Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 1 8. predavanje PRIMJENA METODE PLASTIČNOSTI
1.
Uvod
Kada smo govorili o slomu tla, kliznoj plohi, zoni klizanja i deformacijama koje se nastavljaju bez promjene efektivnih naprezanja, treba reći da su da su deformacije u zoni klizanja (plastične deformacije) obično bar za red veličine veće od onih koje se u normalnoj uporabi konstrukcije toleriraju. U mnogim, ali ne svim, slučajevima nepoželjne su u geotehnici. Dok se u laboratoriju uzorak tla smicanjem dovodi u stanje sloma radi određivanja parametara čvrstoće na način koji omogućuje relativno jednostavnu interpretaciju rezultata, slom tla u prirodi ili pri nekom, obično nesretnom, geotehničkom zahvatu obično je složena pojava koja zahtijeva neku teoretsku podlogu kako bi se mogla interpretirati, predvidjeti ili pravilnim projektiranjem izbjeći. Takvih je teorija i s njima povezanim metodama rješavanja rješ avanja problema do danas razvijeno više, više, od kojih se u praksi najviše koristi neka od teorija plastičnosti ili metoda granične ravnoteže. Ovdje će se samo u kratkim crtama opisati neke od jednostavnijih metoda rješavanja problema sloma koje se u praksi najčešće koriste. Počevši od najjednostavnijeg slučaja pritiska tla s horizontalnom površinom na vertikalne glatke zidove, koji će se riješiti bez potrebe za nekom složenom teorijom, razmatranja će se nastaviti preko prikaza metode plastičnosti za plastičnosti za prognozu nosivosti tla ispod plitkih temelja.
2. Rankineov slučaj pritiska na vertikalne zidove Ako pretpostavimo da je površ površina ina tla horizontalna, u njemu je geostatsko stanje y naprezanja za koje vrijedi da se vertikalna efektivna naprezanja računaju iz izraza v0 a horizontalna efektivna naprezanja iz izraza
h0
K 0
v0
. Dakle, koeficijent tlaka
mirovanja je omjer horizontalnog i vertikalnog efektivnog naprezanja, koja smo dodatno označili indeksom nula kako bismo naglasili da se radi o početnom stanju naprezanja na terenu. Ovo stanje naprezanja često zovemo K 0 - stanjem. Dalje pretpostavimo da provodimo CID troosni pokus u kojem je ćelijski tlak jednak horizontalno efektivno naprezanje u uzorku tla će biti
h0 .
Nakon izotropne konsolidacije,
h0 .
Smicanje provodimo s takvim
inkrementom vertikalnog opterećenja da će u dreniranom stanju ukupno efektivno vertikalno naprezanje u uzorku biti v0 . Time smo došli do početnog stanja naprezanja u tlu na terenu, na dubini s koje je uzorak uzo rak izvađen. U trećoj fazi troosnog pokusa vertikalno opterećenje ostaje konstantnim, a horizontalno se opterećenje smanjuje (uz otvoreni dren). Budući da se radi o rasterećenju uzorka, volumen uzorka raste. Horizontalno rasterećenje uzorka provodi se do sloma tla. To znači da anvelopa sloma tangira odgovarajuću Mohrovu kružnicu naprezanja, kao što je prikazano na slici 88 -1 manjom, lijevom kružnicom. Efektivno horizontalno naprezanje pri slomu označeno je s p a i naziva se Rankinevim se Rankinevim aktivnim tlakom. tlakom .
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 2 8. predavanje
To je minimalno efektivno horizontalno naprezanje za dano efektivno vertikalno naprezanje v0 . Ako sada ponovimo isti CID pokus, ali u trećoj fazi pokusa povećavamo horizontalno opterećenje, s konstantnim vertikalnim opterećenjem (uz otvoreni dren), doći će do smanjenja volumena uzorka. Horizontalno opterećenje uzorka provodi se do sloma tla. To znači da anvelopa sloma tangira odgovarajuću odgovarajuću Mohrovu kružnicu kružnicu naprezanja, kao što je prikazano na slici 8-1 8-1 većom, desnom kružnicom. Efektivno horizontalno horizontalno naprezanje pri slomu označeno je s pp i naziva se Rankinevim se Rankinevim pasivnim otporom. otporom. To je maksimalno efektivno horizontalno naprezanje za dano efektivno vertikalno naprezanje
v0 . Navedena
granična naprezanja p a i
Rankineu koji ih je prvi utvrdio (Rankine 1857, vidi p p nazvana su prema škotskom inženjeru Rankineu koji Skempton 1979).
