ECUACIONES DIFERENCIALES unidad 3. Estudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funciones especiales y series matemáticas
Presentado A:
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - Unad Escuela De Ciencias Basicas, Ingenierias Y Tecnologias Mayo 2017
Introducción
En el siguiente trabajo colaborativo se observa la realización de ejercicios Estudio de series y funciones especiales las generalidades del estudio de series, la solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias y las funciones especiales y series matemáticas, que comprenden este mismos temas.
Objetivos
Realizar los ejercicios planteados en la guía Identificar la solución de problemas y ejercicios del estudio de series y funciones especiales unidad 3. Investigar en referencias bibliográficas los diferentes métodos de solución y aplicarlos en las actividades.
.
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de 𝑥 converge la serie de potencias? ∞
∑(−1)𝑛+1 𝑛(𝑥 − 2)𝑛 𝑛=1
A. B. C. D.
La serie converge para |𝑥 − 3| < 1 lo que equivale a 2< 𝑥 < 4 La serie converge absolutamente para |𝑥 − 2| < 1 lo que equivale a 1 < 𝑥 < 3 No se puede determinar la convergencia La serie converge absolutamente para |𝑥 + 2| < 1 lo que equivale a -1 < 𝑥 < 3
Desarrollo Usamos el criterio de la razón: 𝑎𝑛+1
Si existe una 𝑁 tal que para toda 𝑛 ≥ 𝑁 a 𝑛 ≠ 𝑜 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑛 → ∞ |
𝑎𝑛
| = 𝐿:
𝑠𝑖 𝐿 < 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝐿 > 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝐿 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑛 + 1 (−1)(𝑛+1)+1 (𝑛 + 1)(𝑥 − 2)(𝑛+1) | |=| | 𝑎𝑛 (−1)𝑛+1 𝑛(𝑥 − 2)𝑛 La suma converge para 𝐿 < 1, por lo tanto, resolver |𝑥 − 2| < 1 |𝑥 − 2| < 1: 1 < 𝑥 < 3 La suma converge para 𝐿 = 1, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥 − 2| = 1 𝑛+1 Para 𝑥 = 3, ∑∞ 𝑛(3 − 2)𝑛 : 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛=1(−1) 𝑛+1 Para 𝑥 = 1, ∑∞ 𝑛(1 − 2)𝑛 : 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛=1(−1)
Por lo tanto, el intervalo de convergencia 𝑛+1 ∑∞ 𝑛(𝑥 − 2)𝑛 : 𝑛=1(−1) 1<𝑥<3
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es: ∞ (𝑥 + 1)𝑛 ∑ 𝑛2𝑛 𝑛=1
A. B. C. D.
𝜌=1 𝜌=0 𝜌=3 𝜌=2 𝑎𝑛+1
Si existe una 𝑁 tal que para toda 𝑛 ≥ 𝑁 a 𝑛 ≠ 𝑜 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑛 → ∞ |
𝑎𝑛
| = 𝐿:
𝑠𝑖 𝐿 < 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝐿 > 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝐿 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑥 + 1)(𝑛+1) 𝑎𝑛 + 1 (𝑛 + 1)2(𝑛+1) | |=| | 𝑎𝑛 (𝑥 + 1)2(𝑛+1) 𝑛2𝑛 (𝑥 + 1)(𝑛+1) (𝑥 + 1) (𝑛 + 1)2(𝑛+1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑛 → ∞ = | | | :| (𝑛+1) 2 (𝑥 + 1)2 𝑛2𝑛 ( ) (𝑥+1) La suma converge para 𝐿 < 1, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 | 2 | < 1 (𝑥 + 1) | | < 1: − 3 < 𝑥 < 1 2 La suma converge para 𝐿 = 1, (𝑥+1)
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 | 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, ∑∞ 𝑛=1
(1+1)𝑛
2
|=1
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∞ ((−3) + 1)𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3, ∑ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛2𝑛 𝑛=1 𝑛2𝑛
Por lo tanto, el intervalo de convergencia ∞
∑ 𝑛=1
(𝑥 + 1)𝑛 𝑛2𝑛
−3 ≤ 𝑥 <1
3. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie? ∞
∑ 𝑛=0
a. b. c. d.
