4. CORTANTE La falla por cortante es una falla súbita y frágil. Se tienen las siguientes hipótesis para vigas de sección rectangular. -
Los esfuerzos cortantes τ son paralelos a la fuerza cortante Los esfuerzos cortantes τ están uniformemente distribuidas a través del ancho de la viga. Los Esfuerzo cortante horizontales son iguales al esfuerzo cortante vertical.
Los esfuerzos cortantes en cualquier nivel de una viga de sección prismática para la viga elástica no agrietada se calculan según la mecánica de materiales como: τ =
VQ Ib
Donde: V: Fuerza cortante en la sección Q = ∫ ydA Primer momento de área o Momento estático del área transversal arriba del nivel en el cual se analiza el esfuerzo. I: Segundo momento de área o Inércia de área b: ancho efectivo en el punto donde se calcula el esfuerzo. Si se considera la siguiente viga simplemente apoyada, y se analizan los esfuerzos en una sección de longitud infinitesimal ∆x.
Los esfuerzos principales ocurren sobre planos inclinados.
(A)
(B)
La Trayectoria de esfuerzos principales para vigas de sección transversal rectangulares se presenta en la siguiente gráfica.
Las Líneas sólidas corresponden a los esfuerzos principales de tensión, y las líneas punteadas a los esfuerzos principales de compresión.
Las grietas inclinadas en los extremos de la viga, se producen cuando los esfuerzos de tensión exceden la resistencia a tensión del concreto o modulo de rotura fr = 0.62 f ′c y f ′c ≤8.3MPa
La Trayectoria de esfuerzos principales de tensión y compresión son ortogonales y cortan el eje longitudinal a 45º. En el tramo ∆x:
∑ M = 0 ∆ M = ∆T . jd = ∆C . jd ∆ M = V ∆ x
Igualando ∆Tjd = V ∆ x
El esfuerzo cortante promedio es: V =
∆Tjd ∆ x
Dividiendo por el área efectiva el esfuerzo cortante es:
La Trayectoria de esfuerzos principales para vigas de sección transversal rectangulares se presenta en la siguiente gráfica.
Las Líneas sólidas corresponden a los esfuerzos principales de tensión, y las líneas punteadas a los esfuerzos principales de compresión.
Las grietas inclinadas en los extremos de la viga, se producen cuando los esfuerzos de tensión exceden la resistencia a tensión del concreto o modulo de rotura fr = 0.62 f ′c y f ′c ≤8.3MPa
La Trayectoria de esfuerzos principales de tensión y compresión son ortogonales y cortan el eje longitudinal a 45º. En el tramo ∆x:
∑ M = 0 ∆ M = ∆T . jd = ∆C . jd ∆ M = V ∆ x
Igualando ∆Tjd = V ∆ x
El esfuerzo cortante promedio es: V =
∆Tjd ∆ x
Dividiendo por el área efectiva el esfuerzo cortante es:
v=
V jd .bw
=
∆T bw ∆ x
El NSR-10 aproxima el esfuerzo a: v=
V bw d
4.1 RESISTENCIA AL CORTANTE C.11.1 — Resistencia al cortante
Salvo para elementos diseñados de acuerdo con el Apéndice A, el diseño de secciones transversales sometidas a cortante debe estar basado en
φV n ≥ V u (C.11-1) donde V u es la fuerza cortante mayorada en la sección considerada y V n es la resistencia nominal al cortante calculada mediante V n = V c + V s (C.11-2) n =
donde V c es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto, calculada de acuerdo con C.11.2, C.11.3, o C.11.11 y V s es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante calculada de acuerdo con C.11.4, C.11.9.9 o C.11.11.
El esfuerzo mayorado vu se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación: vu =
Vu bw d
Donde: Vu: Fuerza cortante mayorada bw: Ancho del elemento o el ancho del alma del elemento cuando no tiene sección rectangular. d: Altura efectiva Para diseño: Vu ≤ φ Vn = φ Vc + φ Vs
Donde el coeficiente de reducción de resistencia para cortante y torsión según el C.9.3.2.3 es φ = 0.75
De acuerdo al NSR-10 se presenta lo que se debe tener en cuenta para la resistencia al cortante: C.11.1.1.1
— Al determinar V n, n, debe considerarse el efecto de cualquier abertura en los elementos. c, cuando sea aplicable, pueden incluirse los efectos de tracción axial C.11.1.1.2 — Al determinar V c, debida al flujo plástico y retracción en elementos restringidos y los efectos de la compresión inclinada por flexión en los elementos de altura variable. C.11.1.2 —
Los valores de
f ′c usados en este Capítulo no deben exceder 8.3 MPa excepto en
lo permitido en C.11.1.2.1. C.11.1.3 — Se permite calcular el máximo V u en los apoyos de acuerdo con C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2 cuando se cumplan todas las condiciones (a), (b) y (c) siguientes: (a) la reacción en el apoyo en dirección del cortante aplicado introduce compresión en las zonas extremas del elemento, (b) las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento, (c) ninguna carga concentrada se aplica entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica definida en C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2. C.11.1.3.1 — Para elementos no preesforzados, se permite diseñar las secciones localizadas a una distancia menor a d medida desde la cara del apoyo para el V u calculado a la distancia d u calculado C.11.1.4 — Para elementos de gran altura, losas y zapatas, muros, ménsulas y cartelas, deben aplicarse las disposiciones especiales de C.11.7 a C.11.11. CR11.1.3.1
— El agrietamiento inclinado más cercano al apoyo de la viga, en la figura CR11.1.3.1(a), se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo y alcanza la zona de compresión a una distancia de aproximadamente d desde la cara del apoyo. Si se aplican cargas a la parte superior de esta viga, los estribos que atraviesan esta fisura son solicitados por las cargas que actúan en el cuerpo libre de la parte inferior en la figura CR11.1.3.1(a) Las cargas aplicadas a la viga entre la cara de la columna y el punto a una distancia d medido desde la cara se transfieren directamente al apoyo por compresión en el alma en la zona localizada encima de la fisura. En la figura CR11.1.3.1(b), se muestran las cargas que actúan cerca de la cara inferior de la viga. En este caso, la sección crítica se toma en la cara del apoyo. Las cargas que actúan cerca del apoyo deben transferirse a través de la fisura inclinada que se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo. La fuerza de cortante que actúa en la sección crítica debe incluir todas las cargas aplicadas por debajo de la fisura inclinada potencial. Las condiciones típicas de apoyo donde se puede utilizar la fuerza cortante a una distancia d del apoyo, incluyen: (1) elementos apoyados sobre soportes en la base del elemento, tales como los que se muestran en la figura CR11.1.3.1(c) y (2) elementos unidos monolíticamente con otros elementos, como se muestra en la figura CR11.1.3.1(d). Las condiciones de apoyo en las cuales no se debe aplicar esta disposición incluyen: (1) elementos continuos con un elemento de soporte en tracción, tales como los que se ilustran en la figura CR11.1.3.1(e). La sección crítica para el cortante debe tomarse en este caso en la cara del soporte, también debe investigarse el cortante dentro del nudo y proporcionarse refuerzo especial en las esquinas. (2) Elementos en los cuales las cargas no están aplicadas en o cerca de la cara superior de elemento. Esta es la condición a la que hace referencia la figura CR11.1.3.1(b). Para tales casos, la sección crítica se toma en la cara del apoyo. Las cargas que actúan cerca del apoyo deben transferirse a través de una fisura inclinada que se extiende hacia arriba desde la cara del apoyo. La fuerza de cortante que actúa en la sección crítica debe incluir todas las cargas aplicadas
debajo de la fisura inclinada potencial. (3) Elementos cargados de tal manera que el cortante en las secciones entre el apoyo y una distancia d difieren radicalmente del cortante a una distancia d . Esto se presenta comúnmente en ménsulas y en vigas en las cuales se localiza una carga concentrada cerca del apoyo tal como se muestra en la figura CR11.1.3.1(f) o en zapatas apoyadas sobre pilotes. En este caso debe utilizarse el cortante en la cara del apoyo
l
Nota: Se recomienda en la mayoría de los casos calcular el cortante a una distancia d, de la cara del apoyo para la zona confinada, ya que las cargas aplicadas a la viga entre la cara de la columna y una distancia d, se transfieren directamente al apoyo por compresión en el alma de la zona localizada encima de la fisura. La zona confinada, va desde 5cm de la pared interna de la columna y se extiende hasta 2h, a partir de ahí inicia la zona no confinada que va desde 2h hasta el centro de la viga (El procedimiento es exactamente el mismo para la otra mitad de la viga ya que son simétricas) 4.2
RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE DEL CONCRETO
La resistencia al esfuerzo cortante contribuida por el concreto Vc, debe calcularse de acuerdo a C.11.2.1.1 para elementos sometidos únicamente a cortante y flexión: C.11.2.1.1. Vc = 0.17λ √ f´c bw.d . f ′c
Vc =
bw.d [ MPa ]
6
C.11.2.1.2 —
Para elementos sometidos a com presión axial:
Vc = 0.171 +
Nu Ag
C.11-3
Nu
14 Ag
λ f c′ bw.d
[ MPa]
C.11-4
en MPa
Nu: Fuerza axial mayorada Ag: Área bruta C.11.2.1.3 — Para elementos sometidos a tracción axial significativa, Vc debe tomarse como cero a menos que se haga un análisis más detallado usando C.11.2.2.3 C.11.3.2.1, Para elementos solo sometido a flexión y cortante. Vu ⋅ d Vc = 0.16λ f ′c + 17.1 ρ w bw.d ≤ 0.29λ f ′c .bw.d Mu
Donde: ρ w =
As bw d
Cuantía de acero en la sección.