aktivno stanje naprezanja
' '
p' p' p ' 'v0 0)/2 v
pasivno stanje naprezanja
' ' v0 p' a)/2 v0 p' ' '
c'
' 'v0 0 v a'
p' a p'
p 120.00
' 'v0 0+ p' a)/2 + a' v ' ' + p' p)/2 + a'
v0 v0 93.70
Slika 8-1. Moguća stanja naprezanja pri slomu, aktivno i pasivno, za dano efektivno vertikalno naprezanje na horizontalnu ravninu.
Iz geometrijskih odnosa prikazanih na slici 8-1 slije di pa
v0
2a
pa
v0
sin
(8.1)
sin
(8.2)
odnosno pp v0
v0
pp
2a
Preuređenjem gornjih izraza slijedi za aktivni tlak
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 3 8. predavanje pa
Ka
v0
2c
K a
(8.3)
pp
Kp
v0
2c
K p
(8.4)
odnosno za pasivni za pasivni otpor
gdje su K a i K p koeficijenti aktivnog tlaka odnosno pasivnog otpora i dani su izrazima
1 1
K a
sin sin
tg 2 450
2
(8.5)
odnosno
K p
1 1
sin sin
tg2 450
1 2
K a
(8.6)
Izrazi (8.3) i (8.4) mogu se iskoristiti za proračun efektivnih horizontalnih naprezanja tla (horizontalna ukupna naprezanja jednaka su efektivnim uvećanim za tlak vode u porama tla) na vertikalni glatki zid, zid, kod kojeg je trenje između zida i tla zanemarivo, a tlo iza i ispred zida ima horizontalnu površinu, ako se zid može zaokretati oko svoje stope (slika ( slika 8-2). Zaokretanje zida označava deformaciju tla koja se odvija s promjenom poč etnog efektivnog horizontalnog naprezanja do aktivnog tlaka (zid se odmiče od tla, povećava se volumen tla), odnosno do pasivnog otpora (zid se utiskuje u tlo, smanjuje se volumen tla). Ako zid ne rotira, dakle ostaje nepomičan, u tlu dalje vlada K 0 - stanje. Na slici 8-2 8-2 označene su i ravnine sloma za aktivno i pasivno stanje naprezanja. Za kružnicu naprezanja u aktivnom stanju, pol Mohrove kružnice je u točki ( pa ,0), a ravnina sloma prolazi kroz pol i nagnuta je pod kutom 45o
/2 u odnosu na horizontalu. Za
kružnicu naprezanja u pasivnom stanju, pol Mohrove kružnice je u točki ( pp ,0), a ravnina sloma prolazi kroz pol i nagnuta je pod kutom 45o
/2 u odnosu na horizontalu.
Na donjem dijagramu slike 8-2 naznačeni su kutovi zaokreta potrebni za dosezanje aktivnog tlaka i pasivnog otpora. Budući da je inkrement horizontalnog opterećenja do pasivnog otpora puno veći od dekrementa horizontalnog opterećenja do aktivnog tlaka, potreban kut zaokreta za postizanje postiz anje pasivnog otpora puno je puno je veći od potrebnog kuta zaokreta za postizanje aktivnog tlaka. Za realna tla tangens tog kuta zaokreta je reda veličine 5 % ili veći, dok je za aktivni tlak on oko 10 puta manji, tj. oko 5 ‰ ili manji. U praksi se potporni zidovi, ako im zakretanje nije ograničeno, upravo dimenzioniraju na aktivni tlak (i tlak vode u porama tla, ako je prisutan). To je mnogo ekonomičnije nego ih dimenzionirati na efektivno horizontalno naprezanje K 0 - stanja. Pri tome su ostvarena efektivna horizontalna naprezanja na zid između K 0 - stanja i aktivnog, odnosno pasivnog stanja.
