PREVOJNE TAČKE KONVEKSNOST i KONKAVNOST Funkcija f(x) je konveksna na intervalu (a,b) ako je f```(x) > 0 na (a,b) Funkcija f(x) je konkavna na intervalu (a,b) ako je f``(x) < 0 na (a,b) Neka u tački x = x0 važi da je f ``( x0 ) = 0 . Ako f```(x) menja znak u okolini tačke x0 , onda je x = x0 prevojna tačka f(x). Šta konkretno radimo? Nadjemo y`` i to izjednačimo sa 0 ( naravno, samo brojilac). Rešenja te jednačine y1 , y2 ,....
x1 , x2 ,.... ( naravno ako ih ima) menjamo u početnu funkciju da dobijemo
Dobijene tačke P1 ( x1 , y1 ); P2 ( x2 , y2 );.... su prevojne tačke funkcije. Dalje razmišljamo od čega nam zavisi znak drugog izvoda i rešavamo nejednačine y``> 0 ∧ y``< 0 .
Funkcija je konveksna na intervalima na kojima je y``> 0 , to jest “ smeje se”
Funkcija je konkavna na intervalima na kojima je y``< 0 , to jest “ tužna je ” Prevojna tačka je mesto gde funkcija prelazi iz konveksnosti u konkavnost ili obrnuto… Evo malo primera…. 1. Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i naći prevojne tačke ( ukoliko postoje)
a) y =
1+ x 1− x
x2 − 4 x −1 x−2 v) y = ln x +1
b) y =
1
g) y = x ⋅ e x − 2 d) y =
x−2 x2 + 2
1
Rešenje: 1+ x a) y = 1− x Naravno, najpre da nadjemo prvi izvod: (1 + x)`(1 − x) − (1 − x)`(1 + x) (1 − x) 2 1(1 − x) + 1(1 + x) y`= (1 − x) 2 y`=
1− x +1+ x (1 − x) 2 2 y`= (1 − x) 2
y`=
Sad tražimo drugi izvod, al je bolje da prvi izvod napišeno u obliku: y` =
2 = 2(1 − x) − 2 2 (1 − x)
y`= 2(1 − x) −2 y``= 2(−2)(1 − x) − 2−1 y``= −4(1 − x) −3 −4 y``= (1 − x) 3 U brojiocu je samo -4 pa zaključujemo da nema prevojnih tačaka. Dalje se pitamo od čega nam zavisi znak drugog izvoda….
Gde je + tu se funkcija smeje ( konveksna je) Gde je – tu je funkcija tužna ( konkavna je)
2
x2 − 4 b) y = x −1
x2 − 4 y= x −1 ( x 2 − 4)`( x − 1) − ( x − 1)`( x 2 − 4) y`= ( x − 1) 2 y`=
2 x( x − 1) − 1( x 2 − 4) ( x − 1)2
y`=
2 x 2 − 2 x − 1x 2 + 4 x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2
Sad tražimo drugi izvod:
y`=
x2 − 2x + 4 ( x − 1)2
y``=
( x 2 − 2 x + 4)`( x − 1) 2 − (( x − 1) 2 )`( x 2 − 2 x + 4) ( x − 1)4
y``=
(2 x − 2)( x − 1)2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x + 4) gore izvučemo x-1 ispred zagrade ( x − 1) 4
y``=
( x − 1)[(2 x − 2)( x − 1) − 2( x 2 − 2 x + 4)] ( x − 1) 4
[2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − 2 x 2 + 4 x − 8] ( x − 1)3 −6 y``= ( x − 1)3 y``=
Zaključujemo da funkcija nema prevojnih tačaka, jer je −6 ≠ 0 .
1
8
-
8
Konveksnost i konkavnost ispitujemo :
-6 x-1 y``
3
v) y = ln
x−2 x +1
x−2 x +1 1 x−2 x + 1 ( x − 2)`( x + 1) − ( x + 1)`( x − 2) x + 1 1( x + 1) − 1( x − 2) x + 1 − x + 2 y`= ( )`= ⋅ = ⋅ = x − 2 x +1 ( x − 2)( x + 1) x−2 ( x + 1) 2 x−2 ( x + 1) 2 x +1 3 y`= ( x − 2)( x + 1) y = ln
x−2 x +1 3 1 1 y`= pazi `= − 2 ⋅ ⊗` ( x − 2)( x + 1) ⊗ ⊗ 3 y``= − [( x − 2)( x + 1)]` 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3 y``= − [1( x + 1) + 1( x − 2)] 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3 y``= − (2 x − 1) 2 ( x − 2) ( x + 1) 2 3(1 − 2 x) y``= ( x − 2) 2 ( x + 1) 2 y = ln
y`` = 0 za 1-2x = 0 pa je x =
1 , ali PAZI , ova tačka NE PRIPADA oblasti definisanosti , pa funkcija nema 2
prevoj.
