factorizar completamente tanto el numerador como el denominador. 2. Dividir ambos términos entre todos los factores comunes. El paso 2 equivale a lo que conocemos como cancelar los factores comunes.
Simplifique. (1) x3+ 4x2+ 4x2 + 3x x2+ 5x + 4
(4)
(3) (3) 6x2 6x2+ 7x + 2 15x2+ 7x - 2
2
(5) x2>- + 2xy - y
2x + 3xy 3xy +/
r™ x2+ x2 + 4x - 96 x2+ 6x - 72
(6)
x y - y (8)
*4-16 2- 4 x -12 -1 2 x2-4
(9) 4x2+ 12x 12x - 27 4x2- 81
4*2" 25 4*2 6x2- 11x-10
Se puede sustituir cualquier número en las variables de los polinomios, .amos a investigar esta situación en las ERAs.
Encuentre Encuentr e el valor numérico de
* para x = 3, 2 y 1. x -1 X
u
ó
~ara x = 3 el valor valor numérico es — -r = -r = „ , = -z-zx -1 3- 1 2 3ara 3ar a x = 2 el valor numérico es
x . = n , - — =2
x-1
2-1
1
x i I 3ara x = 1 el valor numé numérico rico es — r = n — r = t t U x - 1 1-1 Cuando x = 1 el denominador denominador es 0, por por lo tanto tanto esta E R A no está está definida para este valor. En una ERA no se pueden sustituir aquellos números que hacen cero el deno denomin minado ador.r. En este ca c a s o x = 1 es un valor excluido excluido de x -1
Una ERA no está definida para los valores de la variable que hacen cero el denominador. A estos valores se les llama valores excluidos de la ERA.
Encuentre el valor numérico si x = 20 en las siguientes ERAs. Cuál es el valor de la variable x para el cual no están definidas las ERAs s-guientes?
,6) 5x -1 2t
+
1
(9)
x +1
(s )^ 4 3x -1.
—r 4
—x + —x + 3 (10) 2 X
•yX - 3
~-x - 3
j Lección 2: Multiplicación y división de ERAs
A
Calc Calcul ulee
x-x-6
x < + ? * +? jc
- 2x + 1
El cálculo es análogo al de las fracciones. -1 x2 + 3x + 2 _ (x + 1)(x - 1 ) x2+ x2- x - 6 X x2- 2x + 1 (x(x- 3)(x + 2) x
(x + 2)(x + 1) (x -1 )2
_ (x + 1 )2(x )2(x -1 - 1 )(x + 2) (x - 3)(x + 2)(x -1 )2 (x+ 1): (x-3)(x-1)
En la respuesta se pueden desarrollar los numeradores y los < >
j denominadores. Es decir,
C* + 1 )2 _ x2 x2+ + 2x + 1 ^ — tt = —y— — — (x - 3)(x - 1 ) x - 4x + 3
La multiplicación de dos ERAs es una ERA cuyo denominador y numerador son los productos respectivos de los denominadores y numeradores de los factores.
B
D
~ZX~C
BD , , = A C ’ donc*e A donc*e A’’ B' B ' C y D
.. son P°l|nomios-
El procedimiento para expresar el producto de ERAs en su mínima expresiór a 1. Factorizar los númeradores y los denominadores de las ERAs dadas 2. Multiplicar tanto los numeradores como los denominadores de ambas ERAs para obtener una sola ERA. 3. Dividir tanto el numerador como el denominador entre todos los factcra comunes de ambas. Las ERAs también se pueden simplificar antes de multiplicarlas. -1 x2 + 3x + 2 x2 - x - 6 X x 2 - 2 x + 1
(x + 1 ( j > ' 2 ) ’(x (x + 1) ( x - 3)(x-+^2] X (x - X f
x
(x - 3)(x -1) ►
=
(*+ lf (x - 3)(x - 1 )
Calcule. (2 )4 ^ fx
2j 3 + -^2 ■ x ¿ +2 4 x t 4
4
14 5.r + 25
A
10x + 50 7x + 7 x - 3x x - 2x - 3
2x
2x + 2x '
(4) (4)
2 2 mn - n y m - n A 2 n m +n 2a2-
(6)
1-a „ b +1 t
■ v 2a + 3a w 1 a' ’ ó+ 2aI - 3a_ A 4a + 8a + 3 a -a
x + 3x
3a+3 a - 4 a -5
2a - 2
y- 5 x 5v + 15 -2 5 v2+ 9v + 18 5y -25
| Calcu lcule y2- 3 x ’ 10 ^
50
(10)
A
b2 + b v a2 a - a2 b
^
c C o S 1 O
+4 +4
x m2 + 4m
m2- m
2m
x -25_ -2 5_ x + 6x + 9
1 Zomo la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir F e~íre una ERA se multiplica por la recíproca del divisor.
x2- 25 x2+ 6x + 9
x - 3x -1 0
x2+ 3x
x2- 3x - 1 0 x x2+ 6x + 9 x -25 x + 3x = b ^ ) ( x + 2) x(x^ x(x^K3 K3))
(x + 3 f (x + 5 ) ( ^ 5 )
_ (x + 2)(x + 3) x(x + 5)
fí - r
A
D R + -pr =- r
C
A
C
RC
x -77 = -7K ; donde A, B, CyDson polinomios. D AD
L W Calcule. 3
a -a ( 1) 2a + 6 a
5 a2 a2 - 5a 2a + 6
x + 1 . 15x3+ 15x2 '3) 4x - 6 20x2- 30x 4x2-1 ^ x2 x2-- 6x + 9
2x2+ 17x + 8 x2++ 5x + 24 x2
20rn - 30m . 4m - 6 (7) 15m +15 m m+ 1 1 __ ________ 4a2-1 + ______ (9) 4fl2+ 5a 4 a3 + 5a2
(2) ni - m (4 )
30
m
+ m - 42
x + 1 j. 2x - 2 5 ' 15
x2- 1 5x + 56 . x2- 5x - 24 (6 ) x2 x2-- 6x + 5 x2 + 2x - 35 x2+ (8 )
(10)
x2 - 49 . x + 7 x2x - 121x x - 11 11xx 8 x + 4x
x -16
4
Lección 3: Adición y sustracción de ERAs
,9 Sección /.- Adic A dición ión y sustr sustracc acció iónn de ERA s con igua l denom inador
A
Calc Ca lcul ulee
+ 2X, + 1 9 .
X + X - ¿
x +x - ¿
^ Para el cálculo usaremos la analogía con las fracciones.
x + x - 2
+ ,x , x *
+
x +x- 2
x + x - ¿
2r + 4 =— — ; r x +x -2
......... Sumando los numeradores ................. Sumando términos semejantes
= . ............... ....... .......... Factorizando t r r f i x - 1) O = —*-r ............................. Simplificando x -1
B C B +C B C A + A ~ A ' A ' A
B - C , donde A donde A , B y C son C son polinomios. A
Cuando los denominadores de las ERAs son iguales (como en el caso de a fracciones) se suman o restan los numeradores y se copia el denominado' común. Se simplifica cuando se puede. 1
Calcule. 9 - 6x (1 ) x2 x2-- 7x + 12
(3)
x2 - x x21 6 -x2
x
x2-- 7x + 12 x2
12 1 6 -x2
2x 2 - 2 2 x ( 60 (5) 7 5 - 3x2 7 5 - 3x2
(7) x.+ 3
X2
j X- 6 x+3
2x3
x
(2)
4 6x - 6
(4)
2x 2 10 + 3x - x2
(6)
n+1 n - n - 2n
(8)
x3+ 5x2 x2+ 3x 2x 2
4x 6x - 6 9x + 5 10 + 3x - x2 3 ,
2
n +n n - n - 2n
+2
6x x2+ 3x -
3 5x
+2
r 2: Mínimo Mínimo común denominador denomi nador de dos dos ERAs
~r cuentre cuentre dos ERAs que sean equivalentes a
x+1
V - apliquemos ambos ambos términos por por un un mismo mismo factor factor.. _ ;-1
x(x - 1) (x+1)(x-1)
Multiplicando por(x-1)
x x+1
x(x + 2) . (x + 1)(x 1) (x + 2)
. Multiplicando po r (x + 2)
Multiplicando el numerador y el denominador de una ERA por un mismo factor polinomio (como en el caso de las fracciones) se pueden encontrar ERAs equivalentes a ésta. Escriba 3 ERAs equivalentes para cada una de las siguientes ERAs.
(1 J L 1
X
= 1+1
(2) 7r ^ —r 2x + 1
(3) -3 * _ x+3
(4) 4x ±3 2x -1
(6)ill
W P A 2x + 5
(8>#-
x + 1
0 ° )x ^ -4
»'S-T 6x - 5
<11) -x -o T
E-cuentre E-cuentre dos dos E R A s equival equivalente entess a x
j+ j + 1
-
5x
xix + 2)
* y
x+1
M xr- !¿ 1 que que teng tengan an igu igual den denomin ominad ador or..
x+2
.... Multiplicando y - -— = ----- x + 1 (x + 1 ) (x + 2) po r (x + 2 ) x + 2 (x+ (x + 1 )(x )( x + 2) __ __
Multiplicando por(x+1)
-----
Igual denominador R
x(x + x(x + 2)
(x + 1)(x 1)(x + 2)
y
x +1
(x + 1)(x )(x + 2)
son equivalentes a
*
x+1
y
1
x+2
respectivamente y tienen igual denominador.
Dadas dos ó más ERAs se pueden encontrar ERAs con igual denominador equivalentes a las primeras.
3 Encuentre dos dos E R A s equivalentes a común denominador.
3 y x-5 x2+ x x -1
con el mismo mínimo
\ ] ¡ Si factorizamos los denominadores obtenemos:
x + x
x(x + x(x + 1)
x -1
(x + (x + 1)(x - 1)
Comparando los denominadores x(x + x(x + 1) y (x + 1)(x -1), se ve que al primero le falta el factor x -1 y al segundo el factor x. Completándolos queda: x(x + 1)
R;
3(x - 1)
x(x + 1)(x - 1 )
3(*-1)
x(x + 1)(x - 1 )
x(x x(x - 5)
y
x(x + 1)(x - 1 )
x-5 (x + 1 )(x - 1 )
x(x - 5) x(x + 1)(x - 1 )
son son equiv equivale alente ntess a
3
x(x + 1)
y
x ' 5____
(x + 1 )(x - 1 )
respectivamente y tienen el mínimo común denominador. El procedimiento para encontrar el mínimo común denominador (mcm) de los denominadores de las ERAs es: 1. Factorizar los denominadores. 2. Completar los factores que le faltan a los denominadores para qu sean iguales. 3^ Para cada una una de las siguientes siguientes parejas de E R A s encuentre encuentre las ER A s equivalentes respectivas con el mínimo común denominador. ( 1)
X
x
+ 3x + 2
x- 1 x + 5x + 6
x -1 ■ X + 1 2x2 + x 4x2 - 1 x -1 i
i
x-2 10x2- 7x + 1
1 • 4 x + x - 2 x +2
(2 )
x+2 ■ 5x x2 + r 2x2+ x -1
(4) (4)
1 15x2- 3x
4 30x2+ 9x - 3
(6) (6) x2 +, 3 A ’ ■ x - 3 X
(8) (8)
+1
1
x2+ 4
■
2 , ’ X +X
X
x2+ 2x + 1
4 Sección 3: Adición y sustracción de ERAs con distinto denominador
Calcule
3
2 ,
x-5 ,
T
X + X
2 A
x - 1
^ Lo desarrollaremos desarrollar emos en forma forma similar a las fracciones fraccion es y utiliza utilizand ndo o lo lo aprendi aprendido do ^ sobre sobre las ERAs ER As.. 3 x 5 3 jc - 5 7 T 7 + 7 T T = 4 ^ r r y + (x + 1)(x1) (x-11 )
.... ................ Factori toriza zanndo denomina inadores res
= * 3+V - 1 ) + ^ í f r - 1 > = ^'A, * ( * + 1 X * - 1> 2 r\
q
= 7~
x(x + 1 )(x -1)
=
- Igualando denominadores
iguall ......................... Sumando E R A s con igua denominador
...........................
Desarrollando el numerador
+ V , .................................
Factorizando el numerador
x(x + 1)(x-1)
= f'8
x(x -1)
............................................ ............................................
Sim Simplifi plifica cand ndo o
Se suman o restan ERAs con distinto denominador después de igualar sus denominadores (Es conveniente usar el denominador común cuyo grado es el mínimo posible). Se simplifica el resultado si se puede. Calcule. 1 l1) n v
jc+
, 1 1 + x-1
3a___ ___
O 9a* - 9O
/ox jc + 3 + ^ x + 2 ^ x -3 ' x -2
____ a____
3a + 3
1 X . X+ 5 ,5) t ~- 5T + x - 4 x - 5 + x + 2 x + 1T c\
rr\ (')
n\
i
1-x 7 1 +x a
'
1 +X A 1-x
m+1 m2+ m + 1
____ * ____ + x + 2 W 4■- 2- x -2x
m
1 (6) x - 4
2x -x
/c\
to\ \V)
m- 1 m2- m + 1
2
x-3
a 2
~
A
a -1
/ aq\ 2x - 3 6x + 9
a+1 \2 (a - 1 ) ,
a
x-1 4x2 + 12x + 9
______
4
A1
2
Lección 4: Despeje de variables en fórmulas Represente el área A área A (cm2) de un triángulo cuya base y altura miden b (cm) y h (cm) respectivamente.
Encuentre la expresión que representa la medida de la base de un triángulo conociendo el área y la altura. A por -2 ambos lados lados de la fórmula A = - j b h tenemos que: h
La medida de la base b conociendo la altura h y el área A área A se encuentra con la fórmula: b = ^ f . h En una fórmula al proceso de encontrar la expresión equivalente de ura de las variables en términos de las otras variables se le llama despeje para esa variable.
3
Encuentre la medida de la base de un triángulo si se sabe que la altura mide 20 cm y el área 80 cm2.
x j j Sustituyendo j Sustituyendo h =20 = 20 y A y A = 80 en la fórmula anterior se obtiene: , _ 2A 2A _ 2 x 80 _ 160 160 _ p v " v " ” on “ on “ 0 La base b mide 8 cm.
4
Encuentre la medida de la altura de un triángulo si se sabe que la base mide 7 cm y el área 10.5 cm2. 2 A b = 7 y A y A = 10.5 en la fórmula h = -^~se obtiene: , _ 2 A _ 2x10.5 _ 21 _o
1
1
En la fórmula ~
1
+ j - despeje para R, y R2.
j Despejando para i?, nos queda: - j {RR,R2 {RR,R2)
+ j - ) ^ R2
=
R,R R,R2 = RR2+RR,
....
.........
Multiplicando por el mcm de los denominadores
(1)
RJt 2 - RRj —RR2 R.(R2 -R) = RR2 r r 2 R' = r2-r
-ara despejar R2 partimos de (1) R\R2 —RR2+RR: r . r 2 - r r 2= r r , R 2 2{ Rr R ) = RR,
RR, R* = R,-R
r > 2e cada una de las siguientes fórmulas, deduzca la expresión que representa la . ariable que está entre corchetes. 1) S = ab] [a]
(3)
[V ], ], [P]
5) /=
7) /= >9)
(11)
(2) A =
C = 2nr,
[C], [71, [71, l«\ l«\
[a]
(4) V=at; [a], [t]
(6) V= a + (n - 1 )r¡ )r¡ [a], [r]
Pa
tei' i n
[r]
(10 (1 0 ) P = 2/1 + 1; 1; [«]
[A], [b]
(12) (12) 5 =
[/]
Simplifique a su mínima expresión.