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 4 8. predavanje aktivno stanje naprezanja
pasivno stanje naprezanja ' ' v0
početno stanje naprezanja ' 'v0
' ' v0
p' p
' 'h0
p' a
p' p
' 'h0
p' a
' ' v0
' 'v0
' ' v0
' '
/ 2 ' '/2 /2 ' /2 '
c' ' 'h0
p' a
' '
' ' v0
p'
p 120.00
' 'h
p' p
' 'h
' ' h0 p' a
Slika 8-2. Rankineovo aktivno i pasivno stanje plastične ravnoteže
Slika 8-3 prikazuje raspodjelu efektivnih horizontalnih naprezanja duž duž vertikalnog glatkog zida, od tla s horizontalnom površinom horizontalnom površinom za za aktivno i pasivno stanje. Tlo ima koheziju, zbog koje se, do neke dubine, u aktivnom stanju javljaju vlačna efektivna horizontalna naprezanja. Prema izrazu (8.3) vlačno efektivno horizontalno naprezanje javlja se do dubine za koju vrijedi
0
pa
(8.7)
odnosno
2c v0
K a
(8.8)
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 5 8. predavanje b) pasivno stanje
a ) aktivno stanje A
B
A
B
pp
pa
450
/2
450
C
/2
C
Slika 8-3. Pritisci tla na vertikalni zid za Rankineova stanja naprezanja (tlo ima horizontalnu površinu, površinu, nema trenja između tla i zida) zi da)
Budući da je
v0
y , dubina y c do koje se javljaju vlačna horizontalna efektivna
naprezanja iznosi
2c
y c
(8.9)
K a
Kako tla imaju zanemarivu vlačnu čvrstoću, čak i u slučaju da imaju koheziju, do dubine y c javit će se s e iza iz a zida z ida vertikalne verti kalne vlačne pukotine. pukotine . Do te dubine zid neće biti pod efektivnim horizontalnim naprezanjem, naprezanjem, ali može biti pod hidrostatičkim tlakom vode uslijed kiše koja lako napuni vlačne pukotine. pukotine . Aktivni se tlak uzima u obzir samo za njegove pozitivne vrijednosti, ispod dubine y c .
3. Teorija plastične ravnoteže i približno rješenje za nos i vos t tla i s pod pli pli tk og temel melja Teorija plastičnosti bavi se problemima raspodjele naprezanja u tijelu koje je djelomično ili potpuno u stanju sloma, tj. stanjima naprezanja i pripadnim rubnim uvjetima koji zadovoljavaju zakon sloma. Metoda M etoda plastične ravnoteže polazi ravnoteže polazi od Mohr-Coulombova zakona sloma i diferencijalnih jednadžbi ravnoteže neprekidne sredine. Polazeći od diferencijalnih jednadžbi ravnoteže za naprezanja i Mohr -Coulombovog -Coulombovog zakona sloma, K ötter (1888) je izveo diferencijalne jednadžbe ravnoteže za dvodimenzionalno stanje naprezanja naprez anja koje moraju biti zadovoljene ako se razmatrane zone tijela nalaze u slomu. Prandtl i Reissner riješili su diferencijalne jednadžbe tijela u slomu za tijelo bez vlastite težine. Prandtl je pri tome uzeo u obzir samo koheziju materijala, a Reissner samo njegov samo njegov kut unutarnjeg trenja. Njihovo se rješenje može primijeniti za temeljno tlo opterećeno plitkim temeljem. Do sloma u temeljnom tlu dolazi kada opterećenje temelja dosegne nosivost tla q f . Prandtl-Reissnerovo Prandtl-Reissnerovo rješenje za nosivost bestežinskoga tla ispod plitkog temelja je qf
c Nc
q 0N q
(8.10)
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 6 8. predavanje
gdje su N c i N q faktori nosivosti, koji ovise o kutu unutarnjeg trenja, dani izrazima
Nq
1 1
s in s in
tg
e
tg2 450
N q
N c
1
tg
e
2
tg
(8.11)
(8.12)
a q 0 je efektivno vertikalno naprezanje od vlastite težine tla tl a na razini osnovice temelja, tj. na razini dubine ukopavanja temelja d 0 (slika 8-4). 8-4). Naime, smatra se da temeljno tlo počinje od razine osnovice temelja, a q 0 je opterećenje temeljnoga temelj noga tla koje osigurava povećanje njegove nosivosti. To To je razlog zašto zašt o se plitki temelji t emelji ukopavaju u tlo. Na slici 8-4 prikazane su klizne plohe iz Prandtl-Reissnerovog Prandtl-Reissnerovog rješenja za trakasti temelj. Pri slomu temelj gura prema dolje klin (u dvodimenzionalnom prikazu – trokut) tla ispod osnovice temelja, pri čemu dolazi do povećanja volumena klina (Rankineovo aktivno stanje napr ezanja). ezanja). Time ovaj klin gura dva klina tla (lijevo i desno) pri površini temeljnoga tla, koja smanjuju volumen (Rankineovo pasivno stanje naprezanja). Između prvog klina i druga dva, klizne plohe imaju oblik logaritamske spirale.
