ECUACIONES DIFERENCIALES unidad 3. Estudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funcion es especiales y series matemáticas
Presentado A:
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - Unad Escuela De Ciencias Basicas, Ingenierias Y Tecnologias Mayo 2017
Introducción
En el siguiente trabajo colaborativo se observa la realización de ejercicios Estudio de series y funciones especiales las generalidades del estudio de series, la solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias y las funcione s especiales y series matemáticas, que comprenden este mismos temas.
Objetivos
Realizar los ejercicios planteados en la guía
Identificar la solución de problemas y ejercicios del estudio de series y funciones
especiales unidad 3.
Investigar en referencias bibliográficas los diferentes métodos de solución y aplicarlos en
las actividades.
.
1+ 2 = | 3|<1 | 2| <1 <<4 1<<3 | 2| <1 1<<3
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias?
A. B. C. D.
La serie converge para lo que equivale a 2 La serie converge absolutamente para lo que equivale a No se puede determinar la convergencia La serie converge absolutamente para lo que equivale a -
Desarrollo
≥ ≠ →∞: <1, >1, 1, + 1 1+1++12 2 <1, | 2|<1:1<<3| 2|<1 | 1, , 2|1 + ∑ 3, 1 3 2 : = + 1, ∑=1 1 2 : ∑=1+ 2: 1<<3 Usamos el criterio de la razón: Si existe una
tal que para toda
La suma converge para
a
por lo tanto, resolver
La suma converge para
Para Para
Por lo tanto, el intervalo de convergencia
1 = 2
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es:
A. B. C. D.
1 0 3 2
≥ ≠ →∞: <1, >1, 1, + 1 1 12 12++ 2 ++ 1 1 12+ : 2 →∞ ( 12 2 ) <1,1 , +<1 1, 2 <1: 3<<1 +1 1, ∑,=+ 31 3, = 2
Si existe una
tal que para toda
a
La suma converge para
La suma converge para
1 2 =
Por lo tanto, el intervalo de convergencia
3≤<
1
3. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?
a. b. c. d. Solución
Conjunto (-1, 1) Conjunto (-1, 1] Conjunto [-1, 1) Conjunto [-1, 1]
1 1 1 1
= √ = √
→lim √ 1 1 √ 1 →lim 1 →lim 11 1 →lim √ 11 0 1 0 1,0 11 1,1 1 = √
4. Un punto singular de
l→im √ 1lim→ 1 0 1 1 √ = 1 lim √ ∞ → 1,1 1 ´´ ´ 0 se puede definir como:
a. Es un punto donde las funciones y no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias. b. Es el punto que al formar los siguientes productos y hace que sea analítico en c. Es el punto que al formar los siguientes productos y hace que sean desarrollables en series de potencias d. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto.
5.
´´ 0, 0 , ´0 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 ´ ´ ´ 0
Obtenga los primeros términos de la solución de la ecu ación diferencial de Airy
A. B. C.
D.
Desarrollo Se hallar el valor de la segunda derivada
00 ´´00 ´ ′ 0 ´´´´ ´´0 00 ´´´0´0∗ 0 0 ´´00 ´´´´ 0 0 = − ´ =
− ´´1 =
´´ ´´ 0 0 1 − 0 = = 1 − + 0 = = 23 + + 0 + = = 23 + + + = 2 3++ =+ 2 3+ + 23 0 6 12 20 200 0
30 6 30 180 42 12 42 504 56 560 0 .. 0 0 0 .. ´ ´ . . ´ ..
Basado en la siguiente ecuación se halla la solución definitiva de la ecuación diferencial
La respuesta correcta es la Alternativa C
6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta:
´´´0 ≠0>0 ≠0 ´´´´´´0 0 ´´ ´ 0 0 0
Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma ´´+( ) ´+ ( ) =0 es aquel punto 0 en el cual ambas funciones ( )
( ) son analíticas; es decir, pueden representarse en series
de potencias de ( − 0) con radio de convergencia >0.
Mientras que un punto singular no tiene representación e n series de potencias ( − 0). De la siguiente ecuación
d.