^ ^ x + 2 x - 3 x + 6x + 9 3
(4)
X - x
(5)
2x + 3x - 5x
-2x2+ -2x2+ 7 x -3 2x - 5x + 3
(3)
5x2-20x-105 10x2+ 130x + 300
(6) (x + 3)(x2+ 3)(x2 + 3x + 2¿ (x + 2)(.v2+ 4x + 3
x2-1 x + 5x - 6
si x toma
Encuentre el valor numérico numérico para las E R A s simplificadas de los siguientes valores. (1 )4 , -3,1 y 3
(2) 3, 0, 0.5 y 4
(3) 1, -1, -1, 5 y 2
(4) (4) 0,1 0, 1 , 2 y 3
(5)10, 7, 5 y 3
(6) 1, 2, 3 y 4
Para cuáles de los valores de x en simplificadas.
no están definidas las E R A s respe respecti ctiva va
Calcule. a - a y 2a + 6 2a2 + 6a 5a2- 5a 1 ’ 2a2+
(2 )
(3 ) 4x - 6 x 15x3+ 15x3 + 15x2 x+ 1 2x - 3x
(4)
^
x2- 6x + 9 x 2x2+ 2x2+ 17x + 8 4x -1 X + 5x - 24
(7) 4 +
x -1
4 x2-1
x2 + 7x - 8 ^ (x + 8)(x2- x) 1 J x2- 25 ' x2+ 8x + 15
iq \
(11>I T s + T í ! W
j ' j h ' T n
m2 - m - 30 \ -
m + m - 42
15x + 56 x x2 + 12x + 35
x + 6x + 5
(6 )
5 x+1
(8 )
3x+ 1 + 3x+ 3x+ 1 2x + 8 ’ x + 4
x - x - 56
2x-2 15
(10)
2x2++ 5x - 7 + 2x2+ 2x2 2x2+ 3x - 1 4 x 5x
(12)
2x2 (2x + 7)(x - 2)
- 3 x + 14 (2x + 7)(x - 2)
(14) A + 2 - 3x 2x -1 x 3x -1 - x(3 x(3xx - 1 )
Despeje para la variable indicada.
(1) ax + by + c = 0 para y
y - y 1
(2) x _ x = m para x e y
Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). •<
»■
1 t
) — 5x + 2— está definid definidaa para x para x = 5.
3 (¡
) El valor numérico numérico de
3x2- 14x - 5
2 Oa
: ^
“
para x para x = 4 es - ^ .
It X “ O
IO
) El mínim ínimo o com común deno denom minad inador or de x de x + 3x + 2 y x2 + 5x + 6 es (x + 1) (x + 3) (x + 2)2
^orqué x ~ x ~1 es equivalente a J L l ü ? x-2 2 -x £ Droces Droceso o de de despejar despeja r una variable es simil similar ar al al de resolver una ecuación. Porqué? Por qué el cálculo con ERAs es parecido al cálculo con fracciones? Qué es mínimo común denominador? Por qué es aconsejable, al calcular sumas y restas con ERAs, utilizar el mínimo común denominador de los denominadores? Para qué valores reales de x no está est á definida * ? ^ ?
_3 fórmula para calcular la temperatura en grados Fahrenheith dados los grados q Celsius (centígrados) es Tf = Tc + 32. Encuentre la fórmula para calcular la :emperatura en grados celsius dados los grados Fahrenheith. _a longitud de una circunferencia viene dada por C = 2nr, donde r es el radio. Despeje para r y encuentre su valor si C = 37.68 cm. Considere el valor de 7i = 3.14. Calcule. . 1 \ x + x2 v x2 x2+ + 3x - 4
x2x2- 25
*
12x- 4
9 Lección 1: 1: La suma suma de los los ángulos de un polígon polígono o
9 Secció ción i:i: La suma sum a de d e los los ángulos de d e un triángulo trián gulo El triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C se denota por A ABC. En cuarto grado aprendimos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, esto lo explicaremos usando las propiedades de las rectas paralelas.
A1
Se han colocado 3 triángulos del mismo tamaño como lo muestra el dibujo. (1) Exprese las medidas de los ángulos Z CAD, Z ADC, Z DCA, Z CDE, Z DEC y Z ECD en términos de Z a, Z b y Z c. (2) ¿Cómo son los lados AB y CD? m Z CAD = m Z c; m Z DCA DC A = m Z a; a; m Z D EC = m Z c;
m Z ADC AD C = m Z b m Z CDE = m Z a m Z ECD EC D = m Z b
A
d
c
b
E
(2) AB II CD porque porque los ángulos Z CAD CA D y Z c son alternos internos y congruentes. Aplicando la observación de A1 se encuentra la suma de los ángulos del triáng como se verá a continuación. A
Se le llama CE a la extensión del lado BC. Se traza un rayo CD paralelo a AB. B
C
ComoABII ComoABIICD; mZ AC D = m Z a ............. Ángulos alternos internos y m Z DCE D CE = m Z b ...... .. ........ ........ Ángulos correspondientes correspondi entes Por Por lo tanto m Z a + m Z b + m Z c = m Z ACD + m Z DCE + m Z BCA = m Z BCE Ángulo llano = 180° .....
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
E
rn el triángulo A ABC los ángulos Z CAB, _ ABC y Z BCAson ángulos internos. Un ángulo interno de un triángulo es un ángulo formado por dos lados del triángulo. Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo formado por un lado del triángulo y una extensión del lado contiguo.
Alrededor de un vértice de un triángulo hay dos ángulos externos. _os términos anteriores utilizados en los triángulos se aplican a los polígonos. De la demost demostrac ración ión de la pág página ina anter anterior ior se dedu dedujo jo que que m Z a + m Z b = m Z AC A CE. El Z ACE es un ángulo externo y los Z a y Z b son ángulos internos no contiguos al ángulo exterior mencionado. De esto se concluye lo siguiente: La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de la medida de los dos ángulos internos no contiguos.
o r
Encuentre la medida de los ángulos externos del triángulo A ABC. m Z f = 30° + 80° = 110° 110° m Z a = 180° - (30° + 80°) = 70° m Z d = 30° + m Z a = 100° m Z e = m Z a + 80° 80° = 150° 150° Encuentre la medida del ángulo x. En (4) encuentre a, b, c y d.
(3)
En el dibujo de la derecha DE es paralela a BC y pasa por el punto A. Utilizando este dibujo explique que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
^
B
L a s w c w c ikik «áa. f e s
<áa.vxc\v ^ \^ m
Encuentre la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero y de un pentágono. Un cuadrilátero convexo se descompone en dos triángulos si se traza una de su diagonales. La suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD es igual a la suma de los ángulos internos de los dos triángulos que lo forman. Esto es: (la suma de los ángulos del A ABC) + (la suma de los ángulos del A ACD), lo que equivale a 180° + 180° = 360°, 360°, ó 180° x 2 = 360°. 360°. Un pentágono se descompone en 3 triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos internos del pentágono es: 180° x 3 = 540° 540°
Un polígono con n lados se puede dividir en (n - 2) triángulos con (n - 3) diagonales que pasan por un mismo vértice.
La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es: 180° x (n - 2). En el caso del triángulo, n = 3, entonces la suma de los ángulos internos es: 180° x (n - 2) = 180° x (3 (3 - 2) = 180° x1 = 180° Esto coincide con lo demostrado en A y 3
¿Cuán ¿Cu ánto to es la suma de los ángulos internos internos de los siguientes sigui entes polígonos? polígonos? (1) Hexágono
(2) Decágono
(3) Heptágono Heptágono
(4) Octágono
(5) Un polígono polígono con 15 lados lados
(6) Un polígono polígono con 18 lados
(7) Un polígono polígono con 24 lados
(8) Un polígono polígono con 30 lados
Lección 2: Congruencia de triángulos 4 Sección Sección 1: C ongr on grue uenc ncia ia Dos figuras planas son congruentes cuando se sobreponen exactamente después de mover y/o dar vuelta a una de las dos. Encuentre los triángulos que son congruentes.
Cuando dos figuras son congruentes y se sobreponen, se dice que un vértice, un lado, un ángulo, etc., de una de las figuras corresponde respectivamente al vértice, al lado, al ángulo, etc. de la otra.
Los segmentos correspondientes de dos figuras congruentes tienen la misma medida, igual que sus ángulos correspondientes. En r com como los triángulos triángulos 1 y 8 son congruentes congruentes se dan dan tres correspondencias: ' Los vértices A, A, B y C del del triáng triángulo ulo A ABC AB C se corresponden respectivamente re spectivamente con os vértices D, F y E del triángulo A DFE. I . Los lados lados correspondientes son congruentes: AB = DF, BC = FE y CA = ED : _os ángulos ángulos correspondientes son congruentes: congruentes: Z A = Z D , Z B = Z F y Z C = Z E
B
9 Sección 2: Criterios de congruencia de triángulos
A
En el cuaderno dibuje los siguientes triángulos A ABC. (1) (1) AB = 5 cm, B C = 4 cm, CA = 2 cm (2) AB = 6 cm, m Z A = 30°, C A = 4 cm (3) (3) AB = 5 cm, m Z A = 30°, 30°, m Z B = 50°
s/(i»
Los triángulos A ABC y A ABC’ son congruentes.
Los triángulos A ABC y A ABC’ son congruentes.
De A se sabe que los triángulos dibujados con estas medidas son congruentes y je ellos se defin definen en los siguientes siguientes tres criterios criterios de de congruencia congruencia..
Criterios de congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si se satisface uno de los siguientes criterios: 1. Los tres lados son respectivamente congruentes. (LLL) ÁB=Á1' /
'" 'k
; /
BC = &C'
Z . ------- H— ------- A,Z_ -----------------H-------- \ . B, -
CA= C ’A ’A'
2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente ___ congruentes. (LAL) AB = A’B’
3. Un lado y los dos ángulos adyacentes a él son respectivamente congruentes. (ALA) C
c.
ÁB = A B ’ ZASZA’ \
Z B = Z B’
Diga cuáles de los siguientes triángulos son congruentes y qué criterio de congruencia utilizó.
B
Dibuje en el cuaderno los triángulos A ABC con las siguientes medidas. (1) AB = 6 cm; m Z A= 30°; B C = 4 c m (2) (2) AB = 4 cm; m Z A = 30°; 30°; B C = 7 cm (3) AB = 4 cm; m Z A =150°; B C = 7 cm
(1 )
(4)
4 cm
4 cm
En (1) hay dos triángulos que no son congruentes pero cumplen las condiciones dadas. En (2), (3) y (4) sólo hay un triángulo que cumple las condiciones dadas. De este ejemplo se sabe que cuando están dadas las medidas de dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos, existen casos donde hay 2 triángulos no congruentes que tienen las mismas medidas dadas. En (4) la medida del del ángulo ángulo Z B no está dada explícitamente, sin si n embargo embargo se pi pi calcular porque se sabe que la suma de la medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Esto es: m Z B = 180°-(30° 180°-(30 ° + 100°) = 180° -130° = 50° Al calcular este último ángulo se conoce del triángulo un lado y sus dos ángulos consecutivos, por lo tanto, del criterio de congruencia 3, se sabe que sólo hay un triángulo en B (4) con estas medidas. 3'
Construya los los siguientes triángulos triángulos según las medidas medidas dadas. ¿En cuáles de los casos hay 2 construcciones diferentes que cumplen .las mismas condiciones? (1) AC = 6 cm; m Z A = 45°; m Z B = 100° 100° (2) AB = 1 cm; m Z A = 40°; B C = 8 cm (3) AB = 7 cm; BC = 8 cm; AC = 9 cm
Dos segmentos AB y CD se cortan en el punto E de modo que EA= EB y CE = DE. Demuestre que AC = BD.
En este problema, a la parte EA = EB y CE = DE se le llama hipótesis y a la parte AC = BD (que es lo que se quiere demostrar) conclusión. Se llama demostración o prueba a la deducción de la conclusión desde la > cond condició iciónn (hipótesis). (hipótesis). *4
Demostración: E A = EB y C E = DE .................... ................................ ........................ ................ Por hipóte hipótesis sis En los triángulos A EAC y A EBD se da que: Z CEA = Z DEB DEB ..... Ángulos opuestos por el vértice En los triángulos A EAC y A EBD como dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente congruentes, ambos triángulos son zongruentes, por tanto AC = BD, que es lo que queríamos demostrar.
Con Con la misma misma hipótesis de C demuestre demue stre que A C II BD. s ; guientes guientes lecciones leccione s veremos más ejemplos e jemplos de los los criterios criterios de congruencia congruencia Ta-gulos. E ' la figura figura de de la derecha AB II CD y AB = CD. CD . lemuestre que los triángulos A OAB y A ODC congruentes.
E r a figura_d figura_dee la derecha dere cha AD IIII B C y E es el punto punto ■necio de CD. CD. Demuest Demu estre re que los triángulos triángulos A ADE AD E t A ~CE son congruentes.
E r a figur figuraa de la derecha AD = C B y AB = CD. •f-jestre que los triángulos A ABC y A CDA sen congruentes.
Lección 3: Triángulo isósceles y rectángulo Sección 1: Triángulo isósceles En tercer grado aprendimos el término “triángulo isósceles”. Triángulo isósceles es el triángulo que tiene dos lados congruentes. En cuarto grado aprendimos que un triángulo isósceles tiene dos ángulos congrue
A
En un triángulo isósceles los dos ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. Vamos a demostrar este hecho. Hipótesis: AB = AC Conclusión: Z B = Z C Demostración: Sea D el punto medio del lado BC. En los triángulos A ABD y A ACD se da que: AB= AC ......... .... ........... ...... Por hipót hipótesi esiss BD = CD ............... Por definición de punto medio DA = DA ............... Congruencia de un mismo segmento A ABD = A ACD AC D .. Criterio Criterio de congruen congruencia cia LLL LL L Z B = Z C ........... ...... ....... Congrue Congruencia ncia de triáng triángulo uloss La demostración anterior la vamos utilizar varias veces a partir de ahora. A situaciones que se utilizan repetidas veces para demostrar otras cosas se les llama teoremas. Lo demostrado anteriormente es un teorema. Un teorema es una proposición que se puede demostrar. La demostración anterior puede enunciarse como el siguiente teorema: Teorema: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a éstos son congruentes.
Encuentre la medida de los ángulos xe x e y . (2 )
(3)
■ r En el el dibu dibujo jo de la derecha, derecha , el pun punto to D es el punto medio del lado BC. ■
Demuestre Demuestre que Z BAC BA C es un ángulo ángulo recto recto ; BD = CD=ÁD
^
Jsando Jsan do la congru congruenc encia ia de de lo los trián triángu gulo loss A ABD y A ACD en la demostración :e A, demuestre lo siguiente: 1. ÁD es perpendicul perpe ndicular ar a BC 2 AD es una bisectriz del del Z BAC BA C De lo demostrado anteriormente se deduce el siguiente teorema:
Teorema: En un triángulo la bisectriz de un ángulo comprendido entre dos lados congruente es una mediatriz del lado opuesto.
En el el dibu dibujo jo de la la derecha dere cha,, AB = AC y el punto P está en la bisectriz del ángulo Z BAC. Demuestre que BP = CP.
B
Demostremos el siguiente teorema.
Teorema: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a éstos son congruentes.
Vamos a considerar triángulos que tienen dos ángulos congruentes. Demostración: Se va demostrar demostrar que que si Z A = Z B entonces AC = BC. B C. La bisectriz del ángulo Z BCA corta el lado AB en el punto D.
b
En los triángulos A CBD y A CAD se da que: Z BCD BCD = Z A C D ..................(1) ..................(1) Porque CD es la bisectriz del Z ACB Z A = Z B ...............................(2) Por hipótesis Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° se tiene: m Z CDA = 180° - (m Z ACD + m Z A) = 180 °-(mZ BC D + m Z B ) ....... Por (1)y (2) = m Z CD C D B .......................................... (3) CD = CD ....................... ................................... ........................... ........................... ................... ....... (4) De (1), (3) y (4), dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son respectivarrecongruentes, por lo tanto los triángulos A CBD y A CAD son congruentes por Ai_¿ De esto se deduce que que AC = BC. BC . 5 } En un triáng triángulo ulo isósceles isósc eles A ABC, las bisectrices de los ángulos opuestos de los lados congruentes congruentes AB y AC se cortan en un punto D. Demuestre que BD = CD. En el triángulo isósceles A ABC los lados congruentes son AB y AC. BE y CD son bisectrices que se cortan en el punto F. Demu Demuest estre re que: que: 1 .B E = CD
A
En el triángulo isósceles A ABC, hay dos ountosD y E en los lados congruentes Á3 y AC respectivamente y BD = CE Demuestre que: • BÉ B É = CD I Si F es e s el pun punto to donde donde se cortan cortan BE B E y CD entonces BF = CF
En el triángulo triángulo A A B C , AB A B = A C y m Z A = 36°. 3D es la bisectriz del del Z AB A B C que corta el lado lado AC en el punto D. Demuestre Demuestre que: que: BC B C = BD = DA
Triángulo equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados congruentes.