bw: ancho del alma Mu: Momento flector mayorado en la sección a diseñar. Vu: cortante en la sección considerada.
[ MPa ] C.11-5
Al calcular Vc por medio de la ecuación (C.11-5), Vud Mu no debe tomarse mayor que 1.0, y Mu ocurre simultáneamente con Vu en la sección considerada.
C.11.2.2.2 — Para elementos sometidos a compresión axial, se permite utilizar la ecuación (C.11-5) para calcular Vc con Mm sustituyendo a Mu y Vu.d Mu no limitada a 1.0, donde Mm = Mu − Nu
(4h − d ) 8
Pero Vc ≤ 0.29λ f ′c .bw.d 1 +
Ec. C.11-6 del NSR-10
0.29 Nu Ag
[ MPa]
C.11-7
La cantidad Nu/Ag debe expresarse en MPa. Cuando Mm calculado según la ecuación C.11-7 resulte negativo, debe calcularse Vc con la ecuación C.11-7. Para elementos sometidos a tensión: Vc =
f ′c
1+ 6
0.29 Nu Ag
≥0
[ MPa ]
C.11.8
donde Nu es negativa para tracción. La cantidad Nu/Ag debe expresarse en MPa.
4.3
REFUERZO DE CORTANTE
C.11.4.1.1 —
Se permite refuerzo para cortante consistente en: (a) Estribos perpendiculares al eje del elemento (b) Refuerzo electro soldado de alambre con alambres Localizados perpendicularmente al eje del elemento. (c) Espirales, estribos circulares y estribos cerrados de Confinamiento.
C.11.4.1.2 —
Para elementos no pre esforzados, se permite que el refuerzo para cortante también consista en: (a) Estribos que formen un ángulo de 45º o más con el refuerzo longitudinal por tracción. (b) Refuerzo longitudinal con una parte doblada que forme un ángulo de 30º o más con el refuerzo Longitudinal de tracción. (c) Combinaciones C.11.4.2 —
Los valores de f y y f yt usados en el diseño del refuerzo para cortante no debe exceder 420 MPa excepto que el valor no debe exceder 550 MPa para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado.
4.4
ESPACIAMIENTO PARA EL REFUERZO DE CORTANTE
El espaciamiento a cortante debe cumplir con el código C.11.5.4 y c.11.4.5 y c21, el C.21.3 para estructuras con capacidad de disipación de energía DES. C.11.4.5.1 —
El espaciamiento del refuerzo de cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento no debe exceder de d 2 en elementos de concreto no preesforzado, de 0.75h en elementos preesforzados, ni de 600 mm.
C.11.4.5.2 —
Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal doblado deben estar espaciados de manera tal que cada línea a 45º, que se extienda hacia la reacción desde la mitad de la altura del elemento, d 2 , hasta el refuerzo longitudinal de tracción, debe estar cruzada por lo menos por una línea de refuerzo de cortante.
C.11.4.5.3 —
Donde V s sobrepase 0.33 f c ′b wd las separaciones máximas dadas en C.11.4.5.1 y
C.11.4.5.2 se deben reducir a la mitad.
C.21.3.4.6 —
En ambos extremos del elemento, deben disponerse estribos cerrados de confinamiento al menos No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm) por longitudes iguales a 2h , medidas desde la cara de elemento de apoyo hacia el centro de la luz. El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no más de 50 mm de la cara del elemento de apoyo. El espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento no debe exceder el menor de (a), (b), (c) y (d):
(a) d/ 4 (b) Ocho veces el diámetro de la barra longitudinal confinada más pequeña. (c) 24 veces el diámetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento. (d) 300 mm.
C.21.3.4.7 —
Cuando se requieran estribos cerrados de confinamiento, las barras longitudinales del perímetro deben tener soporte lateral conforme a C.7.10.5.3.
C.21.3.4.8 — Deben colocarse estribos con ganchos no más de d/ 2 en toda la longitud del elemento.
4.5
sísmicos en ambos extremos espaciados a
REFUERZO MINIMO DE CORTANTE
CR11.4.6.1 — El refuerzo para cortante restringe la formación de agrietamiento inclinado y, por consiguiente, aumenta la ductilidad y advierte del peligro de falla. Por lo contrario, en un alma sin refuerzo, la formación súbita del agrietamiento inclinado puede conducir directamente a una falla repentina sin advertencia. Este refuerzo es muy importante si un elemento es sometido a una fuerza de tracción imprevista, o a una sobrecarga. Por lo tanto, siempre que Vu , sea mayor que 0.5φVc se requiere un área mínima de refuerzo para cortante no menor que la especificada por las ecuaciones (C.11-13) ó (C.11-14). Se excluyen las losas macizas, las zapatas y las viguetas de losas nervadas, de este requisito mínimo, pues hay una posibilidad que la carga sea compartida entre zonas débiles y fuertes. Sin embargo, las investigacionesC.11.21-C.11.23 han demostrado que las losas en una sola dirección, de gran altura y poco reforzadas, en especial las construidas con concreto de alta resistencia, o con concreto con agregados grueso de tamaño pequeño, pueden fallar a cortante menores de Vc , calculados por medio de la ecuación (C.11-3), especialmente si están sometidas a cargas concentradas. Por esta razón, la exclusión para cierto tipo de vigas en C.11.4.6.1(e) está restringida para casos en que h no excede de 600 mm. Para vigas con fc′ mayor de 48 MPa, se deben tomar consideraciones para proporcionar el refuerzo mínimo a cortante cuando h es mayor de 450 mm y Vu es mayor de 0.5φVc . Aun cuando Vu sea menor que 0.5φVc , es recomendable el empleo algún refuerzo en toda alma delgada de elementos preesforzdos postensados (nervaduras, losas reticulares, vigas y vigas T) como refuerzo contra fuerzas de tracción en el alma, resultantes de desviaciones locales en el perfil de diseño del tendón y para proporcionar medios para soportar los tendones durante la construcción. Cuando no se proporciona soporte suficiente, pueden resultar, durante la colocación del concreto, desviaciones locales respecto al perfil uniforme parabólico del tendón supuesto en el diseño. En estos casos, las desviaciones de los tendones tienden a enderezarse cuando se tensionan. Este proceso puede imponer grandes esfuerzos de tracción en el alma y puede desarrollarse un agrietamiento severo cuando no se proporciona refuerzo en el alma. La curvatura no intencional de los tendones y los esfuerzos de tracción resultantes en el alma, pueden minimizarse amarrando de manera firme los tendones a los estribos que están rígidamente sostenidos en su sitio por otros elementos del refuerzo manteniendo su posición en el encofrado. El espaciamiento máximo de los estribos utilizados para este fin no debe exceder de 1.5h ó 1.2 m (lo que sea menor). Cuando sea adecuado, las disposiciones para el refuerzo de cortante de C.11.4.5 y C.11.4.6 requieren espaciamientos menores de los estribos. Para cargas repetitivas en
elementos sometidos a flexión, debe tenerse en cuenta en el diseño la posibilidad de que se formen fisuras inclinadas debidas a la tracción diagonal, bajo esfuerzos mucho menores que bajo cargas estáticas. En estos casos, es prudente utilizar por lo menos el refuerzo mínimo para cortante dado por las ecuaciones (C.11-13) ó (C.11-14), aun en el caso de que los ensayos y cálculos basados en cargas estáticas muestren que no se requiere refuerzo para cortante.