0 0 0 0
se puede afirmar que:
a.
ordinario, así como el resto de los reales
b.
irregular,
c.
ordinario y
ordinarios
singular regular
ordinarios
ordinarios
Desarrollo
Tiene un punto singular en y el resto de los puntos serán ordinarios con base en esto la respuesta correcta es la Alternativa D
Ítems De Selección Múltiple Con Múltiple Respuesta Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son Marque B si 1 y 3 son Marque C si 2 y 4 son Marque D si 3 y 4 son
correctas. correctas. correctas. correctas.
´´ 0 1 cos sen ! ! ⋯ ! ! ⋯ cos sen 1 ! ! ⋯ ! ! ⋯
7. La solución general de la ecuación 1. 2. 3. 4.
mediante series de potencia es:
Solución
Para una ecuación
"0 0 ; cos sin 0 "′0 0 . adopta una solución
reescribiendo
− →
Simplificar
0 ∶ 1 0 ≠ , cos sin ° cos sin cos sin Para 2 raíces complejas
donde
la ecuación toma la forma
La respuesta correcta es la Marque B si 1 y 3 son correctas.
8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales.
1. 2. 3. 4.
1 ´ 2´20 1sen 1 ⋯ ⋯ 1arctan Solución
{ 122 1 1 = 1 − 1 2 2 0 = = = = 2 2 0 → 6 2 2 0 → 0 2 1+ 1 2∗ 2 0 Término independiente: Coeficiente de x:
Coeficiente de xn
Luego a0 y a1 libres,
a2
= a0 ,
a3
= 0,
1 2 + 11 22 2 = 1 2 ⟹ 3 1 − ≥2 Si
a3
= 0
a5
= a7 = ... = a2
n
+1 =
23 21 − 25 3 1 1 1 23 ∗ … ∗ ∗ 21 23 5 3 1 21 1+ + 1 1 1 3 5 ⋯ 21 ⋯ ||<1 11 3 5 7 ⋯ ⟹ 1 La respuesta es la opción C. 2 y 4 son correctas.
Ítems De Análisis De Relación Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 9. Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice que es no analítica PORQUE los coeficientes de la serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
D. si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Una función es analítica solo si se puede representar con una serie de potencias, ósea solo sus coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. El teorema de Taylor establece que una función analítica en un círculo puede representarse como una serie de potencias dentro de dicho círculo
Primer actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema:
6 –
Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante es [N/m] (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa [Kg] y una constante de amortiguamiento [N-s/m] con condiciones iniciales [m] y [m/s]
1
2 0 3 ’00
0
Determinar la ecuación de desplazamiento de una serie de potencias en torno de .
mediante los primeros cuatro términos no nulos
’:: ’’:
Posición del resorte Velocidad del resorte Aceleración del resorte
Se sabe que esta situación genera una ecuación diferencial de la forma:
0 2 6 0 2 0 6030 2 180
Reemplazando los valores iníciales en la ecuación diferencial:
Se obtiene que
0 9 2 1 6 0 2 6′0
Derivando respecto a t la ecuación diferencial:
Reemplazando los valores iníciales en la expresión anterior:
Se obtiene que
0 6
2 93 6 000 2 120
Derivando nuevamente respecto a t:
2 6 0 2 6 6090 2 6540 2 480
Reemplazando las condiciones iníciales en la expresión anterior:
Se obtiene que
0 24
Entonces, usando la serie de Taylor para aproximar un polinomio de 4 términos de la forma:
f t P= j! 0 f t f t f t f t 0! f 1! 2! 3! 4!t 31 0 01 0 29 0 1212 0 2424 0 … Donde
Segunda actividad Grupal:
Se presenta un problema junto con su solución, debe evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Enunciado y solución planteada:
||<∞
La ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia convergen para .
Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano
es
, donde
y
.
´´ 0 0 0 0
1. Por tanto, escribimos 2.
3. Sustituyendo
donde
en la ecuación diferencial
, la deflexión en este caso
se determina del problema de valor en la frontera.
Donde
Encuentre las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función.
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
0 0
Tenemos: Solución
√ √ 0 √ √ 0 √ √ . √ √ . √ √ √ √ √ −0
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales.
√ √
-
Este será el caso si
O si,
√ −
√ √ √ √ √ √ √ . √ √ . √ √ 1 1 1 1 1
Las cargas críticas entonces son:
Usando
Tenemos
Objetivos
Se realizan los ejercicios planteados en la guía en su totalidad
Se Identificaron los conceptos sobre el estudio d e series y funciones especiales unidad 3.