El triángulo A ABC es equilátero. * ¿Cuál ¿Cu ál es la relación relación entre entre las medidas del del Z B y Z C ? ¿y entre Z A y Z B? ¿Por qué? i Z B = m Z C porqueÁB = Á C
(1)
i Z A = m Z B porq porque ue CA = CB
(2)
A
_-¡endo la congruencia de (1) y (2) se sabe que Z A = Z B = Z C. 1 ¿Cuá ¿C uále less son las medidas de los tres ángulos? Domo Z A = Z B = Z C s e d a que: m Z A + m Z B + m Z C = 180° entonces m Z A = m Z B = m Z C = 60° Un triángulo equilátero es equiangular porque tiene sus tres ángulos congruentes.
q. Sección 2: Criterios de congruencia de triángulos rectángulos
Triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y los catetos son los otros dos lados (que forman el ángulo recto). Demuestre que en un triángulo rectángulo los ángulos que no son rectos son agudos. Averigüe si los triángulos A ABC AB C y
A DEF son congruentes. Compare con B (4) de la lección 2. Demuestre que los triángulos A ABC y A DEF son congruentes auxiliándose del dibujo de la derecha. m Z BCA + m Z ACE = 90° + 90° = 180° Por lo tanto, los tres puntos B, C y E son colineales En el triángulo A A B E com como AB = AE entonces Z B 5 Z E . Como los A ABC y A D EF son rectángulos se tiene que Z BAC = Z EAC. Como la hipotenusa y los dos ángulos adyacentes son respectivamente congruentes entonces por el criterio ALA los triángulos son congruentes. C= F
Lo anterior muestra que dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo son congruentes respectivamente. De la misma manera dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto son congruentes respectivamente. Criterios de congruencia de triángulos triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son congruentes si se satisface uno de los siguiecriterios: Crite': Criterio 1 1. La hipotenusa y un ángulo agudo son respectivamente congruentes. \ 2. La hipotenusa y un cateto son respectivamente congruentes.
$
Demuestre el criterio 2 de congruencia de triángulos rectángulos.
De los siguientes triángulos rectángulos ¿cuáles son congruentes? (2 ) 3 cm
(5)
(4) (4)
3 cm
3 cm 7 cm •
7 cm '
En el dibujo de la derecha, ÁB = ÁC Á C , B D l ÁC y C E l Á B Demu Demuest estre re que: que: 1 . BD = C E 2. ÁE =ÁD = ÁD Construya un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 7 cm y que tenga un cateto que mida mida 4 cm. Utilice 2 de la secc sección ión 1 (lección (lección 3).
0 Traza azar una circunferencia de 3.5 cm de radio y de diámetro AB. El dibujo de la derecha muestra otra manera de construir el triángulo rectángulo de E. Explique los pasos que se señalan en el dibujo.
Trazar un arco con centro en A de 4 cm de radio que corte la circunferencia en C.
b!
Unir C con A y C con B.
0 Lección Lección 4: 4: Puntos notables notables del del triángulo ^ Sección 1: Circuncentro
A1
Demuestre Demuestre que los puntos puntos en la mediatri mediatrizz del del segmento equidistan de sus su s extremoextremo- | En el dibujo, la recta DC es perpendicular al segmento AB en el punto medio C y el punto P está en la perpendicular. Demuestre que los triángulos A PAC y A P BC son congruentes y concluya que PA = PB. Demostración: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
...........................Definición de punto medio AC = BC ...........................Definición PC = PC ...........................Congruencia ...........................Congruencia de un mismo segmento Z ACP = Z BCP ........ Definición de pependicularidad A PAC = A P BC ........ ... Criterio de congruencia LAL (1-3) PA=PB ........................ .... Congruencia de triángulos triángulos P dista lo mismo mismo de A y B A ...
Demuestre que los puntos que equidistan de los extremos del segmento quedan en la mediatriz. p En el dibujo PA = PB y AM = BM Demuestre que A PAM y A PBM son congruentes y concluya que m Z PMA = m Z PMB = 90°. Demostración: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
PA = PB ........................ .................................... ..................... ......... ..... AM = BM ........................ .................................... ................... ............ MP = MP ........................................... ..... A PAM - A PBM ........................... ..... Z P M A - Z PM P MB ......................... ..... m Z PMA P MA + m Z PMB P MB = 180° ... ... ..... m Z PMA PMA = m Z PMB PMB = 90° ..... PM 1 AB .......................................... ..... M es el punto medio de AB ........ ..... PM es la mediatriz de AB ......... .....
Hipótesis Hipótesis Medida de un mismo segmento Criterio de congruencia LLL (1 ~3) Congruencia de triángulos Definición de ángulos adyacentes De 5 y 6 Definición de perpendicularidad Hipótesis (2) Definición de mediatriz
La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidista de
5
Dibuje Dibuje en su cuaderno un triángulo triángulo y construya constru ya las tres mediatrices de sus su s lados. Trace una circunferencia con centro en donde coinciden las tres mediatrices y que toque al triángulo en sus tres vértices.
Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que equidista de los tres vértices. Como el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo, la circunferencia de centro en el circuncentro y de radio esa distancia (que equidista de los vértices) pasa por los tres vértices. Esta circunferencia está circunscrita al triángulo. El triángulo está inscrito en la circunferencia. C
Demuestre que el circuncentro equidista de los vértices. vért ices.
^ En el dibujo dibujo las mediatrices de los lados AB y AC se cortan en un un pun punto to O. O.
1. OB = OA pues ON es la mediatriz de AB 2. OA = OC pues ÓM es la mediatr mediatriz iz de de AC
5. O pertenece a la mediatriz de BC Por tanto O que es el circuncentro equidista de los vértices A, B y C.
Sección n 2: Incen Incentr tro o 0 Secció
Demuestre que los puntos en la bisectriz del ángulo distan lo mismo de los dos lados. A; En la bisectriz o £ del del Z AOB AO B se toma toma un punto unto P K y se trazan perpendiculares a los dos lados OAy OB que pasan por por P y que cortan cortan a estos 0<\ —------ \ -------segmentos en K y L respectivamente. respecti vamente. \ L" Demuestre que PK = PL mostrando que A OPK = A OPL.
b
-
OP K y A OPL, 1. En el A OPK Z POK = Z POL ........................ Hipótesis (Definición de bisectriz) 2. m Z PKO P KO = m Z PLO P LO = 90° ... Hipótesis .... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ....... Congru Congruencia encia de un mismo ismo segm segmento ento 3. OP = OP ......... 4. A OPK = A OPL ........................ ...Congruencia de triángulos rectángulos 5. P K = P L ....................................... Congruencia de triángulos ...
...
Demuestre que un punto que equidista de los dos lados del ángulo queda en la bisectriz. Sugerencia: Sugeren cia: En el el dib dibujo ujo PK 1 OA, OA, P L lÓ B y PK = P L.
K
Demuestre que Z POK PO K = Z POL PO L mostran mostrando do que los A OPK OP K y A OPL son congruentes.
o-
)p L'
1. En los A OPK y A OPL se da que: m Z PKO = m Z PLO = 90° .......... 2. PK = PL ........................................... ...................... ............................ ....... 3. PO = PO .............................................. 4. A OPK = A OPL OP L ............................... .... ........... ........... .......... .......... ....... 5. Z POK = Z POL .........
b
:
Hipótesis Hipóte Hipótesis sis Medida de un mismo segmento Congruencia de triángulos rectángulos Congruen Congruencia cia de triáng triángulo uloss
Como Z POK = Z POL, OP es la bisectriz del ángulo Z AOB.
La bisectriz de un ángulo es el conjunto de puntos que distan lo mismo de los dos lados.
Dibuje en el cuaderno un triángulo y construya las tres bisectrices de sus ángulos.
Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran en un punto llamado incentro que equidista de los tres lados.
Demuestre que el incentro equidista de los tres lados. Sugerencia: En el dibujo, las bisectrices de los Z ABC y Z BCA se encuentran en el punto I. Del punto I se trazan perpendiculares a los tres lados ÁB, BC y CA cortándolos en los puntos P, Q y R respectivamente. Demuestre que IP = IR = IQ. 1. IP = IQ ............................. Definición bisectriz (Bl) 2. IQ = IR ............................ Definición bisectriz (Cl) 3 . IP = IR = IQ ................... De 1 y 2 Concluya que Al es una bisectriz del Z BAC. ........ .............. ............ ..... Por IP = IR 1. I equidista de de los lados AB y AC ............... 2. Áí Á í es un unaa bisectriz bisectriz del del Z BAC BA C ............................ Por 1 Como el incentro (punto I de la figura de la derecha) equidista de los tres lados del triángulo, la circunferencia de centro en el incentro y de radio esa distancia (que equidista de los lados) pasa por los puntos P, Q y R y no pasa por fuera del del triángulo. triángulo. Esta Est a circunferencia circunferenci a está inscrita en en B el triángulo. El triángulo está circunscrito en la circunferencia.
<3 Secc Sección ión 3: Bar Baric icent entro ro
Una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el pun:: medio del lado opuesto.
Demuestre que una mediana divide al triángulo en dos partes cuyas áreas son iguales. Según el dibujo de la derecha, demuestre que si el segmento AD divide al triángulo A ABC en dos partes partes con la misma área ár ea,, el el punto punto D es el B punto medio del segmento BC. En el dibujo de la derecha el segmento AM es una mediana. Demuestre que los triángulos A ABD y A ACD tienen la misma área. Un triángulo tiene tres medianas. Investiguemos la relación entre ellas.
G
Dibuje en su cuaderno un triángulo y trace sus tres medianas. A
Las tres medianas se cortan en el punto G.
Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto. Ahora lo vamos a demostrar. Demostración: En el dibujo los segmentos BM y CN son medianas que se cortan en el punto G. Una los puntos Ay G y extienda este segmento hasta que corte a BC en L. Los triángulos triángulos A GCA y A GBC tienen la misma área porque CN es una mediana del A CAB (por (por í ! y <3 De la misma manera los triángulos A GAB y A GBC tienen la misma área. De estas dos igualdades se deduce que A GAB y A GCA tienen la misma área^ ___ b Trace Trac e las perpendiculares perpendiculares BK y CH a la recta recta AL.
El área de A GAB = y x AG x BK. El área de A GCA = ^ x AG x CH. Como las áreas son ¡guales BK = CH. En los triángulos A BL BLKK y A CLH se tiene que: BK = CH, m Z BLK = m Z CLH (ángulos opuestos por el vértice) y m Z LKB = m Z LHC = 90°. Por lo tanto el A BLK = A CLH y se da que BL = CL convirtiéndose L_en el punto medio de BC y entonces AL es una mediana. De lo anterior se deduce que las tres medianas AL, BM y CN se cortan en G. Al punto G se le llama baricentro.
Baricentro es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo.
Si dibujas un triángulo en una hoja gruesa cartón o cartoncillo) y lo recortas, puedes sostenerlo en equilibrio en el punto G. El baricentro es el centro de masa o centro de gravedad de un triángulo. 4 Sección 4: Ortocentro
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice hasta el lado opuesto. Un triángulo tiene tres alturas. Dibuje en el cuaderno un triángulo y construya sus tres alturas.
En un triángulo las tres perpendiculares de los vértices a los lados opuestos se encuentran en un punto llamado ortocentro.
x En un triángulo obtusángulo trace las tres alturas y encuentre el ortocentro.
Hipótesis: EB J_AC, ÁFSCF Demuestre que FD = FE.
Determine las medidas de los diversos ángulos. Dato Datos: s: ÁD = BD; C F 1 ÁB y m Z ABD = 70°. 70°.
En la figura las rectas AB y DC son paralelas. DA biseca biseca el el Z BDE BD E y BC biseca el Z DBF. Demuestre que:
1. Los triángulos A DAB y A BCD son congruentes. 2. ÁD II BC.
En la figura AC = BC. Demuestre que Z m = Z
n.
En la figura P, Q y R son puntos medios de los lados del triángulo equilátero A ABC. Demuestre que el triángulo A PQR PQ R es equilátero.
Demuestre que en todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo externo opuesto a los ángulos congruentes es paralela al ado desigual.
Si por un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo se traza una paralela a uno de los ados del ángulo, el triángulo así formado es isósceles. Demuestre que el triángulo es isósceles.
Las bisectrices de dos ángulos externos de un triángulo cualquiera A ABC se encuentran en P. Demuestre que la suma del ángulo P y la mitad del ángulo A es igual a 90° (ángulo recto).
Evaluación
^
Según la inform informaci ación ón mostrada mostrada determin determinee si los los triángulos triángulos indicados indicados son son congruentes o no. (2 )
AABDy ACBD
A ADCy A BDC
c
á.
Demuestre que en un triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no contiguos. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 20 lados? Si el triángulo A ABC es congruente con el triángulo A DEF, ¿cómo se corresponde' los vértices, los lados y los ángulos de ambos triángulos?
&
¿Será posible construir un único triángulo A ABC donde BC = 7 cm, AC = 6 cm y m Z ABC = 50o?
^
En & ¿qué sucede si AC = 5 cm? En la figura DE = AB y m Z DEC = m Z BAC. Demuestre queABIIDE. A
En la figura los triángulos formados son congruentes. Demuestre que AC II BD.
Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 1. ( y Dos y Dos triángulos de áreas iguales son congruentes. 2. ( )í Dos triángulos congruentes tienen sus ángulos respectivos congruentes. 3. ( )) La correspondenc corresp ondencia ia ánguloángulo-lado-án lado-ángulo gulo produce congruencia. congruenc ia. 4(
)) Dos triángulos triángulos isósce isó sceles les cualesquiera cualesquie ra son congruentes.
5. ( ) Un ángulo exterior de un triángulo puede medir 180°.
Escriba una oración empleando la frase o término dado a continuación. 1. Ángulos internos de un triángulo 2. Ángulos externos de un triángulo 3. Ángulos internos no contiguos 4. Triángulos congruentes 5. Criterios de congruencia de triángulos 6. Criterios de congruencia de triángulos rectángulos 7. Lado-lado-lado 8. LAL 9. Ángulo-lado-ángulo 10. Triángulo isósceles 11. Teorema 12. Puntos notables del triángulo 13. Circuncentro 14. Incentro 15. Baricentro 16. Ortocentro 17. Teorema en relación a un triángulo isósceles
Cuadriláteros é
Lección 1: Cuadriláteros En cuarto grado aprendimos varios tipos de cuadriláteros y los clasificamos segú" el paralelismo de sus lados, las medidas de sus lados y las medidas de sus ángulos. En esta lección vamos hacer demostraciones de las características de les cuadriláteros aplicando lo que hemos aprendido en las lecciones anteriores.
9 Sección /.-Paralelogramos Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.
B-
El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo porque AB II DC y AD II BC. Acerca del paralelogramo ABCD demuestre lo siguiente: „D (1 )AA BC = ACDA a (2) AB = DC, B C = A D y Z B = Z D (3) A ABD = A CDB ^ ( 1 ) A a b c s A cd a
1. 2. 3. 4. 5.
ÁD II BC y ÁB II DC ... .. . Z B C A = Z D A C .......... Z CAB = Z ACD .......... CA = AC ..... ........ ...... ...... ...... ....... ....... ...... ... A ABC AB C = A CDA ..........
Hipótesis B Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Congruen Congruencia cia de un mismo ismo segm segmento ento Por 2, 3 y 4 (criterio de congruencia ALA)
(2) A B = DC, B C = A D y Z B = Z D 1. AB = DC .......... ..... .......... .......... ....... Por demostración de (1) 2. BC = AD .................... Por demostración de (1) Por demostración de (1) 3. Z B = Z D ...........
(3) A ABD = A CDB 1. Á B IIII DC ............... 2. Z ABD = Z CDB 3. ZADB = ZCBD 4. BD = DB .............
Hipótesis Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Congruencia de un mismo segmento
A
Demuestre que las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto medio.