C.11.4.6.3 —
Cuando se requiera refuerzo para cortante, de acuerdo con C.11.4.6.1 o para resistencia y cuando C.11.5.1 permita que la torsión sea despreciada, Av ,min para elementos preesforzados (excepto en lo previsto por C.11.4.6.4) y no preesforzados se debe calcular mediante:
´
A vmin = 0.062
Pero no debe ser menor a (0.35bw s /fyt )
4.6
DISEÑO DEL REFUERZO A CORTANTE.
Cuando vu ≥ φ vc + φ vs , debe suministrarse refuerzo a cortante de tal forma que Vs ≤
Vu
φ
− Vc y que cumpla C.11.5.6.
4.6.1 Para refuerzo cortante perpendicular al eje del elemento Vs =
Avfyt * d s
Av : Área del refuerzo cortante s : Espaciamiento del refuerzo cortante
4.6.2 Para estribos inclinados Vs =
Avfy ( Senα + Cosα ) s
* d
α : Ángulo entre los estribos inclinados o barras longitudinales dobladas y el eje
longitudinal del elemento
4.6.3 Para refuerzo a cortante que consista en una sola barra o grupo de barras paralelas, dobladas a la misma distancia del apoyo vs =
Avfy ( Senα )
≤
f ′c *
4
* bw * d
4.6.4 La resistencia al cortante contribuida por el refuerzo es:
φ vs ≤ φ
2 f ′c * bwd 3
4.6.5 Únicamente las 3/4 partes centrales de la porción inclinada de cualquier barra longitudinal doblada pueden considerarse efectivas como refuerzo a cortante. 4.6.1 Estribos perpendiculares En una viga de altura h y refuerzo As se forma una grieta.
La fuerza cortante en la sección es. Vn = Vc + nAvfy
Donde: Av: Área de la sección transversal del estribo. Vu: Cortante de falla Vc: Resistencia al cortante del concreto n: Numero de estribos de área As, igual a d/s que atraviesan la grieta s: Separación de estribos. Debe garantizar que las grietas a 45° no pasen la altura efectiva. Dividiendo por bwd y multiplicando por φ : Vu bw d
= φ
Vc bw d
vu = φ vc + φ s=
+ φ
d Avfy s bw d
Avfy bw s
φ Avfy Avfy = (vu − φ vc)bw vs ⋅ bw
La separación de estribos debe garantizar que las grietas a 45°, no pasen de la mitad de la altura efectiva.
4.6.2 Refuerzo longitudinal doblado
Tanx =
Cot = X=d cotg α Vs= Es perpendicular a la sección transversal Vv = vs*Sen(α) Vv= nAv*fy* Sen(α)
El cortante de falla es: Vn = Vc + nAvfySenα
Donde:
Senα =
Vv =Vs* Senα
Vv =(n*Av*fy)* Senα Vu: Cortante de falla Vc: Resistencia al cortante del concreto n: numero de barras dobladas n=
d + dCotgα s
=
d (1 + Cotgα ) s
Divido por bwd y multiplico por φ φ
Vu bw d
= φ
Vc bw d
vu = φ vc + φ
Av =
+
d (1 + Cotgα ) AvfySenα
Avfy bw s
s
bw d
( Senα + Cosα )
(vu − φ vc)bw s φ fy ( Senα + Cosα )
Para carga uniforme y diagrama de esfuerzos triangular: vs * bw * s (vu − φ vc)b * s Av = = t φ fy ( Senα + Cosα ) φ fy ( Senα + Cosα )
Las grietas se forman aproximadamente a 45 0 y separados a una distancia d, se debe garantizar que el refuerzo a cortante cruce la grieta a una altura d/2 (C.11.5.4.2).
1. Problema: Una viga de luz libre interior de 10 m, tiene concreto de f ′c = 21 MPa , y acero de fy = 420 MPa , se encuentra reforzada con As = 6φ 1′′ y A′s = 3φ 1′′ , la sección transversal es de 30x50 cm. La viga soporta una carga muerta de 20 kN/m y una carga viva de 10 kN/m. Diseñar el refuerzo a cortante si la columna tiene una sección de 50x50 cm (20db Ver C.21), y la zona de amenaza. sísmica es alta.