Conjunto (-1, 1) Conjunto (-1, 1] Conjunto [-1, 1) Conjunto [-1, 1]
𝑥𝑛 √𝑛
𝜌=1 𝜌=1 𝜌=1 𝜌=1
Solución ∞
∑ 𝑛=0
𝑅=
𝑅=
𝑥𝑛 √𝑛
1 √𝑛 + 1 lim ( ) 𝑛→∞ √𝑛 1 𝑛 1 lim (√𝑛 + 𝑛)
𝑛→∞
𝑅=
1 1 lim (√1 + 𝑛)
𝑛→∞
𝑅=
1 lim (√1 + 0)
=1
𝑛→∞
(0 − 1,0 + 1) = (−1,1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1
∞
∑ 𝑛=0
(−1)𝑛 √𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
lim (
𝑛→∞
1
1 ) = lim (√ = 0) 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞ 𝑛 √𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1
∞
∑ 𝑛
𝑛=0
1𝑛 √𝑛
1 lim ( ) = ∞ 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛→∞ √𝑛
𝑅𝑇𝐴 [−1,1) 𝑐𝑜𝑛 𝑃 = 1 𝑅𝑇𝐴 = 𝐶 4. Un punto singular de 𝑦´´ + 𝑓(𝑥)𝑦´ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0 se puede definir como: a. Es un punto donde las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias. b. Es el punto 𝑥0 que al formar los siguientes productos 𝑓(𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) y 𝑔(𝑥)(𝑥 − 𝑥0 )2 hace que sea analítico en 𝑥0 c. Es el punto 𝑥0 que al formar los siguientes productos 𝑓(𝑥)(𝑥 − 𝑥0 )2 y 𝑔(𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) hace que sean desarrollables en series de potencias d. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto.
5.
Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy 𝑦´´(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = 0, 𝑦(0) = 𝑦0 , 𝑦´(0) = 𝑦´0 A. 𝑦(𝑥) = 𝑦0 +
𝑦0 6
B. 𝑦(𝑥) = 𝑦´0 𝑥 +
𝑦´0
𝑥3 − 𝑦0 9
12
𝑥3 +
C. 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + 𝑦´0 𝑥 + 0𝑥9
𝑦0
D. 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + 𝑦´0 𝑥 + 0𝑥11
6
𝑦0 180
𝑦´0
𝑥6 −
𝑦´0 504
𝑦
𝑥 4 + 360 𝑥 6 + 16
𝑥3 +
𝑦0 6
𝑥4 +
𝑦´0
𝑥2 +
12
𝑦
𝑥7
𝑦´0 49
𝑥7 𝑦´
0 𝑥 4 + 180 𝑥 6 + 5040 𝑥 7 +
𝑦´0 12
𝑦
𝑦´
0 𝑥 5 + 180 𝑥 7 + 5040 𝑥 9 +
Desarrollo Se hallar el valor de la segunda derivada 𝑦(0) = 𝑦0 𝑦(0) = 𝐶0 𝑦0 = 𝐶0
𝑦´(0) = 𝑦´0 𝑦´(0) = 𝐶1 𝑦′0 = 𝐶1
𝑦´´(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = 0 𝑦´´(𝑥) = 𝑥𝑦(𝑥) 𝑦´´(0) = 0𝑦(0) 𝑦´´(0) = 0 ∗ 𝑦0 𝑦´´(0) = 0 𝑦´´(0) = 𝐶2 𝐶2 = 0
𝑦´´(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = 0 𝑦´´ − 𝑥𝑦 = 0 ∞
𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0 ∞
𝑦´ = ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1
∞
𝑦´´ = ∑(𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2
𝑦´´ − 𝑥𝑦 = 0 𝑦´´ − 𝑥𝑦 = 0 ∞
∞
∑(𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 − 𝑥 ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=0
𝑛=0
∞
∞
∑(𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑥
𝑛−2
− ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0
𝑛=0
∞
𝑛=0
∞
∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)𝐶𝑛+3 𝑥 𝑛+1 − ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0 𝑛=0
𝑛=0
∞
∞
∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)𝐶𝑛+3 𝑥 𝑛=0
𝑛+1
= ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 𝑛=0
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)𝐶𝑛+3 𝑥 𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 (𝑛 + 2)(𝑛 + 3)𝐶𝑛+3 = 𝐶𝑛 𝐶𝑛+3 =
𝐶𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
𝐶2 = 0
𝐶3 =
𝐶0 6
𝐶4 =
𝐶1 12
𝐶5 =
𝐶2 20
𝐶5 =
0 20
𝐶5 = 0
𝐶6 =
𝐶3 30
𝐶0 𝐶6 = 6 30 𝐶6 =
𝐶0 180
𝐶7 =
𝐶4 42
𝐶1 12 𝐶7 = 42 𝐶7 =
𝐶1 504
𝐶8 =
𝐶5 56
𝐶8 =
0 56
𝐶8 = 0
Basado en la siguiente ecuación se halla la solución definitiva de la ecuación diferencial 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 + 𝐶4 𝑥 4 + 𝐶5 𝑥 6 + 𝐶7 𝑥 7 + 𝐶8 𝑥 8 +. . . 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 0𝑥 2 + 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 +
𝐶0
𝑦 = 𝑦0 + 𝑦´0 𝑥 +
6
𝐶
𝐶
𝐶
0 1 𝑥 3 + 121 𝑥 4 + 0𝑥 5 + 180 𝑥 6 + 504 𝑥 7 + 0𝑥 8 +. . . 𝐶𝑛 𝑥 𝑛
6 𝐶
𝐶
𝐶
0 1 𝑥 3 + 121 𝑥 4 + 180 𝑥 6 + 504 𝑥 7 +. . . 𝐶𝑛 𝑥 𝑛
𝑦0 6
𝐶0
𝑥3 +
𝑦´0
𝑦
𝑦´
0 𝑥 4 + 180 𝑥 6 + 5040 𝑥 7 +. . . 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 12
La respuesta correcta es la Alternativa C
6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma 𝑦´´+(𝑥)𝑦´+𝑔(𝑥)𝑦=0 es aquel punto 𝑥0 en el cual ambas funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de (𝑥− 𝑥0) con radio de convergencia 𝑅>0. Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias (𝑥− 𝑥0). 2
De la siguiente ecuación 𝑥𝑦´´ + 𝑒 𝑥 𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 se puede afirmar que: a. 𝑥 = 0 ordinario, así como el resto de los reales b. 𝑥 = 0 irregular, 𝑥 ≠ 0 ordinarios c. 𝑥 = 0 ordinario y 𝑥 > 0 ordinarios d. 𝑥 = 0 singular regular 𝑥 ≠ 0 ordinarios Desarrollo 2
𝑥𝑦´´ + 𝑒 𝑥 𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 𝑥𝑦´´ 𝑥
2
+
𝑒 𝑥 𝑦´ 𝑥
+
𝑥𝑦 𝑥
=0
2
𝑦´´ +
𝑒 𝑥 𝑦´ 𝑥
+𝑦 =0
𝑥=0 Tiene un punto singular en 𝑥 = 0 y el resto de los puntos serán ordinarios con base en esto la respuesta correcta es la Alternativa D
Ítems De Selección Múltiple Con Múltiple Respuesta Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
7. La solución general de la ecuación 𝑦´´(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0 mediante series de potencia es: 1. 𝑎0 cos 𝑥 + 𝑎1 sen 𝑥 1
1
2. (1 − 2! 𝑥 2 + 4! 𝑥 4 − ⋯ ) + 𝑎1 (𝑥 − 3. 𝑥 + 𝑎1 cos 𝑥 + 𝑎2 sen 𝑥 1
𝑥3 3!