1. Z ADO = Z CBO C BO
......................AD IIII BC y son son ángulos ángulos alternos alternos inter interno noss
2. Z DAO = Z BBCO CO ............. ...... ............. ......... ...AD AD II BC y son ángulos alternos interno internoss 3. ÁD = BC ............. ...... ............. ............ ............ ............. ........... De [A] [A] 4. A OAD = A OCB OC B ....................... Por 1, 2 y 3 (ALA) 5. OA = OC ...................................... Por 4
q
6. OD = OB ...................................... Por 4
/ t y. q
q
7. O es el punto punto me medio dio de AC ... .. . Por 5 8. O es el punto punto me medio dio de DB ... .. . Por 6
1
A ^ ----------- V B
Un paralelogramo por ser un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos tiene las siguientes características: (1) Los lados opuestos son congruentes. (2) Los ángulos opuestos son congruentes. (3) Los diagonales se cortan en el punto medio.
L \
—
—
En el dibujo las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD se cortan en el punto O y el segmento PQ pasa por el punto O. Demuestre que: PO = QO.
Demuestre que si se trazan las perpendiculares AE y CF desde los vértices A y C (respectivamente) hasta la diagonal BD del paralelogramo ABCD entonces AE = CF y BE = DF.
D
En la figura el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo y BE y DF son bisectrices de Z ABC y Z CDA respectivamente.
D
Demuestre Demuest re que B E IIII DF.
Sea E el punto medio del lado CD del paralelogramo ABCD y sea F el punto donde se cortan las extensiones de BC y AE. Demuestre que BC = CF.
Secció cciónn 2: Condiciones Condiciones suficientes pa p a ra ser paral pa ralelo elogra gramo mo
Demuestre que un cuadrilátero cuyos
A_______( A____ ___(_________D _________D
dos pares de lados opuestos son congruen congruentes tes es un paralelo paralelogra gramo mo..
v7 /
y
/
1. AB = CD .................................... ................. ....................... Por hipótes hipótesis is 2. AD = BC ..................................... ................ ....................... Por hipótes hipótesis is
^ ----
f ------------- q
3. BD = DB ...................................... Congruencia de un mismo segmento 4. A ABD = A CDB CD B ........................ Por 1, 2 y 3 (criterio de congruencia LLL) 5. Z ABD ABD = Z CDB ........................ Congruencia de triángulos 6. AB IIII DC ................................... ............... .......................... ......Ángulos Ángulos alternos internos internos y 5 7. Z CBD CB D = Z ADB ......................... Congruencia de triángulos (4) 8. AD II BC ................................... ............... ......................... ..... Ángulos alternos internos internos y 7 9. A BC BCD D es un un paralelogramo paralelogramo .. Por 6 y 8
Demuestre que un cuadrilátero cuyos dos pares de ángulos opuestos son congruentes es un paralelogramo.
1. m Z A + m Z B + m Z BC BCD D + m Z D = 360°... Sum Sumaa de los ángulos los internos del cuadrilátero 2. m Z A = m Z BCD y m Z B = m Z D .............. Por hipótesis 3. 2 m Z B + 2 m Z BC BCD D = 360° ............................ Por Por 1 y 2 ........................... .......... Dividi Dividien endo do entre entre 2 4. m Z B + m Z BCD = 1-80 -80° ..................................... 5. m Z BCD BC D + m Z D C E = 180° ............................. Ángulos adyacentes 6. m Z B = m Z DCE D CE ................ ........................ ................ ................ ................ ............ D e 4 y 5 7. AB II DC ....................................................... ...................................................................... ............... Ángulos correspondientes y 6 ..................... ............. ...... Por 1 y 2 8. 2 m Z BCD + 2 m Z D = 360° 360° .............. 9. m Z BCD B CD + m Z D = 180° 180° .......... ..... .......... .......... .......... .......... ........ ... Dividiend Dividiendo o entre 2 10. 10. m Z D + m Z ADF AD F = 180° 180° .......... ..... .......... .......... .......... .......... .......... ....... Ángulos adyacentes adyac entes 11. m Z BCD B CD = m Z ADF AD F ......... ..... .......... ........... .......... .......... .......... .......... .......... ..... De 9 y 10 12. BCIIÁD ...................................................................... Ánguloscorrespondientesy11 13. 13. ABCD AB CD es un un paralelo paralelogra gramo mo ................................ ....................... ......... Por 7 y 12
Demuestre que un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en el punto medio es un paralelogramo.
Demuestre que un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos y congruentes es un paralelogramo.
Demuestre que si los ángulos consecutivos de un cuadrilátero son suplementarios entonces es un paralelogramo.
A
D
B
C
Condiciones suficientes para ser un paralelogramo Un cuadrilátero es un paralelogramo si cumple una de las siguientes condiciones: ü
Dos pares de lados opuestos opuestos son paralelos (definición (definición).). Dos pares de lados opuestos son congruentes.
@
Dos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Q
Los diagonales se cortan en el punt punto o me medio. dio.
E§
Dos lados opuestos son paralelos y congruentes. congruentes.
@
Los ángulos ángulos consecutivos son suplementarios. suplementarios.
Se toman dos puntos E y F en los lados AD y BC respectivamente de un paralelogramo ABCD de modo que se cumple una de las siguientes condiciones: A , _____ E
D
Demuestre que en cada caso, el cuadrilátero EBFD es un paralelogramo.
En el dibujo, los cuadriláteros ABCD y BEFC son paralelogramos. Demuestre que el cuadrilátero AEFD también lo es.
A
D
D
En el dibujo los puntos E y F están en la diagonal BD del paralelogramo ABCD y distan lo mismo de los vértices B y D respectivamente.
Demuestre que el cuadrilátero AECF es un paralelogramo.
Se toman 4 puntos E, F, G y H en los cuatro lados ÁB, BC, CD y DÁ del paralelogramo ABCD respectivamente, de modo que AE = CG y BF = DH. Demuestre que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
* 2 ¿Qué ¿Q ué tipo tipo de cuadrilát cuadrilátero ero se forma con las 4 bisectrices de los 4 ángulos de un para parale lelo logr gram amo? o? Dem emué uést stre relo lo..
/ /
'y
B En un triángulo A ABC, sean D y E los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente. Demuest Demuestre re que que DE IIII BC y DE = y BC siguiendo la estrategia presentada a continuación. 1 En la extens extensión ión de D E, se s e toma toma un punto punto F de modo modo que DE = EF. EF . Demuestre que el cuadrilátero ADCF es un paralelogramo.
/
1. A E = E C .................................................... Hipótesis 2. DE D E = E F .................................................... Hipóte Hipótesis sis 3. E es un punto nto medio edio de AC y DF . . . Por 1 y 2 4. ADCF AD CF es parale paralelog logram ramo o
Por 3 y la condición de suficiencia B
2 Demuestre que el cuadrilátero DBCF es un paralelogramo. 1. 2. 3. 4. 5.
3
AD = F C ....................................... ADCF es paralelogramo AD = DB ...................................... Hipótesis DB = F C ...................................... ... Igualan Igualando do 1 y 2 DB II F C ....................................... Por la demostración anterior [E1] DBCF DB CF es un paralelo paralelogra gramo mo .... .. .. Por 3 , 4 y cond condició iciónn de de suficiencia U ...
... ...
Deduzca que DE II BC y DE = - j BC j BC 1. 2. 3. 4. 5.
DE II BC ................................... DBCF es paralelogramo [E2] DF = 2DE .................. .............. E es punto medio de DF DF = BC .................... .............. DBCF es paralelogramo 2DE = BC .................. ............... Igualando 2 y 3 DE = ^-BC ............... ............... Dividiendo entre 2
13 Demuestre Demues tre que el cuadrilátero que se obtien obtienee uniendo los puntos medios de cada lado de cualquier cuadrilátero es un paralelogramo.
En el dibujo AB = DC y los puntos E y F son los puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. El punto G es el punto medio de la diagonal AC.
D
¿Qué tipo de triángulo es el A EFG? Demuéstrelo. Sugerencia: Utilice los puntos medios de ÁB y DC. C
y Sección 3: Rectángulos, rombos y cuadrados
Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes. Un rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes. Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene congruentes sus cuatro ángulos y sus cuatro lados. Como la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360° los ángulos de los rectángulos y los cuadrados miden 90°. De estas definiciones se deduce lo siguiente: Los rectángulos, rombos y cuadrados son paralelogramos.
• > Demuestre que los rectángulos, rombos y cuadrados son paralelogramos. Paralelogramos La relación entre estos cuadriláteros se muestra en el dibujo de la derecha. Un cuadrado es un rectángulo y al mismo tiempo es un rombo.
Rectángulos
Cua drados Rombos
teamos otras características específicas de los rectángulos, rombos y cuadrados. ¿Qué se puede decir de las diagonales del rectángulo? Demuéstrelo.
/
D
Las dos diagonales del rectángulo son congruentes. Demostración: 1. El cuadrilátero cuadrilátero ABCD AB CD es un un rectángulo rectángulo ... .. . Hipótesis 2. AB = DC ......................................................... ............................................................. .... Por lo demo demostr strad ado o en 1 3. DÁ = AD ............... ...... ................. ................. ................ ............... ............ .... Congruencia Congruencia de un mism mismo o segment segmento o 4. m Z DAB DAB = m Z ADC ADC = 90° .............. Medida de un ángulo del rectángulo 5. A ABD = A DCA .................................. Criterio de congruencia LAL (2-4) 6. ÁC
DB ................................................
Congruencia Congruencia de triángu triángulos los
^
Demuestre que un cuadrilátero cuyas diagonales son congruentes y se cortan er el punto medio es un rectángulo. Demuestre que las diagonales del rombo son perpendiculares. Demuestre que el cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares y se corta' en el punto medio es un rombo. Las diagonales de los: rectángulos son congruentes y se cortan en el punto medio, rombos son perpendiculares y se cortan en el punto medio, cuadrados son congruentes y perpendiculares y se cortan en el punto mecc Inversamente un cuadrilátero que satisface una de estas condiciones es un rectángulo, rombo o cuadrado respectivamente.
Sección 4: Trapecios
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Se les llama bases a los lados paralelos. Un trapecio isósceles es el trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes.
Demuestre que los ángulos adyacentes a una base del trapecio isósceles son congruentes. Utilice la siguiente estrategia:
1
Se supone que la base BC mide más que la base AD. Se traza un segmento AE paralelo al lado DC desde A hasta la base BC. Demuestre que el A ABE es isósceles y deduzca que Z ABE = Z AEB.
2 3 4
Demuestre que Z AEB = Z DCE. Concluya que Z B = Z C. Deduzca que Z BAD = ZD.
1. AB = DC ................................ ............................................ ............................ ............................. ............... Hipóte Hipótesis sis 2. En el el cuadrilátero cuadrilátero A E C D , AD II E C y A E IIII DC ... ABCD AB CD es e s un un trapecio y por construcción 3. AECD AE CD es un un paralelogramo............................ paralelo gramo........................................ ............ Por 2 .......................................... ............................ ............................. .................... ..... P o r 3 4. DCsÁÉ ............................ 5. A B = A E ............................. ........................................... ............................. ............................. .................. .... Iguala Igualand ndo o 4y 1 6. A A B E es isósceles ............................ .......................................... ......................... ........... Por 5 7. Z A B E s Z A E B .... ........................................................................................................................ Por6
1. DC II A E .................... .......... .................... ..................... ............... Por construcc construcción ión 2. Z AEB = Z DCE ............................ Por ángulos correspondientes y 1
......... ....................... .......... De [1] [1] 1. Z B = Z AEB AE B ...................... 2. Z A E B = Z C ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... De [2] 3. Z B = Z C ............................... ........................................ ......... Iguala Igualand ndo o 1y 2
AD IIII B C ............................ .......................................... ................ Hipótesis Z B = Z FAD FAD ................................. Por 1 y ángulos ángulos correspondientes correspondientes m Z BAD BA D + m Z B = m Z BAD BA D + m Z FAD FAD = 180° ............. Por 1, 2 y 2 y ( f m Z D + m Z C = 180° .............. Análogo a 3 m Z D = 180o180o- m Z C .................. Despejando en 4 m Z BAD = 180° - m Z B .......... Por 3 = 180° 180° - m Z C ......... Pues ZB SZC[3] = m Z D ....................... Por 5 7. Z BAD = Z D .................................Por .................................Por 6 .
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Demuestre que si los ángulos adyacentes a una base de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles.
¿Cuántos cuadriláteros identifica en la figura de la derecha?
¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros pueden ser paralelogramos? (1)
(2)
(3)
(4)
Encuentre si es posible las medidas de los ángulos según la información dada. — — — — (1) AC II ED, ED , B E = CD m Z ABE = 80° y m Z BCE = 35°
E
D
(2) El trap trapecio ecio ABCD ABC D es isósceles. EG IIÁB, m Z FAD = 120° y el Z ACB es recto. B
Demuestre que si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares, congruentes y se cortan en el punto medio entonces éste es un cuadrado. B
fea Emplee Emp lee lo visto sobre ecuacion ecuac iones es lineales linea les para encontrar la la medida medida de los ángulos de los siguientes paralelogramos.
^
ABCD ABC D es un paral paralelo elogra gramo mo con con las medidas AB = 7x - 31, CD = 3x + 1, AC = 2x 2x - 6 y BD = x = x + + 2. Demuestre que ABCD es un rectángulo.
fg
Las dos dos figuras son rectángulo rectánguloss traslapados. Encuentre la suma de los ángulos señalados.
ABCD es un cuadrado y los lados señalados son congruentes. Demuestre que EFGH también es un cuadrado
Q
Construya Construya un rom rombo cuyas diagon diagonale aless sean congruentes a los segmentos AByAC.
A ---------------------------------------------------- B
Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). ) En un paralelogramo dos lados consecutivos son siempre paralelos. 2. )>Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en el punto medio entonces el cuadrilátero es un rombo. 3. ^En un paralelogramo las bisectrices de ángulos opuestos son paralelas. 4. ^En un paralelogramo las bisectrices de ángulos consecutivos son perpendiculares. 5. Si la diagonal de un cuadrilátero forma dos triángulos congruentes entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 6. ^Todo paralelogramo tiene los ángulos consecutivos congruentes. 7. En un trapecio todos los ángulos interiores son congruentes. 8. )l Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto entonces es un rectángulo. 9. Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes entonces )¡ el cuadrilátero es un rectángulo. \ )¡ 10. Las mediatrices de dos lados consecutivos de un rombo son perpendicula1.
Encuentre todas las parejas de segmentos congruentes que hay en el rectángulo ABCD ABC D y sus diagona diagonales les..
Encuentre las medidas de todos los ángulos en el trapecio ABCD según la información mostrada.
En el hexágono regular los tres segmentos que parten del centro bisecan los ángulos Z A, Z C y Z E. Demuestre que los cuadriláteros AOCB, AOEF y COED son rombos.
D
Escriba la relación que hay entre: 1. Las bisectrices de ángulos opuestos de un paralelogramo 2. Las diagonales de un paralelogramo 3. Los lados opuestos de un paralelogramo 4. Los ángulos opuestos de un paralelogramo 5. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo 6. Las 4 bisectrices de los ángulos de un paralelogramo 7. Los 4 ángulos de un rectángulo 8. Los 4 lados de un rombo 9. Los 4 ángulos de un cuadrado 10. Los 4 lados de un cuadrado 11. El rectángulo, el rombo y el cuadrado 12. Las diagonales de un rectángulo 13. Las diagonales de un rombo 14. Las diagonales de un cuadrado 15. Los ángulos adyacentes a la base de un trapecio isósceles
Demuestre que las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.
> Semejanza Semejanza de d e triángu triángulo loss 2 Lección 1: Semejanza de triángulos % Secció Secciónn 1: Figu Fig u ras ra s semeja sem ejante ntess
A
La figura dada en la cuadrícula tiene su tamaño original. (1) Redúzcala a la mitad. (2) Amplíela al doble.
- ¥ 'V -
(3) ¿Qué se conserva en las tres figuras? ¿Qué cambió en ellas?
■
(3) En las tres figuras se conserva la forma y lo que cambió fue el tamaño. Las tres figuras anteriores conservan la misma forma aunque sus tamaños son distintos
Las figuras que tienen la misma forma son figuras semejantes.
El proceso anterior de ampliar la figura (al doble) o de reducirla (a la mitad) es muy fácil si utilizamos una fotocopiadora. Con una fotocopiadora se pueden ampliar o reducir las figuras al tamaño deseado utilizando los por cientos.