1. Cortante a una distancia d de la cara de la columna: φvn = φ vc + = φ vs
´+φ ´
φvn = φ Vu d
5.0 − 0.42 vud =
=
225 5.0
Vud = 206.1 kN
206.1 = 1635.7 kPa bw d 0.30 * 0.42
Vud
φ vc = φ
=
f ′c
6
=
0.75 21 = 572.8 kPa Se necesitan estribos. 6
2. Diagrama de esfuerzo cortante. φ vs = vu − φ vc = 1635.7 − 572.8 = 1062.9 vs = 1062.9 kPa
1635.7 650 = 4.58 x x = 1.82 m
3. Separación de estribos; usando φ 3 / 8′′ de dos ramas
0.71 *10 −4 * 2 * 420 *10 6 = = 0.17 m s= (vu − φ vc)bw 1062.9 *10 3 * 0.3 Avfy
3.1.1 Revisión de separación máxima (C.11.5.4). Poner estribos hasta d = 0.42 m a partir de la cara del apoyo. Si φ vs = vu − φ vc > φ
f ′c
los espaciamientos se reducen a la mitad. 3 21 φ vs = 1062.9 < 0.85 = 1298.4kPa 3
Usar d/2 = 0.21m Vu ≤ φVn = φVc+φVs 3.1.3 El área mínima de refuerzo a cortante despreciando la torsión es: Av =
bw s
3 fy
Donde: s, bw en mm fy: MPa Av: mm 2
225 3 Avfy 3 * 71 * 2 * 420 5 5 = = 596.4 mm s= 300 b w V (2 h ) = 180 kN 180 v( 2 h ) = = 1428.57 kP a 3.2 Para estructuras con capacidad de disipación de 0.3 * 0.42 energía especial DES (C.21.3.3) Vu ( 2 h )
=
3.2.1 Deben ponerse estribos de confinamiento por una distancia igual a 2h desde la cara del apoyo
2h = 0.5 * 2 = 1.0m 3.2.2 Separación máxima ( ZONA CONFINADA) s max ≤ d / 4 = 0.42 / 4 = 0.105m = 10.5 cm s max ≤ 8db = 8 * 2.54 = s max s max
20.3 cm ≤ 24db(estribos ) = 24 * 0.953 = 22.9 cm ≤ 300 mm
3.3 Donde no se requieren estribos de confinamiento el espaciamiento máximo de los estribos es d/2 = 0.42/2=0.21 m con ganchos a 1350 3.4 Longitud donde se requiere refuerzo es L = 2.98 m 3.5 En la zona donde empieza la longitud no confinada, se revisa los espaciamientos. L NC = 5.0 - 0.84 = 4.16 m
El Diagrama de esfuerzos cortantes queda:
1428.6-572.8= 1428.57 572.8 572.8
d 0.71 * 10 −4 * 2 * 420 * 10 6 s max = = 0.23m > = 0.21 m 855.7 * 0.3 2
Usar Estribos φ 3 / 8′′ : Zona confinada: φ 3 / 8′′ @10.5 cm Zona donde se necesita refuerzo: φ 3 / 8′′ @21 cm Zona no confinada : φ 3 / 8′′ @21 cm
2. Problema: Resolver el problema anterior usando la resistencia al concreto del C.11.3.2 f ′c
vc =
7
+ 17.1ρ w
Vu ⋅ d
≤ 0.3 f c′
Mu
Mu: Momento mayorado en la sección considerada Vu : Cortante mayorado en la sección considerada ρ w =
Pero
As bw d
=
Vu ⋅ d Mu
6 * 5.1 = 0.02428 30 * 42
≤ 1.0
Cortante y momento
225 − 45 x 45 x 2 + 409.1 − 225 x = 0 Mu + 2 2 Mu = −225 x + 225 x − 409.1 Vu =
Se hace una tabla y se calcula smax en las 2 zonas ( zona confinada y zona no confinada) suponiendo estribos perpendiculares con s = Dist. Apoyo
φ Avfy (vu − φ vc)bw
Mu (kN.m) Vu (kN) vu (kPa) Vu*d/Mu
vc (kPa)
vs (kPa)
s (m)
smax
Zona confinada
0.42
-318.6
20 6. 1
1 63 5. 7
0.272
460.5
1175.2
0.169
0.105
Zona confinada
0.84
-236.0
18 7. 2
1 48 5. 7
0.333
438.8
1046.9
0.190
0.1050
Zona confinada
1
-206.6
180
1428.6
0.366
427.3
1001.3
0.199
0.20
Zona no confinada
1.2
-171.5
171
1357.1
0.419
408.6
948.5
0.210
0.21
Zona no confinada
1.4
-138.2
162
1285.7
0.492
382.7
903.0
0.220
0.21
Zona no confinada
1.6
-106.7
153
1214.3
0.602
343.9
870.4
0.228
0.21
Zona no confinada
1.8
-77.0
144
1142.9
0.785
279.2
863.7
0.230
0.21
Zona no confinada
2
-49.1
135
1071.4
-1.155
148.8
922.6
0.215
0.21
Zona no confinada
2.2
-23.0
126
1000.0
1.4
998.6
0.199
0.20
Zona no confinada
2.4
1.3
117
928.6
37.800
13899.6
-12971.0
-0.015
-0.02
Zona no confinada
2.6
23.8
108
857.1
1.906
1229.2
-3 72. 1
-0 .5 34
- 0. 53
Zona no confinada
2.8
44.5
99
785.7
0.934
886.3
-100.6
-1.977
-1.98
Zona no confinada
3
63.4
90
714.3
0.596
766.9
-52.6
-3.777
-3.78
Zona no confinada
3.18
78.9
81.9
650.0
0.436
710.4
-60.4
-3.291
-3.29
-2.301
5. TORSION El momento de torsión causa esfuerzos cortantes. La distribución de esfuerzos sobre una sección, se puede comparar usando la analogía de la película o membrana de jabón. La pendiente máxima en cada punto de la membrana, es proporcional al esfuerzo cortante en el punto y este actúa perpendicular a la línea de máxima pendiente.
El torque es proporcional al volumen bajo la membrana. Para una sección circular τ max =
Tr J
Máximo esfuerzo cortante
T: torque π .r 4 π .d 4 J = = Momento polar de inercia 2 32 r: Radio La distribución de esfuerzos cortantes en la sección se presenta en la figura del lado derecho. Para una sección rectangular elástica: τ max =
T
α x 2 y
x : Dimensión más corta del rectángulo y : Dimensión más larga del rectángulo α : Coeficiente que depende de la relación x/y. Para una sección cuadrada x/y = 1.0 y α = 0.208 y para una losa plana muy larga x/y = ∞ y α =1/3.
α =
1 3 + 1.8 x / y
Para una sección de rectángulos τ max ≈
T
∑α x 2 y
Para una sección plástica, el esfuerzo cortante es constante en todos los puntos. En una sección circular la membrana se reemplaza por un cono y para la sección rectangular, es una pirámide. Esto se conoce como la analogía del montón de arena. τ p =
T
α p x 2 y
Para secciones huecas el esfuerzo cortante es:
q=tτ T = 2qA0
τ = T
2 A0 t
t: Espesor de la pared T: torque Ao: Área limitada por el flujo cortante q = t τ Flujo cortante
3. Problema: Calcule el esfuerzo cortante producido por la torsión en los puntos (1) y (2) de un puente con sección viga cajón bajo un torque T=2200 kN.m.
Ao = 7.35 * 2.175 + Ao = 16.15 m
2 * 0.075 * 2.175 2
2
Sección (1) τ =
T
2 A0 t 2200 τ = = 136.22 kPa 2 *16.15 * 0.5 Sección (2) 2200 τ = = 194.6 kPa 2 *16.15 * 0.35
5.1 TORSIÓN PURA Los Esfuerzos cortantes en la sección se pueden esquematizar como. (Poner fotos)
Los Esfuerzos principales se presentan a 45° de los esfuerzos cortantes τ Max
Las Grietas producidas por la torsión son producidas en espiral como se muestra en la siguiente figura.
En el siguiente gráfico se muestran los resultados de ensayos de vigas sin estribos, cargadas con varias relaciones de torque
Tc Tcu
y cortante
Vc Vcu
.
Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.
La envolvente inferior de los datos es un cuarto de elipse de la forma:
2
2
Tc Vc + =1 Tcu Vcu
Donde: 2
Tcu = 1.6 * f ′c * x y Vcu = 2.68 * f ′c * bw d
En unidades inglesas.
5.2 CARÁCTERÍSTICAS DEL DISEÑO A TORSIÓN Existen dos teorías para explicar los esfuerzos en los elementos de concreto. La primera es la teoría de la flexo – torsión, desarrollada por Lessig, y fue la base de diseño hasta el código ACI – 1989. La segunda teoría basada en tubos de pared delgada y en un modelo de armadura espacial plástico, presentado por Lampert, Thinlimann y Collins forman las bases del ACI2008 y NSR2010, se asume que cierta parte del cortante y torsión es resistido por el concreto y el resto por el refuerzo.
5.2.1 Tubo de pared delgada y Armadura espacial plástica La Base del modelo del comportamiento mecánico considera que los elementos sólidos y huecos son tubos, esto se debe a que cuando ocurre el agrietamiento por torsión, el concreto en el centro del elemento tiene poco efecto sobre los esfuerzos torsionales y se puede despreciar dando como resultado un elemento tubular. El agrietamiento por torsión es resistido por el flujo de cortante q sobre el perímetro, y el centro prácticamente no resiste esfuerzos torsionales. La viga se idealiza como un tubo de pared delgada, y después del agrietamiento, el tubo se considera formado por estribos cerrados con barras longitudinales en las esquinas y diagonales de concreto a 45 0 que trabajan en compresión, separados a mitad de los estribos.
