7.3 Distribuciones Muestrales de Un Proporcion

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7.3 DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE UNA PROPOCICION Considere una variable categórica que cuenta solo con dos clasificaciones: el cliente prefiere su marca o el cliente prefiere la marca de la competencia. Lo que resulta de interés es la proporción de los elementos que forman parte de una de las categorías; por ejemplo de clientes que prefieren su marca. La proporción de la población, que representa por medio de ∏ es la relación de elementos os en toda la población que cuenta con la característica de interés. La proporción muestral, que se representa por medio de p, es la relación de elementos en la muestra que presentan la característica de interés. La proporción muestral es un estadístico que se utiliza para estimar la proporción poblacional, un parámetro. Para calcular la proporción muestral, se asignan calificaciones de 1 o 0 a los dos resultados posibles, con el fin de representar la presencia o ausencia de la característica. Luego, se suman todas las calificaciones d e1 a 0, y el resultado se divide por el tamaño de la muestra, n. Por ejemplo, si en una muestra de cinco clientes, tres prefirieron su marca y dos no, hay tres 1 y dos 0. Al sumar los tres 1 y los dos 0, y dividirlos por 5 (el tamaño de la muestra), se obtiene una proporción muestral de 0.60.

PROPORCION MUESTRAL P 

X n



Numero Numero

de

elementos

con

Tamaño

de

la

caracteristica

de

int eres

lamuestra

(7.6)

La proporción muestral p asume valores entre 0 y 1. Si todos los individuos cuentan con la característica, se asigna a cada uno un valor de 1 y p es igual a 1. Si la mitad de los individuos cuentan con la característica, asigne un valor de 1 a una mitad y de 0 a la otra mitad, y p es igual a 0.5 si ninguno de los individuos posee la característica, asigne a cada uno la calificación de 0, y p es igual a 0. Mientras la media muestral x es un estimador parcial de la media poblacional µ, el estadístico p es un estimador parcial de la proporción poblacional ∏. Por analogía con la distribución muestral de la media, el error estándar para la proporción Ơ p se da en la ecuación (7.7)

ERROR ESTANDAR PARA LA PROPORCIÓN 

 P

 (1   )

N

( 7 .7 )

Si usted selecciona todas las muestras posibles de cierto tamaño, la distribución de todas las proporciones muestrales se denomina muestral de la proporción. Al realizar muestras con reemplazo de una población finita, la distribución muestral de la proporción sigue la distribución binomial, como se analizó en la sección 5.2. Sin embargo, puede utilizar la distribución normal para aproximar la distribución binomial cuando n y n(1   ) son cada uno de por lo menos 5. En la mayoría de los casos en los que se realizan inferencias con respecto a la proporción, el tamaño de la muestra es lo bastante sustancial como para satisfacer las condiciones necesarias para utilizar la aproximación normal (vea la referencia 1). Por eso, en muchos casos, se utiliza la distribución normal para estimar la distribución muestral de la proporción. Sustituyendo p por x ,  por  y

 (1   )

n

por



en la ecuación (7.4) de la pagina 211, resulta la ecuación (7.8).

n

Lic. Manuel Aguilar Ortiz

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DIFERENCIA ENTRE LA PROPORCIÓN MUESTRALY LA PROPORCIÓN POBLACIONAL EN UNIDADES NORMALES ESTANDARIZADAS Z 

p  

(7.8)

 (1   )

n

Para ilustrar la distribución muestral de la proporción, suponga que el gerente de la sucursal local de un banco determina que el 4O% de todos los clientes tienen varias cuentas en el banco. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200 clientes, la probabilidad de que la proporción muestral de clientes con varias cuentas sea menor que 0.30 se calcula como sigue. Puesto que n  200(0.40)  80  5 y n(1   )  200(0.60)  120  5 , el tamaño de la muestra tiene la magnitud suficiente como para suponer que la distribución muestral de la proporción tiene una distribución aproximadamente normal. Utilizando la ecuación (7.8), Z 



p    (1   )

n 0.30  0.40 (0.40)(0.60)



200

 0.10

0.24



 0.10

0.0346

200

 2.89

Al emplear la tabla E.2, se observa que el área que queda bajo la curva normal menor que Z = - 2.89 es 0.0019. Por lo tanto, la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0.30 es 0.00 19, algo muy poco probable. Esto significa que si la proporción real de éxitos en la población es 0.40, se espera que menos de la quinta parte del 1% de las muestras de n = 200 tenga proporciones muestrales menores que 0.30.