Una figura en su tamaño original está al 100%. Si se amplía, su tamaño es mayor que 100%. En el caso anterior como se amplió al doble, significa que su tamaño está al 200%. Cuando se reduce, su tamaño es menor que 100%. Para el caso en mención al reducir la figura a la mitad, ésta se redujo al 50%.
Las figuras ampliadas o reducidas son semejantes a la original. Las figuras semejantes conservan la forma aunque no necesariamente el tamaño.
División Política
El Salvador Océano Pacifico A~\
% Secci Sección ón 2: Triángulo Trián guloss semeja sem ejante ntess
B
Comparemos la forma de los siguientes triángulos.
G/ A
D f \
©
(i)
/ < B
/
C
E
F
H
I
(1) Ordene de mayor a menor los lados de cada triángulo. \ f
© B C , C Á. Á .Á B
© E F . F D , DE
© H¡, ¡G, GH
(2) ¿Cuál ¿C uáles es son las las razones razones de de las las medid medidas as del lad lado más la largo rgo de © a © ? ¿y © a ® ? 7
B C :EF :E F = 3:4
BC:HI = 3:6 3:6 = 1:2
(3) ¿Cuáles ¿Cuá les son las razones razones de las medid medidas as del lado lado más co corto rto de © a © ? ¿y©a©? /
A B :DE :D E = 1:1 1:1
AB:GH AB :GH = 1:2
(4) ¿Cómo Cómo son las razones entre © y © ? ¿y entre © y © ? Entre Entre © y © son son dif diferen erente tes, s, mient ientra rass que entre tre © y © son son igu iguales ales.. Adem Además ás entre tre © y © la razó razónn CA:IG = 1:2, 1:2, o sea que entr entree © y © las las razones de los lados correspondientes son iguales. Asimismo se da que Z A= Z G , Z B s Z H y Z C =Z l. Por todo todo lo anterior podemo podemoss decir que que los triángulos triángulos © y © tienen tienen la misma misma forma. A estos triángulos quetienenla misma forma se les llama triángulos semejantes. semejantes. Los triáng triángulo uloss © y © son triáng triángulo uloss semejantes. semejantes.
Dos triángulos son semejantes cuando: 1. Las tres razones de los lados correspondientes son iguales y 2. los ángulos correspondientes son respectivamente congruentes.
Cuando dos triángulos A ABC AB C y A DEF DE F son semejantes y los vértices A, B y C se corresponden con los vértices D, E y F respectivamente, se escribe como A ABC ~ A D E F y se lee “El triángulo A ABC es semejante al triángulo A DEF”.
&
D
Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma.
1 Ejemplo
D
H En la figura de arriba el A ABC ~ A DEF. Si se le da media vuelta (Giro de 180°) al A DEF se obtiene el A GHI y de esta forma el A ABC ~ A GHI. El triángulo A DEF = A GHI y al mismo tiempo el A DEF ~ A GHI. La congruencia de triángulos es un caso especial de la semejanza de triángulos. La razón de los lados correspondiente es: AB:DE = BC:EF = CA:FD = 4:6 = 2:3 Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir: m Z F = m Z I = m Z C = 70°. En la figura, el A ABC ~ A DEF. Encuentre la medida del lado EF. y
AB:DE = B C :EF :E F si el lad lado E F mid midee x cm se tiene: 3:5 = 4\x _ 5 x 44 * 3 _ 20 * 3 x' 6 3
D \ A 3 cm' B c-
-4 cm
/
5cm
'
3 cm
d Secc Secció ión n 3: Criterios de semej semejanz anza a de triángu triángulos los
D
Se a A ABC un triángulo. Sea Construya un triángulo A DEF de modo que el AABC-ADEFyque BC:EF = 1:2.
Los lados correspondientes del triángulo A DEF miden el doble de los lados del trián gulo A ABC y los ángulos correspondientes de ambos triángulos son congruentes. Para construir un segmento que mide el doble de BC se hace lo^ siguiente: (1) Trazar un segmento.---------------------------------segmento. ---------------------------------(2) Usando el compás con una abertura igual a BC trazar un arco con centro en el punto P del segmento que lo corte en el punto Q. P
:Q PQ = BC
(3) Con centro en el punto Q y la misma abertura trazar un arco que corte al segmento_en un punto R distinto a P. El segmento PR mide el doble de BC. P
:Q
;R
Encontrando los tres segmentos pedidos se procede a trazar el triángulo. En este caso están dados todos los datos (la medida de los lados y la medida de los ángulos) para trazar el A DEF, pero en realidad no se necesitan todos. Según el criterio de congruencia basta uno de los siguientes conjuntos de datos pa*que dos triángulos sean congruentes (y puedan trazarse): (1) Las La s medidas medidas de los tres lados. lados. (2) Las La s medidas de_dos de_dos lados y el el ángulo ángulo comprendid comprendido o entre entre ellos. Ejemplo: DE; EF y Z E. (3) La medida_ medida_de de un lado y los dos ángulos adyacen adya centes tes a éste. Ejemplo: EF, Z E y Z F.
De lo visto anteriormente sabemos que, sin tomar en cuenta el tamaño, los triángulos A ABC y A DEF son semejantes cuando se cumple una de las condiciones siguientes: (1) AB:DE = BC:EF = CA:FD (2) AB:D AB :DEE = B C :EF :E F y Z B = Z E (3) Z B s Z E y Z C s Z F
E
Dos segmentos se cortan en un punto como Demuestre lo siguiente: (1) A CAB ~ A CED CE D (2)ÁB II DE
CE D \ / ( 1 ) A CAB ~ A CED 1. CA:CE CA:CE == 3:6 3:6 == 1:2 1:2 ................... Cálculo 2. CB:CD == 4:8 4:8 == 1:2 1:2 ........... Cálculo Por 1 y 2 3. CA:CE = CB:CD .. Ángulos opuestos por el vértice 4. Z A C B s Z E C D . . . Por 3 y 4 (criterio de semejanza [2]) 5. A C A B - A CED .. (2) AB II DE 1 ,/A s Z E Semejanza A CAB y A CED CE D 2. AB IIII D E ...................................... Por 1 y ángulos alternos internos ..
3
En cada uno uno de los siguientes sigui entes dibujos indique indique los triángulos semeja sem ejante ntess y el criterio de semejanza utilizado.
(1)
(2)
J
(3)
,
En el A ABC, BD y CE son alturas sobre AC y AB respectivamente. Demuestre que BD:CE = AB:AC.
........ Definición de altura 1. m Z BOA BOA = m Z CEA = 90 ° ........ 2. m Z DAB = m Z E A C ................... Es un mismo ángulo 3. A ABD ~ A A C E ............................. Por 1 y 2 (criterio (criterio de de semejanza [3] [3 ]) 4. BD:CE = AB:AC ............................. Por semejanza
¿
En la figura figura AB s AC y BC s BD. Demuestre que A ABC ~ A BDC.
En la figura A ABC ~ A D E F y los puntos puntos K y L son los puntos puntos medios de los lados BC y EF respectivamente. Demuestre que A ABK ~ A DEL.
D
|G
En la figur figuraa AB IIII DE, BC IIII E F y CAII CAI I FD. Demuestre que A ABC ~ A DEF.
Demostración: En la figura de la derecha derecha los rayos_AG y DH DH son extensiones de los lados BA y FD respectivamente y se cortan en un punto I. De la_misma manera, los rayos CJ y EK son extensiones de los lados BC y DE _ _
_ _
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 12. 13. 13.
AB II DE y C A II F D ......... ........ Hipótesis G B II D E ................................. ........ Por 1 y las extensio extensiones nes CA I I F H .................................. .........Por ......... Por 1 y las extens extensiones iones Z BAC - Z B IF .................... ....... Por 3 (ángulos correspondientes) Z BI BIF - Z E D F .................... Por 2 (ángulos correspondientes) ........... ....... ....... ... ....... ......... lgua lg ualan lando do4y 4y55 Z BA B A C - Z E D F ........ ÁB II DÉ y BC IIII E F ........... Por hipótesis B T l I E F ................ ........................ ................ ............ ........ Por 7 y extensiones ÁB II D K ..... ........ ...... .......... ...... .......... ...... ........... ........ Por 7 y extensiones Z A B C - Z D L J ................... ........ ..... ... Por 9 (ángulos correspondientes) Z DL DLJ - Z D E F ................... ........ Por 8 (ángulos correspondientes) Z A B C ^ Z D E F .................. ........ Igualando 10 y 11 A A B C - A D E F ................ ......... Por 6 y 12 (criterio de semejanza [3]) ......
......
,'V '> E En los_ los_tr triá iáng ngul ulos os A A B C y A DEF, A B lD E , B C lE F y C A lF D , Demuestre que A ABC ~ A DEF.
ección ón 4: 9 Secci
H
Rectas Rec tas parale par alelas las y propo pro porción rción
En el dibujo BC II DE. Demuestre que AB:AD = AC:AE = BC:DE. Demostración: 1. BC IIII D E ................ ........................ ................ ................ ........ Hipóte Hipótesis sis 2. Z ABC = Z A D E ........................ Por 1 (ángulo (ánguloss correspondientes) 3. Z ACB = Z A E D ........................ Por 1 (ángul (ángulos os correspondientes) 4. A ABC ~ A A D E ........................ Por 2 y 3 (criterio de semejanza \3\) 5. AB:AD AB:AD = AC:AE AC :AE = B C :D E Por semejanza ......
En el dibujo BC II DE. Encuentre las medidas de DE y AC.
En el dibujo BC II DE y DF IIAC Demuestre lo siguiente: (1) A A D E - A DBF (2) (2) AD:DB = A E :EC :E C
y f ( 1 ) A A D E ~ A D B F 1. BC II D E ................................................................. Hipóte Hipótesis sis 2. DF IIÁ II Á C ..................................................................Hipótesis 3. Z ADE = Z A B C ............ ................... ............. ............ ............. ............. ............Por ......Por 1 (ángul (ángulos os correspond correspondiente ientes) s) 4. Z EAD 5 Z F D B ..................................................Por 2 (ángulos (ángulos correspondientes) correspondientes) 5. A ADE AD E ~ A D B F .............. ..................... .............. ............. ............ .............. ........... ...Por Por 3 y 4 (crite (criterio rio de de semejanza \3\) (2) (2) AD:DB = A E :EC :E C 1. El cuadrilátero D F C E es paralelogram paralelogramo o ... . .. Por 1 y 2 de la demostraci demostración ón (1) 2. DF = É C .............. ..................... ............... ............... .............. .............. .............. .............. ......... Por 1 3. DF = E C ................................................................. Defini Definición ción de congruencia congruencia 4. AD:DB AD :DB = A E :D F .............. .................... ............ .............. ............... .............. ..........S ...Semejanza emejanza de triáng triángulo uloss demostración (1) 5. AD:DB = A E : E C ............ ................... .............. ............ ............. ............... ............Sustit .....Sustituye uyend ndo o 3 en 4
En el dibujo DE II BC. Encuentre la medida de EC. _ _
8
En [H], [H], demuestr demuestree que que AB:D AB :DBB = A C :EC :E C . Las relaciones de los problemas [H]_e [I] son válidas aún cuando los puntos D y E estén en las extensiones de AB y AC respectivamente. Demuestre que: 1. AB:AD = AC:AE en los casos (1) y (2). 2. AD:DB = AE:EC en los casos (1) y (2). En (2) utilice el último de la derecha. E , --------- ,D
E .--------- „D
J
En la figura AB:AD = AC:AE. Demuestre que BC II DE.
A
Demostración: 1. AB:AD = A C :A E ............. Hipótesis EAD = Z C A B ........... Es el mismo ángulo 2. Z EAD 3. A ABC ~ A A D E ........... Por 1 y 2 (criterio de semejanza [2j) 4. ZABC_= Z AD E ............. Por semejanza 5. BC II D E ........................... Por 4 (ángulos (ángulos correspondientes) B
Hay otra forma de demostrarlo. Se traza un segmento DF paralelo a BC desde el punto D hasta el lado AC. Del problema H se sabe que AB:AD = AC:AF. Como la hipótesis dice que AB:AD = AC:AE, se obtiene que AC:AF = AC:AE, de lo cual se deduce que AF = AEJo ^ que implica que F = E, por por tanto DE II BC. En el dibujo AD:DB = AE:EC. Demuestre que BC II DE siguiendo la estrategia presentada a continuación. (1) Trazar un segmento CF paralelo a BA desde el punto C hasta la extensión de DE y demostrar que A EAD ~ A ECF. (2) Deducir que AD:CF = AD:DB del inciso (1) y de la hipótesis. (3) Deducir que CF = DB del inciso (2). (4) Deducir que el cuadrilátero_DBCF es un paralelogramo y que DE II BC. Hay otras dos maneras de resolver ¡1 AD AE Manera I. De la hipótesis tomand tomando o las recípr recíprocas ocas Ud
tU
se obtiene DB _ EC Sumando Sumando 1 en ambo amboss lados lados AD AE DB+AD EC +A E . . se obtiene es decir, AD AE AR Ar ^ ^ o sea que AB: AB:AD =AC:AE. AC:AE. Del Del problem problemaa [J] se s e concluye que BC II DE. DE . Manera
Se traza un segmento DG paralelo_a_ BC desde el punto D hasta el lado AC y se aplica la misma técnica que en [J],
A
F
Relación entre triángulo y proporción
En el A ABC sean D y E puntos en los lados AB y AC respectivamente. _ _ A 1. Si BC II DE, entonces tenemos que: AB:AD =AC:AE =AC :AE = BC BC:DE. :DE. Tam También bién AD:DB = A E :EC :E C . 2. Si AB:AD = AC:AE entonces BC II DE. Si AD:DB = AE:EC entonces BC II DE.
12
(1) En la figura AD = DB yAE = EC.
Demuestre: a) DE II BC. b) DE = j = j BC BC.. (Compare con [E] de la unidad 5). (2) En la figura AD = 2DB y AE = 2EC. Demuestre que: a) DE II BC. b) DE = - | BC.
13
En el dibujo dibujo ÁD II BC BC,, E F II BC y Á E = E B Halle la medida del segmento EF. ^ — 5 cm
9 cm cm 14
En la figura, la bisectriz del ángulo Z A del A ABC corta el lado BC en el punto D y la recta paralela al segmento AD que pasa por C corta la extensión del lado AB en el punto E. Demuestre: 1. AC = AE. 2. AB:AC = BD:DC.
K
En la figura, las tres rectas p , q y r son paralelas. Demuestre lo siguiente: (1) (1) AB:BC AB :BC = AG:GF AG :GF;; GF:AG GF:A G = EF :DE :D E (2) AB:BC = DE:EF ^ ( 1 ) AB:BC = AG:GF; GF:AG = EF:DE En el triángulo A ACF AC F 1. BG IIII C F ............................... Hipótesis 2. AB:BC = A G :G F ................ Por 1 y relación entre triángulo triángulo y proporc proporción ión En el triángulo A FDA 3. AD IIII G E ...............................Hipótesis 4. GF:AG = E F :D E ................ Por 3 y relación entre triángulo y proporción
(2) (2) AB:BC AB :BC = D E:EF E: EF 1. AD II G E ...............................Hipótesis ...............................Hipótesis 2. GF:AG GF:AG = E F :D E ................ Por relación entre el triángulo y proporción (A FAD) .................Razon ....Razones es inversas de 2 3. AG:GF = D E :E F ............. 4. AB:B AB :BC C = D E : E F .............. .................Ig ...Igua ualan lando do 2 (de la la dem demost ostraci ración ón 1) y 3
Re lación lación entre paralelas paral elas y propo rción rci ón
Si p II q II r se da que que A B:BC B:B C = D E:EF. E:E F.
15 Demuestre [K (2)] utilizando utilizando un unaa recta n paralela a la recta m que pasa por el punto A.
En cada una de las figuras de abajo las recta p, p , Encuentre el valor x.
q
y r son paralelas. rD
AC = 12 cm BD = 15 cm
Divida el segmento AB en tres partes iguales usando sólo compás y regla. Haga la demostración.