Tubo plástico
Armadura plástica espacial
5.2.2 Fundamentos del Diseño a torsión Si no hay grietas de torsión, no se requiere refuerzo a cortante. Para torsión pura los esfuerzos principales σ 1 son iguales a los cortantes τ . En un elemento tubular se tiene: σ 1 = τ =
T
2 A0t
En una sección sólida se define el espesor equivalente para el tubo de agrietamiento. Según el código canadiense: t =
3 Acp 4Pcp
Pcp: Perímetro de la sección de concreto Acp: Área encerrada por el perímetro A0 : Área encerrada por las líneas centrales de las paredes del tubo de espesor t A0 =
2 Acp 3
Reemplazando en σ 1 = τ =
T
2 A0t
:
σ 1 = τ =
2*
T 2 Acp
3
*
3 Acp 4 Pcp
=
T * Pcp Acp 2
El agrietamiento ocurre cuando los esfuerzos principales de tensión alcanzan la resistencia del concreto en tensión igual fr =
f ′c
3
. Para torsión y compresión biaxial.
T Pcp 1 f c′ = CR 2 3 Acp T CR =
Acp 2 1 f c′ 3 Pcp 2
2
Tc Vc De la ecuación de la elipse + = 1 , un torque de 0.25TCR , reduce el cortante Tcu Vcu
VCR en 3%. Los esfuerzos de torsión pueden despreciarse cuando el torque ultimo es: Tu ≤ 0.25T CR ≤ φ
f c′ Acp 2
C.11.6.1 12 Pcp
Ecuación C.11 -20 del NSR98
TORSION MAYORADA CR11.5.2 — Cálculo del momento torsional mayorado CR11.5.2.1 y CR11.5.2.2 — En el diseño por torsión de estructuras de concreto reforzado se pueden identificar dos condiciones:C.11.34,C.11.35 (a) Los momentos torsionales no pueden ser reducidos por la redistribución de fuerzas internas (C.11.5.2.1). Esto se identifica como “torsión de equilibrio”, dado que el momento torsional se requiere para el equilibrio de la estructura. Para esta condición, ilustrada en la figura CR11.5.2.1, el refuerzo por torsión diseñado de acuerdo con C.11.5.3 a C.11.5.6 debe disponerse para tomar toda la torsión.
(b) El momento torsional puede ser reducido por la redistribución de fuerzas internas después del agrietamiento (C.11.5.2.2) si la torsión proviene del giro del elemento necesario para mantener la compatibilidad de NSR-10 – Capítulo C.11 – Cortante y torsión
C.11.5.2 - CALCULO DE LA TORSION MAYORADA Tu - Si se requiere del momento torsional mayorado Tu en un elemento para mantener el equilibrio y su valor excede el mínimo dado en C.11.5.1, el elemento debe ser diseñado para soportar Tu de acuerdo con C.11.5.3 a C.11.5.6. (a) para elementos sólidos no preesforzados, y estáticamente indeterminadas Acp 2 Tu = φ 0.33 f c′ Pcp
Para elementos no preesforzados sólidos, sometidos a una fuerza axial de tracción el torque es: Acp 2 3 Nu ′ 1 + Tu ≤ φ 0.33 f c 0.33 Ag f ′c Pcp Nu: Fuerza axial mayorada, es negativa cuando esta en tracción Ag: Área bruta de la sección.
En los casos (a), (b) ó (c), los momentos de flexión y las fuerzas cortantes redistribuidas a los elementos adyacentes deben usarse en el diseño de estos elementos. Para secciones huecas, Acp no debe ser reemplazado por Ag en C.11.5.2.2. (b) Estáticamente determinadas Acp 2 Tu = φ 0.083 f c′ Pcp
Para elementos no preesforzados sólidos, sometidos a una fuerza axial de tracción el torque es: Acp 2 3 Nu 1 + 0.33 Ag f ′c Pcp
Tu ≤ φ 0.083 f ′c
Nu: Fuerza axial mayorada, es negativa cuando esta en tracción Ag: Área bruta de la sección. En elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala usado para calcular Acp y Pcp debe cumplir con C.13.2.4. Para una sección hueca, se debe usar Ag en lugar de Acp en C.11.5.1 y en los límites externos de la sección deben cumplir con C.13.2.4. C.11.5.2.3 — A menos que se determine por medio de un análisis más exacto, se permite tomar las cargas torsionales de la losa como uniformemente distribuidas a lo largo del elemento. C.11.5.2.4 — En elementos no preesforzados, las secciones ubicadas a menos de una distancia d de la cara de un apoyo deben ser diseñadas por lo menos para Tu calculada a una distancia d . Si se presenta un torque concentrado dentro de dicha distancia, la sección crítica de diseño debe ser la cara del apoyo. Si el torque ultimo es mayor que esta igualdad, se tiene en cuenta los diseños de torsión y se entra a complementar el diseño debido a los efectos de torsión (Refuerzo longitudinal y estribos por torsión) En estos casos los correspondientes momentos y cortantes, obtenidos después de la redistribución a los elementos adjuntos, deben utilizarse en el diseño. Para elementos con secciones huecas, Tu debe multiplicarse por (Ag/Acp).
CR11.5.3.5 — La resistencia torsional mayorada φTn debe ser igual o mayor que la torsión Tu debida a las cargas mayoradas. Para el cálculo de Tn , se supone que todo el torque es resistido por los estribos y el acero longitudinal con Tc = 0 . Al mismo tiempo, la resistencia nominal a cortante del concreto Vc se supone que no cambia por la presencia de torsión. En vigas con Vu mayor que aproximadamente 0.8φVc , la cantidad de refuerzo combinado de torsión y cortante es esencialmente el mismo que el requerido por el Reglamento ACI 318 de 1989. Para mayores valores de Vu , se requiere más refuerzo de cortante y torsión. 5.2.3 Torsión y cortante máximo Un miembro cargado por torsión y cortante falla por fluencia en los estribos y el refuerzo longitudinal, o fractura en el concreto por la fuerza a compresión o tension diagonal D 2 El esfuerzo cortante es: vu =
Vu bw d
El esfuerzo cortante por torsión es:
Tu
vu =
2 A0 t
Después de la falla por torsión Ao = 0.85A 0h y t = Tu
vu =
2 * 0.85 A0 h *
A0 h
=
A0 h Ph
TuPh
1.7 A0 h 2
ph
En una sección hueca, se suman los dos esfuerzos en un lado Vu bw d
+
TuPh
1.7 A0h 2
Vc + 0.66 f ´c bw.d
≤ φ
En el lado (1) se suman los esfuerzos y en el (2) se restan
Si t <
A0 h Ph
, el segundo término del lado izquierdo de la ecuación se toma como:
Tu
1.7 A0 h t Para secciones sólidas y siendo conservativos se saca la raíz: 2
2
Vu TuPh Vc ≤ φ + + 0.66 f ´c C11.6.3.1 2 bw.d bw d 1.7 A0 h
Cuando se reduzca la rigidez torsional en una viga que le sirva de apoyo a otra, el torque disminuye en la viga de apoyo, así como el momento de la viga apoyada, presentándose una redistribución de momentos. Tu se puede reducir en: Tu = φ
f c′ Acp 2
3 Pcp
5.2.4 Refuerzo transversal De la armadura plástica espacial, la fuerza por unidad de longitud o flujo cortante es: q =
T
, donde q = τ ⋅ t
2 A0
La fuerza cortante por torsión a lo largo de la parte superior e inferior es: τ = τ =
V A
=
V x o .t
V
=
y o .t
T
2 A0 .t
La fuerza cortante por torsión en los lados verticales: V 1 = V 3 =
T
x0
2 A0
V 2 = V 4 =
T
2 A0
y0
El par interno de momentos es: T = V 1 y0 + V 2 x0
Reemplazo V1 y V2 T
T 2Tx 0 y 0 x 0 y 0 + y 0 x 0 = 2 A0 2 A0 2 A0
T =
A0 = x 0 y 0
Para un lado vertical, la grieta inclinada corta n estribos. n=
y 0 Cotgθ s
, donde θ es la inclinación de la grieta y s es el espaciamiento de los
estribos.