PROBLEMAS PARA LA SECCION 7.3 Aprendizaje básico 7.11 En una muestra aleatoria de 64 personas, 48 de PH Grade de ellas se clasifican como “exitosas”. Si la proporción poblacional es 0.70. a. Determine la proporción muestral de personas “exitosas”. b. Determine el error estándar para la proporción. 7.12 Se seleccionó una muestra aleatoria de 50 amas de PH Grade de casa para participar en una encuesta telefónica. La pregunta clave que se les planteó fue: “Tiene usted o algún miembro de su familia un teléfono celular con mensajes de texto?” De las 50 participantes, 15 respondieron que sí y 35 dijeron que no. Si la

proporción de población es de 0.40.

a. Encuentre la proporción muestral p de familiares con teléfonos celulares. b. Encuentre el error estándar para la proporción.


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7.13 Los siguientes datos representan las respuestas (Y para sí y N para no) obtenidas de una muestra de 40 universitarios a la pregunta: “Tiene usted actualmente acciones bursátiles de cualquier tipo?”

NNYNNYNYNYNNYNYYNNNY NYNNNNYNNYYNNNYNNYNN Si la proporción poblacional es 0.3 0. a. Encuentre la proporción muestral p de estudiantes universitarios que poseen acciones bursátiles. b. Encuentre el error estándar para la proporción.

7.14 Una persona que realiza encuestas políticas efectúa un análisis de resultados muestrales, con objeto de hacer pronósticos sobre la noche de la elección. Suponiendo que se trata de una elección en la que sólo participan dos candidatos, si en la muestra uno de ellos recibe el 55% de los votos, entonces se pronostica que será el ganador de la elección. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 votantes, determine cuál es la probabilidad de que se pronostique un candidato como ganador cuando: a. El porcentaje real de sus votos es del 50.1%. b. El porcentaje real de sus votos es del 60%. c. El porcentaje real de sus votos es del 49% (y en realidad perderá la elección). d. Si se aumenta el tamaño de la muestra a 400, ¿cuáles serían sus respuestas a los incisos a), b) y c)? Analícelo. 7.15 Usted planea realizar un experimento de marketing en el que los estudiantes deben probar una de dos marcas de bebidas gaseosas distintas. Su labor consiste en identificar correctamente cuál es la marca que probaron. Usted selecciona una muestra aleatoria de 200 estudiantes y supone que no cuentan con facultades para distinguir entre ambas marcas. (Nota: Si un individuo carece de facultades para distinguir entre las dos bebidas gaseosas, entonces ambas marcas tienen las mismas probabilidades de resultar seleccionadas.) a. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra obtenga entre 50 y 60% de identificaciones correctas? b. Hay una probabilidad del 90% de que el porcentaje muestral se encuentre dentro de ¿cuáles límites simétricos del porcentaje poblacional? e. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de identificaciones correctas sea mayor del 65%? d. ¿Qué es más probable que ocurra: más del 60% de identificaciones correctas en la muestra de 200, o más del 55% de identificaciones correctas en una muestra de 1,000? Explique por qué. 7.16 Catalyst, una empresa neoyorquina dedicada a la investigación, realizó un estudio sobre las mujeres que ocupan cargos importantes en ambientes corporativos. El estudio concluyó que poco más del 15% de los funcionarios corporativos de las empresas que forman parte de la lista Fortune 500 son mujeres (Carol Hymowitz, “Women Put Noses to the Grindstone, and Miss Opportunities”,The Wall Street Journal, 3 de febrero, 2004, Bl). Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 200 funcionarios corporativos, y que la proporción real de mujeres es de 0.15. a. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta muestra menos del 15% de los funcionarios corporativos sean mujeres? b. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta muestra entre el 13 y el 17% de los funcionarios corporativos sean mujeres? c. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta muestra entre el 10 y el 20% de los funcionarios corporativos sean mujeres?


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d. Si se hubiese seleccionado una muestra de 100 sujetos, ¿cómo cambiarían sus respuestas de los incisos a) a c)? 7.17 El programa Friends de la NEC fue el espectáculo más popular de TiVo durante la semana del 18 al 24 de abril de 2004. De acuerdo con el índice Nielsen, el 29.7% de los propietarios de un sistema TiVo en Estados Unidos grabaron o presenciaron en vivo ese programa (“Prime-time Nielsen Ratings”, USA Today, 28 de abril, 2004, 3D). Suponga que usted selecciona una muestra aleatoria de 50 suscriptores del sistema TiVo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de las personas de la muestra hayan visto o grabado Friends? b.