0
Trazar el rayo AC.
rayo AC marcar marcar 0 En el rayo
® Unir Unir F con con B. con el compás tres Trazar Traza r líneas paralelas segmentos segmentos AD, DE y E F a FB que pasen por con la misma longitud. longitud. D_y D_y E y que corten a AB en G y H respectivamente. _ _
Demostración: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 10.
construcción DG IIII ÉH y EH II F B ......... .......... Por construcción construcción AD = DE = E F .................... .......... Por construcción AD:DE = DE:EF = 1 ......... .......... Por 2 AG :G H =A D : D E ................ .......... Relación entre triángulo y proporción AG:GH = 1 ........................... .......... Igualando 3 y 4 GH:HB GH:HB = D E :E F ................ .......... Relación entre rectas paralelas y proporción GH:HB GH:H B = 1 ............ ................... ............ ........ ... .......... Igualando 3 y 6 AG = G H .............................. .......... Por 5 GH = H B ............................... .......... Por 7 AG = GH = H B ................... .......... Por 8 y 9
Trace un segmento AB y construya un punto C en AB de modo que AC:CB = 2:3. En laflgurajossegmentos AB, PQ y DC sonparajelos. Las medidas de AB y DC son 5 cm y 8 cm respectiva mente. Encuentre la medida del segmento PQ.
D
D
19 En la figura, figura, el cuadrilátero cuadrilátero ABC AB C D es un paralelogramo. AE = EF = FD y BG = GH = HC. Demuestre lo siguiente: 1. El cuadrilátero IJKL es un paralelogramo. 2. JLII BC.
En el dibujo l II m. Demuestre que AC:CE = BD:DF
> m
21
En el dibujo AD IIJ3C, AE = EB y DF = FC. Encuentre la longitud de los segmentos EF y GH.
Se puede demostrar que las tres medianas se cortan en un punto (unidad 4, lección 4, sección con la siguiente estrategia. En la figura dos medianas se cortan en un punto G. Unir los puntos A y G y extender el segmento hasta el punto H de modo que AG s GH. H 1. Demuestre Demuestre que que el el cuadrilá cuadriláter tero o GBHC GB HC es un paralelogramo. 2. Si BC y AH se cortan en un punto J, demuestre que J es el punto medio del lado BC.
9 Secció cción n 5: Aplicación Aplicación de d e la semej semejanza anza de d e triángulo triánguloss
M
Se quiere medir la altura de una torre, pero es imposible hacerlo directamente. Para ello a la misma hora se midió la sombra que proyecta sobre el suelo un poste de 2 m de altura y la sombra que proyecta la torre. La sombra del poste mide 8 m y la de la torre mide 64 m. ¿Cuánto mide la altura de la torre?
Trazando dos triángulos que ilustren la situación tenemos:
xm
Ambos triángulos son semejantes pues dos de sus ángulos son congruentes (Criterio de semejanza \z\). Si los triángulos son semejantes entonces las proporciones de los lados correspon dientes son iguales, igua les, por tanto: „ 2\x 2\x = 8:64 2x64 x x - 8 jc = 16
R: La altura de la torre mide 16 metros. Re 2^
suelva los siguientes problemas. (1) Una mujer de 6 pies proyecta una sombra de 10 pies. ¿Cuál es la medida de la sombra de un poste de 20 pies?
(2) Los ángulos que forma un rayo de luz al refractarse en un espejo plano son congruentes. Si un hombre de 1.8 metros mira la parte más alta de un edificio en un espejo que está a 2 metros de él y a 16.67 m de la base del edificio. Encuentre la altura del edificio.
(3) Para Pa ra medir la parte más larga de un un lago lago un un ingeniero marcó los puntos A, B, CJD y E como lo muestra el dibujo dibujo.. Los Lo s segmentos AB y CD son son paralelos. ¿Cuántos kilómetros mide la parte más larga del lago?
(4) (4) En un mapa, un parque triangular triangul ar mide mide 5, 6 y 7 cm. Al Al ingeniero ingeniero sólo le falta trazar en el terreno el lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 18 y 21.6 metros?
(5) (5) Un niño niño está está a 12 metros de un barco barco y a 1 metro etro de la cerca. cerca . La cerca le sobrepasa 1 me metro tro y mira que la parte parte más alta de ella I está está en línea línea con la parte más alta de la v proa del barco. ¿Cuál es la altura M de la proa del barc barco? o? '« P i
Determine si la recta / es paralela a un lado del triángulo.
Determine la medida que falta suponiendo que la recta / es paralela a uno de los lados del triángulo. 3 cm ^ i cm xcm xc m 12 cm
10 cm cm* cm *
Dos de las alturas del triángulo A ABC AB C se interceptan en O. Demuestre que: (1)AADO~ACEO. (2) A ABE ~ A CBD. Determine qué parejas de triángulos son semejantes.
En la figura el A BCD ~ A DEA, m Z DBC = 70° y m Z EDC = 80°. Encuentre las medidas de los ángulos que faltan.
12 cm
Divida el segmento AB en siete segmentos de la misma medida.
En el A ABC de la derecha los segmentos DG y EF son las mediatrices de los lados C B y AB respectivamente. Demuestre que los triángulos A E B F y A GBD son semejantes.
B
En la figura ubique los puntos A y B de modo que el segmento AB mida 4 cm. Use compás y una regla no graduada.
50/ 50/ 12 cm
Construya un triángulo rectángulo A DEF semejante al triángulo A ABC AB C cuyo lado FE mida 5 cm. ¿Cuánto mide DE?
7 cm cm
5 cm ¿Cuál es la distancia x al velero? 175 cm
Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 1. (
^ Si los lados de un triángulo son el doble de los lados lados de otro otro triángulo entonces son semejantes,
2. (
)> Las La s medidas medidas 3, 8 y 9 corresponden corresponden a los lados de un triángu triángulo. lo. Si las medidas de otro triángulo son 6,16 y 15 entonces los triángulos son semejantes.
3. ((
)| Si dos ángulos ángul os de un triángulo son congruent cong ruentes es con dos ángulos ángul os de otro triángulo entonces éstos son semejantes.
4. (( )) )) Si una recta corta dos lados de un triángulo en forma proporcional entonces es paralela. 5. ([
)) Si dos lados de un triángulo son la mitad de dos lados de otro otro triángulo y los ángulos que forman son congruentes entonces son semejantes.
¿Cuál es la relación entre los siguientes términos? 1. Triángulos semejantes y razones. 2. Triángulos semejantes y ángulos correspondientes. 3. Triángulos semejantes y su forma. 4. Criterios de semejanza y razones. 5. Criterios de semejanza y ángulos correspondientes. 6. Rectas paralelas y semejanza de triángulos. 7. Triángulo y proporción. 8. Rectas paralelas y proporción. C Si D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo A ABC. Demuestre que A ABC ~ A EDF. E En la figura los triángulos A FDE y AABEson semejantes y además AF s FE. Demuestre que AB = 2FD.
Teorema de Pitágoras Lección 1: Teorema de Pitágoras En Egipto construyeron muchas pirámides hace más de 4000 años. Para construirlas construirlas necesitaban trazar ángulos rectos y utilizaban cuerdas con nudos con intervalos iguales. Vamos a investigar por qué podían trazar ángulos rectos de esa manera. 4 Secc Secció iónn 1: Teorem Teo remaa d e Pitágora Pitág orass
A
El dibujo muestra azulejos en un corredor. Fijándose en la parte coloreada encuentre la relación entre los tres cuadrados. Cada uno de los dos cuadrados contiguos a los catetos del triángulo rectángulo lo forman 2 triángulos rectángulos isósceles. El cuadrado grande contiguo a la hipotenusa lo forman forman 4 triángulos rectángulos isós i sóscele celes. s.
En un triángulo rectángulo isósceles la suma de las dos áreas de los cuadrados contiguos a los catetos es igual al área del cuadrado contiguo a la hipotenusa. 1
En el dibujo de la derec derecha ha averig averigüe üe la relación de las áreas entre los tres cuadrados.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. _ 2 a2 +, b.2 = c
Demostración del teorema de Pitágoras: Se traza una altura CD desde el vértice C hasta el lado AB. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 13.
7
Z BCA = Z BDC ................................. Ángulos rectos Z ABC AB C = Z CBD CB D ...................................Es ...................................E s uunn mism ismo o ángu ángulo lo CBD D .................................. Por 1 y 2 (crit (criter erio io de de semejanza B J) A A B C - A CB BC:A BC :ABB = BD:BC BD :BC ............ ................... ............. ............. ...........Por ....Por 3 (BC (B C )2 = AB-BD AB-B D ............. Por 4 y propiedad fundamental de las proporciones Z B C A = Z C D A .................................. Ángulos rectos Z CAB CA B = Z CAD .................................. Es un mismo ángulo A ABC - A ACD .................................. Por 6 y 7 (criterio de semejanza @) CA:AB CA :AB = DA:CA DA:C A ....................................Por 8 (CA (C A )2 = AB DA D A .............. Por 9 y propiedad fundamental de las proporciones (BC (B C )2 + (CA) (C A)22 = AB BD B D + A B D A .... .. .. Sumando 5 y 10 10 ( B C )2 + (CA (C A)2 = (AB (A B)2 ..... .. ............................................Simpl .Simplifica ificando ndo 11 11 y que AB = BD + DA a2 + b2 = (? ............................................... De 12
Si se colocan 4 copias del triángulo rectángulo como en el dibujo de la derecha, los cuadriláteros CDFH y ABEG son cuadrados. Representando el área del último cuadrado en las dos formas siguientes, demuestre el teorema de Pitágoras.
(1) (El área del cuadrado ABEG) = (El área del cuadrado CDFH) - (El área de los 4 triángulos)
B I Encuentre el valor de x e y. (1)
3 cm cm 5 cm
Del teorema de Pitágoras tenemos que: (1) 52+ 32= x 25 + 9 = x2 34 - x x - 34 x - V34 pues x > 0
(2) / + 52= 72 / + 25 = 49 y 2 = 49 - 25 y - 24 y = ^4 pues y > 0 2V66 y = 2V
R: x = V34 cm 3
cm
Encuentre el valor de x en cada dibujo, ( 1)
(3)
(2 )
3 cm cm 4 cm
4
Encuentre el valor de x.
xcm xc m
5
Encuentre Encue ntre las medidas de PB, PC, PD, PE, PFyPG.
En la primera página de esta lección aparece el dibujo de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5. Estos números satisfacen la conclusión del teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52, y el ángulo comprendido entre los lados que miden 3 y 4 es un ángulo recto. Veamos si se puede decir esto mismo en general.
Recíproco del teorema de Pitágoras Si en el A ABC se da que BC = a, CA = b, AB = c y a2 + b2 = c2 entonces m Z C = 90°.
Demostración del recíproco del teorema de Pitágoras: Se a A DEF un triángulo cuyos dos lados EF y DF Sea miden a y b respectivamente y el ángulo Z F comprendido entre ellos mide 90°. Sea x la medida del lado DE, entonces: 1. a2 + b2 = x2 ................... Teorema de Pitágoras 2. a2 + b2 b2 = c2 ................... Por hipótesis 3.x2 = c2 ( x > 0, c > 0) .... ... . Igualando Igualando 1 y 2 4. x = c ................................ De 3 5. AC = DF, BC = EF ..... Por construcción 6. A ABC = A DEF DE F .......... Por 4 y 5 (criterio de congruencia LLL) 7. m Z C = 90° .................P .......... .......Por or 6 .
Una proposición que se obtiene intercambiando la hipótesis (en el caso del teorema de Pitágoras: m Z C =90°) y la conclusión (en este caso a2 + b2 = c2) c2) de un teorema se llama recíproco del teorema.^ Abajo están dadas las medidas de los tres lados de varios triángulos ¿Cuáles triángulos son rectángulos? ( 1)5c 1) 5cm, m, 7cm, 8cm 8c m
(2) 1 cm, cm, V2 cm, V5 cm
(3) 3 cm, 7.2 cm, 7.8 cm
(4) (4) - |, 5 , ^
(5) (5) 0.3 0.3, 0.4, 0.4, 0.5
(6)12,15,18
(7) (7) V 3 , V 4 , V5
(8)1, V3, 2
(9) 4, 5, 6
(10)2, V8, 2
El cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Encuentre las medidas de los lados del A C EF. EF . ¿ E s un un triáng triángulo ulo rectángu rectángulo? lo?
% Sección 2: Aplicación del teorema de Pitágoras
C1
Encuentre la medida de la diagonal de un rectángulo cuyo largo y ancho miden 8 cm y 5 cm respectivamente. Seaa x cm la medida de la diagonal AC. Se El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que: 52 + 82 = x2 25 + 64 = x2 . 89 = x 2 x2 = 89 x =V89 puesx>0 R:V89cm
2
Encuentre la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 4 m. D Sea y Sea y m m la medida de la diagonal AC. El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que: 42
+ 42 = y
2
16 + 1 6 = / 32=.y2 y2 = 32 y = V32 pues>> > 0 y = 4^2 4^2 R : 4V2 4V 2 m 8
Encuentre Encue ntre la medida medida de la diagonal diagonal de los siguientes siguientes rectángulos.
Encuentre la medida de una altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. Sea D el punto medio del lado BC. A ABD = A ACD por LLL. De esto los ángulos Z ADB y Z ADC son congruentes y suplementarios por lo tanto son rectos.
En el A ADB si AD = h cm, por el teorema de Pitágoras se tenemos: A h2 + 52 = 102 / h2 = 100-25 10 cm ^ 4= /1 / 1 0 cm h2 = 75 h = V75 pues h > 0 / / h = 5^3 B n i i, C R: 5V3cm i cm D 10 Encuentr Encu entree el área del del triángulo triángulo A ABC de [D], 1^ En el dibujo dibujo AB = AC = 10 cm y BC B C = 6 cm. (1) Encuentre la medida de la altura sobre el lado BC. (2) Encuentre el área del triángulo A ABC. 12 Encuentre el valor de x e y en cada triángulo. (2 )
A
A
x 30° y / / W / 60f B 6 cm 13 Encu Encuen entr tree eell área del triángulo cuyos cuyos lados lados m miden iden 12 cm, 14 cm y 15 cm siguiendo los pasos dados a continuación: Sea AD la altura sobre la base BC. Sea x Sea x cm cm la medida de BD y h cm la medida de la altura. 1. Aplique el el teorema de de Pitágoras Pitág oras a dos triángulos rectángulos: A ABD y A ACD. 2. De las dos ecuaci ecu acione oness obtenidas en el paso 1, 1, elimine la variable h y escriba una ecuación en términos de x. 3 Encuentre el valor de h y el área del A ABC.
/ h cm 15 cm
12 cm L
B
c r
D14 cm
El dibujo de la derecha representa un prisma cuyos lados AE, EF y FG miden 3 cm, 5 cm y 4 cm respectivamente.
3 cm
(1) En el triángulo rectángulo A EFG encuentre
la medida x medida x cm cm del lado EG.
El Z EFG del A EFG es recto, así que por el teorema de Pitágoras: 52 + 42 = x2 x2 = 41 como como x > 0 x
= V4T
R: V 4 ? cm
(2) En el triángulo rectángulo A AEG encuentre la medida y cm del lado AG. El Z AEG del A AEG es recto así que, por el teorema de Pitágoras: 32 + x2 = y 2
9 + 41
=y2
y 2 = 50 y
como como y > 0 = V50 V5 0 = 5 V2
R: 5^2 5^ 2 cm
Los dibujos (1) y (2) representan un prisma rectangular y un cubo respectivamente. Encuentre la medida de AG en cada caso.
(1)
B
(2 )
D
H
10 cm / G
x3 cm
' 4 cmy E
El dibujo de la derecha representa un prisma rectangular cuyos lados AE, EF y FG miden 8 cm, 6 cm y 4 cm respectivamente. respectivamente. Si AP = 1 cm y GQ = 2 cm ¿cuál es la medida de PQ?
El dibujo de la derecha muestra una pirámide. La base ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm y la arista OA mide 5 cm. Encuentre la medida de la altura OH (la altura es el segmento que va desde el punto O hasta la base y perpendicular a ésta). El punto H coincide con el punto donde se cortan las diagonales AC y BD. Como m Z ABC = 90° aplicamos el teorema de Pitágoras al A ABC. Si AC mide jc cm, entonces: 42 + 42= x 2 x2 = 32 como x > 0 x =V32 jc =4V2 El A OHAes un triángulo rectángulo con ángulo recto Z OHAy los lados OÁ y AH miden 5 cm y - j = 2 V2 cm respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la altura. Sea 7 cm la medida de OH,entonces: y 2 + (2V2)2
= 52 y 2 - 17 como y > 0 R: VÍ7 cm y - VÍ7
Se sabe que A C = x = 4 V2 y que las diagonales AC y BD ^ del cuad cuadra rado do se biseca bisecan, n,* por po r lo tan tanto AC A9C _ j 9l = 4^2 4^9 2 _ 2 V2 . r De esto se deduce que AH = 2 V2. M Encuentre la medida de la altura de una pirámide cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado y cuya arista OA mide 8 cm.