1 → x < −1 2 1 y``< 0 → 1 − 2 x < 0 → x > → x > 2 2 y``> 0 → 1 − 2 x > 0 → x <
-1
2
4
g) y = x ⋅ e
1 x−2
1
1
y = x ⋅ e x − 2 moramo kao izvod proizvoda i pazimo da je e x − 2 složena funkcija (eΘ )`= eΘ ⋅ Θ` 1
1
y`= 1 ⋅ e x −2 + (e x − 2 )`⋅ x 1
1
1 )`⋅ x x−2 1 1 1 1 1 1 1 x ( x − 2) 2 − x x−2 x−2 x−2 x−2 x −2 + e ⋅ (− ) ⋅ x = e − e ⋅ ⋅ x = e ⋅ (1 − ) = e ⋅ ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2
y`= e x −2 + e x − 2 ⋅ ( y`= e
1 x −2
1
y`= e x −2 ⋅ 1
y`= e x −2 ⋅ 1
y`= e x − 2 ⋅
x2 − 4 x + 4 − x ( x − 2) 2 x2 − 5x + 4 ( x − 2) 2
x2 − 5x + 4 ( x − 2) 2
1
y``= (e x − 2 )`⋅
x 2 − 5 x + 4 x 2 − 5 x + 4 x −1 2 +( )`e ( x − 2) 2 ( x − 2) 2
1 x 2 − 5 x + 4 ( x 2 − 5 x + 4)`( ⋅ x − 2)2 − (( x − 2) 2 )`( ⋅ x 2 − 5 x + 4) x −1 2 y``= e ⋅ (− )⋅ + ⋅e ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 4 Posle sredjivanja dobijamo: 1 x−2
y``=
5 x − 8 x 1− 2 ⋅e ( x − 2) 4
y``= 0 → 5 x − 8 = 0 → x =
8 5
1 8 −2 5
1 2 5
8 8 −5 → y = ⋅e → y = ⋅e 2 5 5 5 8 8 − Tačka prevoja je dakle : P ( , ⋅ e 2 ) 5 5 Za x =
8 8 → y = ⋅e 5 5
−
Znak drugog izvoda nam zavisi samo od 5x- 8 jer su ostali izrazi pozitivni:
8 5 8 y``< 0 → 5 x − 8 < 0 → x < 5 y``> 0 → 5 x − 8 > 0 → x >
5
x−2
y= y`=
x2 + 2 ( x − 2)`⋅ x 2 + 2 − ( x 2 + 2)`( ⋅ x − 2) ( x + 2) 1 2
1⋅ x 2 + 2 − y`= 1⋅ x 2 + 2 − y`=
2
x 2 + 2 mora kao složena funkcija...
⋅ ( x 2 + 2)`( ⋅ x − 2)
2 x +2 x2 + 2 1 2
pazi ,
2 x2 + 2 x2 + 2
⋅ 2 x ⋅ ( x − 2)
( x 2 + 2) 2 − x( x − 2) y`= y`= y`= y`=
x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 − x2 + 2 x ( x 2 + 2) x 2 + 2 2 + 2x ( x 2 + 2) x 2 + 2 2( x + 1) ( x + 2) x + 2
y= y`=
2
2
ili ako odmah pripremimo za drugi izvod y`=
2( x + 1) 3
( x 2 + 2) 2
x−2 x2 + 2 2( x + 1) 3
( x 2 + 2) 2 3
y``= 2
3
( x + 1)`( ⋅ x 2 + 2) 2 − (( x 2 + 2) 2 )`( x + 1) 3
(( x 2 + 2) 2 ) 2 3 2
3 −1 3 2 1 ⋅ ( x + 2) − ( x + 2) 2 ( x 2 + 2)`( ⋅ x + 1) 2 y``= 2 ( x 2 + 2)3 2
3
( x 2 + 2) 2 − y``= 2
1 3 2 ( x + 2) 2 ⋅ 2 x ⋅ ( x + 1) 2 ( x 2 + 2)3
3
1
( x 2 + 2) 2 − 3( x 2 + 2) 2 ⋅ x ⋅ ( x + 1) y``= 2 ( x 2 + 2)3
1
izvučemo zajednički ( x 2 + 2) 2 u brojiocu
1
y``= 2 y``= 2
( x 2 + 2) 2 [ x 2 + 2 − 3 x ⋅ ( x + 1)] ( x 2 + 2) 3 x 2 + 2 − 3x 2 − 3x 5
( x 2 + 2) 2 y``= 2
−2 x 2 − 3 x + 2 5
( x 2 + 2) 2
6
y``= 0 −2 x 2 − 3 x + 2 = 0 → x1,2 = Za x1 = −2 → y1 =
−b ± b 2 − 4ac 1 → x1 = −2 ∧ x2 = 2a 2
−4 6
1 → y1 = −1 2 Imamo dve prevojne tačke: −4 P1 (−2, ) 6 1 P2 ( , −1) 2 Za x2 =
Znak drugog izvoda opet zavisi samo od izraza u brojiocu −2 x 2 − 3 x + 2 . Upotrebićemo da kvadratni trinom ima znak broja a = -2 svuda osim izmedju nula! -
-
+ -2
1 2
7
