Cuantificadores Anidados
Lógica 2 Mtro. Cristian A. Gutiérrez Ramírez
Hasta ahora
Hasta ahora hemos formalizado oraciones que contienen sólo un cuantificador. Por ejemplo: Todos los perros son mamíferos. Dominio de Discurso los seres vivos. Diccionario: Px: x es perro, P’x: x es mamífero. Formalización: ∀x(P(x) ⊃ P’(x))
Ejemplos de oraciones que requieren dos o más cuantificadores para ser formalizadas.
Todos aman a alguien.
Alguien ama a todos.
Alguien es amados por todos.
Todos los filósofos y todos los historiadores son odiados por alguien. Algunos físicos y algunos matemáticos se aprecian entre sí.
Alcance de un cuantificador
Para poder trabajar con cuantificadores es necesario aprender la noción de alcance de un cuantificar. El alcance de un cuantificador es pedazo de la fórmula al que el cuantificador afecta. Por ejemplo en la fórmula ∀x(P(x) ⊃ P’(x)), el cuantificador universal tiene alcance hasta donde se está el paréntesis derecho (es decir, prácticamente toda la fórmula).
Alcance de un cuantificador (2) En el ejemplo anterior es fácil determinar cuál es el alcance del cuantificador universal por dos razones: 1) afecta a toda la fórmula y 2) sólo hay un cuantificador. Veamos otros ejemplos: 1) ∀xP(x) ⊃ P’(x) Aquí el alcance es sólo la Px, pues no hay paréntesis, esto quiere decir que el cuantificador no está relacionado con el consecuente de del condicional que es P’x.
Alcance de un cuantificador (3)
2) ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))) Aquí hay dos cuantificadores, cada uno con su propio alcance. El cuantificador universal tiene como alcance desde el primer paréntesis izquierdo (el que está inmediatamente después de él) hasta el último paréntesis derecho (que es el que cierra el primer paréntesis izquierdo). El cuantificador existencial tiene como alcance la fórmula que está entre el paréntesis izquierdo que está después del cuantificador y el penúltimo paréntesis derecho (es decir la fórmula que está inmediatamente después de él.)
Alcance de un cuantificador (4)
Como puede verse en el ejemplo anterior, dos cuantificadores pueden compartir su dominio de influencia. De hecho, uno de ellos (el de menor alcance) tendrá como alcance un pedazo del alcance del otro. Es como si uno fuese el rey y el otro un duque. Los dominios del primero contienen a los dominios del segundo.
Alcance de un cuantificador (5)
Ahora bien, ¿qué es el alcance de un cuantificador? y ¿para qué sirve identificarlo? El alcance de un cuantificador es la fórmula que está escrita inmediatamente después de él. Una forma de identificarlo es reconstruir la fórmula con las reglas de formación y observar a que fórmula se le aplica la regla 4 que le pega el cuantificador, dicha fórmula es el alcance del cuantificador.
Alcance de un cuantificador (6)
En nuestro ejemplo:
∃x’(P’(x’)
& R2(x,x’)), para obtener está fórmula debemos aplicar la reglas de form. 4 a la fórmula (P’(x’) & R2(x,x’)), por lo que dicha fórmula es su alcance. Ahora para obtener la fórmula ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))), debemos hacer los mismo pero para la fórmula (P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))), es su alcance.
Alcance de un cuantificador (7)
Ya sabemos cuál es el alcance de un cuantificador, pero ¿para qué nos sirve conocerlo? Bueno el alcance de un cuantificador nos permite decir con que variables está relacionado nuestro cuantificador. Hay que recordar que el cuantificador se relaciona con la variables que son iguales a la que tiene después de él, pero sólo se puede relacionar con las variables que están en su alcance.
Alcance de un cuantificador (8)
Por lo antes dicho, si tengo un cuantificador seguido de la variable x, este cuantificador sólo se puede relacionar con las variables x que están en su dominio. Por ejemplo: ∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)) En está fórmula, el cuantificador universal sólo se puede relacionar con la variable x que aparece en Px, pues su dominio sólo es Px. No puede relacionarse con la x que aparece en R2(x,x’) pues está fórmula está más allá de su alcance.
Alcance de un cuantificador (9)
Cuando una variable no está ligada (relacionada) con ningún cuantificador, decimos que es una variable libre y entonces la fórmula en la que aparece no tiene un significado bien determinado. Por ejemplo, la fórmula Px, no dice si todos tiene la propiedad P o si la tiene alguien, en realidad es una fórmula que no dice nada. Para que una fórmula tenga un significado, no debe tener variables libres.
Ejercicio 1: Determine el alcance de los cuantificadores que aparecen en la siguientes fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué cuantificadores y cuáles son variables libres.