q qO
-10
-8
-6
-4
-2
Legenda karakteristike
f
qO
0
2
4
6
8
10
-4
Slika 8-4. Zone sloma u plastičnom polu prostoru opterećenom trakastim jednolikim opterećenjem qf (PrandtlReissnerovo rješenje) rješenje)
Danas se smatra dovoljno dobrim približno rješenje za nosivost tla zapreminske težine u obliku 1 2
qf
gdje se dodatni faktor nosivosti N
c Nc
q 0N q
(8.13)
određuje iz izraza N
a b je širina temelja.
bN
,
2(N q
1) tg
(8.14)
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 7 8. predavanje
U izrazu (8.13) treba obratiti pozornost na u prvom članu i na q0 u trećem članu. Ako je, naime, razina podzemne vode ispod osnovice temelja, umjesto koristi se . se koristi ako je voda na razini osnovice temelja ili iznad nje. Ako voda struji kroz tlo na razini osnovice temelja, pod hidrauličkim gradijentom i, tada tada umjest umjesto o treba treba koristi koristiti ti ( i w), ovisno o smjeru strujanja vode. Ista pravila vrijede z a određivanje q0. Prema izrazu (8.13), nosivost tla ovisi, između ostalog o efektivnim parametrima 0 ) je čvrstoće. U čvrstoće. U nedreniranim uvjetima ( u N
0,
N q
1,
qf
(2
) cu
N c
2
(8.15)
pa je q 0
(8.16)
Kao što je već rečeno, nedrenirani se uvjeti pojavljuju u sitnozrnatim potpuno saturiranim tlima nakon brze primjene opterećenja na takvo tlo. Ovdje „ brza primjena“ primjena“ znači relativno brza u odnosu na vrijednost koeficijenta propusnosti tla. U krupnozrnatim potpuno saturiranim tlima (najčešće rahli saturirani pijesci) pijesci) nedrenirani se uvjeti obično javljaju prilikom potresa, što predstavlja izrazito brzo izrazito brzo opterećenje u opterećenje u odnosu na koeficijent propusnosti takvih tala. U takvim slučajevima može doći do likvefakcije krupnozrnatoga likvefakcije krupnozrnatoga tla, tla, što znači da tlo iz rahlog stanja prelazi u tekuće stanje. tekuće stanje. Pri likvefakciji tla, zgrade i ostali objekti temeljeni na tome tlu više nemaju oslonac te se ruše (slika ruše (slika 8-5).
Slika 8-5. Posljedice likvefakcuije pri potresu u Niigati (Japan) 1964. Godine.
Izrazi (8.13) i (8.16) mogu se u praksi koristiti samo pri dimenzioniranju trakastih temelja s vodoravnom temeljnom plohom, opterećenih silama čija je rezultanta vertikalno linijsko opterećenje, opterećenje, koje djeluje u uzdužnoj osi trake, dakle centrično u odnosu na poprečni presjek trakastog temelja. U praksi se javlja potreba za dimenzioniranjem i drugačije oblikovanih temelja, posebno pravokutnih, kvadratnih ili kružnih temelja samaca, kao i drugačije opterećenih temelja, posebno onih s kosim i ekscentričnim opterećenjem. Za opterećenjem. Za tako oblikovane temelje i takvu vrstu opterećenja nije izvedeno opće rješenja teorije plastičnosti, već su
Mehanika tla i stijena Vlasta Szavits-Nossan
str. 8 8. predavanje
nađena približna rješenja za neke posebne slučajeve. Određivanje nosivosti plitkih temelja za ove kompleksnije slučajeve bit će naknadno obrađeno prema Eurokodu Eu rokodu 7. Zbroj sile od vlastite težine temelja i sile opterećenja na temelj, podijeljen s površinom osnovice temelja, mora biti manji od nosivosti tla.