Asumiendo que todos los estribos fluyen, la fuerza en el estribo es:
V 2 = At ⋅ fyt ⋅ n =
At . fy y . y 0 s
Cotgθ
At: Área transversal de un solo estribo fyv = Esfuerzo de fluencia en los estribos Reemplazo V 2 = T
2 A0
y 0 =
Tn =
T
2 A0
y 0 en la ecuación anterior se tiene:
(Yo) A0 Atfyv s
2 A0 Atfy t s
Cotgθ
Cotgθ
C11.6.3.6 ACI
Ecuación C.11 -21 NSR-10
Tn: capacidad nominal de torsión en la sección. A0 debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar A 0 como 0.85A0h, θ no debe tomarse menor que 30º ni mayor de 60º. Se permite tomar θ como 45º en elementos no preesforzados,. A0 = área bruta definida por la trayectoria del flujo de cortante, expresada en mm². A0h = área definida por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección de concreto, expresada en mm².
5.2.5 Refuerzo Longitudinal Fig. CR11.5.3.7 — Descomposición de la fuerza de cortante Vi en una fuerza de compresión Di y una fuerza de tracción axial Ni en una de las paredes del tubo
La fuerza cortante se puede descomponer en:
D2 =
V 2 Senθ
Diagonal de compresión en concreto
N 2 = V 2 Cotg θ
Fuerza longitudinal que resiste en las barras de la esquina
Para elementos rectangulares, usando el modelo de armadura espacial se tiene que la fuerza longitudinal total es: N = 2( N 1 + N 2 ) N 1 = V 1Cotgθ
Reemplazo V 1 = N = N =
T
2 A0
x 0 , V 2 =
T
2 A0
y 0 , N 1 = V 1Cotgθ y N 2 = V 2 Cotg θ .
2(V 1Cotgθ + V 2 Cotgθ ) Tn
2 A0
2( x 0 + y 0 )Cotgθ
Ph = 2( x0 + y0 ) : Perímetro del estribo
Asumiendo que el refuerzo longitudinal Aℓ fluye:
N = Al fy l
fyℓ: Esfuerzo fluencia Aℓ: Área de refuerzo longitudinal Al =
N fy l
=
TnPh
2 A0 fy
Cotgθ l
Reemplazando Tn: Al =
2 A0 Atfyv s
Cotgθ
Ph Cotgθ 2 A0 fyl
fy At 2 Ph v Cotg θ s fy (Ec. C.11.5.3.7 del NSR-10 Y EC 11-22 ACI 318) Refuerzo
Al =
l
longitudinal adicional requerido por torsión. As = área del refuerzo no preesforzado que trabaja a tracción, expresada en mm². At = área de una rama de estribo cerrado que resiste torsión dentro de una distancia s, expresada en mm². C.11.5.3.7 — El área adicional de refuerzo longitudinal necesario para resistir torsión, Al , no debe ser menor que:
A= P( !!"c#$θ donde θ debe tener el mismo valor usado en la ecuación (C.11-21) y At/s debe tomarse como la cantidad calculada con la ecuación (C.11-21) sin modificarla de acuerdo con C.11.5.5.2 ó C.11.5.5.3; fyt se refiere al refuerzo transversal cerrado para torsión y fy al refuerzo longitudinal de torsión.
5.3 REFUERZO POR TORSION CR11.5.4.1 — Se requiere tanto de refuerzo longitudinal como de estribos transversales cerrados para resistir los esfuerzos diagonales de tracción debidos a torsión. Los estribos deben ser cerrados, debido a que el agrietamiento inclinado causado por torsión puede producirse en todas las caras del elemento. En el caso de secciones sometidas primordialmente a torsión, el recubrimiento de concreto sobre los estribos se descascara con torques altos.C.11.37 Esto vuelve a los estribos empalmados por traslapo inefectivos, conduciendo a una falla prematura por torsión.C.11.38 En tales casos, no deben usarse los estribos cerrados hechos con un par de estribos en U empalmados por traslapo.
CR11.5.4.2 — Cuando una viga rectangular falla a torsión, las esquinas de la viga tienden a descascararse debido a los esfuerzos inclinados de compresión en las diagonales de concreto de la cercha espacial, las que cambian de dirección en la esquina como se muestra en la figura CR11.5.4.2(a). En ensayos,C.11.37 los estribos cerrados anclados con ganchos de 90° fallaron cuando esto ocurrió. Por esta razón, son preferibles en todos los casos los ganchos estándar de 135° ó los ganchos sísmicos para estribos de torsión. En lugares donde este descascaramiento esta restringido por una losa o ala adyacente, C.11.5.4.2(b) relaja esto y permite ganchos de 90° (véase la figura CR11.5.4.2(b)). CR11.5.4.3 — Si cerca del extremo de una viga actúa una torsión alta, el refuerzo longitudinal para torsión debe estar adecuadamente anclado. Debe disponerse la suficiente longitud de desarrollo fuera de la cara interior del apoyo para desarrollar la fuerza de tracción necesaria en las barras o tendones. En el caso de barras esto puede requerir ganchos o barras U horizontales empalmadas por traslapo con el refuerzo longitudinal para torsión. CR11.5.4.4 — Los estribos cerrados, dispuestos para torsión en una sección hueca, deben estar ubicados en la mitad exterior del espesor de la pared efectivo para torsión, donde el espesor de la pared se puede tomar como Aoh/ph
REFUERZO MINIMO PARA TORSION (NSR-10)
CR11.5.5.1 y CR11.5.5.2 — Si un elemento está sometido a un momento torsional mayorado Tu mayor que los valores especificados en C.11.5.1, la cantidad mínima de refuerzo transversal en el alma para la combinación de cortante y torsión es 0.35 bws f yt . Deben notarse las diferencias en la definición de Av y del símbolo At ; Av es el área de dos ramas de un estribo cerrado mientras que At es el área de una sola rama de un estribo cerrado. C.11.5.5.2 — Donde se requiera refuerzo para torsión de acuerdo con C.11.5.5.1, el área mínima de estribos cerrados debe calcularse como:
' ( % +2 % & )= 0.062 ´ ( " Pero no debe ser menor de (0.35 bws/ fyt )
C.11.5.5.3 — Donde se requiera refuerzo para torsión de acuerdo con C.11.5.5.1, el área mínima total de refuerzo longitudinal para torsión, Al ,min, debe calcularse como:
%)*+,=-./0312 4 (0" 56 ´
donde At s no debe tomarse menor que 0.175 bw fyt ; fyt se refiere al refuerzo transversal cerrado para torsión y fy al refuerzo longitudinal para torsión.