¿Cuál es la probabilidad de que menos del 25% de las personas de la muestra hayan visto o grabado

Friends?

Si se hubiera seleccionado una muestra de 500 individuos, ¿cómo cambiarían sus respuestas de los incisos a) y b)? c.

7.18 Millones de estadounidenses organizan sus planes de viaje por Internet. De acuerdo con un artículo publicado en USA Today, el 77% de los viajeros compran boletos de avión por Internet (“Travelers Head Online”, USA Today Snapshots, 22 de julio, 2003, Al). Si usted selecciona una muestra aleatoria de 200 viajeros: a. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga entre el 75 y el 80% de viajeros con boleto comprado en Internet? b. Hay una probabilidad del 90% de que el porcentaje muestral se encuentre ¿dentro de cuáles límites simétricos del porcentaje poblacional? c. Hay una probabilidad del 95% de que el porcentaje muestral se encuentre ¿dentro de cuáles límites simétricos del porcentaje poblacional? 7.19 De acuerdo con la Asociación Nacional de de PH Grade Restaurantes de los Estados Unidos, el 20% de los restaurantes más elegantes han establecido políticas que restringen el uso de teléfonos celulares (“Business Bulletin”, The Wall Street Journal, 1 de junio, 2000, Al). Si usted selecciona una muestra aleatoria de 100 de los

restaurantes más elegantes: a. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga entre el 15 y el 25% de los que han establecido políticas que restringen el uso de teléfonos celulares? b. Hay una probabilidad del 90% de que el porcentaje muestral se encuentre ¿dentro de cuáles límites simétricos del porcentaje poblacional? c. Hay una probabilidad del 95% de que el porcentaje muestral se encuentre ¿dentro de cuáles límites simétricos del porcentaje poblacional?

7.20 Un artículo (P. Kitchen, “Retirement Plan: To Keep Working”, Aíewsday, 24 de septiembre, 2003) analiza los planes de jubilación para los estadounidenses con edades de 50 a 70 años que fueron empleados de tiempo completo o parcial. De los entrevistados, el 29% dijeron que no pensaron trabajar para obtener un salario. Si usted selecciona una muestra aleatoria de 400 estadounidenses con edades de 50 a 70 años que fueron empleados de tiempo completo o parcial. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga entre el 25 y el 30% de los que no pensaron en trabajar para obtener un salario? b. Si una muestra actual de 400 estadounidenses con edades de 50 a 70 años que fueron empleados de tiempo completo o parcial contiene un 35% de los que no pensaron en trabajar para obtener un salario, ¿qué se infiere sobre la estimación poblacional del 29%? Explique su respuesta.


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c. Si una muestra actual de 100 estadounidenses con edades de 50 a 70 años que fueron empleados de tiempo completo o parcial contiene un 35% de los que no pensaron en trabajar para obtener un salario, ¿qué se infiere sobre la estimación poblacional del 29%? Explique su respuesta. d. Explique las diferencias de los resultados de b) y c). 7.21 El Servicio de Recaudación Interna de Estados Unidos (IRs por sus siglas en inglés) suspendió las auditorias aleatorias en 1988. En su lugar, instituyó auditorias sobre los rendimientos que su DFS (siglas en inglés para Sistema de Función Discriminante), un complejo sistema computarizado y muy confidencial de análisis, consideró cuestionables. La intención es reducir la proporción de auditorias “sin cambio” (es decir,

auditorias que descubren que no se adeudan impuestos adicionales), el IRS sólo audita los rendimientos que el DFS califica como muy cuestionables. La proporción de autorías “sin cambio” ha aumentado con los años, y en la actualidad es de aproximadamente 0.25 (Tom Herman, “Unhappy Returns: IRS Mo... ves to Bring Back Random Audits”, The Wall Street Journal, 20 de junio, 2002, Al). Suponga que se selecciona una muestra

aleatoria de 100 auditorias. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga

a. entre 24 y 26% de auditorias sin cambio? b. entre 20 y 30% de auditorias sin cambio? c. más de 30% de auditorias sin cambio? 7.22 El IRS anunció que planea reanudar las auditorias totalmente aleatorias el próximo año. Suponga que usted selecciona una muestra aleatoria de 200 auditorias totalmente aleatorias, y que sólo el 10% de todos los rendimientos archivados tienen como resultado auditorias que indican el pago de impuestos adicionales. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga a. entre el 89 y el 91% de auditorias sin cambio? b. entre el 85 y el 95% de auditorias sin cambio? c. más del 95% de auditorias sin cambio?


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