+
𝑥5 5!
1
−⋯)
4. 𝑎0 + 𝑎1 (1 + 2! 𝑥 2 − 4! 𝑥 4 + ⋯ ) + 𝑎2 (𝑥 +
𝑥3 3!
+
𝑥5 5!
+⋯)
Solución
𝑦"(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0 𝑑2 (𝑦) + 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 sin(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑2 (𝑦) + 𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 Para una ecuación 𝑎𝑦" + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 adopta una solución 𝑦 = 𝑒 𝛾.𝑥 reescribiendo 𝑦 = 𝑒 𝛾−𝑥 → 𝑑2 𝑑𝑥 2
((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0
Simplificar
𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 ∶ 𝑒 𝛾𝑥 (𝛾 2 + 1) = 0 𝑑𝑥 2
𝛾=𝑖
𝛾=𝑖
𝛾 = −𝑖
𝛾 = −𝑖
Para 2 raíces complejas 𝛾1 ≠ 𝛾2donde𝛾1 = 𝑎 + 𝑖𝛽, 𝑒 𝑎𝑖 (𝑐1 cos(𝛽𝑡) + 𝑐2 sin(𝛽𝑡))
𝛾2 = 𝑎 − 𝑖𝛽 la ecuación toma la forma 𝑦 =
𝑦 = 𝑒 ° (𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 sin(𝑥))
𝑦 = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 sin(𝑥)
La respuesta correcta es la Marque B si 1 y 3 son correctas.
8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales. (1 + 𝑥 2 )𝑦´´ + 2𝑥𝑦´ − 2𝑦 = 0 1. 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (1 − 𝑥 sen 𝑥) 1
1
1
3
5
7
2. 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (1 + 𝑥 2 − 𝑥 4 + 𝑥 6 − 𝑥 7 + ⋯ ) 1
1
1
3. 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (𝑥 3 − 4 𝑥 4 + 6 𝑥 6 − 7 𝑥 7 + ⋯ ) 4. 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (1 + 𝑥 arctan 𝑥)
Solución 2𝑥 𝑝(𝑥) = 1 + 𝑥2 { −2 𝑞(𝑥) = 1 + 𝑥2
𝐿𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑥0 𝑐𝑜𝑛 𝑅1 = 𝑅2 = 1
∞
𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0 ∞
∞
∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥
𝑛−2
𝑛=2
∞
+ ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 + 2 ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 − 2 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=2
Término independiente: Coeficiente de x: Coeficiente de xn
∞
𝑛
𝑛
𝑛=1
2𝑎2 − 2𝑎0 = 0
6𝑎3 + 2𝑎1 − 2𝑎1 = 0
𝑛=0
→ →
𝑎2 = 𝑎0 𝑎3 = 0
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 + 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 + 2𝑛 ∗ 𝑎𝑛 − 2𝑎𝑛 = 0
Luego a0 y a1 libres,
a2 = a0 , a3 = 0,
𝑎𝑛+2 = −
(𝑛 − 1)(𝑛 + 2) 𝑛(𝑛 − 1) + 2𝑛 − 2 𝑎𝑛= − 𝑎 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 𝑛
⟹ 𝑎𝑛 = −
𝑛−3 𝑎 𝑛 − 1 𝑛−2
𝑛≥2
Si a3 = 0 a5 = a7 = ... = a2n+1 =
𝑎2𝑛 = −
= (−1)𝑛
2𝑛 − 3 𝑎 2𝑛 − 1 2𝑛−2
2𝑛 − 3 2𝑛 − 5 3 1 1 ∗ … ∗ ∗ (− ) 𝑎0 2𝑛 − 1 2𝑛 − 3 5 3 1
(−1)𝑛+1 = 𝑎 2𝑛 − 1 0
𝑦 = 𝑎0 (1 +
(−1)𝑛+1 𝑥2 𝑥4 𝑥6 − + + ⋯+ + ⋯ ) + 𝑎1 𝑥 1 3 5 2𝑛 − 1
|𝑥| < 1
𝑥 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑦 = 𝑎0 [1 + 𝑥 ( − + − + ⋯ )] + 𝑎1 𝑥 ⟹ 𝒚 1 3 5 7
= 𝑎0 (1 + 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) + 𝑎1 La respuesta es la opción C. 2 y 4 son correctas.