Encuentre la altura de un cono que tiene las medidas mostradas en el dibujo.
¿Cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos?
K
Un señor tiene un terreno con la forma de un triángulo rectángulo y necesita saber la longitud del lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 210 m y 280 m?
Encuentre la longitud del lado AB en los siguientes triángulos rectángulos. (1 )
(2 )
Explique cómo se demuestra el teorema de Pitágoras empleando la siguiente figura.
(4)
(5)
Encuentre las medidas de los _ segmentos AG, HE, FC, FE y HB que faltan en la siguiente figura. F
Evaluación é
Determine si la relación entre los lados de los triángulos rectángulos siguientes es correcta o no. (4)
2
, ;2 _
2
a +b - c
&
,
2
r 2
_ /2
2
e +f - a
_ 7 2 ,
.2
g - h + i
Si el triángulo A ABC es rectángulo determine la medida del lado que falta. (1) S i AB = 4 (2) Si BC = 4 (3) Si AB = 12 (4) Si AB = 3 (5) Si AB = VÍO
y y y y y
BC BC = 6 AC = 10 AC A C = 16 BC = V7 BC = VlO
entonces enton ces A C = _ entonces AB = ___ entonces enton ces B C = ___ entonces enton ces A C = _ entonces AC = _ _
Dé 5 ejemplos de tres números que sean las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. ¿Qué altura tiene la ventana si la escalera tiene una longitud de 5 m y se apoya en el suelo a 2 m de la pared?
Empleando regla, compás y un un cuadrado cuadrado de 1 cm x 1 cm trace segmentos que que tengan una medida de V2 cm, V3 cm, V5c V5 c m, Ve cm y V7 cm. Conteste. 1. ¿Qué ¿Q ué expresa el teorema de Pitágoras? Pitá goras? 2. ¿Qué ¿Q ué expresa expr esa el recíproco recíproco del del teorema de Pitágoras? Pitá goras?
por ciento
Escribamos el número que va en la casilla. (1) La (2) La (4) La (6) La
razón de un número a se llama por por ciento (%'o . razón equivale a 1%. (3) La razón 0.34 equivale a %. razón de 28 a 50 es %. (5) La razón de a 40 es 15%. razón razón de 12 a es 30%. (7) La razón razón A equivale equivale a %
é Lección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1 9 ) Secc ección u Tanto Tan to po r ciento m ayor ay or qu e 100 y menor que 1
A1
Juan pesa 50 Kg y Alicia pesa 40 Kg. ¿Qué por ciento es la razón del peso de Juan al peso de Alicia? -ioc 50 + 40 = 125 = ] § = 125%
0 40 50 ,---------------------- ,----- ,------Kg ------Kg i --------------1 --- 1--- %
0
100 g25)
R: Juan pesa el 125% del peso de Alicia.
Cuando la cantidad comparada (peso de Juan) es mayor que la cantidad básica (peso de Alicia) el por ciento es mayor que 100.
2
En el aire el 0.93% es argón. Si hay 24 Ib de aire en un neumático ¿cuántas libras de argón hay en el neumático? 100 _ 24 . 0 93 x
.
_ 0.93 x 24 _ n 00~ 00 ~0 _ n 00 % 100 100 "" ~ 0.22 0 (022) 24 Yr-------------------------------------1
---------
R: Hay 0.22 libras de argón.
Ib
------------- % h— ----------------------------------------------------------------------------------1 ------1
0 0.93 0.9 3
100
Resuelva.
1
(1) ¿Cuál es el 125% de 300? (2) ¿Qué por ciento representa 69 de 30? (3) Un número es el 0.2% de 4000. ¿Cuál es ese número? (4) Lesli gana 36 lempiras diarios más que Alicia. Si Alicia gana 120 lempiras ¿qué por ciento gana Lesli con respecto a lo que gana Alicia? (5) En 30000 g de aire hay únicamente 9 g de anhídrido carbónico. ¿Cuál es el por ciento de este gas en el aire? (6) Según lo planeado un viaje duraba 3 horas. Debido a los imprevistos en el viaje, éste se prolongó 36 minutos más. ¿Qué por ciento representa el tiempo real del viaje con respecto a lo planeado? (7) Josu Jo suéé obtuvo obtuvo 91 puntos que representan representan el 130% de la calificación calificación obtenida por Carlos. ¿Cuántos puntos obtuvo Carlos?
^ Secc Secciión 2: Conversión entr e ntree tanto tan to po p o r ciento y fracciones
B1 4
Exprese la razón 235% en forma decimal y como fracción.
235% =
=2.3 =2.35;
2.35 .35 = H
=§
2
Exprese la razón 3.87 y 0.0047 en por ciento. a o o7 _ 3.87 x 100 100 _ _38 _3877 _ , fi7 fi70/ y ¡ 3.871Q0 - 10Q - 387/o 387/o 0.0047 = QQ041 041qq-1Q0 1Q0 =
3 J f 2
Exprese la razón y
= 0.47%
-4- en por ciento. Redondee la respuesta a décimas.
= 1.3333333... 1.3333333 ... = 1.333 =
= 133.3%
Expr Ex pres esee los por por cientos dados en forma forma decimal y fracción. fracc ión. (1)12.5% (5)0.45% (9)188%
(2)17.5% (6)0.8% ( 6)0.8% (10)0.75%
(3)72% (7)112% (11)310% (11)310%
(4)92% (8)145% (12)0.83%
Convierta a por ciento.
(D |
(2 )f
(3 )2
(5) |
(6) 1.07 1.0755
(7)2.26
(8) | 2
(10 )0.00 5
(11)0.0013
(12) (12) 1.24 1.24
(9)0 .65
(4)|1
|¡H Resuelva. (1) ¿Qué por ciento representa 98 de 80? (2) ¿Qué por ciento representa 20 de 64? (3) ¿Qué por ciento representa 2 de 400? (4) Gerardo tiene el 135% de la edad de Jorge. ¿Qué edad tiene Gerardo si Jorge tiene 20 años? (5) Luis tiene 27 años y Fabricio 18. ¿Cuál es el por ciento de la edad de Luis respecto a la de Fabricio? (6) Víctor tiene tiene
veces vec es la edad edad de René. Ren é. ¿Cuál ¿Cu ál es la edad edad de René si Víctor
tiene 39 años? ¿Qué por ciento representa la edad de Víctor con respecto a la de René? ( | j j | Convierta Convierta a por cient ciento. o. [( 1 ') — 40 (5)1.4
400 400 (6) 0.004
( 7)1. 81
(8 ) 0.0021
( 2)21%
(3) 348%
(4) 0.6%
(3)50 (3) 5000
(4) 150
Convierta a fracción. (1)115% O
¿Qué ¿Qué por cciento iento representa 400 de...? (1)300
m
(2) 350
¿»
<1 4 cm
3 cm cm '——8 cm
5 cm cm
Con las figuras de | 0 calcule el por ciento ciento del del área me menor nor con con respecto a la mayo mayor.r.
Evaluación Ordenar de mayor a menor los siguientes datos. 23.4%, 2.42, 0.0034, 20.34%, JLy 1 . 2 5 £
O
Escribir los siguientes por cientos como decimales o viceversa. (1)3. 3%
(2)0.014
(3)170%
(4)0.4213 (4)0.4213
(5)2%
¿Cuál número es el 0.8% de 35?
< 1 Complete la siguiente tabla tomando el 5000 como base. Número
5000
Por ciento
100%
Fracción
1 1
Decimal
1
6500 0.005% 17 25
n c ^ 4
¿Cuál es la cantidad más próxima al 350% de 500 si las opciones son 1420,1650, 2000 y 2500? ^
¿Qué po por cien ciento to repres represent entan an las siguient siguientes es figuras? figuras? (1 )
(2 )
(3)
(4)
0%
100%
0%
10 0%
0%
0%
100%
100%
Organización y presentación de datos 9 Lección 1: Organiza Organización ción y presentación de datos q, Sec Sección ión i: Tabla T abla de d e frecuencia frecue ncia
A
,
En un corral hay 20 gallinas y cada una se identifica con una letra. La tabla de la derecha muestra la cantidad de huevos que cada gallina puso la semana pasada. Complete la tabla que representa la cantidad de huevos y la cantidad de gallinas que pusieron esa cantidad de huevos.
Cantidad Gallina de huevos A 9 B 8 C 5 D 8 E 7 F 9 G 8 H 10 I 7 J 10
Cantidad de huevos Cantidad de gallinas
5 6
7
Cantidad de huevos Cantidad de gallinas
5 6 1 2
7 8 9 10 11 4 6 3 3 1
Cantidad Gallina de huevos K 11 L 7 . M 8 N 10 N 8 O 6 7 P 6 Q R 8 S 9
8 9 10 11
A tablas como la anterior que representa la cantidad de cada valor de los datos se les llama tabla de frecuencia.
y
Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos hipotéticos elabore una tabla de frecuencia. (1) Duración en días de los vuelos de los transbordadores espaciales. 8,14 ,11, 14,1 0,11, 10, 8,16, 8,16, 9, 9, 8,10,15, 8, 8, 8,15, 8,15, 9 (2) Suma de los puntos de dos dados lanzados en 20 ocasiones. 2,4, 5, 6, 7, 8, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9,10, 6, 7, 8, 9,10,11 (3) Goles anotados en 17 jornadas de la Liga Nacional. 6,7, 5,8, 3, 9,6, 7, 5, 8, 4, 6, 7, 8,10, 6,7
Cuando la cantidad de los datos es grande y queremos captar la característica de ellos se deben agrupar.
B
La lista de la derecha muestra la estatura de 40 estudiantes. Complete la siguiente tabla que muestra intervalos de la estatura divididos de 5 cm en 5 cm y la cantidad de estudiantes que tienen la estatura correspondiente. Estatura (cm) Cantidad de Mayor o Menor igual que que estudiantes ' 40 * 45 ' 45 ' 50 55 50 60 55 * 65 60 70 65 75 70 75 80 40 Total Estatura (cm) Cantidad de Mayor o Menor igual que que estudiantes * 45 * 40 1 2 50 45 ' 4 55 50 ' 60 ' 55 8 * 13 60 65 8 70 65 ‘ 70 3 75 * 75 1 80 40 Total
Número Estatura Número Estatura de de (cm) (cm) lista lista 169.4 1 163.2 21 2 169. 0 22 151.2 161. 9 23 164.3 3 157.4 24 4 146.3 167.2 163.4 5 25 162.9 26 155.9 6 151.2 27 176.4 7 168. 4 28 162.8 8 29 148.1 9 162.3 158.2 30 155.3 10 153.7 160.5 11 31 164.1 32 163.0 12 33 154.9 13 159.8 159.4 174. 2 34 14 170.4 160.0 35 15 167.8 143.2 36 16 37 157.2 17 156.4 166.4 162.5 38 18 39 168.8 160.3 19 165.4 40 20 173.5
8
A cada grupo de datos se le llama clase y a la cantidad de datos de cada clase se le llama frecuencia. En la tabla anterior las clases son: 140-145, 145-150 ....... 175-180. La frecuencia de la clase 155-160 es 8 y de la clase 160-165 es 13. Conteste las siguientes preguntas con la información de la tabla anterior. (1) ¿Qué clase tiene mayor frecuencia? (2) ¿Qué cantidad de estudiantes hay con estaturas menores que 160 cm? (3) ¿Qué cantidad de estudiantes hay con estaturas mayores o iguales que 150 cm?
polígono no de frecue frecuenc ncia ia % Sección 2: Histograma y polígo
La tabla de frecuencia anterior se puede representar en forma gráfica como se muestra a la derecha. A este tipo de gráfica se le llama histograma.
Frecuencia 15 4-
10-
Un histograma es muy similar a la gráfica de barras. La diferencia es que en el histograma no hay separación entre las barras.
140 150 160 170 180 cm 145 155 165 175 185
Frecuencia
Uniendo los puntos medios de los lados superiores de las barras en el histograma, agregando una clase más a la izquierda y otra a la derecha con frecuencia 0 se obtiene una línea poligonal cerrada. A éste tipo de gráfica se le llama polígono de frecuencias.
3
Con los los datos siguientes elabore elabore una una tabla de frecuenci frecu encias, as, trace el el histograma histograma y el polígono de frecuencia correspondiente. (1) Pesos en libras de 50 niños al nacer. 9, 6, 6, 8, 8, 4, 8, 4, 7, 9, 8, 5, 8, 8, 7,10, 11, 8, 7, 9, 9, 9,10, 5,4, 5, 6, 9, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 8, 5, 7, 8, 7, 8, 9, 9, 9,10, 8, 7, 7, 7, 8, 8 (2) Temperaturas en grados centígrados en un país . 13,14,17,12,16, 21,19,14, 20,18, 20,19,16, 20,19, 16, 14, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 20, 20, 19, 21 (3) Duración en minutos de 42 discos compactos. 41, 45, 43, 48, 42, 42, 48, 44, 49, 45, 50, 42, 44, 41, 45, 43, 47, 43, 52, 51, 48, 43, 41, 49, 55, 69, 67, 60, 49, 54, 47, 43, 53, 52, 56, 62, 65,42, 48, 54, 60, 43
4
Trac Tr acee el histograma y el polígono polígono de frecuencia correspondiente a la tabla de la derecha.
Ahorro (L.) 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000 Total
Familias 2 10 24 28 32 4 100 100
Ahorro de 100 familias en 3 meses
^ Sección 3: Frecuencia relativa La tabla de la derecha muestra una distribución de frecuencia de las estaturas de los estudiantes de las secciones A ([B]) y B. ¿Se pueden comparar las frecuencias? No, porque los totales son diferentes.
Estatura (cm) Mayor o Menor que igual que que 35 40 45 40 45 50 50 55 60 * 60 65 ‘ 65 70 70 75 75 80 Total
Frecuencia (personas) Sección Sección A B 0 2 4 1 2 7 4 15 8 20 13 16 8 { _ { _ 11 5 3 1 0 40 80
Una forma de comparar las frecuencias es considera consi derarr en en cada cla c lase se la razón: fre(^ fre(^uer]cia uer]cia total en lugar de la frecuencia. A este valor se le llama frecuencia relativa.
Frecuencia relativa es el valor que se obtiene dividiendo la frecuencia de cada clase entre el total.
En la tabla de la derecha se muestra la frecuencia relativa de la sección A. A esta tabla se le llama tabla de frecuencia relativa.
Estatura (cm)
Frecuencia relativa (personas)
Mayor o Menor Secc Secció iónn Sección igual que que A B ' 35 140 0 ‘ 40 145 0.025 ' 45 0.05 150 150 i 50 0.1 155 155 0.2 160 160 55 • 60 0.325 165 165 • 65 0.2 170 170 0.075 70 175 180 0.025 75 1 Total
El cálculo de la frecuencia relativa es: 40 =
40 = 0 025, 025,
= 0.05 0. 05,,
= 0.1, 0. 1,
= 0.2, 0. 2,
= 0.32 0.325, 5,
La suma de todas las frecuencias relativas es 1. Para una mejor interpretación las frecuencias relativas se convierten en por cientos. > 5
Complete la tabla de frecuenci frecu enciaa relativa relati va para la sección secc ión B.
= 0.07 0. 0755
<
También se puede construir
0.4
el polígono de frecuencia relativa trazando la línea poligonal con los datos de la tabla de frecuenc frec uencia ia relativa. relat iva.
025
La gráfica de la derecha es el polígono de frecuencia relativa de la sección A. 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185
Trace el polígono de la frecuencia relativa de la sección B y compárelo con el de la sección A. Complete las siguientes tablas de frecuencia y trace el polígono de frecuencia relativa.
