DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DISTRIBUCIÓN MUESTRA DE LA MEDIA Cuando se extraen muchas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población normalmente distribuida, las medias de las muestras también tienen una distribución normal. Esto es cierto sin tomar en cuenta el tamaño de la muestra. Además, el error estándar de la distribución de estas medias es más pequeño para los valores más grandes de n. En resumen:
Media:
E(𝑥̅ )= 𝜇𝑥̅ = µ
Error estándar:
𝜎𝑥̅ =
𝜎 √𝑛
Donde: µ = media de la población = Desviación estándar de la población n = Tamaño de la muestra
Puntaje Z para la distribución muestral de la media:
𝑧=
𝑥−𝜇 𝜎𝑥̅
Donde: z = distancia de la media, medida en unidades de error estándar 𝑥̅ = Valor de la media muestral que nos interesa 𝜎𝑥̅ = Error estándar de a distribución muestra de la media ( 𝜎⁄ ) √𝑛
Según el teorema central del límite, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal, incluso cuando las muestras se extraen de una población no normal, siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. Es una práctica común aplicar las fórmulas anteriores cuando n ≥ 30.
Error estándar para la media de la muestra: Muestreo sin reemplazo de una población finita
𝜎𝑥̅ =
𝜎
𝑁−𝑛 .√ √𝑛 𝑁 − 1
Donde: = Desviación estándar de la población n = Tamaño de la muestra N = Tamaño de la población
Estadística Aplicada – Prof. Jessica Oliva G.
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DISTRIBUCIÓN MUESTRA DE LA PROPORCIÓN, p La proporción de éxitos en una muestra formada por n intentos es p = x/n Igual que la distribución muestral de la media, la distribución muestral de la proporción posee un valor esperado y un error estándar. Asimismo, conforme aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar se vuelve más pequeño. Para las muestras aleatorias simples, la distribución muestral de la proporción se describe del modo siguiente:
Media:
E(𝑝)= p
Error estándar:
𝑝(1 − 𝑝) 𝜎𝑝 = √ 𝑛 Donde: p = proporción de la población n = Tamaño de la muestra
Puntaje Z para la distribución muestral de la media:
𝑧=
𝑝𝑥 − 𝑝 𝜎𝑝
Donde: px = proporción de la muestra que interesa
Error estándar para la proporción de la muestra: Muestreo sin reemplazo de una población finita
𝑝(1 − 𝑝) 𝑁 − 𝑛 𝜎𝑝 = √ .√ 𝑛 𝑁−1 Donde: p = proporción de la población n = Tamaño de la muestra N = Tamaño de la población
Estadística Aplicada – Prof. Jessica Oliva G.
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PROBLEMAS PROPUESTOS DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS 1. En una institución bancaria se han realizado estudios acerca de las cuentas de inversión, y se ha detectado que éstas están distribuidas normalmente con una media de $2000.00 y una desviación estándar de $600.00. Si la institución toma una muestra aleatoria de 100 cuentas de inversión ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre $1900.00 y $2050.00? 2. Se cuenta con trescientas cajas que contienen libros de Probabilidad, cada caja tiene un peso medio de 5.02 kg. y una desviación típica de 0.3 kg. Encuentre la probabilidad de que en una muestra al azar de 100 cajas el peso promedio de cada caja esté comprendido entre 4.96 y 4.98 kg. 3. En una delegación de policía ubicada enfrente de un parque, se han registrado en promedio 475 actas levantadas todas ellas en el transcurso de la noche, con una desviación típica de 12 actas. Considerando que la distribución de muestro es normal: a) Encuentra la probabilidad de que los valores medios de las muestras sean mayores o iguales a 450 actas. b) Encuentra la probabilidad de que los valores medios de las muestras sean menores o iguales a 482 actas. 4. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 35 sin reemplazo de esta población, determinar: a) ¿Cuántas medias muestrales caen entre 172,5 y 175,8 centímetros? b) ¿Cuántas medias muestrales caen por debajo de 172 centímetros? DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROPORCIONES 5. En la zona centro de una ciudad, se observó que en un 20% de las familias, uno de sus integrantes o más, presentan problemas de salud debido a la contaminación ambiental. Una muestra aleatoria de 150 familias dio una proporción del 27% de familias con la característica señalada. Si suponemos que el valor del 20% es correcto, cuál será la probabilidad de obtener una proporción mayor o igual a la observada (es decir respecto al 27%)? 6. Un estudio llevado a cabo en una municipalidad, dio como resultado que, el 70% de una población de 100 niños de primaria asistió a consulta con el médico general, por lo menos una vez en su vida. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de los niños que asistió a consulta con el médico general, por lo menos una vez en su vida, esté entre 0.65 y 0.75? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción sea mayor que 0.75? 7. Se ha encontrado que el 60% del personal ejecutivo de una empresa realiza con regularidad “la verificación” de su automóvil. Extrayendo una muestra aleatoria de 150 personas de dicho nivel. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre 0.5 y 0.7? 8. En el proceso de envasado de refrescos en botella se presenta una producción promedio en la que el 10 % de las botellas no están completamente llenas. Se selecciona una muestra al azar de 225 botellas de un lote de 625 envases llenos. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de botellas parcialmente llenas, se encuentre en el intervalo que va de 9 a 11 %?
Estadística Aplicada – Prof. Jessica Oliva G.
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