Ítems De Análisis De Relación Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 9. Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice que es no analítica PORQUE los coeficientes de la serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. D. si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Una función es analítica solo si se puede representar con una serie de potencias, ósea solo sus coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. El teorema de Taylor establece que una función analítica en un círculo puede representarse como una serie de potencias dentro de dicho círculo
Primer actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante 𝑡 es 𝑘(𝑡) = 6 – 𝑡 [N/m] (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa 𝑚 = 2 [Kg] y una constante de amortiguamiento 𝑏 = 1 [N-s/m] con condiciones iniciales 𝑥(0) = 3 [m] y 𝑥’(0) = 0 [m/s]
Determinar la ecuación de desplazamiento 𝑥(𝑡) mediante los primeros cuatro términos no nulos de una serie de potencias en torno de 𝑡 = 0.
𝑥(𝑡): Posición del resorte 𝑥’(𝑡): Velocidad del resorte 𝑥’’(𝑡): Aceleración del resorte Se sabe que esta situación genera una ecuación diferencial de la forma: 𝑚𝑥 ′′ + 𝑏𝑥 ′ + 𝑘𝑥 = 0 2𝑥 ′′ + 𝑥 ′ + (6 − 𝑡)𝑥 = 0 Reemplazando los valores iníciales en la ecuación diferencial: 2𝑥 ′′ + (0) + (6 − 0)(3) = 0 2𝑥 ′′ + 18 = 0 Se obtiene que 𝑥 ′′ (0) = −9 Derivando respecto a t la ecuación diferencial: 2𝑥 ′′′ + 𝑥 ′′ + (−1)(𝑥) + (6 − 𝑡)(𝑥 ′ ) = 0 2𝑥 ′′′ + 𝑥 ′′ − 𝑥 + (6 − 𝑡)𝑥′ = 0
Reemplazando los valores iníciales en la expresión anterior: 2𝑥 ′′′ − 9 − 3 + (6 − 0)(0) = 0 2𝑥 ′′′ − 12 = 0 Se obtiene que 𝑥 ′′′ (0) = 6 Derivando nuevamente respecto a t: 2𝑥 (4) + 𝑥 (3) + (6 − 𝑡)𝑥 (2) = 0 Reemplazando las condiciones iníciales en la expresión anterior: 2𝑥 (4) + 6 + (6 − 0)(−9) = 0 2𝑥 (4) + 6 − 54 = 0 2𝑥 (4) − 48 = 0 Se obtiene que 𝑥 (4) (0) = 24 Entonces, usando la serie de Taylor para aproximar un polinomio de 4 términos de la forma: 𝑛
Pn (𝑡) = ∑
f (j) (t 0 ) (𝑡 − 𝑡0 )𝑗 j!
𝑗=0
Donde 𝑡𝑜 = 0 f (0) (t 0 ) f ′ (t 0 ) f ′′ (t 0 ) f ′′′ (t 0 ) 0 1 2 𝑃𝑛 (𝑡) = (𝑡 − 𝑡0 ) + (𝑡 − 𝑡0 ) + (𝑡 − 𝑡0 ) + (𝑡 − 𝑡0 )3 0! 1! 2! 3! f ′′′′ (t 0 ) + (𝑡 − 𝑡0 )4 4! 𝑃𝑛 (𝑡) =
(3) (0) (−9) (12) (24) (𝑡 − 0)0 + (𝑡 − 0)1 + (𝑡 − 0)2 + (𝑡 − 0)3 + (𝑡 − 0)4 1 1 2 12 24 𝟗 𝑷𝟒 (𝒕) = 𝟑 − 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 + 𝒕𝟒 + … 𝟐
Segunda actividad Grupal:
Se presenta un problema junto con su solución, debe evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Enunciado y solución planteada: La ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia convergen para |𝑥| < ∞.
Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal 𝑦 = 𝑐𝑥, como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un 1 eje perpendicular al plano 𝑥𝑦 es 𝐼 = 4 𝜋𝑟 4 , donde 𝑟 = 𝑦 y 𝑦 = 𝑐𝑥 .
𝑥 4
1
1. Por tanto, escribimos 𝐼(𝑥) = 𝐼0 (𝑏) donde 𝐼0 = 𝐼(𝑏) = 4 𝜋(𝑐𝑏)4 2. 3. Sustituyendo
1 4
𝜋𝑟 4 en la ecuación diferencial 𝑥 4 𝑦´´´ + 𝜆𝑦 = 0, la deflexión en este caso
se determina del problema de valor en la frontera. 𝑑2 𝑦
𝑥 4 𝑑𝑥 2 + 𝜆𝑦 = 0
𝑦(𝑎) = 0
𝑦(𝑏) = 0
Donde 𝜆 =
𝑃𝑏 4 𝐸𝐼0
Encuentre las cargas críticas 𝑃𝑛 para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo 𝑦𝑛 (𝑥) como una sola función. SOLUCIÓN Teniendo en cuenta las condiciones iniciales 𝑦(𝑎) = 0
𝑦(𝑏) = 0
Tenemos: Solución 𝐶1 𝐶𝑜𝑠
𝐶𝑜𝑠
√𝜆 √𝜆 − 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 =0 𝑎 𝑎
√𝜆 √𝜆 − 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 =0 𝑏 𝑏
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales.
| |
𝐶𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠
√𝜆 𝑎
√𝜆 𝑏
√𝜆 √𝜆 √𝜆 √𝜆 √𝜆 𝑎 | = 𝐶𝑜𝑠 . 𝑆𝑒𝑛 − 𝐶𝑜𝑠 . 𝑆𝑒𝑛 | 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 √𝜆 𝑆𝑒𝑛 𝑏 𝑆𝑒𝑛
√𝜆 √𝜆 = 𝑠𝑒𝑛 ( − ) 𝑏 𝑎
𝑏−𝑎
-𝑠𝑒𝑛√𝜆 ( 𝑎𝑏 ) = 0
Este será el caso si 𝑏−𝑎
√𝜆 ( 𝑎𝑏 ) = 𝑛𝜋
O si,
𝜆=
𝑛2 𝜋 2 𝑎 2 𝑏 2 𝐿2
=
𝑃𝑛 𝑏 4 𝐸𝐼
𝑃𝑛 =
Las cargas críticas entonces son: 𝑃𝑛 = 𝑛2 𝜋 2
𝑛2 𝜋 2 𝐸𝐼 𝐿2 𝑏2
𝑎2 𝐸𝐼 𝐿2 𝐿2
Usando √𝜆 −𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝐶2 = √𝜆 𝑐𝑜𝑠 𝑏 Tenemos 𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑠𝑒𝑛 [ 𝑦 = 𝐶3 𝑥 [𝑠𝑒𝑛
√𝜆 − 𝑥
√𝜆 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑎 ) √𝜆 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎 )
𝑐𝑜𝑠
√𝜆 𝑥 ]
√𝜆 √𝜆 √𝜆 √𝜆 . 𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 . 𝑠𝑒𝑛 ] 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎
1 1 𝑦𝑛 (𝑥) = 𝐶3 𝑆𝑒𝑛√𝜆 ( − ) 𝑥 𝑎 𝑦𝑛 (𝑥) = 𝐶3 𝑆𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑎𝑏 1 1 𝑛𝜋𝑎𝑏 𝑎 ( − ) = 𝐶4 𝑠𝑒𝑛 (1 − ) 𝐿 𝑥 𝑎 𝐿 𝑥
Objetivos
Se realizan los ejercicios planteados en la guía en su totalidad Se Identificaron los conceptos sobre el estudio de series y funciones especiales unidad 3.