(1) Talla en centímetros de 35 estudiantes Tallas (cm)
Frecuencia
145-150 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 Total
1 3 5 12 8 4 2 35
Frecuencia relativa
(2) Cantidad de equipos equipos de sonidos vendidos vendidos en las tiendas A y B Precio (L.) 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000 3000-3500 3500-4000 Total
Frec Frecuen uenci ciaa Frecuencia re relativa Tienda Tienda Tienda Tienda B A B A 5 3 9 10 11 7 12 8 9 10 7 9 50 50
cm
9 Lección 2: Extracción Extracció n de la información Para representar la característica o la tendencia de los datos de un grupo o para comparar los datos de dos o más grupos se utilizan varios valores. 9 Secc Secció iónn i: Mod M odaa
A
Número de Cantidad de estudiantes veces de En una escuela se realizan actividades Sección Sección actividad al al aire libre. Los estudiantes de cada aire ibre A B sección deciden mediante votación 1 0 1 cuantas veces lo harán en el año. 2 4 0 La tabla de la derecha muestra el 3 2 2 resultado de la votación de las 4 11 5 secciones Ay B. 5 5 8 7 6 8 En la sección A el valor más frecuente 7 0 7 es 4 pues obtuvo 11 votos. 8 3 4 1 9 3 En la sección B los valores más frecuentes 0 1 10 son 5 y 6 pues fueron los más votados Total 33 39 con 8 votos cada uno.
La moda de un conjunto de datos es el valor más frecuente. Si todos los datos tienen la misma frecuencia la moda no existe. Si un conjunto de datos tiene una sola moda, ésta se llama unimodal; si tiene dos, bimodal, etc. La moda de la sección A es 4. La sección B tiene dos modas: 5 y 6. En [A] [A] de la la lección lección 1 ¿cuál ¿cu ál es e s la mod modaa de la la cantida cantidad d de huevos?
2
Calcu Ca lcule le la moda moda en los siguientes siguie ntes conjuntos de datos. (1) Edad en años de los estudiantes del centro de educación básica “José Cecilio del Valle”. 14,12,16,11,13,18,18,16,16,15,12,13,11, 12,14,11,15,14,12, 15,11 15,11,10 ,10,, 9,15 ,14,1 8 (2) Del ejercicio 1 de la lección 1.
j Sección ión 2: Media
En sexto grado aprendimos la siguiente fórmula para calcular la media o promedio de un conjunto de valores numéricos. MoHI_ _ Suma Sum a del del valor de los datos Cantidad de los datos
B1
En [A] de de la lección 1 vamos a encontrar encontr ar la media media de de la cantidad cantidad de de huevos aprovechando la tabla de frecuencia. Cantidad de huevos Cantidad de gallinas
5 6 1 2
7 8 9 10 11 4 6 3 3 1
De la información de la tabla se sabe que 2 gallinas pusieron 6 huevos cada una, por por lo lo tanto, tanto, en lugar de sumar separadam separ adament entee 6 + 6 se multiplicará 6 x 2 para calcular la cantidad de huevos que pusieron estas 2 gallinas. Generalizando esta conclusión tenemos que: La suma del valor de los datos = suma de los productos (valor x frecuencia). Por otra parte, La cantidad de los datos = suma de las frecuencias. Por lo tanto, M-Hi-, _ 5 x 1 + 6 x 2 + 7 x 4 + 8 x 6 + 9 x 3 + 1 0x 3 + 11x1 _ 161 Qnc Qnc Media 1 + 2 + 4 + 6 + 3 + 3 + 1 " 2 0 “ 805 80 5 La cantidad media de huevos puestos por gallina es 8. 3 : Encuentr Encu entree la me media dia de los datos de [A] [A] en cada una de las secci se ccion ones es.. [B] de la lección 1 vamos 2 En [B] vamo s a encontrar el valor aproximado aproximado de la la media media de la
tabla de frecuencia.
Como la frecuencia representa la cantidad de los valores de los datos que caen en cada clase, se usa el valor medio de este intervalo. El valor medio de la clase 140-145 es 142.5 por tanto, la media es igual a: 142.5 142.5 x 1 + 147.5 147.5 x 2 +152 + 152.5 .5 x 4 +157 + 157.5 .5 x 8 + 162.5 162.5 x 13 13 + 167.5 x 8 + 172.5 172.5 x 3 + 177.5 177.5 x 1 1 + 2 + 4 + 8 + 13 + 8 + 3 + 1 = ^ = 161. 375*161. 4 De lo anterior se deduce que la altura media de los estudiantes es 161.4 cm.
4
Encuentre Encue ntre la media de la estatura estatur a de los estudiante estu diantess
(1) de la lección 1).
5x Calcule Calc ule la media media según los datos mostrado mostradoss en las tablas siguientes.
(1)
(2)
Velocidad Número de (km/h) vehículos 60-70 5 70-80 4 80-90 7 90-100 11 100-110 8 110-120 5 Total 40
Duración (s) Cantidad llamadas de telefónicas llamadas 0-30 2 30-60 6 4 60-90 2 4 90-120 120-150 6 Tota 50
6"< En E n el ejemplo ejemplo anterior [B2] la media media calculada calc ulada de los datos originales es 161.4 cm. Verifique que la la diferencia diferencia entre entre las dos medias calculad calc uladas, as, una con los datos datos originales y la otra con los datos de la tabla de frecuencia no es mayor que: Tamaño del intervalo de clase
9 Secc Secció iónn 3: Med Me d iana ian a
C1
En [B] de la lección lección 1 las estaturas e staturas (en cm) de los los estudiantes cuyo núme número ro de de lista lista es de 1 a 5 son son 163 1 63.2 .2,, 169. 16 9.0, 0,16 161. 1.9, 9,157 157.. 4 y 167.2. 167.2. Orden Ordenan ando do estos dato datoss de menor a mayor nos queda: 157.4,161.9,163.2,167.2,169.0 Al valor 163.2 se le llama mediana de estos datos ya que queda en el centro.
La mediana es el valor que queda en el centro cuando se ordenan los valores de los datos de menor a mayor. En el mismo problema, si se añade la estatura del sexto estudiante los valores ordenados son: 157.4,161.9,162.9,163.2,167.2,169.0 En este caso no hay un valor central único sino dos: 162.9 y 163.2 por lo que se calcula su prom promed edio io y ese es e valor será la mediana, mediana, es decir, decir, 162.9 + 163.2 _ 326.1 326.1 «16 « 163. 3.11
Cuando hay un número par de datos la mediana es el promedio de los dos valores de los datos centrales.
Calcule la mediana de los siguientes datos: (1) 72, 65, 71, 56, 56, 59, 63, 61, 70, 52, 49, 49 , 68, 55, 50 (Pes (P eso o de de 13 13 alumnos alumnos en en Kg). (2) 2 , 1 , 1 , 0, 0, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 6, 2, 3, 3, 3, 3 , 1 , 0, 0 (Goles (Gole s de de un un equip equipo o de fútb fútbo ol en en 16 partidos). (3) (3) 15 3, 16 9, 172, 17 2, 158, 15 8, 163, 16 3, 150, 15 0, 165, 16 5, 171, 17 1, 17 0,16 0, 16 3 (Al (Alttura en cm de 10 alu alumn mnos os).). (4) 4, 2, 3 , 1 , 0, 3, 4, 2, 2 , 1 , 1 , 3, 2, 5 (Lápices (Lápic es tin tinta ta en 13 bolsones bolsones escolares). escola res). En [B] de la lección 1 vamos a encontrar la mediana mediana de todos todos los datos. datos. La mediana es el promedio de los valores del vigésimo y vigésimo primer dato. De la tabla de frecuencia se sabe que estos valores caen en la clase de 160-165. Hay dos maneras de realizar este cálculo: Manera I: Colocar todos los datos de esta clase ordenados y buscar el vigésimo y vigésimo primer dato. Estos son 162.3 y 162.5 por lo tanto, la mediana es: 162.3 + 162.5 _ 162.4 2 Manera II: En la clase 160-165 hay 13 datos y hay que calcular el promedio de su quinto y sexto dato (que corresponden al vigésimo y vigésimo primer dato). Suponiendo que los datos están uniformemente distribuidos como se muestra a continuación.
160 Se calcula la mediana de la siguiente manera:
Valor inicial de la clase
165
Tamaño del intervalo Mitad de la cantidad donde cae la mediana de los datos * (165- 160) -►160 +----------- - x ( 2020 - 15) 15) = 161.923 « 161.9 161.9 13 T Frecuencia del del interv intervalo alo 1— Suma de las frecuencias de la mediana mediana de las clas cl ases es anteriores
L
La mediana calculada con la manera II es 161.9 cm que es una buena aproximación a la calculada con la manera I (162.4 cm). Calcule Calcu le la mediana mediana según las tablas de frecuencia del del ejercicio 4 y ( r (1) de la lección 1 y 5 de la lección 2.
D
En un examen de matemáticas 10 estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones. Número de lista Calificación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 70 95 5 75 70 60 10 o c 0 85
Calcule la media y la mediana y compárelas. Medj Medjaa _ 80 + 70 + 95 + 5 + 75 +^70 + 60 + 10 + 90 + 85 _ 640 “
10
= 64
Mediana = 72.5 porque al ordenar los datos tenemos: 5,10, 60, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 95 y el promedio de los valores valore s centrales central es es 70 + 75 _ 72.5 72 .5 De la tabla de frecuencia de la derecha se sabe que los datos tienden tienden a calificacion cali ficaciones es altas. En este caso no puede decirse que la media sea un valor que refleje bien la característica de este grupo ya que está fuertemente influenciada por los datos excepcionalmente bajos (calificaciones de 5% y 10%).
Calificación Frecuencia 0-10 1 10-20 1 20-30 0 30-40 0 40-50 0 50-60 0 60-70 1 70-80 3 80-90 2 2 90-100
9'^ Calcu Ca lcule le la moda, media media y mediana mediana de los siguientes datos y compárel compá relas. as. (1)4 ,8,1 1,13 ,14,1 4,14 ,15,1 7, 20 20, 24 24 (2) 87, 87, 87, 87, 87, 82, 82, 82, 82, 80,110, 80, 80, 78, 89, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 95, 95, 100,79 ,79, 120 10 Calcule Cal cule la media media y la mediana mediana en las tablas de de frecuencias frecuen cias siguientes y compárelas. Clase Frecuencia 1 1-3 2 3-5 3-5 5-7 5-7 3 7-9 7-9 5 9-11 8 Total 19
(2)
Clase Frecuencia 15-18 16 18-21 10 21-24 6 24-27 4 27-30 2 38 Total *¡57
Organice los datos dados en una tabla de frecuencia y trace el histograma y el polígono de frecuencias. Luego calcule la moda, la media y la mediana. (1) 5, 9, 8, 8, 8, 9, 9, 7, 7 , 1 , 3, 5, 3, 3, 9, 6, 6, 9, 9, 9, 7, 5, 5, 2, 2, 2, 7, 8, 8, 5, 7, 7 , 1 , 4 , 6, 6, 3, 3, 8, 6, 6, 3 (2) 49, 47, 45, 45, 42, 48, 48, 42, 43, 45, 46, 43, 44, 43, 45, 43, 42, 47, 40, 45, 40, 40, 41, 45, 44, 44, 44
Calcule la moda, la media y la mediana según la información dada en las tablas de frecuencia. Dato Frecuencia 4 1 5 2 6 3 7 2 8 5 9 2
(3)
Dato Frecuencia 4 2 5 4 6 6 7 6 8 6 9 6 10 4 11 3
Dato Frecuencia 15 3 16 3 17 3 18 6 19 9 20 3 21 3
(4)
Dato Frecuencia 7 3 8 7 9 2 10 2 11 0 12 2 13 1
Con los siguientes datos elabore la tabla de frecuencia (datos agrupados), trace el histograma y el polígono de frecuencia y calcule la media y la mediana. 15, 20,15, 8,15, 5,19,16,12, 6, 7,15,19, 2,19,16,1,18,14, 0, 5,10, 3,10,1,13. 12,17,1,11,18, 15, 5,18, 4, 3, 9,10,10,1,14,16,12,11,14,12,10, 5, 6, 6
Trace el histograma y el polígono de frecuencia, luego calcule la media y la mediana según los datos de la siguiente tabla. Calificación Frecuencia 30-40 3 40-50 4 50-60 6 60-70 9 70-80 17 80-90 6 90-100 5
Trace los polígonos de frecuencia relativa de los siguientes datos y compare los resultados. Frecuencia Calificación Secci ección ón A Sección ión B 9 3 30-40 4 9 40-50 12 6 50-60 17 9 60-70 17 17 70-80 8 6 80-90 8 90-100 5 80 50 Total
Los siguientes datos son los salarios diarios de 30 peones ayudantes de albañilería. 70, 80, 90, 95, 80, 60, 50, 65, 60, 60, 60, 75, 75, 85, 85, 75, 80, 80, 100, 70, 70, 80, 80, 80, 75, 95,100, 80, 60, 80. Trace el histograma de frecuencia y el polígono de frecuencia, calcule la moda, la media y la mediana.
¿Qué conclusiones puede puede saca sa carr de de la la info inform rmac ación ión del del ejercicio ( I 7
Los valores: 60, 70, 83, 85, 90, 90 y 500 representan un conjunto de datos. Sin efectuar cálculos, ¿cuál se ve más afectada si se elimina el dato 500, la moda, la media o la mediana? ¿Qué ventajas o desventajas hay si se organizan o no los datos en clases o intervalos? ¿Qué dato falta para que la media sea igual a 19? 24,13,17,1 24,13,17,18, 8, 24 24, r n La media de la edad de un grupo de 10 alumnos es 24 años. Llegan 4 compañeros más y la media se incrementó a 26 años. Después se le agregó al grupo su profesor y la media llegó a ser 27 años. ¿Cuál es la edad del profesor? Conteste las siguientes preguntas de acuerdo a la información mostrada. Clase (edad) 1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 Total
Frecuencia 3 5 8 3 1 20
Frecuencia relativa 0. 15 0.25 0.40 0.15 0.05 1
Media = 9.8 Mediana = 10
(1) ¿Qué ¿Q ué dato se encuentra encu entra exactamen exac tamente te en la mitad mitad de la distribución? (2) ¿Qué ¿Q ué por ciento de de los datos son 13 o están arriba arr iba de 13? (3) ¿En ¿E n qué clase se ubica la media? ¿Y la mediana? (4) ¿Qué ¿Q ué datos abarcan el 80% de los datos? (5) ¿21 pertenece o no a los los datos? dat os? (6) ¿Qué ¿Q ué por ciento ciento de de las edades puede tener 9 años? (7) ¿Entre ¿En tre cuáles edades oscilan oscilan las más comunes?
Escriba una frase empleando correctamente los términos que se enlistan a continuación. (2) Tabla de frecuencias (4) Distribución de frecuen fre cuencia cia (6) Frecuencia relativa (8) Media (10) Frecuencia
(1) Polígono de frecuencias (3) Clase (5) Histograma (7) Moda (9) Mediana
Calcule la moda, la media y la mediana de los siguientes datos. 4,17,15,15,15, 20, 10,11,10, 20, 25,19,11, 6, 7, 3, 8, 3,11,14,14, 20, 12,1, 23, 20, 5, 4, 23,14, 21,15, 5,11,14,14, 2, 6, 5,1, 3,1, 21, 20, 20 ¿Cuál es la diferencia entre media y mediana?
¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de barras y el histograma?
Construya un histograma y un polígono de frecuencias según los datos de las siguientes tablas. ( 1)
Clase Frecuencia 1-4 1 4-7 3 4 7-10 7 10-13 11 13-16 18 16-19 44 Total
(2 )
Clase Frecuencia 2 10-20 3 20-30 5 30-40 14 40-50 20 50-60 12 60-70 4 70-80 Total 60
i t i Trace Tra ce el políg polígon ono o de frecuencia frecuenc ia relativa de los datos datos de de las tablas de
Calcule la med media ia y la media mediana na de de los datos datos de de las tablas d e ^ , .
Marcador del Campo de Pelota El décimo tercer gobernante de Copán, Waxaklajun Ub’ah K’awil, mejor conocido como 18 Conejo nos legó en un conjunto de tres marcadores del Juego de Pelota del Parque Arqueológico de Copán, un mensaje lleno de simbolismos; en la imagen superior el Soberano aparece retratado a la izquierda, izquierda, en un juego ritual, ritual, sosteniendo la mirada en una deidad del inframundo Maya, R etratada frente a él. él. Fotografía: © Paúl Martínez