5.3.1 Cortante y Torsión Combinadas Cuando actúan cortante y torsión se presenta un diagrama de interacción elíptica.
Según la analogía del armazón espacial, se asume que toda la torsión la toma el refuerzo Ts y el concreto no toma nada Vn = Vc + Vs Tn = Ts
No hay interacción entre Vc y Tc
5.4 DISEÑO POR TORSIÓN La ecuación de diseño es: φ Tn ≥ Tu
C.9.3.2.3
φ =0.75 Cortante y torsión
La sección critica se localiza a una distancia d de la cara del apoyo (C.11.6.2.4) Acp: Área encerrada por el perímetro de la sección transversal Pcp: Perímetro de Acp Ao: perímetro encerrado por el flujo de cortante, se puede tomar como 0.85A oh Aoh: Área encerrada por la línea central de los estribos. Se presentan algunos ejemplos de A0h
5.4.1 Refuerzo por torsión
Estribos cerrados que cumplen con: Tn =
2 A0 Atfy v s
Cotgθ
At fy v Cotg 2θ Ph s fyl
Barras longitudinales que cumplen: Al =
Para cortante y torsión combinada el área mínima de estribos debe calcularse en terminos de la longitud de la viga s como: Av +t s
=
Av s
+
2 At s
Av: Área del refuerzo cortante en una distancia s (área de 2 ramas del estribo) At: Área de una rama de estribo cerrado que resiste torsión en una distancia s. Cuando Tu >
φ f ′c Acp 2
, el área mínima de estribos debe calcularse como: (C11.6.5.2) 12 Pcp
bw s
Ecuación C.11-30 3 fyv fyv: Resistencia nominal a la fluencia del refuerzo transversal Av + 2 At ≥
Para elementos en torsión pura, y de acuerdo a unas relaciones entre los estribos y refuerzo longitudinal y el volumen de concreto, se toma que la mínima relación volumétrica esta alrededor de 1%. Al min s Acp ⋅ s
+
AtPh Acp ⋅ s
≥ 0.01
τ : Esfuerzo a torsión
v : Esfuerzo a cortante
(a) para elementos sólidos no preesforzados, y estáticamente indeterminadas Tu = φ
f c′ Acp 2
3 Pcp
(b) estáticamente determinadas Tu = φ
f c′ Acp 2
12 Pcp
Despejando Aℓ, y multiplicando por un límte práctico de τ (τ + v) = 2 3 para vigas, el área mínima de refuerzo longitudinal para torsión se calcula como: Al
min =
5 f ′c fy At Acp − Ph v C.11.6.5.3 12 fy s fy l
l
Ecuación C.11-31 (NSR10) y 11-24 ACI 318 Esta ecuación fue derivada para torsión pura, cuando se combina con cortante, momento y torsión, no es clara la cantidad de área de estribos incluidos en At/s. Al,min no puede ser menor que cero y At/s debe corresponder a la cantidad calculada por medio de la ecuación C.11-28 pero no menos que (1/6)bw/fyv.
5.5 ESPACIAMIENTO Se debe cumplir con el espaciamiento de los requisitos en el C.11.6.6 del NSR98. Refuerzo transversal s < Ph / 8 s < 300mm Refuerzo longitudinal s < 300mm db: diámetro del estribo db min : φ 3 / 8′′ Debe haber una barra longitudinal en cada esquina. El refuerzo de torsión longitudinal y transversal At + A ℓ, debe llevarse hasta una distancia mayor a (bt +d) más allá del punto donde no se requiera. bt: Ancho de la sección transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten la torsión. Las barras longitudinales deben tener un diámetro de 0.042 veces el estribo, pero no menor a φ 3 / 8′′
C.11.5.6.1 — El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre ph/ 8 y 300 mm. C.11.5.6.2 — El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe estar distribuido a lo largo del perímetro del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 300 mm. Las barras longitudinales o tendones deben estar dentro de los estribos. Debe haber al menos
una barra longitudinal o tendón en cada esquina de los estribos. Las barras longitudinales deben tener un diámetro de al menos 0.042 veces el espaciamiento entre estribos, pero no menos de diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm). C.11.5.6.3 — El refuerzo para torsión debe disponerse en una distancia al menos ( bt + d ) más allá del punto en que se requiera por análisis.
5.6 MÉTODOLOGÍA DE DISEÑO 1. Calcular Mu 2. Predimensionar b y h. Para evitar problemas de torsion; es mejor asumir una seccion rectangular 3. Incluir peso propio y recalcular Mu,Vu y Tu. Calcular el área requerida por flexión. 4. Revisar a) Tu <
b) Tu <
φ f ′c Acp 2
,(Estáticamente determinada) 12 Pcp
φ f ′c Acp 2
3
, (Estáticamente indeterminada) Pcp
Si es mayor se debe considerar la torsión, si es menor se desprecia. 5. Revisar las dimensiones de la sección. 5.1 Secciones sólidas 2
2 2 f c′ TuPh Vu ≤ φ + vc + 2 3 bw.d 1.7 A0 h
5.2 Secciones huecas vu +
TuPh
1.7 A0 h 2
≤ φ vc +
2 f c′ 3
Si Tu excede los valores anteriores se debe aumentar las sección. 6. Calcular el área de los estribos de cortante Av/s
vs =
Avfy bw s
Si vs >
2 f c′ , se debe aumentar la sección 3
7. Calcular el área de los estribos de torsión φ Tn ≥ Tu Tn =
2 A0 Atfy v s
Cotgθ
8. Sumar áreas de cortante y torsión Av+t = Av + 2 At y seleccionar los estribos. Revisar que el refuerzo de los estribos sea mayor que el mínimo (Ecuación C.11-30) y el espaciamiento C.11.6.6.1. 9. Diseñar el refuerzo longitudinal con: fy At 2 Ph v Cotg θ s fy
Al =
l
Y adicione al refuerzo de flexión y debe ser mayor y cumplir con el C.11.6.5.3 Ecuación C.11-31.
3. Problema: Una viga en voladizo soporta su peso propio y la carga puntual mostrada. La carga muerta es 25 kN y la viva 38 kN, f ′c = 21 MPa y fy=420 MPa. Diseñar la viga.
1. Predimensionamiento h=
L
=
2.0 = 0.25m 8
8 b = 0.25m
2400 * 9.81 * 0.25 2 ≈ 1.5 kN / m Se desprecia el peso propio 1000 wu =1.2*25+1.6*38 =90.8 kN Peso propio w pp =
2. Calculo de Mu, Vu y Tu M (Kn*m) -200 2.0 2.0
2.2
3. Se calcula As
φ Mn = φρ fybd 2 1 − 0.59
ρ fy f c′
ρ = 0.02125
0.85 β 1 f ´c 600 = 0.02125 600 + fy fy ρ max = 0.65 ρ b = 0.014 ρ = 0.02125 > ρ max ρ b =
Se aumenta la sección a h = 45 cm y b = 30cm. ρ = 0.013 As = 15.63 cm 2
Se incluye el peso propio.