∀x(P(x) ⊃
P’(x’))
∀xP(x) ⊃ ∃x’P’(x’)
∀xP(x) ⊃ ∃x’R2(x,x’)
∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’)
∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’)
∃x((P(x)
∃x(P(x)
& R2(x,x’)))
& R2(x,x’))
& P’x’) ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))
& ∀x’(P’(x’) ⊃ (x=x’)))
Alcance de un cuantificador (10)
Las cosa no siempre son tan simple podemos tener la siguiente fórmula ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) & R2(x,x))) Es fácil ver que es una fórmula y que el alcance del cuantificador universal es (P(x) ⊃ ∃x(P’(x) & R2(x,x))) y que el alcance del cuantificador existencial es x(P’(x) & R2(x,x)). El problema es que ambos cuantificadores están relacionados con la misma variable, en este caso x. ¿Qué sucede en estás situaciones?
Alcance de un cuantificador (11)
Primero que nada debemos decir que ninguna variable puede estar relacionada con más de un cuantificador, son muy fieles. Pero entonces ¿con quién se quedan? ¿con el cuantificador de mayor alcance o con el cuantificador de menor alcance? ¿con el rey o con el conde?
Alcance de un cuantificador (12)
Resulta que se quedan con el cuantificador de menor alcance, el que tienen más cerca (se quedan con el conde, les gustan las relaciones más cercanas). Así en nuestro ejemplo: ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) & R2(x,x))) El cuantificador universal sólo se relaciona con la x de Px y el existencial con todas las x en la fórmula (P’(x) & R2(x,x))
Ejercicio 2: Determine el alcance de los cuantificadores que aparecen en la siguientes fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué cuantificadores y cuáles son variables libres.
∀x(P(x) ⊃ ∃xP’(x))
∀xP(x) ⊃ ∃xP’(x)
∀x(P(x) ⊃ ∃xR2(x,x))
∀xP(x) ⊃ ∃x(P’(x’)
∃x((P(x)
∃x(P(x)
& R2(x,x))
& P’x’) ∃x(P’(x) & R2(x,x’)))
& ∀x(P’(x) ⊃ (x=x)))
Cuantificadores Anidados
Ahora que conocemos las nociones de alcance de cuantificadores y de variables libres entendemos cuáles variables están relacionadas con cuáles cuantificadores. Es tiempo de ver cómo nos sirve esto para formalizar oraciones que requieran de más de un cuantificador.
Cuantificadores Anidados (2)
Retomemos un ejemplo: Todos aman a alguien. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∀x∃x’R2(x,x’) La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso ama a algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (3)
Otro ejemplo: Todos son amados por alguien. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∀x∃x’R2(x’,x) La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso es amado por algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (4) Otro ejemplo: Alguien ama a todos. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∃x∀x’R2(x,x’) La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a todos los seres humanos.
Cuantificadores Anidados (5) Otro ejemplo: Alguien es amados por todos. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∃x∀x’R2(x’,x) La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que es amado por todos los seres humanos, o bien, que todos los seres humanos aman a ese alguien.
Cuantificadores Anidados (6)
Otro ejemplo: Todos aman a todos. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∀x∀x’R2(x,x’) La fórmula dice que todo sujeto del dominio de discurso ama a todos los seres humanos.
Cuantificadores Anidados (7) Otro ejemplo: Alguien ama a alguien. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: R2xy: x ama a y. Formalización: ∃x∃x’R2(x,x’) La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a algún ser humano.
Cuantificadores Anidados (8)
Un ejemplo más complicado: Todos los filósofos y todos los historiadores son odiados por alguien. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: Px: x es filósofo, P’x: x es historiador, R2xy: x odia a y. Formalización: ∀x((P(x) ∨ P’(x)) ⊃ ∃x’R2(x’,x)) La fórmula dice que si cualquier sujeto es o bien filósofo o bien historiador, es odia por alguien.
Cuantificadores Anidados (9)
Un ejemplo más complicado: Algunos físicos y algunos matemáticos se aprecian entre sí. Dominio de discurso: los seres humanos Diccionario: Px: x es físico, P’x: x es matemático, R 2xy: x aprecia a y. Formalización: ∃x∃x’((P(x) ∧ P’(x)) ∧ (R2(x,x’) ∧ R2(x’,x))) La fórmula dice que hay por lo menos un físico y un matemático tales que el primero aprecia al segundo y viceversa.
Formalicemos 1: Todos amamos a alguien que no nos ama. Alguien que es amado por todos es muy afortunado. Si alguien odia a todos, tiene un problema mental. Todos los amigos de María aman a alguien.
Formalicemos 2:
Si alguien es borracho, todos somos borrachos. Hay alguien que si es borracho, todos somos borrachos. Si todos somos borrachos, entonces hay alguien borrachos. Hay alguien que si todos son borrachos, entonces él es borracho.
Gracias