w pp = 24 * 0.45 * 0.3 ≈ 33.24 kN / m Mu pp = [3.18 * 0.2 * 2.15 + 3.18 * 2 * 1.0] * 1.4 Mu pp = 10.8 kN / m MuT = 200 + 10.8 = 210.886 kN / m
ρ = 0.0139 As = 16.7 cm Usar
2
2φ 1"+1φ 7 8 "
4. Revisar efectos de torsión f ′c Acp 2
12 Pcp 21 (0.3 * 0.45) 2 = 3.48kN .m < 20kN 0.85 * 12 2 * (0.3 + 0.45)
Tu < φ
Tu=0.09072Kn*m+20Kn*m =20.1Kn*m Tu=20.1Kn*m > 3.48 KN*m Se deben considerar los efectos de torsión 5. Revisión de las dimensiones 2
2 f c′ vu TuPh vc + + φ ≤ 2 3 bw d 1.7 A0 h Ph = 2 * ( x 0 + y 0 ) Ph = 2 * ( 210.5 + 360.5) Ph = 1.142m A0 h =
0.2105 * 0.3605 = 0.076m 2
2 2 21 2 21 100 + 9.98 20.1 * 1.142 + ≤ + 0 . 75 * 1000 * 1000 2 0 . 3 * 0 . 40 6 3 1 . 7 * 0 . 076
2516.2kPa ≤ 2864.11kPa
La sección es suficiente 6. Área de estribos para cortante Av/s φ vs =
Avfy bw s
φ vs > vu − φ vc φ Vs=
9-:.:; -.<='√ 9*1000 *1000> ' 7 8 √ -.'-./ 4
2291.29>343.678 Smax ≤ d/4=0.1 m Smax ≤ 8*b*l=0.2 m Smax ≤ 24*dbe=0.228 m Smax ≤ 300mm Smax ≤ (0.71*2)(420*106) 0.3 + 343 .678 * 10 3 = = 0.000245 m 2 / m 6 s 420 * 10 (0.71 * 2) / 100 2 s= = 0.578 m 0.000245 100 2 φ vs = 21 = 3055.1Kpa − 760 = 73.3kPa < 0.3 * 0.40 3 Av
7. Estribos de torsión At/s Tn =
2 A0 Atfy v s
Cotgθ Se debe cumplir φ Tn ≥ Tu
2 A0 = 0.85 A0 h = 0.85 * 0.076 = 0.065m
Tn =
Tu
φ
=
20.1 = 23.64kN .m 0.85
2 2 cm 26.78 * 10 3 −4 m = = = 4.94 * 10 = 0.0494 2 A0 fy v Cotgθ 2 * 0.065 * 420 * 10 6 * Cotg 45 s m cm 2 s = 32.9 cm
At
Tn
8. Revisión del espaciamiento. Separación máxima por torsión
s max < Ph = 1.142 = 0.14m
8
8
s max < 30cm
Refuerzo combinado Av + 2 At ≥
Av + t s
=
bw s
3 fyv
Av + 2 At s
≥
bw
3 fy v
2 * 0.0131 + 2 * 0.0431 >
0.30 3 * 420
0.11 > 2.38 * 10 − 4 Bien 100 2 * 0.71 = 13cm s max = 0.12 9. Refuerzo longitudinal fy At 2 Ph v Cotg θ s fyl
Al =
−4 Al = 4.31 *10 * 1.142 *
420 * Cotg 2 45 = 4.92 *10 −4 m 2 = 4.92cm 420
5 f ′c Ag At fyv − Ph 12 fyl s fyl 5 21 * 0.3 * 0.45 420 = − (4.31 *10 − 4 )*1.142 * = 1.215 *10 −4 m 2 = 1.21 cm 2 12 * 420 420
Al min = Al min
10. Refuerzo 10.1 Refuerzo transversal Cortante φ 3 / 8′′ de dos ramas cada 10 cm durante 70cm. Torsión φ 3 / 8′′ de 2 ramas cada 14 cm durante toda la longitud. Combinado φ 3 / 8′′ de dos ramos cada 14 cm. Usar φ 3 / 8′′ @10 hasta 80cm a partir de la cara del apoyo y después φ 3 / 8′′ @14cm Refuerzo longitudinal por torsión (Se le debe sumar al de flexión).
Usar 4φ 1 / 2" s max < 22cm s max <
300 mm
4. Problema: Diseñe la viga mostrada, de luz interior, que sostiene una losa maciza en voladizo y un muro en mampostería ladrillo tolete, de espesor 0.12 m y altura libre 2.60 m. Usar f´c = 21 MPa, fy = 420 MPa.
1. Predimensionamiento Viga.
Se usa una sección de 50x50 cm previendo los efectos de torsión. Voladizo. h=
1.2 = 0.12cm 10 2. Evaluación de cargas.
Voladizo Peso Propio Alistado superior y inferior: Tablón de gres Carga muerta D
>? >? = 23*0.07= 1.61 @ >? = 0.7 @ >? = 5.27 @ = 24*0.12= 2.88 @
>?
Carga Viva L
= 2.0 @
Combinaciones >? 1.4D = 1.4*5.19 = 7.27 @
>?
1.2D + 1.6L = 1.2*5.19 + 1.6*2 = 9.43 @ Viga. Peso Propio
>?
= 24*0.5*0.50 = 6 @ >? = 0.25*23*0.05 = 0.29 @
Alistado superior e inferior
>? >? C? >? = 0.7*@*0.25 = 0.18 @ >? = 11.53 @
Muros
= 18.50 @B*0.15*2.6 = 7.22 @
Baldosa Carga muerta Combinaciones: >? 1.4D = 1.4*11.53 =16.14 @
>?
1.2D + 1.6L = 17.04 @
Carga total sobre la viga con voladizo.
>?
1.4D = 7.27*1.45+17.75 = 28.3 @ >? 1.2D + 1.6L =14.23*1.45 + 15.22 = 35.85 @ Carga total sobre la viga sin voladizo. >? 1.4D = 1.45*12.68 = 17.75 @ 3. Calculo de Mu, Vu, Tu Se supone la viga doblemente empotrada, y utilizando el principio de superposición se obtiene:
Voladizo Carga Muerta.
Wcm= 1.2*5.19 kN/m2*1.2 m = 7.47 kN/m V(x)= -7.47x + 18.68 Tu(x)= V(x)*(0.6+0.25) Tu(X) -6.35 + 15.88
Voladizo Carga Viva.
Wcv= 5 kN/m *1.6 *1.2 = 9.6 kN/m V(x)=-9.6 x + 24 Tu(x)= V(x)*1.45 Tu(X) -13.92 + 34.8
Tu = -20.27x +50.68 kN.m
4. Refuerzo a flexión As y Cortante Av/t 2
φ Mn = φρ bd
ρ fy fy 1 − 0.59 fc
1 138.2
Mu (-) Mu (+)
0,0038 0.0033 8.5 7.5 3#6 2#6+1#5 98.52 128.9 -40.5 E#3@11
ρ(−) ρ(+)
As(-) As(+) Ref. Sup. Ref. Inf. Vud φVc Vs s
2 138.2 72.3 0.0033 0.0033 7.5 7.5 2#6+1#5 2#6+1#5
E#
[email protected]
ρmin= 0.0033 ρmax= 0.014 Vu = φ Vc + φ Vs Vs =
Vu
φ
+ Vc
Vs = 15.05 s≤ s= Av s
d
4
=
0.04 = 0.1 4
Avfyd
=
Vs Vs fy.d
5. Torsión 5.1 Considerar Efectos de torsión
DE F G 9´H IKHHLJ M 7N.OQ' R F G 9´H IKHHLJ M 21 * 10 6 50.68kN .m ≤ 0.75 * 12 28.6 KN * m > 45.8KN * m
(0.4 * .4)2 * 1000 ( ) + 2 * 0 . 4 0 . 4
0.0038 0.0033 8.5 7.5 3#6 2#6+1#5 98.52 128.9 -40.5 E#3@11
5.2 Sección suficiente 2
2
Tu. ph 2 fc φ φ ≤ + vc + 2 3 bwd 1.7 Aoh Vu
xo = yo = 500-80-9.5=410.5mm Aoh=0.4105*0.4105 = 0.1685 m2 ph=2*(0.4105+0.4.105)=1.642 m 2
2
78.8 28.6 *1.28 = 2129.4kPa ≤ 2875.6kPa + 2 0.4 * 0.35 1.7 * 0.102
Cumple
5.3 Área de estribos de torsión. φ Tn ≥ Tu Tn =
2 Ao. At . fyt s
* Cotgθ
28.6 = 38.1kN .m φ 0.75 Ao = 0.4105 * 0.4105 = 0.1685 Tn =
Tu
=
m2 cm2 38.1*103 = =3 = 0.000564 = 0.0564 2. Ao. fyt .Cotgθ 2 * 0.85 * 0.1024 * 420 *106 s m cm 2 * .71 s= = 25.3cm 0.053
At
Tn
Refuerzo combinado Av + 2 At ≥ 0.062 f ´c
bw.s fyt
Pero no debe ser menor a
0.35bw.s fyt
Av + t = Av + 2 At = 0 + 0.000564 ≥ 3.38 *10− 4 s S S max ≤ Ph
8 = 1.642 / 8 = 0.20m
Refuerzo Longitudinal
